沪科版九年级上册第22章相似形全章教案
【沪科版】九年级数学上册：第22章-相似形教案全集22.3 第1课时 相似三角形的性质定理1、2及应用1
22．3相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质定理1、2及应用1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；(重点)2．理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比；(重点)3．运用相似三角形的性质1、2解决实际问题．(难点)一、情境导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例．那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质．二、合作探究探究点一：相似三角形性质定理1【类型一】相似三角形对应高的比如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AH⊥DE.∴DEBC＝AGAH，即1015＝12AH.∴AH＝18.∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差．【类型二】相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为x cm，则另一条角平分线的长为(42－x)cm.根据题意，得x42－x＝68.解得x＝18.所以42－x＝42－18＝24(cm)．(方法二)设较短的角平分线长为x cm，则由相似性质有x42＝614.解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．【类型三】相似三角形对应中线的比已知△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝23，AB 边上的中线CD ＝4cm ，求A ′B ′边上的中线C ′D ′的长．解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线，∴CD C ′D ′＝AB A ′B ′＝23， 又∵CD ＝4cm ，∴C ′D ′＝3CD 2＝32×4＝6(cm)．即A ′B ′边上的中线C ′D ′的长是6cm. 方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．探究点二：相似三角形性质定理1的应用如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m 的A 处和6m 的C 处用铁丝将两电线杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 距地面的高．解析：如图所示，过点M 作MH ⊥BD 于点H .由题意得AB ∥MH ∥CD ，故△ABM ∽△DCM ，△BMH ∽△BCD ，故BM MC ＝AB CD ＝12，MHCD ＝BMBC，故MH 可求． 解：过点M 作MH ⊥BD 于点H ，∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴AB ∥MH ∥CD ，∴△ABM ∽△DCM ，△BMH ∽△BCD .∴BMMC＝AB CD ＝36＝12，∴BM BC ＝13.又∵BM BC ＝MH CD ，∴MH CD ＝13，∴MH ＝13CD ＝13×6＝2(m)，即点M 距地面的高为2m.探究点三：相似三角形的周长比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 是△ABC 的中线，A ′D ′是△A ′B ′C ′的中线，若ADA ′D ′＝12，且△A ′B ′C ′的周长为20cm ，求△ABC 的周长．解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k ＝AD A ′D ′＝12，△ABC 的周长△A ′B ′C ′的周长＝12.已知△A ′B ′C ′的周长为20cm ，所以△ABC 的周长为10cm.易错提醒：在相似表达式△ABC ∽△A ′B ′C ′及对应中线比AD A ′D ′＝12中，都是△ABC 在前，△A ′B ′C ′在后，而在解题时，△A ′B ′C ′在前，△ABC 在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式中求解．三、板书设计1．相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．2．相似三角形的周长之比等于相似比．通过探索相似三角形中对应线段和周长的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．。
沪科版九年级上册第22章相似形全章教案
第22章相似形行证明,学生不太习惯,这是本章教学的难点.知识结构课题22.1 比例线段课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解相似多边形的概念和性质,并能熟练运用,会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.2.过程与方法解决简单的几何问题,培养学生把复杂图形转化为已知的简单图形来研究的能力.3.情感、态度与价值观对学生进行几何学源于生活实践又应用于生活的思想教育.教学重难点重点:相似多边形的定义和性质.难点:判断两个多边形是否相似.教学活动设计二次设计课堂导入如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的.请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数,然后与你的同伴议一议:这两个四边形的对应角之间有什么关系?对应边之间有什么关系?结论:这两个四边形对应角相等,对应边的比相等.探索新知合作探究自学指导阅读教材P6364的内容,回答以下问题:你认为什么样的两个图形是相似图形?它与全等形有何区别?学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究【例1】如图是两个正方形、两个等边三角形.观察图形,回答下列问题.(1)每组的两个图形的形状相同吗?(2)每组的两个图形相似吗?(3)每组的两个图形的对应边的长度的比、对应角有什么关系?(4)你能归纳上面的结论吗?续表探索新知合作探究【例2】一块长3 m,宽1.5 m的矩形黑板,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm,边框的内外边缘所围成的两个矩形相似吗?为什么?教师指导1.易错点:相似多边形的判定:对应角相等,对应边长度的比相等,两个条件缺一不可.2.归纳小结:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边长度的比叫作相似比或相似系数.3.方法规律:两三角形相似必须满足对应边的比相等,大边与大边对应,小边与小边对应,当对应关系不明确时,要分类讨论.当堂训练 1.如图,有两个形状相同的星星图案,则x的值为( )(A)15 (B)12(C)10 (D)82.要做甲乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50 cm,60 cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20 cm,那么符合条件的三角形框架乙共有种.