【精品】高中数学 1.2应用举例优秀学生寒假必做作业练习一 新人教A版必修5
高中数学1-1_2应用举例习题新人教A版必修5
1.2应用举例一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【题文】已知A ，B 两地的距离为5 km ，B ，C 两地的距离为10 km ，经测量可知，120ABC ∠=︒，则A ，C 两地的距离为 ( )A. 5 kmB.2.【题文】如图，一艘轮船以每小时60海里的速度自A 沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，轮船在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 间的距离是( )A.B.C.D.海里3.【题文】为了测量一建筑物的高度，某人在地面上选取共线的三点A ，B ，C ，分别测得此建筑物的仰角为30︒，45︒，60︒，且AB =BC =30 m ，如图所示，则建筑物的高度为( )A. B. C. D. m4.【题文】如图，巡航艇在海上以60km /h 的速度沿南偏东40︒的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B 处观测灯塔A ，其方向是南偏东70︒，航行1h 2到达C 处，观测灯塔A 的方向是北偏东65︒，则巡航艇到达C 处时，与灯塔A 的距离是( )A.10kmB. kmC. 15kmD. km5.【题文】如图所示，在一条水平直线上选取三点A ，B ，C 进行测量，测得AB =25 m ，BC =60 m ，水深AD =40 m ，BE =100 m ，CF=55 m ，则DEF ∠的余弦值为 ( )A.1665B.1965 C.1657 D. 17576.【题文】一架直升飞机在600 m 的高空中，测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是30︒和60︒，则塔高为 ( )A.400mB.mC.mD.200m7．【题文】若锐角△ABC 的面积为4,6AB AC ==，则BC =（ ）A ．4B ．．．8．【题文】△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别是c b a ,,，若则角B 的大小为（ ） A ．π6 B ．5π6 C ．π3 D ．2π3二、填空题：本题共3小题.9．【题文】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b ＝3，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积为 ．10.【题文】两船同时从A 港出发，甲船以每小时20海里的速度向北偏东80︒的方向航行，乙船以每小时12海里的速度向北偏西40︒方向航行，一小时后，两船相距 海里．11.【题文】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若12m AB =，20m AC =，45BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 ．（仰角θ为AP 与平面ABC 所成角）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12.【题文】如图所示，在山顶上有一座塔，在山底测得塔顶的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得塔顶的仰角∠DSB ＝75°，求塔高BD .13.【题文】如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处．（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．14．【题文】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且()2213a b c ab--=-.（1）求角C ；（2，求B 及△ABC 的面积.人教A 版数学 必修五 第一章 1.2应用举例 参考答案与解析1. 【答案】D【解析】在△ABC 中，AB =5 km ，BC =10km ，120ABC ∠=︒，根据余弦定理得，222o 5102510cos120km AC AC =+-⨯⨯⨯⇒=.故选D.考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易2. 【答案】A【解析】易知在△ABC 中，=30AB 海里，=303570105,45CAB ABC ACB ∠︒∠=︒+︒=︒∴∠=︒，，根据正弦定理得=sin 30sin 45BC AB︒︒，解得BC =（海里）. 考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易3. 【答案】C【解析】设建筑物的高度为m h ，由题图知，2m PA h =,m PB =，m PC =,所以在△PBA 和中△PBC 中，分别由余弦定理的推论，得222cos PBA ∠①，2224302cos h h PBC +-∠180PBA PBC ︒∠+∠=，所以cos cos =0PBA PBC ∠+∠③.由①②③，解得h h ==-，即建筑物的高度为m . 考点：利用余弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】一般4. 【答案】D【解析】在△ABC 中，()1=60=30km 2BC ⨯，o o o =7040=30ABC ∠-，=4065=105ACB ∠︒+︒︒，则()=18030105=45A ︒-︒+︒︒，由正弦定理，得)km AC .考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】一般5. 【答案】 A【解析】 如图所示，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M.)m DF ===，()65m DE ===，()75m EF ===，在△DEF 中，根据余弦定理的推论得，2222226575529816cos ==22657565DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠=⨯⨯⨯.考点：利用余弦定理测量角度.【题型】选择题 【难度】一般6. 【答案】A 【解析】如图所示：在Rt△ACD 中可得tan 30CD AC ︒=，tan 30600CD AC BE =⋅︒===, 在△ABE 中，由正弦定理，o o=200sin 30sin 60AB BEAB =⇒，∴()600200400m DE BC ==-=. 考点：利用正弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】较易7. 【答案】D【解析】三角形面积11sin 46sin sin 22S AB AC A A A =⋅⋅=⨯⨯==由于△ABC 为锐角三角形，所以1cos 2A =，由余弦定理可求得BC = D.考点：三角形面积公式的应用. 【题型】选择题 【难度】一般8. 【答案】B【解析】222sin sin sin B A b a c a b C c --=⇒=⇒+-=2225πcos 0π26c a b B B B ac +-⇒==<<∴=，，故选B. 考点：正、余弦定理综合. 【题型】选择题 【难度】一般9. 【答案】3考点：正、余弦定理及三角形面积公式的应用. 【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】28【解析】如图，△ABC 中，20124080120AB AC CAB ︒︒==∠=+=︒，，，由余弦定理得222201222012cos120784BC ︒=+-⨯⨯⋅=，∴28BC =（海里）.考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】53【解析】如图，过P 作PO BC ⊥于点O ，连接AO ，则PAO θ∠=，设O C x =，则OP x =，在直角△ABC 中，由勾股定理，得BC =16，所以4cos 5BCA ∠=.在△AOC 中，由余弦定理，得AO =从而tan OPAOθ===当2045x =，即25x =时，tan θ取得最大值，为53.考点：利用余弦定理测量角度. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】500米【解析】∵∠SAB ＝∠CAB −∠CAS ＝45°−30°＝15°， ∠SBA ＝∠ABC −∠SBC ＝45°−15°＝30°，∴在△ABS 中，sin 15sin 30BS AS =︒︒，∴sin 15500sin 30AS BS ⋅︒==︒(米)． ∴BD ＝BS ·sin 75°＝5005004⨯=(米)． 考点：利用正弦定理求高度.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】（1）21海里/小时 （2【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=． 