热统习题解答(全)
热统作业
第一章习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV = V n R TP P n R T V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==∂∂=α T PV RnT P P V /1)(1==∂∂=β P Pn R T V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题 1.3在00C 和1n p 下，测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.8510K α--=⨯和717.810T n p κ--=⨯，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至010C 。
问（1）压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2）若压强增加100n p ，铜块的体积改多少。
解：根据固体和液体的物态方程：000(,)(,0)[1()]T V T P V T T T k p α=+-- 两边微分：T dVdT k dp Vα=- 如果系统的体积不变，上式为 Td p d Tk α=因为T κα,可近似看作常量，上式积分可得2121()Tp p T T k α-=-代入数据：52174.8510106227.810n n p p p p --⨯-=⨯=⨯ （2）根据物态方程有：2121174()()107.810100 4.0710-5 =4.8510T VT T k p p V α--∆=---⨯⨯-⨯⨯=⨯因此，铜块的体积将增加原体积的44.0710-⨯倍。
习题1.8习题1.16解：理想气体的熵函数可以表示为0ln ln p S C T nR p S =-+ 在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为21lnp p T S C T ∆= 理想气体的熵函数也可表示为0ln ln V S C T nR p S =++ 在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为 21lnV V T S C T ∆= 因此p p VVS C S C γ∆==∆习题1.17解：（1）为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在00C 和0100C 。
热统答案(全)
（2）
或
V T , p V T0 , p0 e
T T0 T p p0
.
（3）
考虑到 和 T 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 T 的线性项，有
V T , p V T0 , p0 1 T T0 T p p0 .
lnV dT T dp .
（3）
若 1 , T 1 ，式（3）可表为
T p
1 1 lnV dT dp . p T
（4）
选择图示的积分路线，从 (T0 , p0 ) 积分到 T , p0 ，再积分到（T , p ） ，相应地体
U CV , T n
（4）
（c）根据题给的数据， J , Y , 对
L L0
的曲线分别如图 1-2 （a） ， （b） ， （c）
所示。
7
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界 压强 p0 时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前， 它的内能 U 与原来在大气中的内能 U 0 之差为 U U 0 p0V0 ，其中 V0 是它原来在 大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。 解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U 与其原来在 大气中的内能 U 0 由式（1.5.3）
J YA T2 T1
解：由物态方程
f J , L, T 0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
L T J 1. T J J L L T
（2）
所以，有
热统试题及重要答案
一、简答题（23分）1. 简述能量均分定理。
（4分）答：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值的平均值等于。
根据能量均分定理，单原子分子的平均能量为，双原子分子的平均能量2. 热力学方法和统计物理方法是研究关于热运动规律性的两种方法，试评论这两种方法各自的优缺点。
（5分）答：热力学：较普遍、可靠，但不能求特殊性质。
以大量实验总结出来的几条定律为基础，应用严密逻辑推理和严格数学运算来研究宏观物体热性质与热现象有关的一切规律。
统计物理：可求特殊性质，但可靠性依赖于微观结构的假设，计算较麻烦。
从物质的微观结构出发，考虑微观粒子的热运动，通过求统计平均来研究宏观物体热性质与热现象有关的一切规律。
两者体现了归纳与演绎不同之处，可互为补充，取长补短。
3. 解释热力学特性函数。
