综合除法(1)
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
一、定义：
综合除法是指将被除数已知的分数的乘除法运算，按照某种方法拆分成除法和减法运算，然后分步计算，求出商的一种算法。
二、步骤：
1. 确定被除数和除数：
首先，必须确定被除数和除数，即确定被除数为a/b，除数为c/d，
a、b、c、d为整数。
2. 将被除数转换成分数：
接着，我们要将被除数转换成分数的形式，即将a/b转换成ad/bd，其中，d表示乘以d后的分母，ad表示乘以d后的分子，比如：被除数a/b = 2/3，d = 4，除数c/d = 1/2，
则a/b = 8/12，c/d = 4/8。
3. 使用乘除法：
接着，我们可以将被除数乘以除以数的分母d，把被除数转换成另一个与除数相同的分子分母的分数，即ad/bd = cd/d；
然后，我们可以将乘以d后的分子ad除以除数的分母d，即ad/d，得到商c。
4. 使用减法：
最后，我们可以利用减法求出余数，即用被除数的分子ad减去
除数的分子cd，得到ad - cd，这就是余数。
三、总结：
综合除法是一种计算已知分数的乘除法运算的算法，其步骤为：
1、确定被除数和除数；
2、将被除数转换成分数的形式；
3、使用乘除法；
4、使用减法求出余数。
综合除法的推导过程
综合除法的推导过程综合除法是一个数学概念，用于求解两个多项式的商和余数。
这个数学工具在高中数学中经常被用到。
它可以帮助我们更快捷地进行多项式的解题和运算，因此掌握综合除法是非常必要的。
首先，我们需要定义一下综合除法：综合除法是指，当被除数和除数都是多项式时，以除数的最高次方系数为首项系数，将被除数和除数按相同次数的项对齐，进行逐项相除，得到商和余数的过程。
例如，若已知 $f(x)=3x^3+5x^2+7x+1$ 除以 $g(x)=x+2$ ，则可以得到商式$q(x)=3x^2-x+4$ 和余式 $r(x)= -7 $。
那么接下来就是推导综合除法的步骤了。
推导过程：假设 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的倍数，即 $f(x)=g(x)h(x)$，则左右两边的次数分别为$m$ 和 $n$，其中 $m \geq n$。
我们再将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的表示式展开，得到如下式子：$f(x)=a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + …. + a_1 x + a_0$我们将左边的多项式看做一个一般的多项式，它可以被表示为如下形式：其中，$q_n, q_{n-1}$ 等都是待求系数。
$a_m = b_n c_{m-n}$$a_{m-1}=b_nc_{m-n-1}+b_{n-1}c_{m-n}$……根据多项式除法的定义，$a_n$ 就是上面我们提到的余数，而 $q_n$ 就是商式。
综上所述，对于任意两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$，都可以通过上述步骤来求出它们的商式和余项。
综合除法的应用是非常广泛的，可以用于解决各种数学题目。
掌握了综合除法的要点和推导过程，我们就能更加轻松地应付这类问题。
综合除法文档
综合除法1. 引言综合除法是数学中的一种基本运算方式，用于求解一个数除以另一个数的结果。
在数学和计算机科学中，除法是一种常见的运算操作，常用于解决各种实际问题。
本文将介绍综合除法的定义、性质和使用方法，并通过一些示例来说明如何进行综合除法运算。
2. 定义综合除法是指将一个数除以另一个数，并求出商和余数的过程。
在综合除法中，被除数、除数、商和余数是四个相关的概念。
•被除数：要进行除法运算的数，即需要被除的数。
•除数：用于除法运算的数，即用来除的数。
•商：在除法运算中，被除数除以除数得到的商，表示被除数中包含了多少个除数。
•余数：在除法运算中，被除数除以除数得到的余数，表示被除数在进行除法运算后剩下的部分。
综合除法的运算过程可以用以下公式表示：被除数 = 商 × 除数 + 余数3. 性质综合除法具有以下几个性质：1.商和余数的取值范围：–商的取值范围是整数集合，可以为正整数、负整数或零。
–余数的取值范围是非负整数，即大于等于零的整数。
2.商和余数的关系：–商等于被除数除以除数向下取整，即商是不超过真实商的最大整数。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数是除法运算的剩余部分。
3.综合除法的唯一性：–给定被除数和除数，商和余数是唯一确定的。
4. 使用方法综合除法的使用方法主要包括以下几个步骤：1.确定被除数和除数。
2.进行除法运算，计算商和余数。
3.检查运算结果的正确性。
下面通过一个例子来说明如何进行综合除法运算：例子：求解 15 ÷ 41.确定被除数为 15，除数为 4。
2.进行除法运算，计算商和余数：–商等于被除数除以除数向下取整，即商为15 ÷ 4 = 3。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数为15 % 4 = 3。
3.检查运算结果的正确性：–根据综合除法的性质，15 应等于商乘以除数加上余数，即15 = 3 × 4 + 3，计算结果与原始被除数相符，说明运算结果正确。
综合除法分解因式过程
综合除法分解因式过程综合除法分解因式过程一、概述综合除法分解因式是一种将多项式分解为更简单的因式的方法。
它可以用于任何多项式，包括高次多项式。
本文将详细介绍如何使用综合除法分解因式。
二、基本概念1. 多项式：由常数、变量和幂次运算（加、减、乘）组成的表达式。
2. 因子：能被整个多项式整除的表达式称为这个多项式的因子。
3. 综合除法：一种用于求出一个多项式在某个给定值处的值的方法。
三、步骤1. 确定要分解的多项式，记作P(x)。
2. 确定一个可能是P(x)的因子，记作f(x)。
3. 使用综合除法计算出P(x)÷f(x)得到商Q(x)和余数R(x)，即：P(x) = f(x)Q(x) + R(x)4. 如果余数R(x)=0，则f(x)是P(x)的一个因子，否则转到步骤2，选择另外一个可能是P(x)的因子。
5. 重复步骤2~4，直到所有可能是P(x)的因子都已经被测试过为止。
此时所有找到的因子相乘就是P(x)的分解式。
