高三理科数学质量检测参考答案2012_2
2012届高三数学下册第二次联考检测试题2
广西名校2012届高三毕业班第二次大联考（理科数学） 测试时间：2012年2月一、选择题(每小题5分，共60分，只有一个选项符合题目要求。
)1．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为,a b ，使复数()(4)a bi b ai +-为实数的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．1122．“函数()()()22100x x f x x a x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥在点0x =处连续”是“a =1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．若，则的值为（ ）A ．8B ．C ．4D ．4．己知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，84.0)4(=≤ξP ，则=≤)0(ξP （ ）A ．16.0B ．32.0C ．68.0D ．84.0 5．定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是( ). A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的范围为（ ） A ．(－∞，－1) B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)7．若偶函数满足()()x f x f 11-=+，且时, ()2x x f =，则方程的解的个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 多于4个8．在棱长为2的正方体中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是、AD 的中点，那么异面直线OE 和所成的角的余弦值等于（ ）A ．36B ．515C ．23D ．359．经过椭圆13422=+y x 的右焦点任作弦AB ，过A 作椭圆右准线的垂线AM ，垂足M ，则直线BM 必经过（ ）A ．)0,2(B ．)0,3(C ．)0,25(D ．)0,27(10. 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（ ） A ．0 B ．12C ． 1D ．2 11. 已知一动圆过点A （-2，0）且与直线x=2相切，点()2,1-B 。
2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(理科)(带答案)
2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(理科)（带答案）2012年福州市高中毕业班综合练习理科数学试卷参考答案及评分参考一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.C8.B9.D10.D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.212.1213.14.15.①④三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率”为，则．6分（Ⅱ）（元），7分（元）．8分，9分．10分选择甲部门：因为，说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小，竞争压力没有乙部门大，比较安稳．13分选择乙部门：因为，说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大，岗位工资拉的比较开，工作比较有挑战性，能更好地体现工作价值．13分17．（本小题满分13分）解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．2分（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．∴．3分∴直线与平面不平行．4分（Ⅱ）设平面的法向量为，则，5分取，则，故．6分∴，7分解得．∴．8分（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线．9分∵，，∴．∴，∴．11分由（Ⅱ）知，，故，∴．12分∴直线与所成的角的余弦值为．13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．1分∵∴，解得．3分∴圆的方程为．5分（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．6分（1）当轴时，由椭圆对称性可知．7分（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去得，．8分设直线交椭圆于两点，则，．9分∵，∴．10分∵，11分∴，．12分综上所述，．13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，∴，1分∴，所以所求的切线的斜率为3.2分又∵，所以切点为.3分故所求的切线方程为：.4分（Ⅱ）∵，∴．5分①当时，∵，∴；6分②当时，由，得；由，得；7分综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增．8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当时，在上单调递增．9分∴当时，，即．10分令（），则．11分另一方面，∵，即,∴．12分∴（）．13分方法二：构造函数，9分∴，10分∴当时,；∴函数在单调递增．11分∴函数，即∴，，即12分令（），则有．13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）已知是锐角，根据三角函数的定义，得1分又，且是锐角，所以．2分所以．4分（Ⅱ）证明：依题意得，，，因为，所以，，于是有，①6分又∵，，②7分同理，，③由①，②，③可得，线段MA、NB、PC能构成一个三角形.8分（III）第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为.不妨设的边长分别为，其中角、、的对边分别为.则由余弦定理，得：9分11分因为，所以，所以，12分设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，∴，13分所以的外接圆的面积为.14分21．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换解：（Ⅰ）由条件得矩阵．2分（Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，令，解得特征值为，，4分设属于特征值的矩阵M的一个特征向量为，则，解得，取，得，5分同理，对于特征值，解得，取，得，6分所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值的一个特征向量．7分（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程解：（Ⅰ）∵点、的极坐标分别为、，∴点、的直角坐标分别为、，2分∴直线的直角坐标方程为．4分（Ⅱ）由曲线的参数方程化为普通方程为，5分∵直线和曲线C只有一个交点，∴半径．7分（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵关于的不等式对于任意的恒成立1分根据柯西不等式，有所以，当且仅当时等号成立，故．3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则∴5分当且仅当，即时取等号，6分所以函数的最小值为．7分。
2012深圳高三二模理科数学试题及答案
绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2012.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：柱体体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积为13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为椎体的高如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为()|P B A ，那么|P AB P A P B A =()()()；一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．集合*{|}n i n N ∈（其中i 是虚数单位）中元素的个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．无穷多个 2．设随机变量()21,3X N ，若()()P Xc P X c ≤=>，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．33．已知命题p ：“存在正实数a ，b ，使得()lg lg lg a b a b +=+”；命题q ：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 A ．p ，q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题 C ．p ，q 都是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这 六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种5．设,,,a b c d R ∈，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式 恒成立的是A ．2a b cd +≤B ．2a b cd +≥C ．||2a b cd +≤D ．||2a b cd +≥6．设函数若()f x 的值域为R ，则常数a 的取值范围是7．如图1，直线l 和圆c ，当l 从0 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是8．如果函数||1y x =-的图象与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A ．(,1][0,1)-∞-B ．[1,1)-C ．{}1,0-D ．()[1,0]1,-+∞二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在实数范围内，方程|||1|1x x ++=的解集是 ．10．某机器零件的俯视图是直径为24mm 的圆（包括圆心），主 视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积 是______3mm （结果保留π）．11．已知平面向量a ，b 满足条件()()0,1,1,2a b a b +=-=- ，则a b ⋅＝＿＿＿＿＿．12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入5533,2012m n ==，则输出d ＝＿＿＿． （注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径， 弦AD 和BC 相交于点P ，连接CD ．若120APB ∠=︒， 则C D A B等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数（1）求()f x 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小． 17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．18．（本小题满分14分）如图 5，已知正方形ABCD 在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''A B C D ，其中A 与'A 重合，且'''BB DD CC <<．（1）证明'//AD 平面''BB C C ，并指出四边形'''AB C D 的形状； （2）如果四边形中'''AB C D ’中，，正方形的边长为，求平面ABCD 与平面AB'C'D ’所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分14分） 已知数列满足：，且（1）求通项公式n a （2）设的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对(),m n ，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M 过定点()1,0F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ， 动点'F 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）设是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ． ①证明：直线PQ 的斜率为定值；②记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为l ．若点B 在l 上，且点B 到直线PQ 的 距离最大，求点B 的坐标．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x x =-，()()()'g x f x xf a =- ，其中()'f a 表示函数()f x 在x a=处的导数，a 为正常数． （1）求()g x 的单调区间；（2）对任意的正实数12,x x ，且12x x <，证明：()()()()()()21221211''x x f x f x f x x x f x -<-<-（3）对任意的2012年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBACDADB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） 4分所以)(x f 的最大值为3． …………6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分） （2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin32sin =．