（4分）答：如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定，这个热力学函数即称为特性函数，表明它是表征均匀系统的特性的。
4.简述推导最概然分布的主要思路。
（5分）①写出给定分布下的微观状态函数表达式② 两边同时取对数，并求一阶微分③ 利用约束条件N ，E 进行简化④ 令一阶微分为0，求极大值⑤ 由于自变量不完全独立，引入拉格朗日未定乘子⑥ 最后得出粒子的最概然分布5. 试述克劳修斯和开尔文关于热力学第二定律的两种表述，并简要说明这两种表述是等效的。
(5分)答：克：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）；开：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其他变化（表明功变热的过程是不可逆的）；联系：反证法 P31二．填空题（27分）1. （3分）熵的性质主要有① 熵是态函数 ； ② 熵是广延量 ； ③ 熵可以判断反应方向 ；④熵可以判断过程的可逆性 ；⑤ S=k ln 熵是系统微观粒子无规则运动混乱程度的度量 。
热统期末试卷及答案 北师大
热统期末试卷及答案北师大一、选择题（每小题3分，满分24分）1、下列现象中，由于光的反射形成的是（）A.月光下的人影B.池塘的水底看起来比实际的浅C.拱桥在平静湖水中的倒影D.玻璃三棱镜分解了的太阳光2、下列物态变化中属于放热现象的是哪一组（）①初春，冰封的湖面解冻②盛夏，旷野里雾的形成③深秋，路边的小草上结了一层霜④严冬，冰冻的衣服逐渐变干、A.①②B.②③C.③④D.①④3、下列说法中，正确的是（）A.验电器的工作原理是同种电荷相互排斥B.宇航员在月球上无法用电磁波来通信C.只有镜面反射遵循光的反射定律D.只有凸透镜能成等大的像4、下列说法错误的是（）A.并联电路的干路电流等于各支路电流之和B.使用精密仪器和改进实验方法可以避免误差C.用安培定则可判断通电螺线管的极性D.1kWh=3。
6×106J5、潜水员逐渐从水里浮出水面的过程中，他受到的浮力（）A.逐渐增大B.逐渐减小C.始终不变D.先增大后不变6、能说明将电能转化为机械能的是（）A.钻木取火B.水蒸气将塞子冲出C.通电导体在磁场中受力D.焦耳定律实验7、相向而行的甲、乙两物体的s﹣t图像，下列说法正确的是（）A.相遇时两物体通过的路程均为100mB.0﹣30s内甲、乙均做匀速直线运动C.甲的运动速度为10m/sD.甲、乙是同时出发的8、小雅同学在做电学实验时，不小心将电压表和电流表的位置互换了，如果此时将开关闭合，则（）A.两表都可能被烧坏B.两表都不会被烧坏C.电流表不会被烧坏D.电压表不会被烧坏，电流表可能被烧坏二、填空题（每小题2分，满分20分）9、人的眼睛像一架照相机，物体经晶状体成像与视网膜上，对于近视眼患者而言，远处物体成的像位于视网膜（），可佩戴（）透镜矫正。
10、滑冰运动员在训练中通过弯道时的情景，这一过程中她们的运动状态（）（选填“改变”或“不变”）；运动员穿的速滑冰鞋的冰刀表面要光滑、平整是为了（）。
11、弹奏前调整琴弦的松紧程度，可以改变琴声的（）；根据乐器发声的（），可以听出是什么乐器在演奏（选填“响度”、“音调”或“音色”）12、某工人用装置，将重150N的木块在10s内竖直向上匀速提升4m，此装置是（）滑轮（选填“定”或“动”），该工人拉力的功率为（）W（滑轮和绳的重力、摩擦均不计）13、可以直接从自然界获得的能源叫一次性能源，必须通过消耗一次能源才能获得的能源叫二次能源，石油、风能、天然气、煤、电能等能源中，属于可再生能源的两种是（），属于二次能源的是（）14、“六一”儿童节期间，小朋友在锦江山公园里荡秋千，当秋千从高处落下时，重力势能（）（选填“变大”、“变小”或“不变”），不再用力推时，秋千最后会停下来，在此过程中机械能转化为（）能、15、过桥米线是云南人爱吃的食物，路过米线馆可以闻见汤的香味，这是（）现象；“汤钵烫手”是汤钵和手之间发生了（）。
热统期末试题及答案
热统期末试题及答案正文：一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）在下列各题中，只有一个选项是正确的，请在答题卡上将相应选项的字母涂黑。
1. 热力学第一定律是指：A. 能量守恒定律B. 熵增加定律C. 焓守恒定律D. 等温过程定律2. 下列哪一个量是揭示物质分子热运动程度的参数？A. 温度B. 压强C. 体积D. 质量3. 在绝热条件下，一个物体放热，它的温度会：A. 升高B. 降低C. 不变D. 无法确定4. 理想气体的等温过程是指：A. 温度不变的过程B. 压强不变的过程C. 体积不变的过程D. 熵不变的过程5. 热力学第二定律是指：A. 能量守恒定律B. 熵增加定律C. 焓守恒定律D. 等温过程定律6. 下面哪一种物质不是理想气体？A. 氮气B. 氧气C. 氢气D. 水蒸气7. 理想气体状态方程是：A. PV=RuTB. P+V=RTC. P/T=RuD. PT=RuV8. 物体绝对零度对应的温度是：A. 0℃B. -273℃C. 273℃D. 100℃9. 混合气体总压强等于各组分分压之和，是根据下列哪个定律得出的？A. 理想气体状态方程B. 热力学第一定律C. 道尔顿定律D. 热力学第二定律10. 热力学第四定律是指：A. 热力学系统能量守恒定律B. 热力学第一定律C. 热力学第二定律D. 热力学第三定律二、计算题（共5题，每题10分，共计50分）1. 一定质量的理想气体，在常温常压下的密度为1.29 kg/m³，求该气体的摩尔质量。
