坡比、坡度问题
坡比与坡度公式
坡比与坡度公式嘿，说起坡比和坡度公式，这可是个在数学和实际生活中都挺有用的知识点呢！咱们先来说说啥是坡比。
简单来讲，坡比就是坡面的垂直高度和水平距离的比值。
比如说，有一个山坡，从坡底到坡顶的垂直高度是 3 米，而在水平方向上的距离是 4 米，那这个坡的坡比就是 3:4 。
那坡度又是啥呢？坡度就是坡面与水平面的夹角的正切值。
这听起来可能有点绕，但其实也不难理解。
比如说，还是刚才那个山坡，我们通过一些数学方法算出这个夹角的正切值，那就是坡度啦。
坡比和坡度公式在咱们生活里用处可多啦！我记得有一次去爬山，那山坡看着不怎么陡，可爬起来累得够呛。
我就琢磨着，这要是能知道坡比和坡度，提前心里有个数，说不定就能做好更充分的准备。
你看，建筑工人在盖房子的时候，如果要建一个有坡度的屋顶，就得先算好坡比和坡度，这样才能保证屋顶既好看又实用，还不会漏雨。
还有修公路的时候，工程师们也得把坡比和坡度考虑进去，不然这路不是太陡不好走，就是太平容易积水。
咱们来具体说说坡比和坡度的公式。
坡比的公式就是坡面的垂直高度比上水平距离，用字母表示就是 i = h / l ，这里的 i 表示坡比，h 表示垂直高度，l 表示水平距离。
而坡度的公式就是α = arctan(i) ，这里的α表示坡度角，i 就是咱们刚说的坡比。
学习坡比和坡度公式的时候，可别死记硬背，得多做些练习题来加深理解。
比如说，给你一个山坡的垂直高度是 5 米，水平距离是 12 米，让你算出坡比和坡度。
这时候，你就可以用咱们学的公式，先算出坡比是 5:12 ，然后再算出坡度角。
再比如，有时候我们去滑雪，那雪道也是有坡度的。
如果我们能知道坡比和坡度，就能大概估计出这个雪道的难度，是适合新手还是高手。
总之，坡比和坡度公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多用心，多结合实际生活去理解，就能发现它们其实挺有趣，也挺有用的。
不管是在学习中，还是在日常生活里，掌握了这两个概念，都能让我们更好地理解和应对各种和坡度有关的问题。
坡度坡比的计算
坡度坡比的计算坡度和坡比是描述地面或道路的倾斜程度的两个重要指标。
在土木工程中，我们经常使用这两个指标来评估道路的陡峭程度或地形的复杂性。
下面我将详细介绍坡度和坡比的计算方法。
一、坡度的计算坡度是指水平距离单位上的垂直高度变化。
坡度可以用百分比、度数或者简单比例表示。
常用的计算坡度的方法有以下两种：1.百分比坡度计算公式：百分比坡度（%）=（垂直高度变化/水平距离）×100假设段道路的垂直高度变化为10米，水平距离为100米，那么它的坡度可以通过以下公式计算出来：坡度（%）=（10/100）×100=10%这就表示该段道路的坡度为10%。
2.度数坡度计算公式：度数坡度（°）= atan（垂直高度变化 / 水平距离）同样以前面的例子为例，我们可以通过以下公式计算出该段道路的度数坡度：度数坡度（°）= atan（10 / 100）= 5.71°这就表示该段道路的度数坡度为5.71°。
坡比是指水平距离单位上的垂直高度与水平距离的比值。
坡比通常用1:n的形式表示，其中n表示水平距离的单位长度所对应的垂直高度的长度。
常用的计算坡比的方法有以下两种：1.比例坡比计算公式：比例坡比（1:n）=垂直高度变化/水平距离假设段道路的垂直高度变化为10米，水平距离为100米，那么它的坡比可以通过以下公式计算出来：坡比（1:n）=10/100=1:10这就表示该段道路的坡比为1:10。
2.百分比坡比计算公式：百分比坡比（%）=（垂直高度变化/水平距离）×100同样以前面的例子为例，我们可以通过以下公式计算出该段道路的百分比坡比：百分比坡比（%）=（10/100）×100=10%这就表示该段道路的百分比坡比为10%。
三、坡度和坡比的应用坡度和坡比的计算在土木工程中有着广泛的应用。
它们可以用于评估道路的陡峭程度，在道路设计、施工和维护中起到重要的作用。
坡度比问题
四、教学指导
1、坡度（或坡比） 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作i, 即
i＝hl =tanα 坡度通常写成1∶m的形式
2、坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 3、看图
ih
h
l水库
α
L
五、当堂训练
1、如图，水库堤坝的横断面积为梯形ABCD，DC∥AB,迎水 坡AD长为 2 3 米，上底DC长2米，背水坡BC的长也为2 米，又测∠DAB=300,∠CBA=600. 求下底AB的长度。
解直角三角形
坡度比问题
一、自学目标
坡度（或坡比）与坡角
在修路、挖河、开渠和筑坝时 ，经常 都会遇见上坡、下坡。若右图一所示，你
知道上面标的i＝1 : 2.35 是什么意思吗？
1、坡度（或坡比）
图一
如图二，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） .