在△ABC 中，由余弦定理，得222222cos 18302BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-1830cos1201764⨯⨯⨯︒=， 所以BC =42，所以渔船甲的速度为212BC =海里/小时． （2）在△ABC 中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=， 由正弦定理，得sin sin 120AB BC α=︒，即18sin 1202sin 42AB BC α⋅︒===考点：利用正、余弦定理求距离、角度.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】（1）2π3C = （2）π4B =【解析】（1）由已知条件化简可得()223a b c ab --=-，变形可得222a b c ab +-=-， 由余弦定理的推论可得，2221cos 22a b c C ab +-==-， ()2π0,π,3C C ∈∴=.（2）2π3,3c b C ===，∴由正弦定理可得又π,,4b c B C B <∴<∴=，在△ABC中， ()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C ⎛⎫=+=+=-+=⎪⎝⎭113sin 2244ABC S bc A ∆∴===. 考点：正、余弦定理综合应用.【题型】解答题【难度】一般。
数学：新人教A版必修5 1.2应用举例(同步练习)
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第1题. 如图，一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20的方向，30 min 后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？答案：在ABS △中，32.20.516.1AB =⨯=n mile ，115ABS ∠=， 根据正弦定理，()sin sin 6520AS ABABS =∠-， ()sin sin 16.1sin1152sin 6520AB B AS AB ABS ⨯==⨯∠=⨯⨯-，S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin1152sin 207.06d AS =⨯=⨯⨯⨯≈（cm ）．南 6520所以这艘船可以继续沿正北方向航行．第2题. 如图，在山脚A 测得出山顶P 的仰角为a ，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高()()sin sin sin -a a h a γβγ-=．答案：在ABP △中，180+ABP γβ∠=-，()()()180- 180-180+ =-BPA ABPαβαβγβγα∠=--∠=---．在ABP △中，根据正弦定理，()()()()sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP ABABP APBAP AP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯=ＡＱ αβaBγＣ所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==．第3题. 测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得65.3AC =m ，塔顶B 的仰角α是2525'．已知山坡的倾斜角是1738'，求井架的高BC ．答案：在ABC △中，65.3AC =m ，=25251738747BAC αβ'''∠=--=，90=9017387222ABC β''∠=--=，根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠()sin 65.3sin 7479.3m sin sin 7222AC BAC BC ABC '∠==≈'∠井架的高约为9.3m ．Ａ βα DＢＣ(6739)第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148的方向航行．为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A 的方位角是78．求货轮到达Ｃ点时与灯塔A 的距离（精确到１ n mile ）．答案：在ABC △中，BC ＝350.517.5⨯=n mile ，14812612ABC ∠=-=，()78180148110ACB ∠=+-=，1801101258BAC ∠=--=，根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠， sin 17.5sin124.29sin sin 58BC ABC AC BAC ∠==≈∠（nmile ）．货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29n mile ．第5题. 轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120，轮船A 的航行速度是25 n mile/h ，轮船B 的航行速度是15 n mile/h ，下午2时两船之间的距离是多少？答案：70 n mile ．第6题. 如图，已知一艘船从30 n mile/h 的速度往北偏东10的A 岛行驶，计划到达A 岛后停留10 min 后继续驶往B 岛，B 岛在A 岛的北偏西60的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B 岛在北偏西30的方向，经过20 min 到达Ｄ处，测得B 岛在北偏西45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？78126BA3045 60BA20 min答案：在BCD △中，301040,BCD ∠=+=1801804510125BDC ADB ∠=-∠=--=，130103CD =⨯=（n mile ）， 根据正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠，()10sin 40sin 18040125BD=∠--， 10sin 40sin15BD ⨯=．在ABD △中，451055ADB ∠=+=，1806010110BAD ∠=--=， 1801105515ABD ∠=--=．根据正弦定理， sin sin sin AD BD ABABD BAD ADB==∠∠∠， 就是sin15sin110sin 55AD BD AB==， sin1510sin 406.84sin 70sin110BD AD ==≈（n mile ）．sin 5510sin 40sin 5521.65sin110sin15sin 70BD AB ==≈(n mile)．如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈（min ） 即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．第7题. 一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是2739和，计算这个海岛的宽度．答案：约5821.71m ．第8题. 一架飞机从A 地飞到B 到，两地相距700km ．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km 远了多少？答案：在ABC △中，700AB =km ，1802135124ACB ∠=--=， 根据正弦定理，700sin124sin 35sin 21AC BC==， 700sin 35sin124AC =，700sin 21sin124BC =，700sin 35700sin 21786.89sin124sin124AC BC +=+≈（km ），所以路程比原来远了约86.89km ．8000m27 39P 700km21BC35第9题. 为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．答案：在21.418.6 2.8ABT ATB ∠=-=△中，，9018.6ABT ∠=+，15AB =（m ）．根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT=，15cos18.6sin 2.8AT ⨯=． 塔的高度为15cos18.6tan 21.4tan 21.4114.05sin 2.8AT =≈（m ）．第10题. A ，B 两地相距2558m ，从A ，B 两处发出的 两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离 两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？答案：飞机离A 处控照灯的距离是4801.53m ， 飞机离B 处探照灯的距离是4704.21m ， 飞机的高度是约4574.23m ．A72.3 76.5B第11题. 