板书设计第1课时相似多边形知识模块一相似多边形的概念知识模块二相似多边形的性质及应用教学反思课题22.1 比例线段课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能理解比例的基本性质与合比性质.2.过程与方法经历探索比例的基本性质与合比性质过程,利用其解决一些简单的问题.3.情感、态度与价值观运用比例的性质来证明有关问题,培养学生数形相结合的思想和逻辑推理的能力.教学重难点重点:比例的基本性质与合比性质及应用.难点:比例的基本性质与合比性质灵活运用.教学活动设计二次设计课堂导入什么叫两个数的比?2与3的比,4与6的比,如何表示?其比值相等吗?用小学学过的方法可说成什么?可写成什么形式?探索新知合作探究自学指导阅读教材P6567的内容学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一比例线段的基本概念什么叫两条线段的比?什么叫成比例线段?什么是比例中项?【例1】如果线段a=32 cm,b=8 cm,那么a和b的比例中项是( C )(A)20 cm (B)18 cm (C)16 cm (D)14 cm解:设比例中项为c,由比例中项定义得a∶c=c∶d,c2=ab=32×8,c=16,选C.知识模块二比例的基本性质及合比性质1.比例的基本性质是什么?解:如果=,那么ad=bc(b,d≠0),反之也成立,即如果ad=bc,那么=(b,d≠0).2.什么是合比性质?如何证明?解:合比性质:如果=,那么=(b,d≠0),证明方法是在=两边加上1,得=.【例2】若=,则= ;若x∶y∶z=4∶5∶7,则= 1 .解析:=,由合比性质得==;由x∶y∶z=4∶5∶7,设===k.可得x=4k,y=5k,z=7k,代入求得=1.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:比例的基本性质及合比性质的运用.2.归纳小结:(1)比例的基本性质如果=,那么ad=bc(b,d≠0),反之也成立,即如果ad=bc,那么=(b,d≠0).(2)合比性质如果=,那么=(b,d≠0).3.方法规律:根据比例式化简常用见比设份的解题方法.当堂训练1.已知线段a,b,c,其中c是a和b的比例中项,a=4,b=9,则c等于( )(A)4 (B)6 (C)9 (D)362.已知=,则= .3.已知a∶b∶c=2∶3∶4,且2a+3b2c=10,求a,b,c的值.板书设计第2课时比例的基本性质与合比性质知识模块一比例线段的基本概念知识模块二比例的基本性质及合比性质教学反思课题22.1 比例线段课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能能熟记比例等比性质及黄金分割,能应用上述性质解决有关实际问题,以及黄金分割的应用.2.过程与方法经历探索等比性质与黄金分割过程,并利用其解决一些简单的问题.3.情感、态度与价值观运用比例的性质来证明有关问题,培养学生数形相结合的思想和逻辑推理的能力.教学重难点重点:比例的等比性质与黄金分割.难点:比例的等比性质与黄金分割灵活运用.教学活动设计二次设计课堂导入1.四条线段m,n,p,q在什么情况下是成比例线段?写出比例式.2.在此比例式中说出比例外项,比例内项,第四比例项.3.若线段b是线段a和c的比例中项,试写出比例式.4.说出比例的基本性质、合比性质,并用符号语言表示出来.探索新知合作探究自学指导阅读教材P6567的内容学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一等比性质什么是等比性质,如何证明?解:等比性质:如果==…=,且b1+b2+…+b n≠0,那么=.证明:设==…==k,得a1=b1k,a2=b2k,…,a n=b n k,代入待证明的等式左边,提取公因式并约分即得等比性质.课本P67例2知识模块二黄金分割阅读教材P6869的内容,回答以下问题:例3中比例中项是哪一条线段?什么是黄金分割?如何得到黄金分割比值,它的近似值是多少?解:比例中项为线段AP.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割为黄金分割.设AP=x,则PB=ax,由题意得a∶x=x∶(ax),即x2+axa2=0,解得x=a,因为x>0,AP=x=a,即=≈0.618.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:黄金分割的运用.2.归纳小结:(1)比例的等比性质如果==…=,且b1+b2+…+b n≠0,那么=.(2)黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,其中比值为≈0.618叫做黄金数.3.方法规律:运用比例的等比性质及黄金分割来解决有关问题,熟记性质和概念是关键.当堂训练 1.若===k,则k的值为( )(A)2 (B)1(C)2或1 (D)2或12.若===(a+c+e≠0),则= .3.已知点C,D是线段AB的黄金分割点,AB=10,求线段AC与CD的长.板书设计第3课时比例的等比性质与黄金分割知识模块一比例的等比性质知识模块二黄金分割教学反思课题22.1 比例线段课时第4课时上课时间教学目标1.知识与技能在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.过程与方法掌握基本定理的推导过程并能以之解题.3.情感、态度与价值观培养认识事物从一般到特殊的认知过程,培养欣赏数学表达式的对称美.教学重难点重点:平行线分线段成比例定理、推论及应用.难点:定理的推导证明.教学活动设计二次设计课堂导入1.求出下列各式中的.(1)3x=5y;(2)x=y;(3)3∶x=5∶y.解:(1)=.(2)=.(3)=.2.已知=,求.解:因为=,所以=,所以==,所以=.探索新知合作探究自学指导阅读教材P6970的内容.学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一平行线分线段成比例定理推导与应用什么是平行线分线段成比例定理,如何推导?【例1】已知,如图,AD∥EF∥BC,BE=3,AE=9,FC=2.求DF的长.解:因为AD∥EF∥BC,所以=,所以=,所以DF=6.续表探索新知合作探究知识模块二平行线分线段成比例定理推论及应用平行线分线段成比例定理推论是什么?有哪些形式?如何证明?【例2】如图,AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9,AE∶AB=2∶3,求GF的长.解:因为EG∥BC,所以=,EG=6.因为EF∥AD,所以=,EF=2,所以GF=EGEF=62=4.教师指导1.易错点:平行线分线段成比例定理及推论一定注意前提条件是平行,再一个注意对应方式.2.归纳小结:(1)平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;(2)平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例.3.方法规律:用平行线分线段成比例定理来解决有关线段长度的问题要找准适合题目的对应线段,写出比例式.当堂训练1.如图,已知AD∥BE∥CF,且AB∶BC=2∶1,则DF∶EF等于( )(A)2∶1 (B)3∶1 (C)4∶1 (D)3∶22.如图,△ABC中,DE∥BC,AD=3k,BD=3k,那么DE∶BC= .3.如图,已知l1∥l2∥l3,AB=3,DE=2,EF=4,则BC= .第1题图第2题图第3题图板书设计第4课时平行线分线段成比例定理知识模块一平行线分线段成比例定理推导与应用知识模块二平行线分线段成比例定理推论及应用教学反思课题22.2 相似三角形的判定课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解相似三角形的概念,能正确地找出相似三角形的对应边和对应角,掌握相似三角形判定定理的“预备定理”.2.