49 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教案
6.2.4 向量的数量积
第2课时向量的向量积
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
A.掌握数量积的运算律；
B.利用数量积的运算律进行化简、求值；
1.教学重点：数量积的运算律；
2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。
教学方法：以学生为主探究式学习合作学习
教学工具：多媒体课件相关资料
教学过程
多媒体
一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律
【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
（1） a a )()(λμμλ=
（2）a a a μλμλ
+=+)(
（3）b a b a λλλ+=+)(
2.平面向量的数量积定义：
θcos ||||b a b a =⋅
平面向量的数量积的结果是数量。
二、探索新知
1.平面向量数量积的运算律
探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
平面向量数量积的运算律
证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅
所以，a b b a ⋅=⋅。
（2）当的夹角与的夹角、
与时，b a b a λλ0>一样。
因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，
)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ
同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。
所以，)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅。
（3）
学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，总结
思考：设c b a ,,是向量，)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅一定成立吗？为什么？
【答案】c b a ⋅⋅)( 表示与一个与c 共线的向量，
而)(c b a ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，但a 与c
不一定共线。
所以)()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅。
结论：向量数量积不满足结合律。
例
1.对任意R b a ∈,，恒有2
2
2
2)(b
ab a b a ++=+，
22))((b a b a b a -=-+，对任意向量b a ,，是否也有下面类似的结
论？（1）2
2
22)(b b a a b a +⋅+=+；（2）2
2
))((b a b a b a -=-+。
【解析】
通过思考，让学生明白向量数量积不满足结合律，提高学生解决问题的能力。
通过例题进一步巩固向量数量积
的运算律，提高学生运用所学知识解决问题的能力。
教学后记
在整个探求过程中,充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。
这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。
我感觉不足的有:(1)教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。
(2)教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师讲授,这是个值得思考的问题。
(3)教师要点拨到位，在学生出现问题后,教师要及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素质。
(4)课堂语言还需要进一步提炼。
在教学中,提出的问题,分析引导的话应具体,明确,不能让学生不知道如何回答,当然有些问题我也考虑过该如何问,只是没有找到更合适的提间方法,这方面的能力有待加强。
空间向量的数量积运算(2课时)
空间中任意向量$vec{A}$可以由其起点$A$和终点$B$的坐 标确定，即$vec{A} = overrightarrow{AB}$。
向量$vec{A}$的坐标表示为$vec{A} = avec{i} + bvec{ j} + cvec{k}$，其中$a, b, c$为实数，$vec{i}, vec{ j}, vec{k}$分别 为沿$x, y, z$轴的正方向单位向量。
零向量的特殊处理
总结词
零向量与任何向量的数量积为0。
详细描述
零向量与任何非零向量的数量积都为0，这是因为数量积的定义中包含向量模的乘积，而零向量的模为0， 因此其数量积为0。
向量夹角与向量数量积的关系
总结词
向量夹角越小，数量积越大；夹角越大，数量积越小。
详细描述
向量数量积等于两个向量模的乘积与夹角的余弦值的乘积。因此，当夹角从0度增加到 180度时，余弦值从1减小到-1，导致数量积从正无穷大减小到负无穷小。
详细描述
结合律也是基本的数学运算规则之一， 在空间向量的数量积运算中同样适用。 这意味着向量的数量积运算满足结合 性质，即改变括号的位置或顺序不会 影响结果。
分配律
总结词
分配律是指空间向量的数量积运算满足分配律，即$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。
向量数量积与向量模的关系
总结词
两个向量的模越接近，其数量积越大； 模相差越大，数量积越小。
VS
详细描述
向量数量积的大小不仅与夹角有关，还与 向量的模有关。当两个向量的夹角相同时 ，模越长的向量其数量积越大；当两个向 量的模相同时，夹角越小的向量其数量积 越大。
平面向量的数量积第二课时教案
教案：平面向量的数量积第二课时教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b|cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为03．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为C负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b|4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a= a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或||a =4︒cos θ =||||a ba b ⋅；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |6．判断下列各题正确与否：1︒若a = 0 ，则对任一向量b ，有a ⋅b= 0 ( √ )2︒若a ≠ 0 ，则对任一非零向量b ，有a ⋅b≠ 0 ( ³ )3︒若a≠ 0 ，a ⋅b = 0，则b =0 ( ³ )4︒若a ⋅b = 0，则a、b 至少有一个为零 ( ³ )5︒若a ≠ 0 ，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c( ³ )6︒若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c当且仅当a ≠ 0 时成立 ( ³ )7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c) ( ³ )8︒对任意向量a ，有a 2 = |a| ( √ )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a= |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a⋅(λb )=λ|a ||b|cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b|cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b|cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b|cos θ3．