一架飞以326km/h 的速度，沿北偏东75的航向从城市A 出发向城市B 飞行，18min 以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C ，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？答案：AE =3261897.860⨯=km ， 在ACD △中，根据余弦定理：222cos66AC AD CD AD CD =+- 2257110257110cos66=+-⨯⨯ 101.235=根据正弦定理：sin sin AD ACACD ADC=∠∠， sin 57sin 66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ∠∠==≈，30.96ACD ∠≈，13330.96102.04ACB ∠≈-=．在ABC △中，根据余弦定理：222cos AB AC BC AC BC ACB =+-∠22101.2352042101.235204cos102.04=+-⨯⨯245.93≈，222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=222245.93101.2352042245.93101.235+-=⨯⨯0.5847≈，54.21BAC ∠=．在ACE △中，根据余弦定理：222cos CE AC AE AC AE EAC +-∠22101.23597.82101.23597.80.5487=+-⨯⨯⨯90.75≈，222cos 2AE EC AC AEC AE EC +-∠=．22297.890.75101.2350.4254297.890.75+-≈≈⨯⨯，64.82AEC ∠=，()180180757564.8210.18AEC -∠--=-=．所以，飞机应该以南偏西10.18的方向飞行，飞行距离约90.75km ．第12题. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为1830'，经过150s 后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m ）．答案：飞行在150秒内飞行的距离是150100010003600d =⨯⨯m ， 根据正弦定理，()sin18.5sin 8118.5d x=-，这里x 是飞机看到山顶的俯角为81时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：C DB A E1830'81()sin18.5tan81tan8114721.64sin 8118.5d x =≈-(m)，山顶的海拔是2025014721.645528-≈m ．第13题. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是α，这个人再从A 点向南走到B 点，再测得建筑物顶的仰角是β，设A，B 间的距离是a ． ．答案：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ， 则tan tan h h AC BC αβ==，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边，所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 222222tan tan tan tan a h αβαβ=-2222222sin sin sin cos cos sin a αβαβαβ=- ()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--． 所以，h =．α ABDCβah。
人教版高中数学必修五课时作业14：§1.2 应用举例(一)
一、选择题1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据组为()A．α，a B．β，aC．a，b，γD．β，b答案 C解析解△ABC应有三个元素才行，故选C.2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是()A．a km B.2a kmC.3a km D．2a km答案 C解析如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝3a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为3a km.3．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12米B．8米C．3 3 米D．4 3 米答案 D解析△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2·4·4(－12)＝48，∴AB＝4 3 米．4．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3 3答案 C解析如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，BC＝3，AC＝3，由余弦定理(3)2＝x2＋32－2·3·x·cos 30°，∴x2－33x＋6＝0，∴x＝ 3 或23(km)．5．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．6 km B．3 3 kmC. 3 2 km D．3 km答案 C解析由题意知，AB＝24×14＝6 km，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB ＝6sin 30°sin 45°＝3 2 km. 6．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 mB.1523 m C ．15 3 mD ．45 m答案 B解析 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋（519）2－1522·10·519＝7219，∠ABC ∈(0°，180°)， ∴sin ∠ABC ＝ 1－（7219）2＝33219， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝1523(m)． 7．某观测站C 在城A 的南偏西 20°的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31千米，正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，则该人再走________千米可到达A 城．( )A ．15B ．16C ．17D ．18答案 A解析 如图，令∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17， β∈(π2，π)，所以sin β＝437.又sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝437×12＋17×32＝5314，在△ACD中，由正弦定理得21sin 60°＝ADsin α，所以AD＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．二、填空题8．如图，某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．答案12 2解析由题可知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，根据正弦定理得BSsin 30°＝24sin 45°，∴BS＝1222＝122(海里)．9．一海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为________ n mile.答案20(6＋2)解析由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠P AB＝30°，∠ABP＝135°，∴∠BP A＝15°，由正弦定理得ABsin 15°＝BPsin 30°，∴BP＝AB·sin 30°sin 15°＝40×126－24＝20(6＋2)(n mile)，10．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为________海里/时．答案 1762解析 由题可知PM ＝68，∠MPN ＝120°，N ＝45°，由正弦定理MP sin 45°＝MN sin 120°得MN ＝68×32×2＝34 6. ∴速度v ＝3464＝1726(海里/时)． 三、解答题11．要测量对岸两点A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．解如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5(km)．∴A ，B 之间的距离为 5 km.12．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？