过程与方法通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程,培养学生的动手操作能力,观察、分析、猜想和归纳能力,渗透类比、转化的数学思想方法.利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算,训练学生的灵活运用能力,提高表达能力和逻辑推理能力.3.情感、态度与价值观通过思考交流与教师启发,获得探索问题的乐趣,增强数学学习的信心与原动力.教学重难点重点:三角形相似的判定定理的“预备定理”及应用.难点:三角形相似的判定定理的“预备定理”及应用.教学活动设计二次设计课堂导入什么叫相似多边形?满足什么条件的两个三角形相似?解:对应角相等,对应边的比相等,这两个多边形叫做相似多边形.对于△ABC和△A'B'C',当∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'且==,则△ABC∽△A'B'C'.探索新知合作探究自学指导阅读教材P7677的内容学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一相似三角形的基本概念1.什么是相似三角形?它有何性质?2.△ABC与△A'B'C'相似比记为k1,△A'B'C'与△ABC相似比记为k2,k1与k2有何关系?当k1=k2时,这两个三角形全等吗?知识模块二用平行于三角形一边的直线判定三角形相似【例题】在△ABC中,D为AB上任意一点,过D作BC的平行线DE,交AC于点E,那么△ADE与△ABC相似吗?【分析】要判定两个三角形相似,我们可以从相似的定义来判定,即对应边成比例、对应角相等.解:过D作AC的平行线交BC于F点.因为DE∥BC,DF∥AC,所以=,=.可证四边形DFCE是平行四边形,所以DE=FC,即=,所以==,又因为∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED,所以△ADE∽△ABC.通过上面的证明,你能得到什么结论?续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:相似三角形判定的预备定理,前提一定是平行,再一个注意对应边成比例.2.归纳小结:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.3.方法规律:解题时由平行找到对应的相似三角形,写出能用到的比例线段.当堂训练1.如图所示,已知点E,F分别是△ABC的边AC,AB的中点,BE与CF相交于点G,FG=2,则CF的长是( )(A)4 (B)4.5(C)5 (D)62.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形有.第1题图第2题图3.如图,AB⊥AE,DC⊥AE,EF⊥AE,垂足分别为A,C,E,求证:=.板书设计第1课时相似三角形判定的预备定理知识模块一相似三角形的基本概念知识模块二用平行于三角形一边的直线判定三角形相似教学反思课题22.2 相似三角形的判定课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能掌握相似三角形的判定定理,理解定理的证明方法,初步会运用定理来解决有关问题.2.过程与方法使学生在经历探究相似三角形判定方法的过程中,培养学生运用类比联想,猜想命题,再加以证明的研究问题的方法以及化归的思想.3.情感、态度与价值观通过观察、猜想、归纳、探究等数学活动,给学生创造成功机会,使他们爱学、乐学、会学,同时培养学生勇于探索、积极合作的精神.教学重难点重点:三角形相似的判定定理1及应用.难点:三角形相似的判定定理1的证明.教学活动设计二次设计课堂导入1.全等三角形的判定方法有哪几种?解:SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共五种.2.如何判定两个三角形相似?解:需证明对应角相等,对应边成比例.3.△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',在△A'B'C'上剪个△ABC,将∠A和∠A'两边重合,顶点A,A'重合,你有什么结论?解:两个三角形相似,因为BC∥B'C'.探索新知合作探究自学指导阅读教材P78的内容,回答以下问题:学生看书,教师巡视,督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一相似三角形判定定理1的证明相似三角形的判定定理1是什么?如何推导?【例1】判断题(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.( √)(2)所有的直角三角形都相似.( ×)(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似.( ×)(4)顶角相等的两个等腰三角形相似.( √)知识模块二相似三角形判定定理1的应用【例2】已知:如图,AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为点B,点D,C在线段BD上,AC⊥CE.求证:AB·DE=BC·CD.续表探索新知合作探究分析:欲证AB·DE=BC·CD,可证=,则证明△ABC∽△CDE即可,由题意可知∠1+∠2=90°,∠1+∠A=90°,则∠2=∠A.于是Rt△ABC∽Rt△CDE.证明:因为AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,所以∠B=∠D=90°,∠1+∠A=90°,∠1+∠2=90°,所以∠A=∠2,所以△ABC∽△CDE,所以=,即AB·DE=BC·CD教师指导1.易错点:运用判定定理1时要找准对应的两角.2.归纳小结:相似三角形判定定理1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.(简称:两角分别相等的两个三角形相似).3.方法规律:相似三角形的判定中经常利用等量加等量和相等或等量减等量差相等.当堂训练1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB于点E,BD=10,AC=BC,DE= .2.如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,当∠APD=60°时,CD的长为.3.如图,已知∠1=∠2=∠3,求证:△ABC∽△ADE.第1题图第2题图第3题图板书设计第2课时相似三角形判定定理1知识模块一相似三角形判定定理1的证明知识模块二相似三角形判定定理1的应用教学反思课题22.2 相似三角形的判定课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能理解并运用判定定理2,解决相似三角形有关问题.2.过程与方法经历两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的探究过程,培养学生严密的逻辑推理能力、空间想象能力以及动手操作能力.3.情感、态度与价值观在探究过程中体验成功的乐趣;在辨析过程中,养成严谨的治学态度和良好的学习习惯;在应用过程中感受数学知识间的内在联系.教学重点:判定定理2的灵活运用.重难点难点:判定定理2的探究与理解.教学活动设计二次设计课堂导入1.相似三角形的定义是什么?三边成比例,三角分别相等的两个三角形相似.2.判定两个三角形相似,你有哪些方法?方法1:通过定义(不常用);方法2:通过平行线(条件特殊,使用起来有局限性);方法3:判定定理1,两角分别相等的两个三角形相似(不需要边的条件、使用灵活).