2. 一摩尔单原子理想气体在体积不变的条件下，温度从300 K增加到600 K。
根据理想气体状态方程，求气体末压强与初始压强之比。
3. 理想气体初始状态为120 kPa、300 K，经过等温膨胀，最终体积为初始体积的2倍。
求等温膨胀的过程中气体对外做的功。
4. 一摩尔理想气体在绝热条件下进行等熵过程，初始温度为300 K，初始压强为200 kPa，最终体积为初始体积的4倍。
热统练习题
76. 证明 VV V p T C p U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂77. 证明p V T C V U pp p -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 78. )1(αT V p H T-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 其中，α为定压膨胀系数。
79. 证明在以T 、V 为自变量时，内能的全微分表达式为dV p T p T dT C U d V V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=80. VT V T p T V C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22 81. 理想气体在节流过程中有 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Hp T 82.][1p T p T C V T V V U-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 83． VV ST p C T -V T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂84. Tp p V p -T V T p U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T 85. 对于节流过程，证明][1V T V T C p T p pH -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 86. 证明 0>⎪⎭⎫⎝⎛∂∂UV S 87．证明 p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 88．证明 T VU p T pV T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 89．证明 22p p TC V T p T ∂⎛⎫⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭答案：（76－89）76．证 d U =T d S -p d VV V V V V VU S S T T T p p T p T C p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 77．证 d U =T d S -p d Vp p p p p pU S S T T p T p V V T V T C pV ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ 78．证：Vdp TdS dH +=V p S T p H TT +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂；利用麦氏关系，即可得证79．证 d U =T d S -p d V , 设S=S(T,V),d VTS S S dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭dV p T p T dT C U d V V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=80．证 因为V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭所以，2V TC S TV T V ∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭， 又，由麦氏关系 T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，原题得证。
热统
解： γ 是常数， Cp，Cv也是常数，
S p
S V
T2 T1
dQ T2 C p dT T2 C p ln T1 T T T1
dQ T2 C V dT T2 C V ln T1 T T T1
T2
T1
S p Sv
Cp CV
练 一 练 ：
(一)某些不可逆过程中熵变的计算 [例5.4〕一容器被一隔板分隔为体积相等的 两部分，左半中充有 摩尔理想气体，右半 是真空，试问将隔板抽除，经自由膨胀后， 系统的熵变是多少?