……7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2sin3cos sin =， ……9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，33tan =A ， ……11分所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． …………12分17．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ，…3分 53)1()(2613131====C C C P A P ξ，…5分51)2()(26232====CC P A P ξ．…7分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ0 12P515351ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ． ……8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得 253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …9分 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==CC C A B P A P B A P ）， ……10分 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）． ……11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ． …………12分18．证明：（1）依题意，⊥'BB 平面'''D C AB ，⊥'CC 平面'''D C AB ，⊥'DD 平面'''D C AB ，所以'//'//'DD CC BB ． ………2分（法1）在'CC 上取点E ，使得'DD CE =， 连结BE ，E D '，如图5－1．因为'//DD CE ，且'DD CE =，所以E CDD '是平行四边形，DC E D //'，且DC E D ='．又ABCD 是正方形，AB DC //，且AB DC =，所以AB E D //'，且AB E D ='，故'ABED 是平行四边形，……4分从而BE AD //'，又⊂BE 平面C C BB ''，⊄'AD 平面C C BB ''， 所以//'AD 平面C C BB ''． ………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分15-图CD)'(A A B'C 'D 'B E（法2）因为'//'CC DD ，⊂'CC 平面C C BB ''，⊄'DD 平面C C BB ''， 所以//'DD 平面C C BB ''．因为ABCD 是正方形，所以BC AD //，又⊂BC 平面C C BB ''，⊄AD 平面C C BB ''， 所以//AD 平面C C BB ''． ………………4分而⊂'DD 平面'ADD ，⊂AD 平面'ADD ，D AD DD = '，所以平面//'ADD 平面C C BB ''，又⊂'AD 平面'ADD ，所以//'AD 平面C C BB ''．…6分 四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分 解：（2）依题意，在Rt △'ABB 中，1)5()6(''2222=-=-=AB ABBB ，在Rt △'ADD 中，2)2()6(''2222=-=-=AD ADDD ，所以3021''''=-+=-+=AA DD BB CC ．（注：或312''''=+=+=+=BB DD EC CE CC ） ………8分 连结AC ，'AC ，如图5－2， 在Rt △'ACC 中，33)32(''2222=-=-=CC ACAC ．所以222''''AB C B AC =+，故'''C B AC ⊥．……10分 （法1）延长CB ，''B C 相交于点F ， 则31''''==CC BB FC FB ，而2''=C B ，所以223'=FC ．连结AF ，则AF 是平面ABCD 与平面'''D C AB 的交线．在平面'''D C AB 内作AF G C ⊥'，垂足为G ， 连结CG ．因为⊥'CC 平面'''D C AB ，⊂AF 平面'''D C AB ，所以AF CC ⊥'． 从而⊥AF 平面G CC '，AF CG ⊥．所以'CGC ∠是平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的一个锐二面角． ………12分在Rt △F AC '中，553223)3(2233'''22=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=⨯=AFFC A C G C ，在Rt △G CC '中，53035533''2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=G C CC CG ． 所以66''cos cos ==∠=CGG C CGC θ，25-图CD)'(A A B'C 'D 'B FG即平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．…………14分（法2）以'C 为原点，A C '为x 轴，''B C 为y 轴，C C '为z 轴， 建立空间直角坐标系（如图5－3），则平面'''D C AB 的一个法向量)1,0,0(=n ．设平面ABCD 的一个法向量为),,(z y x =m ， 因为)0,0,3(A ，)1,2,0(B ，)3,0,0(C ，所以)1,2,3(-=AB ，)2,2,0(-=BC ，而AB ⊥m ，BC ⊥m ， 所以0=∙AB m 且0=∙BC m ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-022023z y z y x ，取1=z ，则2=y ，3=x ，所以平面ABCD 的一个法向量为)1,2,3(=m ．（注：法向量不唯一，可以是与)1,2,3(=m 共线的任一非零向量）………12分661001)2()3(|110203||||||,cos |cos 222222=++⨯++⨯+⨯+⨯==><=∙n m n m n m ||θ．所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …14分（法3）由题意，正方形ABCD 在水平面上的正．投影是四边形''''D C B A ， 所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值ABCDD C AB S S '''=． …12分而6)6(2==ABCD S ，632''''''=⨯=⨯=AC C B S D C AB ，所以66cos =θ，所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．……14分19．解：（1）当n 是奇数时，1cos -=πn ；当n 是偶数时，1cos =πn ． 所以，当n 是奇数时，22+=+n n a a ；当n 是偶数时，n n a a 32=+．……2分 又11=a ，22=a ，所以1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是首项为1，公差为2的等差数列；2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是首项为2，公比为3的等比数列．……4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-为偶数为奇数n n n a nn ,32,12． ………………………6分 （2）由（1），得)()(24212312n n n a a a a a a S +++++++=-35-图CD)'(A A B'C 'D 'B yxz)3262()]12(31[1-⨯++++-+++=n n132-+=n n ，13321321122212-+=⨯--+=-=---n n a S S n n nn n n ．…………8分所以，若存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ，则133211313211212122-+⨯+=-+-+==----n n n S S m n n n nn n 3332111=⨯+≤--n n ．……9分显然，当1=m 时，122122)13(113--=-+⨯≠-+=n n nn S n n S ；当2=m 时，由1222-=n n S S ，整理得1321-=-n n ．显然，当1=n 时，11013211-=≠=-；当2=n 时，1233212-==-，所以)2,2(是符合条件的一个解． ……11分 当3≥n 时， +⨯+⨯+=+=----2211111221)21(3n n n n C C2111421--++≥n n C C 3422+-=n n1)2(22-+-=n n 12->n ． ………12分当3=m 时，由1223-=n n S S ，整理得1=n ， 所以)1,3(是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对),(n m ，有且仅有)1,3(和)2,2(两对．…14分（注：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）20．解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上， 且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以)21,2(+y x M ， …………1分且圆M 的直径为22)1(|'|-+=y x FF ．…………2分由题意，动圆M 与y 轴相切，所以2)1(2|1|22-+=+y x y ，两边平方整理得：y x 42=，所以曲线C 的方程为y x 42=． …………………5分（法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方， 连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径． 过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．16-图M∙'∙F xyOF∙N E在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ， 即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x 轴的距离大1． ……3分又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线． 所以曲线C 的方程为y x 42=．………………5分（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2． 设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ……………6分 因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点， 所以4200x y =，直线AP 的方程为)(4020x x k x y -=-．由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(440202x x k x y y x ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4)4(4200k x y k x x ， 所以点P 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +-+-， 以k -替换k ，得点Q 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +--． ………8分所以直线PQ 的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020x k kx k x k x k x k x k PQ -=-=+----+--+=为定值．…10分（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，)4,(200x x A ．又点P 、Q 在曲线C ：y x 42=上，所以可设)4,(211x x P ，)4,(222x x Q ， …6分而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即02222012214444x x x x x x x x ---=--，整理得0212x x x -=+．…8分 所以直线PQ 的斜率2424440021122122x x x x x x x x k PQ -=-=+=--=为定值．……10分 26-图M∙'∙F xyOF∙PQA②（法1）由①可知，P )4)4(,4(200k x k x +-+-，Q )4)4(,4(200k x k x +--，20x k PQ -=，所以直线PQ 的方程为)4(24)4(0020k x x x k x y -+-=+--，整理得016422200=-++k x y x x ． ……11分设点)4,(2xx B 在曲线段L 上，因为P 、Q 两点的横坐标分别为k x 40+-和k x 40--，所以B 点的横坐标x 在k x 40+-和k x 40--之间，即||4||400k x x k x +-≤≤--， 所以||4||40k x x k ≤+≤-，从而22016)(k x x ≤+．点B 到直线PQ 的距离42|162|164|16442|2022002222020+-++=+-+⨯+=x k x x x x x k x xx x d4216)(42142|16)(|202202020220++++-=+-+=x kx x x x k x x ．…12分当0x x -=时，4216202max +=x kd ．