探索新知合作探究自学指导阅读教材P79的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一三角形相似的判定定理2的证明三角形相似的判定定理2是什么?如何证明?【例1】如图所示,==,则下列结论不成立的是( D )(A)△ABD∽△ACE (B)△BOE∽△COD(C)∠B=∠C (D)BE∶CD=3∶2知识模块二三角形相似的判定定理2的应用【例2】如图所示,△ABD∽△ACE.求证:△ADE∽△ABC.证明:因为△ABD∽△ACE,所以=,∠BAD=∠CAE,即=,∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,所以△ABC∽△ADE.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:运用判定定理2时要找准对应的夹角.2.归纳小结:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.(简称:两边成比例且夹角相等的两三角形相似)3.方法规律:相似三角形的判定中经常利用等量加等量和相等或等量减等量差相等来找两个角相等.当堂训练1.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AC上,且AD=2,如果要在AB上找一点E,使△ADE与△ABC 相似,则AE= .2.如图,∠1=∠2,添加一个条件,使得△ADE∽△ABC.第1题图第2题图3.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠ABD=∠ACD,试找出图中的相似三角形.板书设计第3课时相似三角形的判定定理2知识模块一三角形相似的判定定理2的证明知识模块二三角形相似的判定定理2的应用教学反思课题22.2 相似三角形的判定课时第4课时上课时间教学目标1.知识与技能理解并运用判定定理3与直角三角形相似的判定,解决相似三角形有关问题.2.过程与方法经历三角形相似判定的探究过程,培养学生严密的逻辑推理能力、空间想象能力以及动手操作能力.3.情感、态度与价值观在探究过程中体验成功的乐趣;在辨析过程中,养成严谨的治学态度和良好的学习习惯;在应用过程中感受数学知识间的内在联系.教学重难重点:判定定理的灵活运用.点难点:判定定理的探究与理解.教学活动设计二次设计课堂导入1.简述全等三角形的判定定理“SSS”内容.三边对应相等的两个三角形全等.2.我们已经学过相似三角形的哪些判定方法?(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.(3)两角对应相等,两三角形相似.3.类比全等三角形判定“SSS”“HL”我们还有哪一些判定三角形相似的方法呢?下面开始本课时内容.探索新知合作探究自学指导阅读教材P8083的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一三角形相似的判定定理3的证明三角形相似的判定定理3是什么?如何证明?【例1】已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( C )(A)2 cm,3 cm (B)4 cm,5 cm(C)5 cm,6 cm (D)6 cm,7 cm知识模块二三角形相似的判定定理3的应用教材P8081例1例2例3的学习知识模块三直角三角形相似的判定定理的证明除前面的判定方法外直角三角形相似还有哪种特殊的判定方法?如何证明?【例2】判定△ABC∽△DEF,已知∠C=∠F=90°,则还应有条件( D )(A)∠B=∠E (B)=(C)=(D)以上都对续表探索新知合作探究知识模块四直角三角形相似的判定定理的应用教材P83例4的学习教师指导1.易错点:判断两个图形是否相似,应正确理解相似图形的判定方法.利用相似形的有关知识解题时,有些同学常常会因概念理解不准确、对应关系分不清、判定方法不对而出错,我们一定要注意.2.归纳小结:判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.(简称:三边成比例的两个三角形相似)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.3.方法规律:判定相似三角形的基本思路:(1)找准对应关系:两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写,一般说来,相等的角所对的边是对应边,对应边所对的角是对应角.(2)记住五个判定定理:判定相似三角形依据是五个定理,即预备定理、判定定理1、判定定理2、判定定理3、直角三角形相似的判定定理.当堂训练1.如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )2.如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在边AB上取点F,当BF= 时,△CBF与△CDE相似.3.如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB= .4.如图,已知==,证明:∠BAD=∠CAE.第2题图第3题图第4题图板书设计第4课时相似三角形的判定定理3与直角三角形相似的判定知识模块一三角形相似的判定定理3的证明知识模块二三角形相似的判定定理3的应用知识模块三直角三角形相似的判定定理的证明知识模块四直角三角形相似的判定定理的应用教学反思课题22.3 相似三角形的性质课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比及相似三角形的面积比、周长比与相似比之间的关系.2.过程与方法对性质定理的探究经历观察—猜想—论证—归纳的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.3.情感、态度与价值观在学习和探究的过程中,体验特殊到一般的认知规律;通过学生之间的交流合作,在合作中体验成功的喜悦,树立学习的自信心;通过对生活问题的解决,体会数学知识在实际中的广泛应用.教学重难重点:相似三角形性质的应用.点难点:相似三角形性质的理解.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么叫相似三角形?相似比指的是什么?对应边成比例,对应角相等的两个三角形叫相似三角形,对应边的比叫相似比.2.全等三角形是相似三角形吗?全等三角形的相似比是多少?全等三角形是相似三角形,其相似比为1.3.相似三角形的判定方法有哪些?共五种,略.探索新知合作探究自学指导阅读教材P8788的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一相似三角形性质定理1相似三角形性质定理1有哪些内容?如何证明?【例1】如图,在△ABC中,DE∥BC,AH是△ABC的角平分线,交DE于点G.DE∶BC=2∶3,那么AG∶GH= 2∶1 .解析:因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以==,所以=2.知识模块二相似三角形性质定理2和定理3相似三角形性质定理2和性质定理3各是什么?如何证明?【例2】在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为8,3 .续表探索新知合作探究解析:根据相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方可得周长为8,面积为3.教师指导1.易错点:相似三角形的面积比等于相似比的平方.2.归纳小结:相似三角形性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.方法规律:相似三角形的面积问题可以利用相似比来解.须牢记:相似三角形的面积比等于相似比的平方.当堂训练1.如图,在△ABC中,M,N分别是边AB,AC的中点,则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )(A)(B)(C)(D)2.已知△ABC∽△A'B'C',相似比为3∶4,△ABC的周长为6,则△A'B'C'的周长为.3.如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,△AOD与△BOC的面积之比为1∶9,若AD=1,则BC的长是.板书设计第1课时相似三角形的性质知识模块一相似三角形性质定理1。