的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作i,
即
i=
h l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
23
300 A
D 2米 C
2米
600
E
2、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6米，坝高
BE=CF=20米，斜坡AB的坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度 =1:2.5，求坝底宽AD的长.（答案保留根号）
B
C
300 °
A
EF
i 1: 2.5
D
3、如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽 BC为6m，堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力，需要 将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的坡 度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成 i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。
坡比、坡度问题
（2）自学“例4”，认真思考下列问题： ①.四边形ABCD是梯形，例中是如何做辅助线把四边
形进行分割的？
②.例题中通过辅助线把四边形分割成 形和 形。 ③.这样，就把实际问题转化为直角三角形的问题。
解疑合探
1、坡角
坡面
i= h : l
h
α 水平面
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
l
2、坡度（或坡比）
别忽略我哦！
Ａ
bＣ
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
水库大坝的横断面是梯形， 坝顶宽6m，坝高23m，斜坡 AB的坡度i=1∶3，斜坡CD 的 坡度i=1∶2.5，
则斜坡CD的 坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB 的长应设计为多少？
A
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
23
D
学习目标
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
1、斜坡的坡度是 1 : 3，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是45°，则坡比是 __1：__1___。
在Rt△ABE中
i
BE AE
1 3
AE 3BE 3 23 69m
在Rt△DCF中，同理可得
i CF
1
FD
2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m
AD AE EF FD
华东师大版九年级数学上册《坡比、坡度问题》评课稿
华东师大版九年级数学上册《坡比、坡度问题》评课稿一、课程概述《坡比、坡度问题》是华东师大版九年级数学上册中的一节重要课程。
本课程主要内容涵盖了坡比的计算与应用、坡度的计算与应用，通过几个具体的问题，帮助学生理解和应用坡比、坡度的概念。
本课程通过直观的实例和实际问题，帮助学生巩固和扩展他们在数学运算和几何方面的知识和技能。
二、教学目标1.理解和掌握坡比和坡度的概念；2.能够计算和应用坡比和坡度；3.发展学生的问题解决能力和数学思维。
三、教学重点与难点教学重点：1.坡比的计算与应用；2.坡度的计算与应用。
教学难点：1.坡比和坡度的概念理解与应用；2.坡比和坡度的问题解决。
四、教学内容与方法1. 教学内容本课程主要围绕坡比和坡度展开，具体内容如下：1.坡比概念介绍：–什么是坡比？–如何计算坡比？–坡比的应用场景。
2.坡度概念介绍：–什么是坡度？–如何计算坡度？–坡度的应用场景。
3.坡比和坡度的计算与应用：–固定坡度下的坡比计算；–固定坡比下的坡度计算。
4.基于坡比和坡度的问题解决：–实际问题的建模和解决；–坡比和坡度在生活中的应用。
2. 教学方法为了提高学生的学习兴趣和参与度，本课程采用以下教学方法：1.讲解与示范：通过课堂讲解和示范，帮助学生理解和掌握坡比和坡度的概念。
2.实例分析：通过具体的实例分析，让学生将坡比和坡度的知识应用到实际问题中，提高问题解决能力。
3.合作学习：设计合作学习活动，让学生在小组中合作解决坡比和坡度相关问题，培养学生的团队合作精神。
4.课堂练习与讨论：安排课堂练习和讨论，巩固学生对坡比和坡度的理解和应用能力。
五、教学评价与反思1. 教学评价本课程的教学评价主要从以下几个方面进行：1.学生的参与度：通过观察学生的主动参与情况，评估课堂氛围和学生的学习兴趣。