注意到||4||4000k x x k x +-≤-≤--，所以点)4,(200x x -在曲线段L 上．所以，点B 的坐标是)4,(20x x -． …………………14分（法2）由①可知，2x k PQ -=，结合图6－3可知，若点B 在曲线段L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大， 则曲线C 在点B 处的切线PQ l //． ………………11分设l ：b x x y +-=20，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=yx b x x y 4220， 消去y ，得04202=-+b x x x ．令△0)4(14)2(20=-⨯⨯-=b x ，整理，得420x b -=．……12分代入方程组，解得0x x -=，420x y =．所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ………………………………14分（法3）因为抛物线C ：y x 42=关于y 轴对称，由图6－4可知，当直线AP 的倾斜角大于︒0且趋近于︒0时，直线AQ 的倾斜角小于36-图M∙'∙F xyOF∙PQABl︒180且趋近于︒180，即当直线AP 的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ 的斜率小于0且趋近于0．从而P 、Q 两点趋近于点)4,(200x x A 关于y 轴的对称点)4,('200x x A -． ……11分由抛物线C 的方程y x 42=和①的结论， 得42xy =，PQ x x x x k x x y =-=='-=-=22|00．所以抛物线C 以点)4,('200xx A -为切点的切线PQ l //．…12分所以曲线段L 上到直线PQ 的距离最大的点就是点'A ，即点B 、点'A 重合． 所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． …14分21．解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=， xa a x a f x f x g lnln ln )()()(=+-='-'='． ……2分所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增； ),(∞+∈a x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． ………4分 （2）（法1）对任意的正实数21,x x ，且21x x <， 取1x a =，则),(12∞+∈x x ，由（1）得)()(21x g x g >， 即)()()()()()(21221111x g x f x x f x f x x f x g ='->'-=，所以，)()()()(11212x f x x x f x f '-<-……①； ………6分取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(21x g x g <， 即)()()()()()(22222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=， 所以，)()()()(21212x f x x x f x f '->-……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（法2）因为x x f ln )('-=，所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减． 所以，对任意的正实数21,x x ，且21x x <，有)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛．……6分 A46-图M∙'∙F xyOF∙1P 1Q B 2P 3P 2Q 3Q l由)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，得1ln 121212<-x xx x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ， 所以0)ln (ln )()()()(1221211212<---='---x x x x x x f x x x f x f ． 故)()()()(11212x f x x x f x f '-<-．……①；由)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………8分 （3）对2,,2,1-=n k ，令xk x x k ln )ln()(+=ϕ（1>x ），则22))(ln ()ln()(ln )(ln )ln(ln )('x k x x k x k x x x x xk x kx xx k +++-=+-+=ϕ，显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<， 所以0)('<x k ϕ，)(x k ϕ在),1(∞+上单调递减．由2≥-k n ，得)2()(k k k n ϕϕ≤-，即2ln )2ln()ln(ln k k n n +≤-．所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． …………10分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2ln 1ln 1)1ln(13ln 1ln 12ln 1ln 13ln 12ln 12n n n n 2ln ln ln 2ln )1ln(3ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln n n n n nn +++-+-++=nn nn nn ln 2ln ln 2ln ln 2ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln ++++-++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n ln 2ln ln 3ln 2ln 2 ． ……………12分又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-<n f n f n ． )1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ．所以，nn f nnnln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13ln 12ln 1+-<+++≤+++．………14分。
【首发】河北省石家庄2012届高三教学质检(二)数学理word版
2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)高三数学(理科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡或答题纸上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡或答题纸一并交回．第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =N ，集合P ={1，2，3，4，5}，Q ={1，2，3，6，8}，则U (C Q)P =A ．{1，2，3}B ．{4，5}C ．{6，8}D ．{1，2，3，4，5} 2．复数111iz i i=+-+，则z = A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i3．已知中心在原点，焦点在yA ．2y x =± B．y x = C ．12y x =± D．y = 4．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧5．已知点Q (5，4)，动点P (x ，y )满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-0102022y y x y x ，则|PQ |的最小值为A ．5B ．34C ．2D ．7 6．若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为A ．33 B ．332 C ．321 D ．7 7．图示是计算1+31+51+…+291值的程序框图，则图中(1)、(2)处应填写的语句分别是 A ．15,1=+=i n n ? B ．15,1〉+=i n n ? C ．15,2=+=i n n ? D ．15,2〉+=i n n ?8．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3+=，下面结论错误．．的是 A ．函数()x f 的最小正常周期为π B ．函数()x f 可由()x x g 2sin 2=向左平移6π个单位得到 C ．函数()x f 的图象关于直线6π=x 对称D ．函数()x f 在区间[0，6π]上是增函数 9．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．364 B ．32 C ．380 D ．38+28 11．已知定义域为R 的函数()x f 是奇函数，当0≥x 时，()=x f |2a x -|-2a ，且对∈x R ，恒有()()x f x f ≥+1，则实数a 的取值范围为A ．[0，2]B ．[-21，21] C ．[-1，1] D ．[-2，0] 12．在A B C ∆中，O A BC AC ,51cos ,7,6===是ABC ∆的内心，若−→−OP=−→−+−→−OB OA y x ，其中10≤≤x ，10≤≤y ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为 A ．6310 B ．635 C ．310 D ．320第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()22log x x y -=的定义域为 ．14．学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动，每天至少1人，则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为 (用数学作答)．15．已知i 、j 、k 为两两垂直的单位向量，非零向量)R ,,(321321∈++=a a a k a j a i a a ，若向量a 与向量i 、j 、k 的夹角分别为α、β、γ，则=++γβα222cos cos cos ． 16．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{n a }为公差不为零的等差数列，1a =1，各项均为正数的等比数列{n b }的第1 项、第3项、第5项分别是1a 、3a 、21a ． (I)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)求数列{n a n b }的前n 项和． 18．(本小题满分l2分)如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，∠ABC=60 ，EC ⊥面ABCD ，FA ⊥面ABCD ，G 为BF 的中点，若EG//面ABCD ．(I)求证：EG ⊥面ABF ；(Ⅱ)若AF=AB ，求二面角B —EF —D 的余弦值． 19．(本小题满分12分)某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩(单位：秒)如下：(I)请画出适当的统计图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．(Ⅱ)从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个低于 12．8秒的概率．(III)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11．5，14．5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0．8秒的概率． 20．(本小题满分12分)点P 为圆O ：222a y x =+ (a >0)上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨迹为曲线C ． (I)求曲线C 的方程；(II)若动直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，当△OAB(O 是坐标原点)面积取得最大值，且最大值为1时，求a 的值． 21．(本小题满分l2分)已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R． (I)讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤1ln +x x恒成立，求a 的取值范围． 请者生在第22～24三题中任选一题做答。
2012高考理科数学与答案(全国卷二)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）理科数学(全国二卷）一、选择题1 3i1、复数=1 iA 2+iB 2-iC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. m } ，B＝{1 ，m} ,A B＝A, 则m=A 0 或 3B 0 或3C 1 或 3D 1 或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为y 2x 2 2 2y x+ =1 B +A =116 12 12 8x 2 2 2y 2y x+ =1 D +C =18 4 12 44 已知正四棱柱ABCD- A 1B1C1D1 中，AB=2，CC1= 2 2 E 为CC1 的中点，则直线AC1与平面BED 的距离为11（5）已知等差数列{a n} 的前n 项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100 项和为a an n 1(A)100101 (B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD，若 aCB , bCA,a·b=0，|a|=1，|b|=2，则AD1 1(A) a - b3 32 2（B） a - b3 33 3(C) a - b5 54 4(D) a - b5 53（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ= ，则cos2α =3(A) -53（B）-59(C)59(D)532 2（8）已知F1、F2 为双曲线C：x - y 2 的左、右焦点，点P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=1 3 3 4(A) （B）(C) (D)4 5 4 51（9）已知x=lnπ，y=log 52， 2z= e ，则(A)x ＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y ＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c＝（A）-2 或2 （B）-9 或3 （C）-1 或1 （D）-3 或 1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12 种（B）18 种（C）24 种（D）36 种7 （12）正方形ABCD 的边长为1，点 E 在边AB 上，点 F 在边BC 上，AE＝BF＝。