沪科版数学九年级(上册)22.2相似三角形的判定-教案
第22章相似三角形§22.2用边角关系证明两个三角形相似（第2课时）相似生相似【教材分析】本节内容是在学生学习过用边角关系证明两个三角形相似的基础上，进一步探究在旋转或翻折的情境下，由一组相似生成另一组相似的模型。
这是一节模型构建课。
掌握一些常见的模型，能够给学生更多的解决问题的办法，也让学生更好的理解并会应用边角关系证明三角形相似。
【教学目标】1.理解旋转型相似模型和翻折型相似模型的使用条件，并能从具体情境中找到两种模型.2.掌握利用边角关系证相似的一般步骤，能在两种情境中得到新的相似.3.进一步强化数学建模思想，感受利用模型解决数学问题带来的方便，激发学生善于发现，善于总结的能力.【教学重、难点】教学重点：利用两种模型解决相似的问题.教学难点：从具体情境中发现两种模型，并准确找到生成的新相似.【教学过程】一．导入新知(1)提出问题（1），学生思考作答(2)提出问题（2），学生独立思考，举手回答(3)介绍这种相似的环境特点，并总结这种模型的条件二．新知理解（1）结合旋转型相似的特点，在下面每个情境中找到产生的新相似，感受模型条件，理解新相似的图形特点.三．新知应用（1）结合实际问题，发现旋转型相似模型，并利用这种模型解决问题四．新知再现（1）改变旋转型相似的模型，探究新的模型（2）当对应边平行时，探究是否会产生新的相似图形（3）当对应边不平行，但“8”字型相似时，发现并证明另一组相似（4）归纳总结翻折型相似五．巩固提高（1）利用所学的知识，解决两个问题（2）在思考的过程中，掌握两种相似模型的应用（3）体会模型给我们思考带来的简便（4）结合各地中考情况，感受这两种模型的重要性六．小结谈谈本节课你的收获?七．作业必做题：完成第一小问选做题：完成下面两个变式【板书设计】。
九年级数学上册第22章相似形22.3相似三角形的性质教案新版沪科版
22.3 相似三角形的性质教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系和相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质, 并能用来解决简单的问题.【过程与方法】在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜测—论证—归纳〞的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中开展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.重点难点【重点】相似三角形性质定理的探究及应用.【难点】综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系和相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.教学过程一、复习回忆师:相似三角形的判定方法有哪些?学生答复:师:相似三角形有哪些性质?生:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.师:三角形有哪些相关的线段?生:中线、高和角平分线.二、共同探究,获取新知探究1::如图,△ABC ∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD 、A'D'是对应高.求证:B A AB D A AD ''=''=k. 师:这个题目中了哪些条件?生:△ABC 和△A'B'C'相似,这两个三角形的相似比是k,AD 、A'D'分别是它们的高. 师:我们要证明的是什么?生:它们的高的比等于它们对应边的比,等于这两个三角形的相似比.师:你是怎样证明的呢?学生思考,交流.生:证明△ABD 和△A'B'D'相似,然后由相似三角形的对应边成比例得到B A AB D A AD ''=''. 师:你怎样证明△ABD 和△A'B'D'相似呢?学生思考后答复:因为△ABC 和△A'B'C'相似,由相似三角形的对应角相等,所以∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B'=90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD 和△A'B'D'相似.师:很好!现在请大家写出证明过程,然后与课本上的对照,加以修正.学生写出证明过程.证明:∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.∵∠BDA=∠B'D'A'=90°,∴Rt △ABD ∽Rt △A'B'D', ∴B A AB D A AD ''=''=k. 师:现在我请两位同学分别板演下面的两道练习题,其余同学在下面做.1.:如图,△ABC ∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD 、A'D'是对应的中线.求证:BA AB D A AD ''=''=k. 证明:∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B',BA ABC B BC ''=''=k. 又∵AD 和A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线,∴BD=21BC,B'D'=21B'C', ∴B A AB D B BD ''=''=k, ∴△ABD 和△A'B'D'相似(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似), ∴B A AB D A AD ''=''=k. 2.:如图,△ABC ∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD 、A'D'分别是∠BAC 和∠B'A'C'的平分线.求证:BA AB D A AD ''=''=k. 证明:∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠A=∠A'.又∵AD 和A'D'分别是∠BAC 和∠B'A'C'的平分线,∴∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD ∽△B'A'D'(两角对应相等的两个三角形相似), ∴B A AB D A AD ''=''=k. 师:于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理.教师板书:定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 探究2:如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系?如果是两个相似多边形呢? 学生小组自由讨论、交流,达成共识.让学生答复结果,给出评价.