四、示例假设我们要分解多项式P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2。
我们可以使用综合除法来进行分解。
1. 首先，我们需要确定一个可能是P(x)的因子。
由于P(1)=0，因此x-1可能是P(x)的一个因子。
2. 我们使用综合除法计算出P(x)÷(x-1)，得到：x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)(x^2-x-1)其中，商为Q(x)=x^2-x-1，余数为R(x)=0。
3. 因此，我们得到了一个因子x-1和一个新的多项式Q(x)=x^2-x-1。
接下来，我们需要对Q(x)进行同样的操作。
4. 我们选择可能是Q(x)的因子为f(x)=x+1。
使用综合除法计算出Q(x)÷(x+1)，得到：Q(x) = (x+1)(x-2)其中，商为Q'(x)=x-1，余数为R'(x)=0。
5. 因此，我们得到了另外两个因子：(x+1)和(x-2)。
用综合除法进行因式分解例析(1)
用综合除法进行因式分解例析（1）例1：把1523923-+-x x x 分解因式、解：设15239)(23-+-=x x x x f ，它的最高项的系数为1，因此试除数只能是常数项的因数，即±1、±3、±5、±15、用视察法计算)1(f 或)1(-f 是特别容易的、)1(f ＝1－9＋23－15＝0，故)(x f 有因式1-x ，因此可用＋1去除、商式为二次三项式，可用十字相乘法分解、∴15239)(23-+-=x x x x f)158)(1(2+--=x x x)5)(3)(1(---=x x x例2：把18483510)(234+-+-=x x x x x f 分解因式、解：此题是四次多项式，中间无缺项，且各项系数的符号是正负相间的，由余数定理可知，假如试除数取负数，那么余数基本上正数，而且可不能是零、又因为f 〔1〕≠0，试除数只有2、3、6、9和18、∴)24()3()(22+--=x x x x f 、从上面例题能够看出，利用综合除法分解整系数多项式)(x f 时，要注意分析)(x f 的特点、〔1〕不管)(x f 的最高次项系数是否为1，±1总是试除数，同时要观看)1(f 或)1(-f 是否为零、〔2〕假如)(x f 的各项系数基本上正数或基本上负数，那么应舍弃正的试除数、〔3〕假如)(x f 中偶次项的系数基本上正数，奇数项的系数基本上负数，或偶次项的系数基本上负数，奇数项的系数基本上正数，那么应舍弃负的试除数、例3：把6423++-x x x 分解因式、解：64)(23++-=x x x x f 、试除数为±1、±2、±3、±6、∵f 〔1〕≠0，f 〔－1〕＝〔－1〕3－4·〔－1〕2＋〔－1〕＋6＝0，因此)(x f 有因式)]1([--x ，即)1(+x ，可用－1去除、∴64)(23++-=x x x x f)65)(1(2+-+=x x x)3)(2)(1(--+=x x x。
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综合除法第五节综合除法、余数定理内容讲解⼀般地，多项式f（x）除以⼀次多项式（x-a）?的商式系数和余数有如下规律：商式的最⾼次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第⼀项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第⼆项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种⽅法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）?整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）?能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）?的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 ⽤综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以⽤竖式法和分离系数法，这⾥我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所⽰：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在⽤综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要⽤"0?"补项．②除式⼀定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），?可先变除式为：p（x- ）。
再⽤综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（?x）?÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，?所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后⽤综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．?由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有⼀次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有⼀次因式（x+1），记住这个结论很有⽤．（2）本题⽤分组分解也较简单，请同学们⾃⼰求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果⽤以前的⽅法求解，就显得特别的繁琐，?但⽤因式定理就⽐较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），⼜x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地⽅得到⼴泛的应⽤，必须⾼度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以⽤竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这⾥我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意⾃然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）?