L
等压过程，设cp为单位长度的热容量。
T1 T2 2 T
dS l c p dl
T1 T2 dT 2 c p dlln T2 T1 T T1 l L
S dSl
cp
L 0
T1 T2 2 dlln T2 T1 T1 l L
cp
L
0
T1 T2 T2 T1 dl ln ln T1 l 2 L
p
p1
p2
i
f
V1 2V1 V
dQ Sb S a a可逆 T
b
dU dQ pdV
S 2 S1 R
2V V 2
因为理想气体等温过程 dU = 0, dQ = pdV，利用
1
dQ 2 p dV 1 T T
dV R ln 2 >0 V
例一：热量Q从高温热源 T1 传到低温热源T2 ，求熵变。
1 n Cn C V CV CV n 1 n 1
练 一 练 ：
例：设有一理想气体，在初始状态下温度为T,体积 为 V A。经准静态等温过程体积膨胀为 V B 。求过程 前后的熵变。 解：气体在初态(T，VA )的熵为：
热统,热力学与统计物理,试题A,含答案
）是不可逆过程，热力学第二定律的数学表达式是（ 2、写出简单均匀系统的热力学基本方程。 du=( ) ) ) ) ),其物理意义是（ ）其配分函数 Z1 （ 4、若已知正则分布的配分函数 Z，则系统的 （1）内能 U （ （2）熵 S （ （3）压强 P （ ） ， ） ， ） 。 ） 。
一、
填空题（每小题 6 分，共 24 分）
1、热力学第二定律的克劳修斯表述： （ ） ，其实质是指出（
姓 名
4、根据玻耳兹曼关系，系统处于热力学平衡态时： S 0 k ln 0 ，系统处于非 ） 。 平衡态时： S k ln ，则有 （1） 、 0 ， （3） 、 0 ， （ ） 。 （2） 、 0 ， （4） 、不确定。 ） 。
第十页
姓
名
专业年级
第十一页
第十二页
姓
名
专业年级
第十三页
第十四页
姓
名
专业年级
第十五页
第十六页
dG=( 3、玻耳兹曼分布 al (
三、判断题（下列说法正确的请打“ ” ，错误的请打“X” ，每小题 1、5 分， 共 12 分） 。 1、一切互为热平衡的系统，都具有相同的温度。 （ ） ） ）
2、孤立系统中所发生的不可逆过程总是朝着熵增加的方向进行。 （ 3、若选择 T,V 作为独立变量，则自由能 F(T,V)为特征函数。 （
第一页
8、处在平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率相同。 （
第二页
四、计算证明题（49 分） （积分公式： e x dx
2
0
） 2
1（12 分） 、1mol 理想气体在 300K 时经一准静态过程，使其压强减小 10 倍。 求在这过程中系统对外界作了多少功？吸收了多少热量？内能变化了多少？熵 变化多少？
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第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。
解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=∂∂-==∂∂==∂∂=βα1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ⎰-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态方程。
证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(∂∂+∂∂= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1积分后得 ⎰-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代入上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=⎰所以物态方程为：CT PV =与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。
1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。
a 和k 可以近似看作常数。
今使铜加热至100C ，问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475=⨯⨯⨯=∆=∆-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---⨯=⨯⨯-⨯⨯=---=-=∆p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力F,物态方程是 f(F ,L,T)=0。
实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为F T L L a )(1∂∂=，等温杨氏模量定义为 T LFA L Y )(∂∂=， 其中A 是金属丝的截面积。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对F 仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常量。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由T 1降至T 2时，其张力的增加为21()F YA T T α∆=--证明：（a ）设(,)F F T L =，则L TF F dF dT dLT L ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）由于1L F T F T L T L F ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以L T F F F L T L T ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）将（2）式代入（1）式，并利用线胀系数α和等温杨氏模量的定义式，得T F TF L F AY dF dT dL AYdT dL L T L L α∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3） （b ）当金属丝两端固定时，dL ＝0，由（3）式得dF aAYdT =-当温度由T 1降至T 2时，积分上式得21()F YA T T α∆=-- （4）1.5 一理想弹性物质的物态方程为 2020()L L F bT L L =-，其中L 是长度，L 0是张力F 为零时的L 值，它只是温度T 的函数，b 是常数。
试证明：（a ） 等温杨氏模量为)2(2200L L L L A bT Y +=A bT Y 30=.（b ） 在张力为零时， 线膨胀系数2/1/13033030+--=L L L L T αα 其中.10dL dL T =α (c) 上述物态方程适用于橡皮带，设，.105,10114026---⨯=⨯=K m A α试计算当0L L分别为0.5，1.0，1.5和1 210 33 . 1 , 300 - - . ⨯ = = K N b K T2.0时的F,Y ,α对0L L的曲线。