设△ABC ∽△A 1B 1C 1,相似比为k, 那么111111B A AB C B BC C A AC ===k 由等比性质，得由此我们可以得到:相似三角形的性质2:相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法,还可以得出:相似多边形的性质1:相似多边形周长的比等于相似比.探究3(1)如图(1),△ABC ∽△A 1B 1C 1,相似比为k 1,它们的对应高的比是多少?它们的面积比是多少?通过前面的学习,我们得到了相似三角形的性质1:相似三角形对应高的比等于相似比. ∴1111B A AB D A AD ==k 1. 由上述结论,我们有:211112121111k D A C B AD BC S S C B A ABC=••=△△. 相似三角形的性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.(2)如图(2),我们也可以得到相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.三、例题讲解,应用新知【例1】 如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80cm,高AD=60cm.要把它加工成矩形零件使矩形的长、宽之比为2∶1,并且矩形长的一边位于边BC 上,另外两个顶点分别在边AB 、AC 上.求这个矩形零件的长与宽.师:请同学们思考一下这个问题.学生思考,计算,交流.师:我们要怎样用辅助线呢?教师找一生答复.生:加工成的矩形边SR 在BC 上,顶点P 、Q 分别在AB 、AC 上,把△ABC 的高AD 与PQ 的交点记为E.教师作图.师:作出了辅助线后该怎么做呢?我们都了哪些条件?生:BC 的长、AD 的长和矩形零件的长、宽比.师:你打算怎样由这些条件求出这个零件的长和宽呢?生:因为PQ ∥BC,所以△APQ 和△ABC 相似,然后根据相似三角形的对应边成正比例得到一个等量关系,设矩形零件的宽为xcm,长就为2xcm,代入那个等量关系式,就得到了关于x 的一个方程,解方程即可求出x 的值,即矩形的宽,然后根据长宽的比求出零件的长.师:很好!你的思路很清晰.现在请同学们写出求解过程.解:如图,矩形PQRS 为加工后的矩形零件,边SR 在边BC 上,顶点P 、Q 分别在边AB 、AC 上,△ABC 的高AD 交PQ 于点E.设PS 为xcm,那么PQ 为2xcm.∵PQ ∥BC.∴△APQ ∽△ABC. ∴ADAF BC PQ =, 即6060802x x -=. 解方程,得x=24,2x=48.答:这个矩形零件的边长分别是48cm 和24cm.【例2】 如图,△ABC 的面积为25,直线DE 平行于BC 分别交AB 、AC 于点D 、E.如果△ADE 的面积为9,求的值.解:∵DE ∥BC,∴△ADE ∽△ABC. ∴25922==ABC ADE S S ABAD △△. 解方程,得53=AB AD . ∴23=DB AD . 四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?学生答复.教学反思本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形的性质.通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想,学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题.因此本课的教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比〞,“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比〞等一系列从特殊到一般的过程,让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力.。
沪科版九年级上册数学教案：22.2 相似三角形的判定
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似教来自法教具
问题探究法
多媒体
课时
安排
一课时
课
前
准
备
复习三角形全等的内容
预习本节课内容
教
学
过
程
1．复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
解：略
※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出 ，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式 ，从而求出AD的长．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2、引导学生探索与证明．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
4、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
课
题
22.2 相似三角形的判定（一）
教
学
目
标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》（第3课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握相似三角形的判定方法，能运用相似三角形的性质解决一些实际问题，为后续学习几何中的其他内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对相似三角形的概念和性质有一定的了解。
但学生在学习过程中，对相似三角形的判定方法的理解和运用还有待提高。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索相似三角形的判定方法，提高学生的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：相似三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索相似三角形的判定方法。
2.案例分析法：教师通过典型例题，引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，培养团队协作能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师准备相关教学课件、例题、练习题等教学资源。
2.学生准备：学生提前预习相似三角形的判定方法，准备课堂上进行交流和讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习相似三角形的概念和性质，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示相似三角形的判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现判定相似三角形的规律。
3.操练（10分钟）教师提出一些判断相似三角形的问题，学生独立解答，然后分组讨论，共同得出结论。
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的性质、三角形的全等、三角形的相似等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握相似三角形的判定方法，并通过实例让学生学会如何应用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定方法。