2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)答案部分
2 , 1) ， C (0 , 0 , 3) ，
D B
C'
2 , 1) ， BC (0 , 2 , 2) ，
而 m AB ， m BC ， 所以 m AB 0 且 m BC 0 ， 即
B'
y
3x 2 y z 0 2 y 2z 0
AB 2 AB '2 ( 6 )2 ( 5 )2 1 ，
AD 2 AD '2 ( 6 )2 ( 2 )2 2 ，
所以 CC ' BB ' DD ' AA ' 1 2 0 3 ． （注：或 CC ' CE EC ' DD ' BB ' 2 1 3 ） ………………………………………8 分
6
)， xR．
6
) ，求角 C 的
6
) sin x
3 1 cos x sin x 2 2
……………………2 分
3 1 3 sin( x ) ． （注：也可以化为 3 cos( x ) ） …4 分 3 sin x cos x 2 6 3 2
2 2 2 2
所以 cos cos CGC '
C 'G 6 ， CG 6
6 ．……………………14 分 6
z
C
即平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 的余弦值为
（法 2）以 C ' 为原点， C ' A 为 x 轴， C 'B ' 为 y 轴， C 'C 为 z 轴， 建立空间直角坐标系（如图 5－3） ， 则平面 AB 'C ' D ' 的一个法向量 n (0 , 0 , 1) ． 设平面 ABCD 的一个法向量为 m ( x , y , z ) ， 因为 A( 3 , 0 , 0) ， B(0 , 所以 AB ( 3 ,
2012届高三理科数学测试试题及答案
2012届高三理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1、已知集合(){}|lg 1M x y x ==-，{}|21x N x =>，则M N = （ ） A.∅ B.{}|01x x << C.{}|0x x > D.{}|1x x <2、设数列{}n a 是等差数列，1780,0a a a <⋅<，若数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．153、已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A 、0.16B 、0.32C 、0.68D 、0.844、在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x ), (x y ≠ 0 )，则a ⊥b B ．满足0))((=-+AD AB AD AB 的平行四边形ABCD 是菱形；C ．满足O A xO B yO C =+的三点A 、B 、C 共线（其中,x y R ∈）；D ．△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A 。
5、关于函数()sin 2+y x ϕ=的表述正确的是（ ）A. 周期是2π；B. 最小值为2-；C. 当2πϕ=时为偶函数； D. 当3πϕ=时,可以由sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到该函数图像。
6、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，则“103a <<” 是“()f x 在(,)-∞+∞上单调递减”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数， 则可以输出的函数是（ ） A ．2()f x x = B ．()cos f x x π=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =8、点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线于点A 、B （A 在y 轴左侧）。
2012年高三年级第二次质量调研试卷(理科)及答案
2012年高三年级第二次质量调研数学试卷（理科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题．．．．．．纸的相．．．应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 函数22()sin cos 22x xf x =-的最小正周期是 . 2. 二项式6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答） 3. 函数1log 121-=x y 的定义域是 .4. 设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =-，则当A B D 、、三点共线时，k = .5. 已知各项均为正数的无穷等比数列{}n a中，11a =，31a =，则此数列的各项和S = .6. 已知直线l 的方程为230x y --=，点(1,4)A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 .7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果S 的值为 .8. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为 .9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm 2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm 2.10. 给出问题：已知ABC △满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定ABC △的形状.某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，⇔()()()2222222a b c a b a b -=-+，第7题图第9题图⇔222c a b =+,故ABC △是直角三角形.（ii ）设ABC △外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B =sin 2sin 2A B ⇔=A B ⇔=， 故ABC △是等腰三角形.综上可知，ABC △是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. . 11. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S.若1020S =，2060S =，则3010S S = . 12.若一个底面边长为2为 .13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,,9 的9个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .14. 设*N n ∈，n a 表示关于x 的不等式144log log (54)21n x x n -+⨯-≥-的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 （ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.16. 设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为 （ ）A. arccos a π-；B. arccos a ；C. arccos a -；D. arccos a π+.17. 设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭， 则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 （ ）第13题图A. M N ；B. M N ；C. R C M N ⋂；D. R M C N ⋂18. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（ ）A ．若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥； B. 若//,,a b b α≠⊂则//a α； C. 若,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，则//a β； D. 若//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）已知函数()2f x kx =+，0k ≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+ ，函数6)(2--=x x x g . 当x 满足不等式()()f x g x >时，求函数()1()g x y f x +=的最小值.20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图,已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥体的体积； （2）异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．21. （本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC △中，1AC =，23ABC π∠=.设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅ .（1） 求()f x 的解析式及定义域；（2）设()6()1g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤⎥⎝⎦？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足nn n pa a 21+=+*(N )n ∈.AB第20题图（1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 若抽去数列{}n a 中的第一项、第四项、第七项、……、第23-n 项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T .是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）设点F 是抛物线L ：22y px =(0)p >的焦点，123n P P P P 、、、、是抛物线L 上的n 个不同的点（3,n ≥*N n ∈）.（1） 当2p =时，试写出抛物线L 上的三个定点1P 、2P 、3P 的坐标，从而使得123||||||6FP FP FP ++=；（2）当3n >时，若1230n FP FP FP FP ++++= ， 求证：123||||||||n FP FP FP FP np ++++= ；（3） 当3n >时，某同学对（2）的逆命题，即：“若123||||||||n FP FP FP FP np ++++= ，则1230n FP FP FP FP ++++= .”开展了研究并发现其为假命题.请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；② 对任意给定的大于3的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. π2；2. 20-；3. （文） )1(∞+，； （理）(0,1)(12) ，；4. 8-；5. 2232+；6. )2,5(；7. 3；8. 1922=-y x ； 9. 196； 10. 等腰或直角三角形； 11. （文）6；（理）7； 12. （文）π34；（理） 29π； 13. （文）108；（理）181； 14. 1*341,N n n -⋅+∈. 二、选择题（每题5分，满分20分）：三、解答题（满分74分）： 19.（本题满分12分） 解：由题意知：)0,2(k A -、)2,0(B ，则)2,2()2,2(==kAB 可解得：1=k ，即2)(+=x x f因为)()(x g x f >，即622-->+x x x ，解不等式得到()4,2-∈x2()15()2g x x x y f x x +--==+ 2(2)5(2)112522x x x x x +-++==++-++ 因为()4,2-∈x ，则()6,0)2(∈+x 所以35212)(1)(-≥-+++=+x x x f x g ，当且仅当212+=+x x ，即12=+x ，1-=x 时，等号成立. 所以，当1-=x 时，)(1)(x f x g +的最小值为3-.20.（本题满分12分）解：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =，故4SO ==xCBA从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. （2）如图2，取OB 中点H ，联结PH AH 、.由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠(或其补角)就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得AH ==； 在Rt APH ∆中，90AHP O∠=，122PH SB ==，AH =，则tan AH APH PH ∠==，所以异面直线SO 与PA所成角的大小.21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分） 解：（1）如图，在ABC ∆中，由23ABC π∠=，x BAC =∠， 可得x ACB -=∠3π，又 1AC =，故由正弦定理得2sin sin()sin 33ABBC AC x x ππ===-⇒sin()3AB x π=-、BC x =.则函数()f x AB BC =⋅ 2||||cos sin sin()333AB BC x x ==- ππ21sin sin )32x x x =-212sin 3x x =-112cos 2)66x x =+-11sin(2)366x π=+-， 其中定义域为0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π. 说明：亦可用积化和差方法化简：2111()sin sin()[cos cos(2)]cos(2)33333336f x x x x x ==-=---=-- ππππ.（2）()6()12sin(2)16g x mf x m x m =+=+-+π由0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π可得52(,)666x πππ+∈⇒)62sin(π+x ]1,21(∈.显然，0m ≠，则。