证明：（a ）由弹性物质得物态方程，可得203021T L F bT L L L ⎛⎫∂⎛⎫=+⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ （1）将上式代入等温杨氏模量的定义式22003200221T L L L F L bT L Y bT A L A L L A L L ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）当F ＝0时，L ＝L 0，由（2）式得()0312bT bTY A A=+= （3）（b ）在F 不变下，将物态方程对T 求导，得22000002022400220F F F FL L L L L L L L L L L L T T T T T L L L L ⎡∂∂⎤∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦由上式解出F L T ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭,可得 222300022230000023203220002111111(4)222F F L L L L L L L L L T L L T L L L L L L L L L L T T T L L L L LL L ααα⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+----⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-=- ⎪∂⎛⎫⎝⎭+++ ⎪⎝⎭其中0001dL L dT α=1.6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下体积发生膨胀，其压强由20p n 准静态地降到1p n ，求气体所作的功和所吸收取的热量。
解：(a) 在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为⎰⎰==='2121,ln 12V V V V V V RT V dVRT pdV W因为 ,,2211RT V p RT V p == 故有 ,2112p pV V =.1046.720ln 30031.8ln1321-⋅⨯=⨯=='∴mol J p p RT W(b) 理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，求得.1046.713-⋅⨯='=mol J W Q1.7 在25o C 下，压强在0至1000p n 之间，测得水的体积为13263)10046.010715.0066.18(---⋅⨯+⨯-=mol cm p p V如果保持温度不变，将1mol 的水从1p n 加压至1000p n ,求外界所作的功。
解：写出,2cp bp a V +++ 则 dV= (b+2cp)dp = dp p )10046.0210715.0(63--⨯⨯+⨯-所要求的功2110002310001133263331312(2)()2312(0.715)10(10)0.04610(10)23326.83/33.1(10.101324)V V n n W pdV p b cp dp bp cp p cm mol J mol p cm J ⋅---=-=-+=-+⎡⎤=⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰1.8 承前1.5题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L 0压缩为,20L 试计算外界所作的功。
解：外界对弹性体作的元功表达式为dW FdL = （1）将物态方程代入上式，得2020L L dW bT dLL L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）注意到在等温过程中L 0不变，当弹性体在等温过程中长度由L 0压缩为L 0/2时，外界所作的功为00/2202058L L L L W bT dL bTL L L ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰（3）1.9 在0o C 和1p n 下，空气的密度为1.291-⋅m kg .空气的定压比热容.41.1,96611=⋅⋅=--γK kg J c p 今有27m 3的空气，试计算：（i ）若维持体积不变，将空气由0o C 加热至20o C 所需的热量。
（ii ）若维持压强不变，将空气由0o C 加热至20o C 所需的热量。
（iii ）若容器有裂缝，外界压强为1p n ,使空气由0o C 缓慢地加热至20o C 所需的热量。
解：1cal=4.2J 所以 1111238.0966----⋅⋅=⋅⋅=K g cal K kg J c p(i)这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，.deg /169.041.1/238.0⋅===g cal C C pV γ27m 3的空气，其质量可由它的密度算得：g M 461048.3102700129.0⨯=⨯⨯=考虑到热容量为常数，使温度由0o C 升至20o C 所需得热量20169.01048.3)(41221⨯⨯=-==⎰T T MC dT MC Q V T T V V即得 J cal Q V 5510920.410176.1⨯=⨯=(ii) 在定压加热过程中，).(937.6)(10658.120238.01048.3)(5412J cal T T MC Q p p =⨯=⨯⨯⨯=-=(iii) 因为加热过程使缓慢得，所以假定容器内的压力保持1p n . 本问题，空气的质量是改变的。
在保持压力p 和容积V 不变的条件下加热时，在温度T 下的质量M(T)可由物态方程)(为空气的平均分子量其中μμRT MpV =确定之。
设T 1时，容器内的空气质量之为M 1,则由11)(RT T M pV μ=算得T T M T M 11)(=, 所以2211211111()ln (1)T T P p p T T T dTQ M T C dT M T C M T C T T ===⎰⎰将T 1=273K, T 2=293K, M 1C p =K cal /1029.83⨯代入（1）式，即得J cal Q 55310678.61060.1273293ln2731029.8⨯=⨯=⨯⨯=1.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。
当压强达到外界压强0p 时将活门关上。
试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U 与原来在大气中的内能U 0之差为000V p U U =-，其中V 0是它原来在大气中的体积。
若气体是理想气体，求它的温度与体积。
解： (a) 求解这个问题，首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。
为此，可以设想：使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。
假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那一部分空气的量。
这样，原来在小气缸中，后来处于小匣内的那一部分空气（为了方便，设恰为1mol 空气），就是我们所讨论的热力学系统。
系统的初态(0000;,,U p T V )和终态);,,(U p T V 如图所示：当打开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣，小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。