分配律：(a + b )⋅c = a⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作= a , = b ，=c，∵a + b （即OB ）在c方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a| cos θ1 + |b | cos θ2 ∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b| cos θ2 ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b即：(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c说明：（1）一般地，(a ²b )c ≠a （b ²c）（2）a ²c ＝b ²c ，c ≠0a ＝b（3）有如下常用性质：a ２＝｜a ｜２，（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ²c ＋a ²d ＋b ²c ＋b ²d (a ＋b )２＝a ２＋２a ²b ＋b ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a- 2b 垂直，求a 与b的夹角解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b-15b 2 = 0 ① (a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b+ 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a ⋅b= b 2代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =2212||||2||a b b a b b ⋅== ∴θ = 60︒ 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图： ABCD 中，AB DC = ，AD BC = ，AC =AB AD +∴|AC |2=222||2AB AD AB AD AB AD +=++⋅而BD =AB AD -∴|BD |2=222||2AB AD AB AD AB AD -=+-⋅∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AB AD + = 2222||||||||AB BC DC AD +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，且a ²b＝b ²c ＝c ²d ＝d ²a，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵a ＋b ＋c ＋d＝0，∴a ＋b ＝－（c ＋d ），∴(a ＋b )２＝（c ＋d ）２即｜a ｜２＋２a ²b ＋｜b ｜２＝｜c ｜２＋２c ²d＋｜d ｜２由于a ²b ＝c ²d ，∴｜a ｜２＋｜b ｜２＝｜c ｜２＋｜d ｜２① 同理有｜a ｜２＋｜d ｜２＝｜c ｜２＋｜b ｜２②由①②可得｜a ｜＝｜c｜，且｜b ｜＝｜d ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由a ²b ＝b ²c，有b （a －c ）＝０，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c，代入上式得b ²(2a )＝０即a ²b ＝０，∴a ⊥b也即AB ⊥BC综上所述，四边形ABCD 是矩形评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a ＋b ＋c ＋d ＝0 ，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系 四、课堂练习：1 ）A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D ²b是一个实数|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )²(a -3b)等于（ ）A 72B -72C 36D -363a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b的位置关系为（ ）A 平行B 垂直C 夹角为3D 不平行也不垂直4|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝5|a |=2,|b |=5,a ²b =-3,则|a +b |=______,|a -b|= 6|a |=3,|b |=5,且a+λb 与a －λb 垂直，则λ＝参考答案：1C 2B 3B 4２ ５－１+2335 653五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题 六、课后作业1|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b的夹角是（ ）A 60°B 30°C ° D2|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m ＝a -4b的模为（）A 2B 23C 6D 123a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b)垂直的（ ）A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |²|a -b |=5a +b =2i -8j ,a -b=-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ²b= a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,| c|=3,则(a +2b -c )２＝______7|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ²b ;(2)若a 、b的夹角为６０°，求|a +b |； (3)若a -b 与a 垂直，求a 与b的夹角8m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m的夹角9a 、b ，求使|a +t b|最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角参考答案：1D 2B 3C 45 –636 1172 (2)23 (3)45° 8 120° 9 90°七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(a ＋b )２＝a ２＋２a ²b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ²b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ²b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b｜解：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ²b ＋b ２＝２２＋２³（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ²b ＋b２＝2２－2³（－3）³５２＝35，∴｜a －b｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b的夹角θ(精确到１°)解：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ²b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜²｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２∴１６２＝８２＋２³８³１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５°。
向量的数量积【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
投影向量
1.如图,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和
终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
,则称上述变换为向
量a向向量b⑤ 投影 ,
叫做向量⑥ a 在向量⑦ b 上的投影向量.