解 由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，所以∠ACB ＝15°，由正弦定理得BC ＝AB sin ∠ACB·sin ∠BAC ＝30sin 15°·sin 30°＝156－24＝15(6＋2)． 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. 所以此船无触礁的危险．13．如图所示，港口B 在港口O 正东方向120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60°方向，且在港口B 北偏西30°方向上，一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA 方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B 出发，以60海里/时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B 后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解 设快艇驶离港口B 后，经过x 小时，在OA 上的点D 处与考察船相遇．如图所示，连接CD ，则快艇沿线段BC ，CD 航行．在△OBC 中，由题意易得∠BOC ＝30°，∠CBO ＝60°，所以∠BCO ＝90°.因为BO＝120，所以BC＝60，OC＝60 3.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.在△OCD中，由题意易得∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC cos∠COD，所以602(x－2)2＝(20x)2＋(603)2－2×20x×603×cos 30°.解得x＝3或x＝3，因为x>1，所以x＝3.8所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
【精品】高中数学 1.2应用举例优秀学生寒假必做作业练习二 新人教A版必修5
1．2应用举例练习二选择题1、在中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，，的面积为，那么b等于（）A、 B、 C、 D、2、中，，D为BC上一点，且=，则AD的长为（）A、 B、 C、 D、3．如下图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量到下列四组数据，较适宜的是（）A．c与a B．c与bC．c与βD．b与a4．如下图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据（）A．、a、b B．、β、aC．a、b、D．、β、b5．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高（）A．B．C．D．6．已知两座灯塔9和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C的南偏东60“，则灯塔八在灯塔B的（）A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°7．在静水中划船的速度是每分钟40m.水流的速度是每分钟20m.如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为（）A．15° B．30° C．45° D．60°填空题8．已知海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C 岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛间的距离是_______．9．有一长为l00m的斜坡，它的倾斜角是45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________m(精确到1米）．10、一船以24的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是_________（精确到0.1）。
11、在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在平行地面前进600 m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为_______________.12、在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为，则塔高为______.13、从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角为，从电视塔的西偏南的B处，测得塔顶仰角为，A、B两点间的距离为35 m，则此电视塔的高度是_________。
高中数学新人教A版必修5习题 1.2 应用举例1
正、余弦定理在三角形中的应用cos A ＝32＋32－222×3×3＝13， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 在△ABC 中利用正弦定理得BC sin A ＝AB sin C， ∴sin C ＝AB sin A BC ＝3×2234＝66，故选D. 答案：D 7．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．解析：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)． ∴cos C ＝35. 根据余弦定理， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.答案：48．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，∴BD ＝2，∴在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos60°＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.答案： 39．在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足：2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解：由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，C ＝60°，又∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6，∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝32. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证： a b －b a ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B b －cos A a . 证明：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，代入等式右边，得 右边＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22abc－b 2＋c 2－a 22abc ＝2a 2－2b 22ab ＝a 2－b 2ab ＝a b －b a＝左边， ∴a b －ba ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B b －cos A a . B 组 能力提升11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积为( )A ．16 B.352C ．18D ．32解析：如右图，设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝18，65＋17＝2a 2＋b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9，a 2＋b 2＝41，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝4， ∴cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35， ∴sin ∠BAD ＝45，从而S ▱ABCD ＝4×5×45＝16.法二：a2sin2B＋b2sin2A＝(2R sin A)2·2sin B cos B＋(2R sin B)2·2sin A cos A ＝8R2sin A sin B(sin A cos B＋cos A sin B)＝8R2sin A sin B sin(A＋B)＝8R2sin A sin B sin C＝2·2R sin A·2R sin B·sin C＝2ab sin C.所以原式得证．。
高中数学新人教A版必修5习题 1.2 应用举例1
＝b，则 B＝________.