2012年云南省昆明市高三复习教学质量检测数学试卷(理科)(附答案解析)
2012年云南省昆明市高三复习教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={y|y−2>0}，集合B={x|x2−2x≤0}，则A∪B等于()A.[0, +∞)B.(−∞, 2]C.[0, 2)∪(2, +∞)D.R2. 若复数a+i1−2i是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为（）A.2B.15C.−12D.−253. 若tanα=2，则1sin2α的值等于（）A.−54B.54C.−45D.454. 由直线x=π3，x=2π3，y=0与y=sin x所围成的封闭图形的面积为（）A.1 2B.1C.√32D.√35. 下列命题中，真命题的个数有（）①∀x∈R,x2−x+14≥0；②∃x>0,ln x+1ln x≤2；③”a>b”是“ac2>bc2”的充要条件；④y=2x−2−x是奇函数．A.1个B.2个C.3个D.4个6. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A.4+2√6 B.4+√6 C.4+2√2 D.4+√27. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为13|OF1|，则渐近线的斜率为（）A.√5或−√5B.√2或−√2C.1或−1D.√22或−√228. 如图是“二分法”解方程x2−2=0的程序框图（在区间[a, b]上满足f(a)f(b)<0），那么在①、②处应填写的内容分别是（）A.f(b)f(m)<0；a=mB.f(a)f(m)<0；m=aC.f(a)f(m)<0；a=mD.f(b)f(m)<0；b=m9. 已知函数f(x)={√x−1，x>02−|x|+1，x≤0.若关于x的方程f(x)+2x−k=0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（）A.(−1, 2]B.(−∞, 1]∪(2, +∞)C.(0, 1]D.[1, +∞)10. 若函数f(t)=500+100sin(t2+2φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴为t=3π，则函数y=f(t)在下列区间上递减的是（）A.[15, 20]B.[10, 15]C.[5, 10]D.[0, 5]11. 已知函数f(x)是(−∞, +∞)上的偶函数，且f(5+x)=f(5−x)，在[0, 5]上只有f(1)=0，则f(x)在[−2012, 2012]上的零点个数为（）A.804B.805C.806D.80812. 已知球O 的表面积为20π，SC 是球O 的直径，A 、B 两点在球面上，且AB =BC =2，AC =2√3，则三棱锥S −AOB 的高为（ ） A.12B.√22C.√32D.1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是________．在△ABC 中，已知AC 2+AB 2=3，BC =1，则△ABC 面积的最大值为________．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF|=λ|MN|，则λ的取值范围是________．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB // DC ，AB =3，DC =1，tan B =2，点M 是梯形ABCD 内（含边界）的一个动点，则AD →⋅AM →的最大值是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=3，S 10=100． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =(13)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．如图所示，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是线段AC 上任意一点．（1）判断直线B 1P 与平面A 1C 1D 的位置关系并证明；（2）若AB =BC ，E 是AB 中点，二面角A 1−DC 1−D 1的余弦值是√105，求直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值．某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员，三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（1）已知该小区共有居民10000户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是8.96×104吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；（2）为了解动员前后市民的节水情况．媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在[12, 16)范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[14, 16)内的抽到X 户，求X 的分布列和期望．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(−1,−√22)，两焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为D ，且DF 1→⋅DF 2→=0．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（A 、B 不是上下顶点），当以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1)时，试问：直线l 是否过定点，若过定点．求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．已知函数f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)． （1）讨论f(x)的单调性；（2）当x >−1时，f(x)≥x x+1恒成立，求出λ的值．四、选考题（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡第I 卷选择题区域内把所选的题号涂黑．注意：所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4−1：几何证明选讲：如图，已知⊙为△ABC的外接圆，AF切⊙O于点A，交△ABC的高CE的延长线于点F，BD⊥AC．证明：（1）∠F=∠DBC；（2）ADDC =FEEC．已知直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2,π3)，直线l经过点P，倾斜角为α．(1)写出点P的直角坐标及直线l的参数方程；(2)设l与圆ρ=3相交于A，B两点，求弦AB长度的最小值．选修4−5：不等式选讲：设函数f(x)=√|ax−2|+|ax−a|−2(a∈R)．（1）当a=1时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．参考答案与试题解析2012年云南省昆明市高三复习教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】首先整理两个集合，这是两个数集，要求两个集合的并集，只要在数轴上表示出两个集合包含的所有的数集．【解答】解：∵集合A={y|y−2>0}={y|y>2}，集合B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∪B=[0，+∞).故选A．2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数的长数形式的乘除运算，得到a+i1−2i =a−25+1+2a5i，再由纯虚数的定义，能够求出实数a的值．【解答】解：∵a+i1−2i =(a+i)(1+2i) (1−2i)(1+2i)=a+i+2ai+2i25=a−25+1+2a5i是纯虚数，∴{a−25=01+2a 5≠0，∴a=2．故选A．3.【答案】B【考点】同角三角函数间的基本关系求二倍角的正弦【解析】将所求式子的分子“1”利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分母利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵tanα=2，∴1sin2α=sin2α+cos2α2sinαcosα=tan2α+12tanα=22+12×2=54．故选B4.【答案】B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出直线x=π3，x=2π3，y=0与y=sin x所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．【解答】解：先画出直线x=π3，x=2π3，y=0与y=sin x所围成的封闭图形，图形的面积为S=∫ 2ππ3 sin xdx=−cos x| 2π3π3=−cos2π3+cosπ3=1故选B．5.【答案】C【考点】全称命题与特称命题必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】①由配方可判断出其真假；②取x∈(0, 1)，即可知命题的真假；③取c=0即可否定③；④利用奇函数的定义可判断出是否是奇函数．【解答】解：①∵∀x∈R，x2−x+14=(x−12)2≥0，∴ ①是真命题．②当0<x<1时，ln x<0，∴∃x>0，ln x+1ln x<0≤2，∴ ②是真命题．③当c=0时，由a>b⇒ac2=bc2=0；而由ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要而不充分条件，因此③是假命题．④∵∀x∈R，f(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x−2−x是奇函数，故④是真命题．综上可知①②④是真命题．故选C．6.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为12×2×2=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为√5，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2√65，同理可求出侧面底边长为√5，可求得此两侧面的面积皆为12×2√65×√5=√6，故此三棱锥的全面积为2+2+√6+√6=4+2√6，故选A．7.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】设出点A的坐标，确定直线AF1的方程，利用点到直线的距离公式，及原点O到直线AF1的距离为13|OF1|，建立方程，即可求得渐近线的斜率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±bax不妨设A在第一象限，则A(c, bca)，∴直线AF1的方程为y−bca=bca2c(x−c)即b2ax−y+bc2a=0∴原点O到直线AF1的距离为bc2a√b24a2+1∵原点O到直线AF1的距离为13|OF1|，∴bc2a√b24a2+1=13c∴a=√2b∴ba=√22故选D．8.【答案】C【考点】程序框图【解析】用二分法求方程x2−2=0的近似解，首先给出精确度d和两个区间端点初始值a、b，然后求区间端点的中点值m，再判断f(a)f(m)<0（或f(b)f(m)<0 ），从而确定下一区间的范围，该框图中的条件结构是在满足判断框中的条件下执行的“b=m”，所以断定判断框中的条件应为f(a)f(m)<0，那么不满足条件时应执行的是“a=m”．【解答】解：算法步骤中的前三步是用顺序结构来表示的，第四步用的是条件结构，在这个条件结构中，“是”分支用的是“b=m”，说明第二个区间取的是[a, m]，也就是说判断框中的条件是“f(a)f(m)<0”，则：“否”分支执行的应该是“a=m”，所以该程序框图在①、②处应填写的内容分别是f(a)f(m)<0；a=m．故选C．9.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】作出函数f(x)的图象，根据方程构造函数，将关于x的方程f(x)+2x−k=0有且只有两个不同的实根，转化为图象的交点个数问题，即可求得结论．