2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向 量是⑧ |a|cos θ e .
由题意得 ⊥ ,| |=| |=1,
设非零向量a与b的夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0.
用 , 表示 , ,然后利用平面向量的运算律及数量积的定义求解.
∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
两向量的数量积仍是一个向量.
理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
,得(
+
)· =0,
对数于量任 积意的向定即量义2中a,b要,总注有意·(两a·b向)2=量=0a的,2故起·b2点A. 重M合⊥时所BC对.应的角才是两个向量的夹
角,两向量夹角的范围是[0,π].
2. 由 - - =2 · ,得( + )2= ,
示),则② ∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
3.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹 角,两向量夹角的范围是[0,π].
4.向量数量积的性质: 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,则 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2; (2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;
〖2021年整理〗《空间向量的数量积运算》优秀教案
空间向量的数量积运算陈菊仙一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值． （二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律． 2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题． （三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律． 2．空间向量的模长公式和夹角公式． 3．空间向量数量积在立体几何中的应用． （四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积，记作a b ⋅． 零向量与任何向量数量积为0．特别地，a a ⋅=><a a a a ,cos ||||2||a =．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||； ②若a ，b a b ⊥⇔a b ⋅0=；③==a ||；④若a ，b 为非零向量，则>=<b a ,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量a ，b 满足：3||=a ，2||=b ，a b ⋅6-=，则>=<b a ,（ ） A ．0B ．3πC ．2πD ．π【知识点】空间向量的夹角公式． 【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯，∴>=<b a ,π． 【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式． 【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（ ） A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴B C AB 11⋅)()(11CB C C BB AB +⋅+=C C BB CB AB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ， 故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0． 【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ． 【知识点】空间向量的模长．【解题过程】=21||AC 2121)(AA AD AB AC ++=112122222AA AD AA AB AD AB AA AD AB ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85． 【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ． 【知识点】空间向量的模长．【解题过程】222)(||BD AB CA CD CD ++==BD AB BD CA AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++． 二课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）共线向量定理的两种表达形式； （3）共面向量定理的两种表达形式． 2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★ ●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a ，b 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备． ●活动② 巩固理解，深入探究 同样的，那数量积的定义呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner roduct ），记作a b ⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=． 【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义． ●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答）①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入． 探究二 探究空间向量数量积的性质★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答）①若e 为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>；（解释：1||=e ，转化为投影） ②若a ，b 为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=；（解释：,cos022a b ππ<>==，）③||a ==（解释：,0cos 01a b <>==，） ④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式）⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=，可用于证明空间向量垂直；第③条，||a =长公式；第④条，,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础． 探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=；②a =||22a b b a =； ④22||4||9)23()23(b a b a b a -=-⋅+．正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律． 【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；a ，b 不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确． 