c2
a2
解析：∵a＋b＋b＋c＝b，
∴a3－b3＋c3＋a2b－ab2＋c2b－b2c－abc＝0，
即(a＋b＋c)(a2＋c2－b2－ac)＝0.
又∵a，b，c 表示边长，∴a＋b＋c≠0，
∴a2＋c2－b2－ac＝0，
由余弦定理的推论得 cosB＝12，
∴B＝60°.
又∵a、b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两根，
∴a＋b＝2 3，ab＝2. ∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6，
∴c＝
6，S△ABC＝12absinC＝12×2×
3 2＝
3 2.
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，求证： ab－ba＝ccobsB－coasA.
AD＝ AB2＋BD2－2AB·BDcos60°
＝ 12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.
答案： 3
9．在锐角三角形中，边 a、b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两根，角 A、B 满足：2sin(A＋
B)－ 3＝0，求角 C 的度数，边 c 的长度及△ABC 的面积．
解：由 2sin(A＋B)－ 3＝0，得 sin(A＋B)＝ 23， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A＋B＝120°，C＝60°，
即 BC＝ 3.
答案：A
5．若△ABC 的周长等于 20，面积是 10 3，B＝60°，则边 AC 的长是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：设△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 B＝60°，由题意，得
a2＋c2－b2
cos60°＝ 2ac ， 12acsin60°＝10 3， a＋b＋c＝20，
人教版高中数学必修五课时作业2：1.2 应用举例(二)
1.2 应用举例(二)一、基础达标1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( )A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33 mB ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋32 m C ．20(1＋3) m D ．30 m答案 A解析 如图，h ＝20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33(m)，故选A. 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m答案 B解析 法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B. 法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos2 θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.3．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________．答案 5 856.4 m解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)．4．为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)．根据正弦定理，AB sin 2.8°＝AT cos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ·tan 21.4°＝15·cos 18.6°sin 2.8°·tan 21.4°≈114.05(m)． 所以塔的高度为114.05 m.5．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理得AD＝AB sin B sin∠ADB＝126×2 232＝24 (n mile)．所以A处与D处的距离为24 n mile.(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°，解得CD＝8 3 n mile.即灯塔C与D处的距离为8 3 n mile.二、能力提升6．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为() A．15 m B．5 m C．10 m D．12 m答案 C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos ∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m答案 D解析由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500 m．故选D.8．如图，在山脚A测得出山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝a sin αsin(γ－β)sin(γ－α).解 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理， AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB ，AP sin (180°－γ＋β)＝αsin (γ－α)，AP ＝α×sin (γ－β)sin (γ－α)所以山高为h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ABC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1， 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA ，在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， 即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620.因此，BD ＝32＋620≈0.33 km ，故B ，D 的距离约为0.33 km.三、探究与创新10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝3≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，由正弦定理sin ∠ACB＝sin 30°AC·AB＝3 2，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