2.学生的表现：通过课堂练习和问题解决，评估学生对坡比和坡度的理解和应用能力。
3.教学效果：通过学生的学习成绩和学习反馈，评估教学效果和学生的学习成果。
坡度坡比
1、坡角：坡面与水平面的夹角。
图 19.4.5 2、坡度（或坡比）： 坡面的铅垂高度（h）和水平距离（l）的比。
表示坡度时，通常写成1:m 的形式 3、坡度与坡角的关系： i h tan l
4、应用： （1）能将h、l、c、i各量的计算问题转化为解 直角三角形的问题，这些量中若已知两个量， 可求其他量. （2）在有些实际问题中没有直角三角形，学会 添加辅助线构造直角三角形.
解直角三角形的应用
坡度(坡比)和坡角
i 1: 3
B
6
C
i=1:2.5 23
A
D
i= h : l
坡面
1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
α
h
水平面
l
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（l）
h 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—— l 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
B C
i 1: 3
A α D
拓展练习
1、如图,某截面为梯形的水坝上底宽AD=6米, 高为4米,斜坡AB的坡比i=1∶1.2，斜坡DC的 坡角为45° (1)求坝底BC的长； (2)若将坝高再提高0.5米，得梯形EBCF。此 时坝宽EF为多少米？
2、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道 的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2 米，坡角为45°。实际开挖渠道时，每天比原 计划多挖土20立方米，结果比原计划提前4天 完工，求原计划每天挖土多少立方米。
h α
L
例题 一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD，路基顶宽BC为2.8米，路基高为 1.2米，斜坡AB的坡度ｉ=1：1.6 (1)计算路基的下底宽(精确到0.1米)； (2)求坡角(精确到1°) 2.8
《坡比、坡度问题》课件河南省县级优课
《坡比、坡度问题》课件河南省县级优课一、教学内容本节课我们将学习教材第十章“地形与建筑”中的第三节“坡比与坡度问题”。
详细内容包括：坡度的定义、计算方法及其在实际工程中的应用；坡比的含义、表达方式及其在土方工程和建筑设计中的应用。
二、教学目标1. 理解坡度和坡比的概念，掌握它们的计算方法和应用场景。
2. 能够运用坡度和坡比知识解决实际问题，提高学生的实际操作能力。
3. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：坡度和坡比在实际工程中的应用。
教学重点：坡度和坡比的计算方法及其概念的理解。
四、教具与学具准备教具：PPT课件、黑板、粉笔。
学具：直尺、计算器、绘图板。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示不同坡度的斜坡图片，引导学生观察并描述其特点。
2. 坡度概念讲解（10分钟）介绍坡度的定义，通过例题讲解计算方法。
3. 坡比概念讲解（10分钟）解释坡比的概念，展示坡比的表达方式，并通过实例讲解其在实际工程中的应用。
4. 随堂练习（15分钟）设计一些关于坡度和坡比的练习题，让学生现场解答，并及时给予反馈。
5. 例题讲解（10分钟）分析一道综合性的坡比和坡度问题，引导学生运用所学知识解决问题。
6. 小组讨论（15分钟）将学生分成小组，针对实际工程案例讨论坡度和坡比的应用，促进学生的合作能力和思考能力。
回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
六、板书设计1. 坡度的定义和计算公式。
2. 坡比的定义和表达方式。
3. 例题解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：计算给定斜坡的坡度和坡比。
答案：待学生完成作业后给出。
2. 作业题目：分析某建筑设计图纸中的坡度和坡比，说明其合理性。
答案：待学生完成作业后给出。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：针对学生在课堂上的表现，反思教学方法是否得当，是否需要调整教学进度。
2. 拓展延伸：鼓励学生利用课余时间查找更多关于坡度和坡比在实际工程中的应用案例，加深对知识点的理解。
《坡比、坡度问题》课件河南省县级优课
《坡比、坡度问题》课件河南省县级优课一、教学内容本节课我们将探讨《工程数学》教材中第四章“地形工程”的第三节“坡比、坡度问题”。