【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律． 【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．CB BA ⋅2 B ．BD AD ⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<BD AD ， 所以><=⋅BD AD BD AD BD AD ,cos ||||22223cos2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算． 【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ） A ．0 B ．21 C ．22 D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<c a b a ，且||||c b =． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅3cos ||||3cos||||ππb a c a -=0|)||(|||21=-=b c a ， 所以0,cos =>=<BC OA BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长． 【答案】A ．同类训练 已知空间向量a ，b ，c 两两夹角为 60，其模都为1，则|2|c b a +-等于（ ） A ．5 B ．5 C ．6 D ．6 【知识点】空间向量的模长公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∴2|2|c b a +-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|c b a +-5=．【思路点拨】先计算b a ⋅，c b ⋅，a c ⋅，再利用模长公式展开计算． 【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线的方向向量a ，同时取向量PA ，OA ，∵OA l ⊥，∴0=⋅OA a ．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅PO a ． 又∵=⋅PA a )(OA PO a +⋅0=⋅+⋅=OA a PO a ，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量PA 用PO ，OA 来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥． 【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ． 【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ． ∵m 与n 相交，∴向量m ，n 不平行，由向量共面的充要条件知， 存在唯一的有序实数对),(y x ，使n y m x g +=．∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥． ∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量g 表示为m ，n 的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度． 3 课堂总结 知识梳理（1）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥． （2）已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner roduct ），记作a b ⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，a a ⋅=><a a a a ,cos ||||2||a =．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ，②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||a ==；④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛． （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(b a b a ⋅=⋅ B ．||||||b a b a ≤⋅C ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅D ．若)(c b a -⊥，则0=⋅=⋅c a b a 【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】对于A 项，><=⋅b a b a b a ,cos )(222222b a ≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅c b a ，所以c a b a ⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】B ．2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-b b a )2(（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||==b a ，>=<b a , 60，∴=⋅-b b a )2(22b b a -⋅0||60cos ||||22=-=b b a ． 【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则． 【答案】B ．3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅CD AB （ ） A ．2-B ．2C ．32-D ．32【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=⋅CD AB )(AC AD AB -⋅AC AB AD AB ⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=． 【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+)()(AC AB DA DC DA DB -⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形． 【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO +=，则AB 与AC 的夹角 为 ． 【知识点】空间向量的夹角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AO +=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,AC > 90=． 【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角． 【答案】 90．6．已知a ，b ，c 中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||c b a ++的值． 