2022-2021学年上学期高二数学寒假作业 01 (人教A版必修5第一章解三角形)
作业范围:必修5第一章解三角形姓名:_______ 学校:_______ 班级:_________时间: 100分钟 分值:120分第Ⅰ卷一、选择题（本卷共14小题，每小题4分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 234567891011121314答案1．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135A =︒，30B =︒，2a =，则等于( )A ．B ．2C ．3D ． 】2021-2022学年湖南省衡阳八中高二下学期学业水平模拟试卷 【答案】A考点：正弦定理的运用. 【题型】选择题 【难度】较易2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为，，，若5sin a b C =，且cos 5cos cos A B C =，则tan A 的值为（ ）A ．15B ．16C ．D ．】【百强校】2022-2021学年安徽六安一中高二上国庆作业数学试卷 【答案】B【解析】5sin sin 5sin sin a b C A B C =⇒=，又cos 5cos cos A B C =，两式相减得()()cos sin 5cos cos sin sin 5sin A A B C A C B C -=-=+，又由于B C +=πA -，所以()sin sin B C A+=，所以cos sin 5sin cos 6sin A A A A A -=⇒=，所以1tan 6A =，故选B ．考点：正弦定理． 【题型】选择题 【难度】一般 3．在△ABC 中，假如()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 】2022届湖北省宜昌示范教学协作体高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B考点：余弦定理． 【题型】选择题 【难度】一般4．在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，21cos 222A bc =+，则△ABC 的外形为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形】2021-2022学年浙江省嘉兴一中高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B【解析】211cos 1cos 222222A b A b c c +=+⇒=+，则cos b A c =，由正弦定理得sin sin b B c C =，所以sin cos sin B A C =，即()cos sin sin sin π=A C B A C ==--()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，所以sin cos 0A C =，由于()0,πA ∈，()0,πC ，所以sin 0A >，从而πcos 02C C =⇒=，所以△ABC 是以C 为直角的直角三角形，故选B.考点：正弦定理，倍角公式，诱导公式，两角和差公式. 【题型】选择题 【难度】一般5．在△ABC 中，=2BC ，π3B =，当△ABC 的面积等于32时，sin C = ( )A ．32B ．12C ．33D ．34】2021-2022学年安徽省望江中学高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B考点：正弦定理，余弦定理．【题型】选择题 【难度】一般6．△ABC 中，36a =，50c =，30B =︒，则△ABC 的面积为（ ） A.450 B. 900 C.4503 D.9003 】2021-2022学年安徽省众兴中学高一其次学期第一次月考数学试卷 【答案】A【解析】11sin 3650sin 3045022ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯︒=.考点：正弦定理在三角形面积中的应用. 【题型】选择题 【难度】较易7．在△ABC 中，假如60A =︒，4c =，4a =，则此三角形有( ) A ．两解 B ．一解 C ．无解 D ．无穷多解 】2021-2022学年山东省济宁市嘉祥一中高一3月质量检测数学试卷 【答案】B考点：正弦定理、三角形解的状况. 【题型】选择题 【难度】较易8．如图，设B C 、两点在河的两岸，一位测量者在B 所在的同侧河岸边选定一点A ，测出A B 、的距离为100m ,105ABC ∠=︒,45CAB ∠=︒后，就可以计算出B C 、两点的距离为( )A.3m B.2m C.1003m D.2m】2021-2022学年福建省龙岩市高二上学期教学质量检查文科试卷 【答案】D【解析】由105ABC ∠=︒，45CAB ∠=︒得到30ACB ∠=︒，由正弦定理得1001002msin sin sin 45sin 30BC AB BC BC CAB ACB =⇒=⇒=∠∠︒︒.考点：正弦定理. 【题型】选择题 【难度】较易9．一艘船上午930：在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30︒处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午1000：到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75︒，且与它相距82海里，则此船的航速是( ) A. 24海里／小时 B. 30海里／小时 C. 32海里／小时 D. 40海里／小时】2022届福建省龙岩市高三上学期期末考试理科数学试卷【答案】C考点：正弦定理. 【题型】选择题 【难度】较易10．某人在C 点测得某塔在南偏西80︒，塔顶的仰角为45︒，此人沿南偏东40︒方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高为( )A.15米B.米C.10米D.12米 】2022年高考数学全程总复习课时卷 【答案】C【解析】如图，设塔高为米，在Rt △AOC 中,45ACO ∠=︒，则OC OA h ==.在Rt △AOD 中,30ADO ∠=︒，则3OD h =，在△OCD 中，120OCD ∠=︒，10CD =，由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅⋅∠，即()222310210cos 120hh h =+-⨯⨯︒，∴25500h h --=，解得10h =或5h =-(舍去). 考点：余弦定理. 【题型】选择题 【难度】一般11．如图所示，已知两座灯塔A 、B 与海洋观测站C 的距离都等于，灯塔A 在观测站C 的北偏东20︒，灯塔B 在观测站C 的南偏东40︒，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．