2.教学难点：如何运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如建筑物的设计、图案的绘制等，引出相似三角形的概念，激发学生的兴趣。
2.新课导入：介绍相似三角形的定义和性质，引导学生思考如何判断两个三角形是否相似。
3.判定方法的学习：通过具体的实例，引导学生探索相似三角形的判定方法，并进行总结。
4.练习与巩固：提供一些练习题，让学生应用所学的判定方法进行解答，巩固知识点。
5.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用相似三角形的判定方法进行解决，提高学生的应用能力。
6.总结与反思：让学生回顾本节课所学的知识，进行总结和反思，提高学生的思维能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计5
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计5一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容。
本节课主要学习了相似三角形的判定方法，包括AA相似定理、SAS相似定理、SSS相似定理和直角三角形的相似定理。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识。
大部分学生对这些基础知识掌握较好，但部分学生在理解和运用方面存在困难。
此外，学生对于实际问题的解决能力也有所不同，需要教师在教学中给予关注和指导。
三. 教学目标1.理解相似三角形的定义和性质。
2.掌握相似三角形的判定方法。
3.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：理解和运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究和合作交流来理解和掌握相似三角形的判定方法。
2.利用多媒体课件和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解相似三角形的性质和判定方法。
3.结合例题和练习题，引导学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
4.采用分组讨论和小组竞赛的形式，激发学生的学习兴趣和竞争意识。
六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。
2.练习题和测试题。
3.分组讨论和小组竞赛的准备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些实际问题，引导学生思考如何利用相似三角形的知识来解决这些问题。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的定义和性质，通过实物模型和多媒体课件展示相似三角形的判定方法，包括AA相似定理、SAS相似定理、SSS相似定理和直角三角形的相似定理。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，结合例题和练习题，运用相似三角形的判定方法进行解题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
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第22章相似形如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的.请分别求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数，然后与你的同伴议一议:这两个四边形的对应角之间有什么关系?对应边之间有什么关系?自学指导阅读教材P63~64的内容，回答以下问题:你认为什么样的两个图形是相似图形?它与全等形有何区别?学生看书，教师巡视，督促每一位学生认真自学，鼓励学生质疑问难.合作探究【例1】如图是两个正方形、两个等边三角形.观察图形，回答下列问题.(1)每组的两个图形的形状相同吗?(2)每组的两个图形相似吗?(3)每组的两个图形的对应边的长度的比、对应角有什么关系?(4)你能归纳上面的结论吗?1.如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为()(A)15 (B)12(C)10 (D)82.要做甲乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有种.自学指导阅读教材P69~70的内容.学生看书，教师巡视，督促每一位学生认真自学，鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一平行线分线段成比例定理推导与应用什么是平行线分线段成比例定理，如何推导?【例1】已知，如图，AD∥EF∥BC，BE=3，AE=9，FC=2.求DF的长.知识模块二 平行线分线段成比例定理推论及应用平行线分线段成比例定理推论是什么?有哪些形式?如何证明? 【例2】如图，AD ∥EG ∥BC ，AD=6，BC=9，AE ∶AB=2∶3，求GF 的长. 解:因为EG ∥BC ，所以EG 9=23，EG=6. 因为EF ∥AD ，所以EF 6=13，EF=2， 所以GF=EG-EF=6-2=4. 教师指导 1.易错点:平行线分线段成比例定理及推论一定注意前提条件是平行，再一个注意对应方式. 2.归纳小结:(1)平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； (2)平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. 3.方法规律:用平行线分线段成比例定理来解决有关线段长度的问题要找准适合题目的对应1.如图，已知AD∥BE∥CF，且AB∶BC=2∶1，则DF∶EF等于()(A)2∶1 (B)3∶1 (C)4∶1 (D)3∶22.如图，△ABC中，DE∥BC，AD=3k，BD=3k，那么DE∶BC=.3.如图，已知l1∥l2∥l3，AB=3，DE=2，EF=4，则BC=.第1题图第2题图第3题图在△ABC 中，D 为AB 上任意一点，过D 作BC 的平行线DE ，交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗?【分析】要判定两个三角形相似，我们可以从相似的定义来判定，即对应边成比例、对应角相等.解:过D 作AC 的平行线交BC 于F 点. 因为DE ∥BC ，DF ∥AC ，所以AD AB =AE AC ，FC BC =AD AB. 可证四边形DFCE 是平行四边形，所以DE=FC ，即DE BC =ADAB ， 所以AD AB =AE AC =DEBC，又因为∠A=∠A ，∠B=∠ADE ， ∠C=∠AED ，所以△ADE ∽△ABC. 通过上面的证明，你能得到什么结论?(C)5 (D)62.如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有 .第1题图第2题图3.如图，AB ⊥AE ，DC ⊥AE ，EF ⊥AE ，垂足分别为A ，C ，E ，求证:aa aa =aaaa .1.全等三角形的判定方法有哪几种?解:SSS，SAS，ASA，AAS，HL一共五种.2.如何判定两个三角形相似?解:需证明对应角相等，对应边成比例.3.△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，在△A'B'C'上剪个△ABC，将∠A 和∠A'两边重合，顶点A，A'重合，你有什么结论?解:两个三角形相似，因为BC∥B'C'.