【知识点】向量模长公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵2||c b a ++a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||c b a ++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23||=a ，4||=b ，b a m +=，b a n λ+=，43,π>=<b a ，若n m ⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵n m ⊥，∴0=⋅n m ，即⋅+)(b a 0)(=+b a λ，则0)1(22=⋅+++b a b a λλ，即043cos234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ．【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a CA =．b CB =，c CC =1，1||||||===c b a ，∴0=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∵BM c +=，AN c +=，∴BM ⋅AN 432=+=c ， 又∵26||=BM ，25||=AN ，∴BM <cos ⋅>AN ANBM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将BM 与AN 用a ．b ，c 表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a BA =，b BC =，c BB =1，m b a ==||||，n c =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=c a +-=，=1BC c b +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)(c a )(c b +2c b a +⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴C A AB 11⋅⋅+-=)(c a )(1BC AB A A ++⋅+-=)(c a )(b a c +--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥．【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用a ，b ，c 表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化．【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，c AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设BC n BB m BO +=1，则)(a b n c m BO -+=c m b n a n ++-=，而BO AB AO +=c m b n a n ++-=)1(，∴11AA AO O A -=c m b n a n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅c O A ，0)(1=-⋅a b O A ， ∴])1()1[(c m b n a n -++-0=⋅c ，])1()1[(c m b n a n -++-0)(=-⋅a b ，解得43=m ，21=n ，BO +=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将BO 表示为BC n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||b a m b a m ⋅=⋅)()(λλ；③a c b c b a ⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为a 与b 的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量a ，b 满足2||=a ，2||=b ，且a 与a b -2互相垂直，则>=<b a , ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵a 与a b -2互相垂直，∴a 0)2(=-⋅a b ，即022=-⋅a b a ，∴2=⋅b a ，∴22,cos =>=<b a b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用． 【数学思想】转化思想【解题过程】∵BD BC ⋅)()(AB AD AB AC -⋅-=2AB AD AB AB AC AD AC +⋅-⋅-⋅=02>=AB ，∴0,cos >>=<BD BC BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角．【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵DB CD AC AB ++=，∴CD DB CD AC CD AB ⋅++=⋅)(12==CD ，故21,cos =>=<CD AB CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出CD AB ⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵CD BD AB CA ++=，∴2CD 2)(BD AB CA ++=CA BD BD AB AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将CD 拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与PA 1所成角的大小为 ． 【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵P A C B 11⋅()(1AD AD AA +⋅+-=2AD =1=，由题意得211==C B PA ，则21,cos 11=>=<P A C B P A C B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出P A C B 11⋅．【答案】 60．。
向量的数量积与向量积教案
向量的数量积与向量积教案一、引言在学习向量的时候，除了了解向量的基本概念和运算法则，还需要掌握向量的数量积与向量积两种特殊的运算方式。
本教案将详细介绍向量的数量积与向量积的概念、性质及其在几何和物理问题中的应用。
二、向量的数量积1. 概念向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
设有向量a、b，则a与b的数量积记作a·b，计算公式为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b + c) = a·b + a·c（3）数量积的零向量：若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个是零向量。
（4）平行性判别：a·b = |a|·|b| 当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）工作与力的夹角：设有一个施力向量F和一个位移向量d，则功W等于F·d。
（2）向量的投影：设向量a与b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|·cosθ。
三、向量的向量积1. 概念向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的积。
设有向量a、b，则a与b的向量积记作a×b，计算公式为：|a×b| = |a|·|b|·sinθ其中，|a×b|表示a与b的向量积的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）反交换律：a×b = -b×a（2）分配律：a×(b + c) = a×b + a×c（3）叉乘的零向量：若a×b = 0，则a与b平行或其中一个是零向量。