B ．2aC ．3a Ｄ．2a】2021-2022学年河北邯郸高二上学期期末考试理科数学试卷 【答案】C考点：余弦定理的应用，解斜三角形. 【题型】选择题 【难度】一般12．如图所示，在坡度肯定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100米到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45︒，若50CD =米，山坡对于地平面的坡角为，则cos θ=( )A.32 B.23- C.31-D.22】2022年高考数学（理）二轮复习体系通关训练1-5练习卷 【答案】C考点：正弦定理. 【题型】选择题 【难度】一般13．在△ABC 中，80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的状况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解 】2021-2022学年甘肃兰州榆中恩玲中学高二上期中考试文数试卷 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a b A B =，得2100sin 522sin 808b AB a ⨯===，由于252128<<，所以此三角形有两解（或者由80100sin 45>⨯︒，即sin a b A >，可知此三角形有两解）. 考点：正弦定理，三角形的解. 【题型】选择题 【难度】一般14．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒距塔68海里的M 处，下午时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为（ ）A ．1762海里/小时 B ．346海里/小时C ．1722海里/小时 D ．342海里/小时】2021-2022学年河南省武陟一中西区高二第三次月考理科数学试卷 【答案】A考点：方位角，正弦定理解三角形. 【题型】选择题【难度】一般 第II 卷二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）15．在锐角△ABC 中，4,3AC BC ==，三角形的面积等于3AB 的长为__________. 】【百强校】2022届上海华师二附中高三上学期期末考试文数试卷 13【解析】11sin =43sin 3322ABC S AC BC C C ∆=⋅⨯⨯=，解得3sin C =，从而得1cos 2C =，所以222cos 13AB AC BC AC BC C =+-⋅=考点：三角形的面积公式与余弦定理．【题型】填空题 【难度】一般16．设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a B b A c-=，则tan tan A B =.】【百强校】2022届甘肃省兰州一中高考模拟四理科数学试卷 【答案】4【解析】由正弦定理可得3sin cos sin cos sin 5A B B A C-=,即sin cos A B -()333sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin 555B A A B A B B A A B A B=+⇒-=+sin cos tan sin cos 4cos sin 44cos sin tan A B AA B A B A B B ⇒=⇒=⇒=.考点：正弦定理，两角和差公式. 【题型】选择题 【难度】一般17．在锐角△ABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为,,a b c ，若2sin ,4c a C bc ==，则△ABC 的面积等于_______.】2021-2022学年江西省吉安一中高一下学期第一次段考数学试卷 【答案】考点：正弦定理，三角形面积. 【题型】填空题 【难度】较易18．在△ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:5A B C =，则最大角等于 ．】2022届上海市虹口区高三4月高考练习（二模）理数试卷【答案】3π4【解析】由正弦定理得::1:2:5a b c =，所以最大角为C ，由余弦定理得2221252cos 2222a b c C ab +-+-===-，3π4C ∴=.考点：正、余弦定理. 【题型】填空题 【难度】较易19．一人在海面某处测得某山顶C 的仰角为()045αα︒<<︒，在海面上向山顶的方向行进m 米后，测得山顶C 的仰角为90α︒-，则该山的高度为________米(结果化简).】2022届高考数学总复习考点引领技巧点拨第三章第8课时卷【答案】1tan 22m α考点：正弦定理. 【题型】填空题【难度】一般20．如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛四周n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船连续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危急．】2022届高考数学总复习考点引领技巧点拨第三章第8课时练习卷 【答案】()cos cos sin m n αβαβ>-【解析】由题意知90MAB α∠=︒-，9090MBC MAB AMB β∠=︒-=∠+∠=︒-AMB α+∠，∴AMB αβ∠=-.在△ABM 中，依据正弦定理得()sin 90BM α=︒-()sin mαβ-，解得()cos sin M m B ααβ=-.要使船没有触礁危急，需要()()cos cos sin 90sin m BM nαββαβ︒-=>-，所以α与β满足cos cos m αβ>()sin n αβ-时，该船没有触礁危急.考点：正弦定理. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题（本题共4个小题，共40分） 21．（本小题满分9分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知222a b c ab +-cos cos 1a b B A c c ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭． （1）求角C ； （2）若7c =，△ABC 的周长为57+，求△ABC 的面积S ．】【百强校】2021届江西省高三第一次联考数学（文）试卷【答案】（1）π3C =（2）332ABC S ∆=考点：正弦定理与余弦定理，诱导公式及三角形内角和定理.【题型】解答题 【难度】较易22．（本小题满分9分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花个小时的时间进行徒步攀登．