【解答】解：作出函数f(x)的图象如图，与y轴的交点分别为(0．−1)，(0, 2)由f(x)+2x−k=0可得f(x)=−2x+k构造函数g(x)=−2x+k由图象可知，关于x的方程f(x)+2x−k=0有且只有两个不同的实根时，实数k的取值范围为(−1, 2]故选A．10.【答案】B【考点】正弦函数的单调性正弦函数的对称性【解析】根据函数f(t)=500+100sin(t2+2φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴为t=3π，求得2φ=π，再求出函数的单调区间，即可得到结论．【解答】解：∵函数f(t)=500+100sin(t2+2φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴为t=3π，∴sin(3π2+2φ)=±1∴cos2φ=±1∴2φ=kπ(k∈Z)∵0<φ<π∴2φ=π∴f(t)=500+100sin(t2+π)=500−100sin t2令−π2+2kπ≤t2≤π2+2kπ(k∈Z)，则−π+4kπ≤t≤π+4kπ(k∈Z)，此时函数递减当k=1时，3kπ≤t≤5kπ，故B符合题意故选B．11.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的性质【解析】确定函数关于直线x=5对称且以10为周期，利用函数在[0, 5]上只有f(1)=0，可得在[0, 10]上有两个零点，由此可得结论．【解答】解：∵f(5+x)=f(5−x)，∴函数关于直线x=5对称，f(10+x)=f(−x)，∵函数f(x)是(−∞, +∞)上的偶函数，∴f(10+x)=f(x)，即函数以10为周期∵在[0, 5]上只有f(1)=0，∴在[0, 10]上有两个零点∵2012=201×10+2∴f(x)在[0, 2012]上的零点的个数为403∵函数f(x)是(−∞, +∞)上的偶函数，∴f(x)在[−2012, 2012]上的零点的个数为806故选C．12.【答案】C【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】将三棱锥S−AOB的高，转化为C到平面AOB的距离，利用等体积法，即可求得结论．【解答】解：∵球O的表面积为20π，∴球O的半径为√5，∵SC是球O的直径，∴三棱锥S−AOB的高等于C到平面AOB的距离，设为ℎ∵AB=BC=2，AC=2√3，∴cos A=2×2×2√3=√32∴sin A=12∴△ABC外接圆半径为BC2sin A=2∴O到平面ABC的距离为1∵S△OAB=12×2×√5−1=2，S△ABC=12×2×2√3×sin A=√3∴13×2×ℎ=13×√3×1∴ℎ=√32故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．【答案】115【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】求出所有的选法共有C103=120种，其中甲、乙两人都被选中的选法有C81=8种，由此求得甲、乙两人都被选中的概率．【解答】解：所有的选法共有C103=120种，其中甲、乙两人都被选中的选法有C81=8种，故甲、乙两人都被选中的概率是8120=115，故答案为115．【答案】√54【考点】余弦定理的应用【解析】先利用余弦定理，计算cos A，再用三角形的面积公式，结合基本不等式，即可求△ABC面积的最大值．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，则b2+c2=3，a=1∴cos A=b2+c2−a22bc =1bc∴S2=14b2c2(1−cos2A)=14b2c2−14∵b2+c2=3≥2bc∴bc≤32∴S2≤516∴S≤√54即△ABC面积的最大值为√54故答案为：√54【答案】[√22, 1]【考点】抛物线的求解【解析】由题意可得F(0, 1)，M(0, −1)，过点N作NH垂直于准线y=−1，垂足为H，由条件可得λ=|NF||MN|=|NH||MN|，当点N与原点O重合时，|NH|=|MN|，λ有最大值为1；当直线MN和抛物线相切时，λ=|NH||MN|=sinθ有最小值．求出切线的斜率，可得sinθ的值，即为λ的最小值．【解答】解：由题意可得F(0, 1)，M(0, −1)，过点N作NH垂直于准线y=−1，垂足为H，由抛物线的定义可得|NF|=|NH|．由条件可得λ=|NF||MN|=|NH||MN|，如图所示：故当点N与原点O重合时，|NH|=|MN|，λ有最大值为1．当直线MN和抛物线相切时，λ=|NH||MN|=sinθ有最小值，这里θ=∠NMF．设当直线MN和抛物线相切时，MN的方程为y+1=kx，代入抛物线方程化简可得x2−4kx+4=0．由题意可得，此方程的判别式△=0，即16k2−16=0，∴k=±1，即tanθ=1，故sinθ=√22，故λ的最小值为√22．综上可得λ∈[√22, 1]，故答案为[√22, 1]．【答案】6【考点】平面向量数量积【解析】以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，然后表示出AD→⋅AM→，求出最值即可．【解答】解：以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图坐标系，可得 A(0, 0)，B(3, 0)，C(2, 2)，D(1, 2)， 则直线BC 方程为y =−2x +6 设M(λ, −2λ+6)，(2≤λ≤3)可得则AM →=(λ, −2λ+6)，AD →=(1, 2)， ∴ AD →⋅AM →=λ+2(−2λ+6)=12−3λ ∵ 2≤λ≤3，∴ 当λ=2时，AD →⋅AM →=6取得最大值．故答案为：6三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)设数列的公差为d ， 则{a 1+d =3，10a 1+10×9d2=100， ∴ a 1=1，d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1. (2)∵ b n =(13)n a n =(2n −1)⋅(13)n ，∴ T n =13+3×(13)2+⋯+(2n −3)×(13)n−1+(2n −1)×(13)n ①，13T n =(13)2+3×(13)3+⋯+(2n −3)×(13)n +(2n −1)×(13)n+1②，令①−②得，23T n =13+2[(13)2+(13)3+⋯+(13)n ]−(2n −1)×(13)n+1 =2−(2n+2)×(13)n3. ∴ T n =1−n+13n.【考点】 数列的求和等差数列的通项公式【解析】设数列的公差为d ，则根据等差数列的通项公式及求和公式可建立公差d 与首 项a 1的方程，解方程可求d ，a 1，根据等差数列的通项公式即可求解（2）由（1）可求b n =(13)n a n ，结合数列的特点，考虑利用错位相减求解数列的和 【解答】解：(1)设数列的公差为d ， 则{a 1+d =3，10a 1+10×9d2=100， ∴ a 1=1，d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1. (2)∵ b n =(13)n a n =(2n −1)⋅(13)n ，∴ T n =13+3×(13)2+⋯+(2n −3)×(13)n−1+(2n −1)×(13)n ①，13T n =(13)2+3×(13)3+⋯+(2n −3)×(13)n +(2n −1)×(13)n+1②，令①−②得，23T n =13+2[(13)2+(13)3+⋯+(13)n ]−(2n −1)×(13)n+1 =2−(2n+2)×(13)n3. ∴ T n =1−n+13n.【答案】 解：（1）直线B 1P // 平面A 1C 1D ，证明如下：连接AB 1与B 1C ，则A 1C 1 // AC ，A 1D // B 1C ∵ AC ∩B 1C =C∴ 平面AB 1C // 平面A 1C 1D ∵ B 1P ⊂平面AB 1C ∴ B 1P // 平面A 1C 1D ；（2）建立如图所示的直角坐标系，设A(1, 0, 0)，D 1(0, 0, a)，则C 1(0, 1, a)，C(0, 1, 0)，A(1, 0, a)，B(1, 12, 0)，B 1(1, 1, a) ∴DA 1→=(1,0,a)，DC 1→=(0,1,a)设平面A 1C 1D 的法向量为n →=(x, y, z)，则{x +az =0y +az =0，∴ 可取n →=(a,a,−1)∵ 平面D 1C 1D 的法向量为DA →=(1,0,0) ∴ cos <n →，DA →>=a √2a 2+1=√105∴ a =√2 ∴ EB 1→=(0,12,√2) ∴ cos <n →，EB 1→>=√22−√2√5×32=−√1015∴直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值√1015．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面所成的角【解析】（1）直线B 1P // 平面A 1C 1D ，证明平面AB 1C // 平面A 1C 1D ，利用面面平行的性质，即可求得B 1P // 平面A 1C 1D ；（2）建立直角坐标系，求出平面A 1C 1D 、平面D 1C 1D 的法向量，利用二面角A 1−DC 1−D 1的余弦值是√105，确定EB 1→=(0,12,√2)，再利用向量的夹角公式，可求直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值． 【解答】 解：（1）直线B 1P // 平面A 1C 1D ，证明如下：连接AB 1与B 1C ，则A 1C 1 // AC ，A 1D // B 1C ∵ AC ∩B 1C =C∴ 平面AB 1C // 平面A 1C 1D ∵ B 1P ⊂平面AB 1C ∴ B 1P // 平面A 1C 1D ；（2）建立如图所示的直角坐标系，设A(1, 0, 0)，D 1(0, 0, a)，则C 1(0, 1, a)，C(0, 1, 0)，A(1, 0, a)，B(1, 12, 0)，B 1(1, 1, a)∴ DA 1→=(1,0,a)，DC 1→=(0,1,a)设平面A 1C 1D 的法向量为n →=(x, y, z)，则{x +az =0y +az =0，∴ 可取n →=(a,a,−1)∵ 平面D 1C 1D 的法向量为DA →=(1,0,0) ∴ cos <n →，DA →>=√2a 2+1=√105∴ a =√2 ∴ EB 1→=(0,12,√2)∴ cos <n →，EB 1→>=√22−√2√5×32=−√1015∴ 直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值√1015．【答案】解：（1）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03)×2=6.88（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水8.98×104−6.88×104=2.08×104（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12, 14)范围内的家庭有6户，在[14, 16)内的有3户，因此X 可能取值有0，1，2，3，P(X=0)=C65C95=6126=121；P(X=1)=C31C64C95=45126=514；P(X=2)=C32C63C95=60126=1021；P(X=3)=C33C62C95=15126=542∴X的分布列为∴EX=1×514+2×1021+3×542=53【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）将直方图中的每个组中值乘以每个矩形的面积相加即可求出所求；（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12, 14)范围内的家庭有6户，在[14, 16)内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，最后根据数学期望的公式解之即可．【解答】解：（1）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03)×2=6.88（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水8.98×104−6.88×104=2.08×104（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12, 14)范围内的家庭有6户，在[14, 16)内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，P(X=0)=C65C95=6126=121；P(X=1)=C31C64C95=45126=514；P(X=2)=C32C63C95=60126=1021；P(X=3)=C33C62C95=15126=542∴X的分布列为∴EX=1×514+2×1021+3×542=53【答案】解：（1）∵焦点为F1、F2，短轴的一个端点为D，且DF1→⋅DF2→=0∴△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c∴a=√2b∴x22b2+y2b2=1∵椭圆C：x2a+y2b=1(a>b>0)经过点(−1,−√22)，∴12b2+12b2=1∴b=1∴a=√2∴椭圆的方程为x22+y2=1；（2）①当直线l的斜率不存在时，设l:x=m，代入椭圆方程，可得y=±√1−m22∴A(m, √1−m22)，B(m, −√1−m22)，∵以AB为直径的圆恒过定点P(0, 1)∴PA→⋅PB→=0∴(m, √1−m22−1)•(m, −√1−m22−1)=0，∴m=0∴l:x=0；②当直线l的斜率存在时，设l:y=kx+b，代入椭圆方程，消去y可得(1+2k2)x2+4kbx+2b2−2=0△=16k2−8b2+8>0，∴2k2>b2−1设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−4kb1+2k2，x1x2=2b2−21+2k2∵以AB为直径的圆恒过定点P(0, 1)∴PA→⋅PB→=0∴PA→⋅PB→=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=0∴3b2−2b−1=0∴b=−13或b=1当b=1时，不符合题意；当b=−13时，直线l恒过定点(0, −13)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）根据焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为D ，且DF 1→⋅DF 2→=0，可得△DF 1F 2为等腰直角三角形，且b =c ，再利用椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过点(−1,−√22)，即可求得椭圆的方程；（2）①当直线l 的斜率不存在时，设l:x =m ，代入椭圆方程，求得A ，B 的坐标，利用以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1)，可求l 的方程；②当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +b ，代入椭圆方程，利用以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1)，结合韦达定理，可得结论． 