（4）垂直性判别：a与b的向量积为零当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）面积计算：设有两个向量a和b，它们的向量积|a×b|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积。
【精品课件】高中数学新北师大版选择性必修第一册 第三章 2第2课时空间向量的数量积 课件(59张)
【解析】选 C.因为|a| ＝1，|b| ＝2，〈a，b〉＝60°，所以 a·b＝|a| |b| cos 〈a，b〉
＝1×2×cos 60°＝1，所以(a＋b) ·a＝a2＋b·a＝12＋1＝2， 所以 a＋b 在 a 上的投影数量为(a＋|ab| )·a ＝2.
求一个向量在另一个向量方向上的投影数量的方法 (1)根据向量夹角公式求得夹角的余弦值．
(2)投影数量：用b0表示与向量b(b≠0)同方向的单位向量，(1)图中向量 O A 1 的长度为 O A 1O A co s〈 a ,b 〉 ，把__O _A __c_o_s〈 __a _,_b_〉 __a _b _b _ __b_0_a _称作向量a在向量b
方向上的投影数量.
投影数量的符号由什么确定？
1．已知向量 a 和 b 的夹角为 120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a 等于( )
A．12
B．8＋ 13
C．4
D．13
【解析】选 D.(2a－b)·a＝2a2－b·a ＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×( 1 ) ＝13.
2
2．已知 a＝3p－2q，b＝p＋q，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 a·b＝( )
【解析】设 a 与 b 夹角为 θ，因为|a|＝3|b|， 所以|a|2＝9|b|2， 又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ， 即 9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有 cos θ＝－13 . 答案：－13
3．已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角 θ 为π3 ，则 a 在 b 方向上的投影数量为( )
《向量数量积》课件
注意事项
需要确保向量的图形表示是准 确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个 向量的和，然后利用这两个向量的数积 来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的 和，然后分别计算这两个向量的数量积， 最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这 个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个 向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向 量的数量积大于等于0，当且仅当两 向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质 ，它反映了向量之间的角度关系。如 果两个非零向量的数量积为0，则这两 个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积 ，但计算方式不同。点积计算时考虑向 量的方向，而数量积不考虑方向只考虑 大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相 乘后求和，得到的结果是一个标量。而数 量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余 弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不 仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的 方向有关。而数量积的结果只与向量的模 长和夹角有关，与方向无关。
《空间向量的数量积运算》示范教案
3.1.3空间向量的数量积运算整体设计教材分析本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法．通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．过程与方法1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间向量的应用意识．重点难点教学重点：1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用．教学难点：1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解．教学过程引入新课提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝12FC′，如何确定BE→，FD→的夹角？活动设计： 教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式． 设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用．探究新知提出问题1：空间向量的夹角应该怎样定义，怎样表示？夹角的取值范围是什么，怎样定义向量垂直？活动设计：教师指导学生回忆平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围，并进行类比；学生回忆平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围，并进行类比得到结论．活动成果：1．空间向量a ，b 的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．空间向量a ，b 的夹角的取值范围：0≤〈a ，b 〉≤π，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．当a ，b 同向共线时〈a ，b 〉＝0，当a ，b 反向共线时〈a ，b 〉＝π.3．两个向量垂直的定义：若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b .设计意图：通过回忆平面向量夹角的定义和取值范围类比得出空间向量夹角的定义和取值范围．提出问题2：类比平面向量的数量积运算的定义，思考并尝试如何给空间向量定义数量积运算，并指出数量积运算满足怎样的运算律．活动设计：学生自由发言；教师板书并请不同的同学进行补充． 活动成果：1．已知两个非零向量a ，b ，则||a ||b cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ， 即a ·b ＝||a ||b cos 〈a ，b 〉； 2．规定零向量与任意向量的数量积为0； 3．两个向量的数量积满足的运算律： (1)(λa )·b ＝λ(a ·b )； (2)a ·b ＝b ·a ； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 设计意图：由平面向量数量积的定义和运算律引导学生类比得出空间向量数量积的定义和运算律．理解新知提出问题1：a ，b ，c 为非零向量，有a ·b ·c ＝a ·(b ·c )成立吗？a ·b ＝b ·c 能得到a ＝c 吗？ 活动设计：学生先自己思考，然后小组讨论；教师巡视并和学生交流． 