已知120ABC ∠=︒，150ADC ∠=︒，1BD =千米，3AC =千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在个小时内徒步登上山峰．（即从B 点动身到达C 点）】2022届上海市徐汇、金山、松江区高三下学期力量诊断文数试卷 【答案】能够【题型】解答题【难度】一般23．（本小题满分11分）某人在汽车站M的北偏西20︒的方向上的A处(如图所示)，观看处处C有一辆汽车沿大路向M站行驶，大路的走向是M站的北偏东40︒.开头时，汽车处处A的距离为31km，汽车前进20km后，处处A的距离缩短了10km.问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站M ?】2022届高考数学总复习考点引领技巧点拨第三章第8课时练习卷【答案】汽车还需行驶15km，才能到达汽车站M【解析】考点：正弦定理，余弦定理.【题型】解答题【难度】一般24．（本小题满分11分）在海岸A处，发觉北偏西75︒的方向，距离A海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45︒方向，距离A()31-海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30︒方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？】2022届高考数学总复习考点引领技巧点拨第三章第8课时练习卷【答案】缉私船沿北偏西60︒的方向能最快追上走私船【解析】由已知条件得，2AB=，31AC=，120BAC∠=︒，∴222cos44232326BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠=+-+-=考点：正弦定理，余弦定理. 【题型】解答题【难度】一般。
2021年高中数学 第一章 1.2应用举例(一)课时作业 新人教A版必修5
2021年高中数学 第一章 1.2应用举例（一）课时作业 新人教A 版必修5课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°.由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升 13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．35195 897B 襻@{295597377 獷26796 68AC 梬21522 5412 吒[#440637 9EBD 麽tUn38851 97C3 韃36619 8F0B 輋。
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1．2应用举例 练习一
选择题
1、在ABC ∆中，若2
cos 2cos 2cos C
c B
b A a
==，则ABC ∆的形状是（ ）
A 、等腰三角形
B 、等边三角形
C 、直角三角形
D 、等腰直角三角形
2、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等边三角形
D 、等腰三角形或直角三角形
3、在ABC ∆中，若C A B sin sin cos 2=，则ABC ∆的形状一定是（ ）
A 、等腰直角三角形
B 、直角三角形
C 、等腰三角形
D 、等边三角形
4、ABC ∆中，AB=5，BC=6，AC=8，则ABC ∆形状是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、非钝角三角形
5、在某测量中，设A 在B 的南偏东7234'︒，则B 在A 的（ ）
A 、北偏西7234'︒
B 、北偏东3355'︒
C 、北偏西3355'︒
D 、南偏西3355'︒
6、若在测量中，某渠道斜坡的坡度4:3=i ，设α为坡角，那么αcos 为（
）
A 、53
B 、54
C 、43
D 、34
填空题
7、ABC ∆中，若ac b B =︒=260，，则ABC ∆的形状为 。
解答题
8、已知在ABC ∆中，bc a c b c b a 3))((=-+++，且C B A c o s s i n 2s i n =，
试判断ABC ∆的形状。
9、根据下列条件，判断三角形形状。
（1） 在ABC ∆中，
3
4cos cos ==a b B A 。
（2） 在ABC ∆中，C B C B A cos cos sin sin sin ++=。
（3） 在ABC ∆中，若2222c c b a c b a =-+-+，且4
3sin sin =B A 。
10、如图2-3-7所示，在海岸A 处，发现北偏东︒45方向，距A 为）（13-km 的B
处有一艘走私船，A 处
北偏西︒75方向，距A 为2
km 的C 处的缉私船奉命以
3
10km/h的速度追截走私
船，此时走私船正以10 km/h
的速度向北偏东︒
30方向逃窜，
问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需的时间。
11、在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游
击手的直线成︒
15的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下，球速是游击手最大跑速的4倍。
问：按这样的布置，游击手能不能直接接着球？
12、某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇A处获悉后，立即测
出该渔轮在方位角为︒
45距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为︒
105的方向，以9海里/小时的速度向小岛D靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前取营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间。
13、如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14，
∠135
60BCD
BDA，，求BC的长。
=
︒
︒
=
∠
14、如图知︒
MON，Q是MON
∠内的一点，它到两边的距离分别是2和11，∠60
=
求OQ的长。
15、某人在静水中游泳，速度为3
4km/h，
（1）如果他径直游向对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速
度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
答案：
1、 B ；
2、D ；
3、C ；
4、C ；
5、A ；
6、B ；
7、等边三角形；
8、等边三角形
9、(1)直角三角形 (2)直角三角形 (3)等边三角形
10、沿北偏东60°方向需
h 10
6能追上。