【解答】解：（1）∵ 焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为D ，且DF 1→⋅DF 2→=0 ∴ △DF 1F 2为等腰直角三角形，且b =c ∴ a =√2b ∴x 22b2+y 2b 2=1∵ 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(−1,−√22)， ∴ 12b 2+12b 2=1∴ b =1 ∴ a =√2∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1；（2）①当直线l 的斜率不存在时，设l:x =m ，代入椭圆方程，可得y =±√1−m 22∴ A(m, √1−m 22)，B(m, −√1−m 22)，∵ 以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1) ∴ PA →⋅PB →=0 ∴ (m, √1−m 22−1)•(m, −√1−m 22−1)=0，∴ m =0∴ l:x =0；②当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +b ，代入椭圆方程，消去y 可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−2=0 △=16k 2−8b 2+8>0，∴ 2k 2>b 2−1设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4kb1+2k 2，x 1x 2=2b 2−21+2k 2 ∵ 以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1) ∴ PA →⋅PB →=0∴ PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=0 ∴ 3b 2−2b −1=0 ∴ b =−13或b =1当b =1时，不符合题意；当b =−13时，直线l 恒过定点(0, −13)．【答案】解：（1）∵ f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)， ∴ f′(x)=−λe λx ，当λ<0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递增； 当λ>0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递减．（2）当x >−1时，f(x)≥xx+1恒成立等价于(x +1)e λx −1≤0， 设g(x)=(x +1)e λx −1(x >−1)， 则g(x)≤0恒成立，g(0)=0， g′(x)=(λx +λ+1)e λx ，若λ>0，当x >0时，有g(x)>1×1−1=0， 故g(x)≤0不恒成立，所以λ<0，由g′(x)=0，得x 0=−1−1λ，当λ=−1时，x 0 有g(x)≤g(0)=0，故g(x)≤0恒成立；当−1<λ<0时，x 0>0，g(x)在[0, x 0]单调增． 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立；当λ<−1时，−1<x 0<0，g(x)在[x 0, 0]单调减， 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立． 所以当f(x)≥x x+1在(−1, +∞)上恒成立时，λ=−1．【考点】利用导数研究函数的单调性导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】（1）由f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)，得f′(x)=−λe λx ，由此能讨论f(x)的单调性．（2）当x >−1时，f(x)≥xx+1恒成立等价于(x +1)e λx −1≤0，设g(x)=(x +1)e λx −1(x >−1)，则g(x)≤0恒成立，g(0)=0，g′(x)=(λx +λ+1)e λx ，若λ>0，当x >0时，有g(x)>1×1−1=0，故g(x)≤0不恒成立，所以λ<0，由g′(x)=0，得x 0=−1−1λ，由此列表讨论得到当f(x)≥xx+1在(−1, +∞)上恒成立时，λ=−1．【解答】 解：（1）∵ f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)， ∴ f′(x)=−λe λx ，当λ<0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递增； 当λ>0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递减．（2）当x >−1时，f(x)≥xx+1恒成立等价于(x +1)e λx −1≤0， 设g(x)=(x +1)e λx −1(x >−1)， 则g(x)≤0恒成立，g(0)=0， g′(x)=(λx +λ+1)e λx ，若λ>0，当x >0时，有g(x)>1×1−1=0， 故g(x)≤0不恒成立，所以λ<0，由g′(x)=0，得x 0=−1−1λ，当λ=−1时，x 0 有g(x)≤g(0)=0，故g(x)≤0恒成立；当−1<λ<0时，x 0>0，g(x)在[0, x 0]单调增． 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立；当λ<−1时，−1<x 0<0，g(x)在[x 0, 0]单调减， 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立． 所以当f(x)≥xx+1在(−1, +∞)上恒成立时，λ=−1．四、选考题（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡第I 卷选择题区域内把所选的题号涂黑．注意：所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分． 【答案】 证明：（1）连接ED ，则∵ AF 切⊙O 于点A ，∴ ∠FAE =∠DCB ∵ BD ⊥AC ，FE ⊥AB ∴ ∠AEF =∠BDC =90″ ∴ ∠F =∠DBC ；（2）∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴ D ，E ，B ，C 四点共圆 ∴ ∠DEC =∠DBC ∵ ∠F =∠DBC∴ ∠DEC =∠F ∴ DE // AF ∴ ADDC =FEEC【考点】与圆有关的比例线段 【解析】（1）连接ED ，利用AF 切⊙O 于点A ，可得∠FAE =∠DCN ，再证明∠AEF =∠BDC =90″，即可证得∠F =∠DBC ；（2）由BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，可得D ，E ，B ，C 四点共圆，从而有∠DEC =∠DBC ，利用∠F =∠DBC ，可得∠DEC =∠F ，从而DE // AF ，故可证得结论． 【解答】 证明：（1）连接ED ，则∵ AF 切⊙O 于点A ，∴ ∠FAE =∠DCB∵ BD ⊥AC ，FE ⊥AB ∴ ∠AEF =∠BDC =90″ ∴ ∠F =∠DBC ；（2）∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴ D ，E ，B ，C 四点共圆 ∴ ∠DEC =∠DBC ∵ ∠F =∠DBC ∴ ∠DEC =∠F ∴ DE // AF ∴ ADDC =FEEC 【答案】解：(1)点P(2, π3)的直角坐标为P(1, √3)，由l 的倾斜角为α，则l 的参数方程为： {x=1+t cos α，y =√3+t sin α，（t 为参数）．(2)圆ρ=3的直角坐标方程为x 2+y 2=9，∵ A ，B 在直线l 上，A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 将l 的参数方程代入x 2+y 2=9， 得(1+t cos α)2+(√3+t sin α)2=9，化简，得t2+(2cosα+2√3sinα)t−5=0，t1+t2=−(2cosα+2√3sinα)，t1⋅t2=−5，|AB|=√(t1+t2)2−4t1t2=√(2cosα+2√3sinα)2−4×(−5)=√24+8sin2α+8√3sinαcosα=√28+4√3sin2α−4cos2α=√28+8sin(2α−π6)，当sin(2α−π6)=−1，即α=5π6时，|AB|的最小值是2√5．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程两点间的距离公式【解析】（1）点P(2, π3)的直角坐标为P(1, √3)，由l的倾斜角为α，能求出l的参数方程．（2）圆ρ=3的直角坐标方程为x2+y2=9，由A、B在直线l上，A，B对应的参数分别为t1，t2，将l的参数方程代入x2+y2=9，得t2+(2cosα+2√3sinα)t−5=0，由此能求出|AB|的最小值．【解答】解：(1)点P(2, π3)的直角坐标为P(1, √3)，由l的倾斜角为α，则l的参数方程为：{x=1+t cosα，y=√3+t sinα，（t为参数）．(2)圆ρ=3的直角坐标方程为x2+y2=9，∵A，B在直线l上，A，B对应的参数分别为t1，t2，将l的参数方程代入x2+y2=9，得(1+t cosα)2+(√3+t sinα)2=9，化简，得t2+(2cosα+2√3sinα)t−5=0，t1+t2=−(2cosα+2√3sinα)，t1⋅t2=−5，|AB|=√(t1+t2)2−4t1t2=√(2cosα+2√3sinα)2−4×(−5)=√24+8sin2α+8√3sinαcosα=√28+4√3sin2α−4cos2α=√28+8sin(2α−π6)，当sin(2α−π6)=−1，即α=5π6时，|AB|的最小值是2√5．【答案】解：（1）由题设知：|x−2|+|x−1|−2≥0等价于：{x≤1−x+2−x+1−2≥0⇒x≤12，或{1<x<2−x+2+x−1−2≥0⇒x∈⌀，或{x≥2x−2+x−1−2≥0⇒x≥52，综上所述，当a=1时，函数f(x)的定义域为(−∞, 12]∪[52, +∞)．（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax−2|+|ax−a|−2≥0，即|ax−2|+|ax−a|≥2恒成立，∵|ax−2|+|ax−a|≥|(ax−2)−(ax−a)|=|a−2|，∴只需|a−2|≥2，解得a≤0，或a≥4．【考点】函数的定义域及其求法绝对值不等式【解析】（1）由题设知：|x−2|+|x−1|−2≥0，由此能求出a=1时，函数f(x)的定义域．（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax−2|+|ax−a|−2≥0，即|ax−2|+|ax−a|≥2恒成立，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x−2|+|x−1|−2≥0等价于：{x≤1−x+2−x+1−2≥0⇒x≤12，或{1<x<2−x+2+x−1−2≥0⇒x∈⌀，或{x≥2x−2+x−1−2≥0⇒x≥52，综上所述，当a=1时，函数f(x)的定义域为(−∞, 12]∪[52, +∞)．（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax−2|+|ax−a|−2≥0，即|ax−2|+|ax−a|≥2恒成立，∵|ax−2|+|ax−a|≥|(ax−2)−(ax−a)|=|a−2|，∴只需|a−2|≥2，解得a≤0，或a≥4．。
2高三数学质检二答案(理科)