活动成果： 1．∵a ·b 是实数，∴a ·b ·c 是与c 共线的向量；同样a ·(b ·c )是与a 共线的向量； ∴a ·b ·c ＝a ·(b ·c )不一定成立，即数量积运算不满足结合律． 2．∵a ·b ＝b ·c ，∴(a －c )·b ＝0.∴(a －c )⊥b .不能得到a ＝c ，即数量积运算不满足消去律． 设计意图：深化对向量数量积运算的理解和对运算律的熟悉．提出问题2：数量积运算能否判断两个向量的平行或垂直关系，能否用来求角？活动设计：学生先自己思考，然后小组讨论；教师巡视并和学生交流． 活动成果： 1．若a ·b ＝||a ||b ，则a ，b 同向；若a ·b ＝－||a ||b ，则a ，b 反向；特别的a 2＝||a 2， ∴||a ＝a 2.2．若a ，b 为非零向量，则a ·b ＝0a ⊥b .3．cos 〈a ，b 〉＝a ·b||a ||b . 设计意图：由用数量积判断向量的关系引出空间向量数量积运算的变形，更好地理解数量积运算的定义．运用新知用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．已知：m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果l ⊥m ，l ⊥n.求证：l ⊥α.思路分析：要证明l ⊥α，就要证明l 垂直于α内的任一条直线g(直线和平面垂直的定义)．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l ⊥m ，l ⊥n 得到l ⊥g ，就能解决此问题．证明：在α内作不与m ，n 重合的任一直线g ， 在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g . ∵m ，n 相交，∴向量m ，n 不平行．由共面定理可知， 存在唯一有序实数对(x ，y)，使g ＝x m ＋y n ， ∴l ·g ＝x l ·m ＋y l ·n .又∵l ·m ＝0，l ·n ＝0， ∴l ·g ＝0.∴l ⊥g .∴l ⊥g.所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l ⊥α.点评： 用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为用向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算结果或证明结论．巩固练习已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC.证明： AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0.∴AD ⊥BC.变练演编如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 的夹角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.提出问题：要求OA 与BC 的夹角的余弦值，还可以给出哪几组条件？提示：可以将∠OAC ＝45°换成∠ABC 的值，将AC 的长换成边OC 的长，利用OC →＝OA →＋AB →＋BC →平方即可．设计意图：发散学生思维，提高学生整合知识的能力．达标检测1．已知向量a ⊥b ，向量c 与a ，b 的夹角都是60°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3， 试求：(1)(a ＋b )2；(2)(a ＋2b －c )2；(3)(3a －2b )·(b －3c )．2．已知线段AB ，BD 在平面α内，BD ⊥AB ，线段AC ⊥α，如果AB ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c ，求C 、D 间的距离．答案：1.(1)5 (2)11 (3)－722．解：∵AC ⊥α，AB ，BD α， ∴AC ⊥AB ，AC ⊥BD.又∵AB ⊥BD ， ∴AC →·AB →＝0，AC →·BD →＝0，AB →·BD →＝0. ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝c 2＋a 2＋b 2.∴|CD|＝a 2＋b 2＋c 2. 课堂小结1．知识收获：空间向量的夹角的定义、表示方法、取值范围；两个空间向量的数量积运算和运算法则；利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．3．思维收获：类比思想、转化思想． 布置作业课本习题3.1A 组3、4，补充练习． 补充练习 基础练习1．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 的模．2．已知|a |＝2，|b |＝5，〈a ，b 〉＝2π3，p ＝3a －b ，q ＝λa ＋17b ，问实数λ取何值时p 与q 垂直？3．若a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值．答案：1.17＋63 2.40 3.－7 拓展练习4．在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点，(1)求证：EF ⊥B ′C ；(2)求EF 与C ′G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：设AB →＝a ，AD →＝b ，'AA ＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1. (1)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'B C ＝BC →－'BB ＝b －c ，∴EF →·'B C ＝12(a －b －c )·(b －c )＝12(c 2－b 2)＝12(1－1)＝0.∴EF ⊥B ′C.(2)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'G C ＝'C C ＋CG →＝－c －14a ，∴EF →·'G C ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF →|2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'G C |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716.∴|EF →|＝32，|'G C |＝174，cos 〈EF →，'G C 〉＝''EF C G EF C G＝5117.所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117.(3)∵FH →＝FB →＋BC →＋C'C ＋H'C ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'G C ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a )＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH →|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164，∴FH 的长为418.设计说明本节课介绍了空间向量的夹角、空间向量的数量积运算的定义及其应用．空间向量的夹角和空间向量的数量积运算的定义由平面向量的相关定义类比得到．空间向量的数量积运算的性质和运算律由学生发现，并在理解新知中经学生证明．本节课的重点是空间向量数量积运算的应用及其变形公式在立体几何中的应用，在变练演编中发散学生思维，帮助学生对所学知识进行整合，对方法进行归纳．