合作探究知识模块一相似三角形判定定理1的证明相似三角形的判定定理1是什么?如何推导?【例1】判断题(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.(√)(2)所有的直角三角形都相似.(×)(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似.(×)(4)顶角相等的两个等腰三角形相似.(√)知识模块二相似三角形判定定理1的应用【例2】已知:如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为点B，点D，C在线段BD上，AC⊥CE.求证:AB·DE=BC·CD.1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB于点E，BD=10，AC=3BC，DE=.42.如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，当∠APD=60°时，CD的长为.3.如图，已知∠1=∠2=∠3，求证:△ABC∽△ADE.第1题图第2题图第3题图自学指导阅读教材P79的内容学生看书，教师巡视，老师督促每一位学生认真自学，鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一三角形相似的判定定理2的证明三角形相似的判定定理2是什么?如何证明?【例1】如图所示，ADAE =ABAC=32，则下列结论不成立的是(D)(A)△ABD ∽△ACE (B)△BOE ∽△COD(C)∠B=∠C (D)BE ∶CD=3∶2知识模块二 三角形相似的判定定理2的应用 【例2】如图所示，△ABD ∽△ACE.求证:△ADE ∽△ABC. 证明:因为△ABD ∽△ACE ， 所以aa aa =aa aa ，∠BAD=∠CAE ，即aa aa =aaaa， ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ， 即∠BAC=∠DAE ， 所以△ABC ∽△ADE.第1题图第2题图3.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形.1.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()2.如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在边AB上取点F，当BF=时，△CBF与△CDE相似.3.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=.4.如图，已知aa aa =aa aa =aaaa，证明:∠BAD=∠CAE.第2题图第3题图第4题图自学指导阅读教材P87~88的内容学生看书，教师巡视，老师督促每一位学生认真自学，鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一相似三角形性质定理1相似三角形性质定理1有哪些内容?如何证明?【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G.DE∶BC=2∶3，那么AG∶GH=2∶1.解析:因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，1.如图，在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，则△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)232.已知△ABC ∽△A'B'C'，相似比为3∶4，△ABC 的周长为6，则△A'B'C'的周长为 .3.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD=1，则BC的长是.自学指导阅读教材P88~89的内容学生看书，教师巡视，老师督促每一位学生认真自学，鼓励学生质疑问难. 合作探究知识模块 相似三角形性质的应用举例 【例1】探究:如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80厘米，高AD=60厘米，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC 上，另两个顶点分别在边AB ，AC 上，求这个矩形零件的边长.解:如图，矩形PQRS 为加工后的矩形零件，边SR 在边BC 上，顶点P ，Q 分别在边AB ，AC 上，△ABC 的高AD 交PQ 于点E ，设PS 为x cm ，则PQ=2x cm.因为PQ ∥BC ，所以△APQ ∽△ABC ，所以PQ BC =AEAD .即2x 80=60−x60，解方程，得x=24，2x=48.答:这个矩形零件的边长分别是48 cm 和24 cm. 【例2】某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示)，他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/平方米的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用?并说明理由. 解:因为AD ∥BC ，所以△AMD ∽△CMB.因为AD=10，BC=20，所以S △AMD S △CMB=10202=14.1.有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300 cm2，其中一条边的长度为5 cm.经测量，这条边的实际长度为15 m，则这块草坪的实际面积是()(A)100 m2(B)270 m2(C)2 700 m2(D)90 000 m22.如图是物理中小孔成像的示意图，AB∥A'B'，你能算出物像A'B'的长吗?如图，(1)在四边形ABCD所在的平面内任取一点O；(2)以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A'，B'，C'，D'，使OA'OA =OB'OB=OC'OC=OD'OD=2；(4)连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，则所得四边形A'B'C'D'即为所求.知识模块二位似图形的画法和坐标系中的位似变换1.如何画位似图形?有哪些步骤?2.如何在平面直角坐标系中作出位似图形?以原点为位似中心的位似图形画法是什么?【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A(2，5)，O(0，0)，B(6，0).(1)将各个顶点坐标分别缩小为原来的一半，所得到的图形与原图形是位似图形吗?(2)将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，所得到的图形与原图形是位似图形吗?1.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形()(A)左上(B)左下(C)右上(D)右下2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1，3)，(2，5)，若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为.3.如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(-1，1)，点C的坐标为(-4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是.第1题图第2题图第3题图。