2011-2012年度高三复习质量检测二数学（理科答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 BDCCA 6-10 CDBBC 11-12 BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13． ()0,1 14． 7 15． 1 16． 2224x y x y ==或三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d, 数列{}n b 的公比为q, 由题意得：23121a a a =, ……………2分2(12)1(120)d d ∴+=⨯+,24160d d -=,0d ≠ ,4,d ∴=所以43n a n =-.………………4分于是{}1351,9,81,n b b b b ===的各项均为正数, ,所以q=3，13n n b -∴=.……………………6分（Ⅱ）1(43)3n n n a b n -=-,122135393(47)3(43)3n n n S n n --∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ .1231335393(47)3(43)3n nn S n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ .……………8分 两式两边分别相减得：2312143434343(43)3n nn S n --=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ ……………10分231114(3333)(43)343(13)1(43)313(54)35n nn nnn n n --=+++++--⨯⨯⨯-=+--⨯-=-⨯-(45)352nn n S -+∴=.………………12分18. (本小题满分12分)解:(Ⅰ)取AB 的中点M ，连结GM,MC ，G 为BF 的中点,所以GM //FA,又EC ⊥面ABCD, FA ⊥面ABCD, ∵CE//AF, ∴CE//GM,………………2分 ∵面CEGM ⋂面ABCD=CM, EG// 面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC 中，CM ⊥AB,又AF ⊥CM ∴EG ⊥AB, EG ⊥AF,∴EG ⊥面ABF.…………………6分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2, 则B （0,0,3）E(0,1,1) F （0，-1，2） EF=(0，-2,1) , EB =(3,-1，-1),DE =(3,1， 1),………………8分设平面BEF 的法向量1n =（z y x ,,）则⎩⎨⎧=--=+-0302z y x z y 令1=y ，则3,2==x z ,∴1n =（2,1,3）…………………10分同理，可求平面DEF 的法向量 2n =（-2,1,3） 设所求二面角的平面角为θ，则θcos =41-.…………………12分19.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ) 茎叶图……………………2分或………………2分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；………………4分（Ⅱ）设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：（此处更正）6610.641010-⨯=；……………8分(此部分，可根据解法给步骤分:2分)（Ⅲ）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ， 则0.8x y -<，……………10分 得0.80.8x y x -+<<+，如图阴影部分面积即为33 2.2 2.2 4.16⨯-⨯=，则4.16104(0.8)(0.80.8)33225P x y P x y x -<=-+<<+==⨯.…………12分20.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设()00,P x y ，(),M x y ，由0012x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，得002x x y y =⎧⎨=⎩，…………2分 代入222x y a +=，得222214x y aa+=.……………4分（Ⅱ）①当l 斜率不存在时，设x t =，由已知得a t a -<<，由2224x y a x t⎧+=⎨=⎩，得2224a t y -=所以2122224O AB aS y x t ∆=⨯⨯=⋅=≤，当且仅当222t a t =-，即2t a =时，等号成立.此时OAB S ∆最大值为24a.……………………5分②当l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由2224x y a y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消去y 整理得()222241840k x kmx m a +++-=， ()()()222222284414444km k m aka m ⎡⎤∆=-+-=+-⎣⎦由0∆>，得2222440k a a m +-> ① 设()()1122,,,A x y B x y ，则 2212122284,km m a x xx x --+==②………7分2241A B k ===+ ③ 原点到直线l 距离为d =， ④…………………9分由面积公式及③④得2222222112224144()111414,2224O AB S AB d k mma a k k∆=⨯=⋅⋅++-++=⋅≤⋅=………………11分综合①②，OAB S ∆的最大值为24a，由已知得214a=，所以 2a =.…………………12分21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ))(x f 的定义域为),,0(+∞x ax x f -=1)('，若,0≤a 则'()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，……………2分若0,a >则由0)('=x f 得ax 1=，当)1,0(ax ∈时，,0)('>x f 当),1(+∞∈ax 时，0)('<x f ，)(x f ∴在)1,0(a上单调递增，在),1(+∞a单调递减.所以当0a ≤时，()f x 在),0(+∞上单调递增，当0a >时， ()f x 在)1,0(a上单调递增，在),1(+∞a单调递减.……………4分(Ⅱ)1)1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f ,令)1)(1(ln )(2≥--=x x a x x x g ,ax x x g 21ln )(-+=',令()()ln 12F x g x x ax '==+-, 12()axF x x-'=,………………6分(1)a 0,≤若()0F x '>,[)g (x)1,g (x)g (1)1-2a 0'''+∞≥=>在递增， [)0)1()(,,1)(=≥+∞∴g x g x g 递增在,不符合题意从而,01x lnx-f(x)≥+.……………8分(2)1110a ,),()0,(()(1,,)2122x F x g x a a''<<>∴∈若当在递增,g (x)g (1)1-2a,''>=从而以下论证(1)同一样，所以不符合题意.……………10分 [)1(3),()01,2a F x '≥≤+∞若在恒成立,[)02a -1(1)g (x)g 1,(x)g ≤='≤'+∞'∴递减，在,[)01ln )(,0)1()(,,1g(x)≤+-=≤∴+∞x x x f g x g 递减在从而,综上所述，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21………………12分22. (本小题满分10分) 证明：（Ⅰ）依题意， 090AEB ACP ∠=∠=，所以在 R t A C P ∆中，90;P PAB ∠=-∠ ……………2分 在 R t A B E ∆中,90;ABE PAB ∠=-∠ …………4分 所以.P ABE ∠=∠……………5分（Ⅱ）在ADB Rt ∆中，2CD AC CB =⋅，…………6分 由①得BCF ∆∽P C A ∆, ∴B C C F P CA C=,……………8分∴2CD BC AC CF CP=⋅=⋅,所以2CD CF CP = .……………10分 23. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)21:(0),C y x x =≠2:10C x y +-=,则2C的参数方程为：1,2(2.2x t t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），…………2分 代入1C 得0222=-+t t ，……………4分104)(2122121=-+=-=∴t t t t t t AB .……………6分(Ⅱ)221==⋅t t MB MA .…………10分 24. (本小题满分10分)解：(I ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或 或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ ………………3分 解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或.即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ……………… 6分（II ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x . ………………8分4<∴a . ……………… 10分。
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高三理科数学质量检测参考答案 2012.9
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1. B.
2. A ． 3． C ． 4.B. 5. D.
6. B.
7. B. 8．B ． 9. B ． 10． D.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 2或3； 12. 5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 13. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
； 14.由高到低第2档（或由低到高第9档）. 15.
53. 三、解答题：（本大题共6小题，共75分）.
16．（本小题共12分）
解：（Ⅰ）
[]2(2)5=45=21f f f -=--（） （3分） (Ⅱ）22242(1)4(1)23f a a a a +=-+=--+ （6分）
(Ⅲ）①当40x -≤<时，
∵()12f x x =- ∴1()9f x <≤
②当0x =时，(0)2f =
③当03x <<时，∵
2()4f x x =- ∴ 5()4f x -<<
故当43x -≤<时，函数()f x 的值域是(]5,9- （12分）
17.（本小题共12分）
解：由命题p ，得a >1，对于命题q ，
因x ∈R ，ax 2－ax ＋1>0恒成立，
又因a >0，所以Δ＝a 2－4a <0，
即0<a <4.由题意知p 与q 一真一假， 6分
当p 真q 假时 ，⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，a ≤0或a ≥4.所以a ≥4 8分 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤1，0<a <4，即0<a ≤1 10分 综上可知，a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞) 12分
18．（本小题共12分）
解：(1)设日销量x k q e =，则30100k e
=，∴k ＝10030e ， ∴日销量30
100x
e q e =， （3分） ∴30100(20)x
e x t y e --= (25≤x ≤40)． （6分） (2)当t ＝5时，30100(25)x e x y e
-=， 30100(26)x
e x y e -'=， （9分） 由0y '>，得26x <，由0y '<，得26x >，
∴y 在[)25,26上单调递增，在(]26,40上单调递减，
∴当x ＝26时，y max ＝1004
e . 当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为1004e 元．（12分）
19．（本小题共12分）
解：（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ，
又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， （3分）
∵AD 平面平面BDC ．
∴平面ABD ⊥平面BDC. （6分）
（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝90︒及（Ⅰ）知DA ，ＤＢ，DC 两两垂直，以D 为坐标原点，以DB uuu v 、DC uuu v 、DA uuu v 所在直线为,,x y z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D （0,0,0），B （1,0,0），C （0,3,0），
A （0,0
，E （12，32
，0）， ∴AE uuu v
=13,,22⎛ ⎝， DB uuu v =（1，0, 0）， （9分）
∴AE uuu v 与DB uuu v 夹角的余弦值为
cos ＜AE uuu v ，DB uuu v
＞122
AE DB AE DB ===uuu v uuu v g uuu v uuu v g （12分） 20.（本小题满分13分）设函数()ln ln(2)f x x x ax =+-+(0)a >．
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()f x 在(0,1]上的最大值为12
，求a 的值． 解： 函数()f x 的定义域为(0,2)，（2分）
11()2f x a x x
'=-+-， （5分） （Ⅰ）当1a =时，22()(2)
x f x x x -+'=-， ∴ ()f x
的单调递增区间为()，
单调递减区间为， （9分）
（Ⅱ）当(01]x ∈，时，22()0(2)
x f x a x x -'=+>- ∴ ()f x 在(0,1]上单调递增， （11分）
故()f x 在(0,1]上的最大值为(1)f a =，
因此 12
a =
． （13分） 21．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ）设log a x t =，则t a x =，（2分） 所以311()()(0)12
t f t t t a =+≠-，
即33111()()(0)122(1)
x x x a f x x x x a a +=+=≠-- （5分） （Ⅱ）31()()2(1)x x a f x x a --+-=--， 3311()2(1)2(1)
x x x x a a x x f x a a ++=-==-- 故()f x 为偶函数。
（9分）
(Ⅲ）要使()0f x >在定义域上恒成立．即31()02(1)
x x a f x x a +=>-在定义域上恒成立. 由（2）知，函数()f x 为偶函数，所以只要()f x 在0x >时()0f x >恒成立即可. （11分） 即31
02(1)x x a x a +>-在0x >恒成立，
因为310,0x a x +>>
即10x a ->，01x a a >=，
所以1a >
故当1a >时，()0f x >在定义域上恒成立．（14分）。