具体内容包括坡度的定义、计算方法及其在实际工程中的应用；坡比的概念、计算以及如何通过坡比分析地形特点。
二、教学目标1. 让学生掌握坡度和坡比的基本概念，并能够准确计算出不同情况下的坡度和坡比。
2. 培养学生运用数学知识解决实际工程问题的能力，特别是与地形相关的工程问题。
3. 通过实践案例分析，提高学生对于坡度、坡比在工程中重要性的认识。
三、教学难点与重点重点：坡度与坡比的计算方法及其在工程中的应用。
难点：如何将理论知识与实际工程情况相结合，解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔、尺子、计算器。
2. 学具：练习本、笔、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（10分钟）展示一些实际工程案例，如道路、铁路设计中的坡度问题。
引导学生思考：为什么需要考虑坡度？坡度的大小对工程有何影响？2. 基本概念讲解（15分钟）介绍坡度、坡比的定义。
通过PPT和黑板，演示如何计算坡度和坡比。
3. 例题讲解（20分钟）出示例题，指导学生如何将实际工程问题转化为数学计算问题。
解题过程中强调计算步骤和注意事项。
4. 随堂练习（15分钟）分发练习题，让学生独立完成，实时检验学习效果。
选择几份作业进行点评，纠正普遍存在的问题。
5. 应用分析（20分钟）分析实际工程案例，让学生应用所学知识解决具体问题。
分组讨论，每组选代表分享解题思路和结果。
六、板书设计坡度、坡比的定义和计算公式。
例题解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：计算给定坡面长和高度情况下的坡度和坡比。
设计一个简单的道路坡度方案，并计算其坡度。
2. 答案：将在下一节课开始时提供详细答案，并进行分析讨论。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过作业和随堂练习的反馈，评估学生对坡度、坡比概念的理解程度以及计算准确性。
2. 拓展延伸：邀请工程师进行讲座，让学生了解坡度在工程实践中的应用。
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解直角三角形
【知识与技能】
1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；
2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.
【过程与方法】
经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题.
【教学难点】
解决有关坡度的实际问题.
一、情境导入，初步认识
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i，
即i=h
l
.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
有i=h
l
=tanα.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
二、思考探究，获取新知
例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）
例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC =30°,斜坡
AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡
比是1∶3（即CD 与BC 的长度之比）.A 、D 两点处于同一铅垂线上，
求开挖后小山坡下降的高度AD.
解：在Rt △ABC 中，∠ABC=30°,
则易求AC=6米，BC=63米.
在Rt △BDC 中，i=13
DC BC =.
易得DC=13
BC =.
∴AD=AC-DC=（.
三、运用新知，深化理解
1.已知一坡面的坡度i=1则坡角α为（ ）
A.15°
B.20°
C.30°
D.45°
2.彬彬沿坡度为150米，则他离地面的高度为（ ）
米 B.50米
C.25米米
3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶
，则此处大坝的坡角和高分别是______米.
4.如图，一束光线照在坡度为1
射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是______.
5.如图，已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D 处，测得点A 的仰角为60°，求AB 的高度.
四、师生互动，课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培
养学生应用数学的意识.。