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料备选例题1已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求AC ′的长．思路分析：要求AC ′的长，只需将AC ′→用AB →，AD →，AA ′→表示出来即可． 解：|'AC |2＝(AB →＋AD →＋'AA )2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|'AA |2＋2AB →·AD →＋2AB →·'AA ＋2AD →·'AA＝42＋32＋52＋2×4×3×cos90°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60° ＝16＋9＋25＋0＋20＋15＝85，所以|'AC |＝85.2已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝1，M ，N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．思路分析：要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM →与BN →所成角的余弦值，因此就要求SM →·BN →以及|SM →||BN →|，然后再用向量夹角公式求解．解：设SA →＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，∴a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝12.∵SM →·BN →＝12(SA →＋SB →)·(SN →－SB →)＝12(a ＋b )·(12c －b )＝12(12a ·c －a ·b ＋12b ·c －b 2)＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12，∴cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →||BN →|＝－1232×32＝－23.所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.点评：设出空间的一个基底后，求数量积SM →·BN →的时候目标就更加明确了，只要将SM →与BN →都化为用基向量表示就可以了．本题中SM →与BN →的夹角是异面直线SM 与BN 所成角的补角．3如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，E 为A 1C 1与B 1D 1的交点，F 为BC 1与B 1C 的交点，又AF ⊥BE ，求长方体的高BB 1.思路分析：本题的关键是如何利用AF ⊥BE 这个条件，在这里可利用AF →⊥BE →AF →·BE →＝0 将其转化为向量数量积问题．解法一：∵AF →⊥BE →，∴AF →·BE →＝(AB →＋BF →)·(BB 1→＋B 1E →)＝[AB →＋12(BC →＋BB 1→)]·[BB 1→＋12(BC →－AB →)]＝0.∴14(2AB →＋BC →＋BB 1→)·(2BB 1→＋BC →－AB →)＝0. ∴－2|AB →|2＋|BC →|2＋2|BB 1|2＝0.∴|BB 1→|2＝8. 所求高BB 1＝2 2.解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，|a |2＝a 2＝16，|b |2＝b 2＝16， BE →＝BB 1→＋B 1E →＝c ＋12(b －a )，AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(c ＋b )．∵AF ⊥BE ，∴BE →·AF →＝0， 即[c ＋12(b －a )]·[a ＋12(c ＋b )]＝0.∴12c 2＋14b 2－12a 2＝0. ∴|c |2＝c 2＝8，即所求高BB 1＝2 2.点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：AF →⊥BE →AF →·BE →＝0的应用问题．(设计者：徐西文)。
初中数学教案向量的数量积与向量积
初中数学教案向量的数量积与向量积初中数学教案：向量的数量积与向量积引言：初中数学中，向量是一个重要的概念，向量的数量积与向量积是向量运算中的两个关键概念。
本教案将深入介绍向量的数量积与向量积的概念、性质以及应用，并结合具体例题进行详细讲解。
一、向量的数量积1. 概念：向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的一种运算。
表示为向量A·向量B，结果是一个实数。
2. 性质：（1）交换律：向量A·向量B = 向量B·向量A（2）结合律：(λA)·向量B = λ(A·向量B) ，其中λ为实数。
（3）分配律：(向量A + 向量B)·向量C = 向量A·向量C + 向量B·向量C3. 计算方法：向量的数量积的计算方法有几种，其中最常用的是几何法及坐标法。
（1）几何法：通过向量的模长、夹角和余弦关系进行计算，即A·B = |A|·|B|·cosθ（2）坐标法：将向量的坐标表示出来，然后进行对应位置的乘积求和。
二、向量的向量积1. 概念：向量的向量积，也称为叉积，是两个向量之间的一种运算。
表示为向量A×向量B，结果是一个向量。
2. 性质：（1）反交换律：向量A×向量B = -向量B×向量A（2）distributive律：向量A×(向量B + 向量C) = 向量A×向量B + 向量A×向量C（3）(λA)×向量B = λ(向量A×向量B)，其中λ为实数。
3. 计算方法：向量的向量积的计算可以通过行列式进行求解，也可以通过坐标法进行计算。
三、数量积与向量积的应用1. 数量积的应用：数量积可以应用于求向量的夹角、判定两向量是否垂直或平行，以及求投影等问题。
（1）夹角公式：cosθ = (向量A·向量B) / (|向量A|·|向量B|)（2）判定垂直与平行：如果向量A·向量B = 0，则两向量垂直；如果向量A·向量B ≠ 0，则两向量平行。
初三数学复习教案向量的数量积与向量积
初三数学复习教案向量的数量积与向量积初三数学复习教案：向量的数量积与向量积一、引言在初中数学中，向量是一个重要的概念。
向量的数量积与向量积是向量运算的两个重要方面。
通过学习与复习向量的数量积与向量积，可以帮助学生更好地理解与应用向量的概念与性质。
本篇教案将详细介绍向量的数量积与向量积的定义、性质和应用。
二、向量的数量积1. 定义向量的数量积，也称为点乘或内积，是指两个向量的数量乘积与它们夹角的余弦值之积，用符号“·”表示。
对于向量A和向量A，它们的数量积记作A·A，即A·A = |A| |A| cos A，其中 |A| 和 |A| 分别表示向量的长度（模）。
2. 性质- 交换律：A·A = A·A- 结合律：A·(A+A) = A·A + A·A（其中A为另一个向量）- 数量积为零的条件：若A·A = 0，则A和A互相垂直或其中一个向量为零向量。
- 乘法分配律：(AA)·A = A(A·A) （其中A为常数）3. 应用- 平行与垂直判定：若向量的数量积为零，则它们互相垂直；若向量的数量积非零，则它们互相平行。
- 角度计算：由数量积的定义可得 cos A = A·A / (|A||A|)，其中A为两向量夹角的大小。
- 投影计算：若向量A的投影为向量A，则A = (A·A) / |A|^2 * A，其中A为单位向量。
三、向量的向量积1. 定义向量的向量积，也称为叉乘或外积，是指与两个向量都垂直的向量，其大小等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积，用符号"×" 表示。
向量的向量积只能在三维空间中定义。
2. 性质- 非交换律：A×A = -A×A- 分配律：A×(A+A)=A×A+A×A（其中A为另一个向量）- 零向量：若两个向量平行，则它们的向量积为零向量。