或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可⽤余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意⾃然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使⽤余数定理，可以快捷地解答⼀些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．⽤综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利⽤因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．⽤综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，⼜因为原式是关于x，y，z?的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，⽐较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此⽅程，得：a=24，b=2．。
综合除法
综合除法综合除法：综合除法(synthetic division)是一种简便的除法，只透过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式。
例1. ( 2x^3 - 6x^2 + 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现，降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x –2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以- 来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴Ans：商式Q = 2x^2 - 4x + 7余式R = -1注意：演算时，须紧记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
综合除法与因式分解：综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=a0x+a1x+a2x+…+an-1x+an所得的余数为f(b)=a0b+a 1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x－3x－13x－11x－10x－6∴原式=(x+1)(x+1)(x－3)(3x+2)=(x+1)(x－3)(3x+2)．说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．(2)因式可能重复．对于综合除法的一个好方法：另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来将最高项的系数落下来用除数-1乘以落下的3得-3写在第二项-6下用-6减-3写在横线下，再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1┃-3 3 -1┗━━━━━3 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）1┃4 -3 -4 -1┃ 4 -7 3┗━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法综合除法，其实就是多项式除以多项式，一般步骤是：（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除用上面的方法，下面给出几道利用综合除法分解因式的例题，作为掌握综合除法的练习：x^3+x^2-10x-66=1*6=2*3f(3)=0所以有因式：（X-3）用综合除法得：x^3+x^2-10x-6=(x-3)(x^2+4x+2)x^3+x^2-10x+88=1*8=2*4f(2)=0,所以有因式：（X-2）用综合除法得：x^3+x^2-10x+8=(x-2)(x^2+3x-4)=(x-2)(x+4)(x-1)4(x^4)+4(x^3)-9(x^2)-x+22=1*2f(1)=0所以有因式：x-1用综合除法得：4x^4+4x^3-9x^2-x+2=(x-1)(4x^3+8x^2-x-2)=(x-1)（x+2)(2x+1)(2x-1)分解因式a^6-64(b^6)=(a^3+8b^3)(a^3-8b^3)=(a+2b)(a^2+4b^2-2ab)(a-2b)(a^2+4b^2+2ab)x^9+y^9=[x^3+y^3][x^6+y^6-x^3y^3]=[x+y][x^2+y^2-xy][x^6+y^6-x^3y^3]8(a^3)+b^3+c^3-6abc=[2a+b+c][4a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-bc]1+x+x^2+x^3+.....................+x^15=(1+x)+x^2(1+x)+x^4(1+x)...+x^14(1+x)=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+...+x^14)=(1+x)[(1+x^2)+x^4(1+x^2)+x^8(1+x^2)+x^12(1+x^2)] =(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8+x^12)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)。
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综合除法与余数定理
一、知识提要与典型例题
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
（一）、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解： 余式商的各项的系数
826322
4
1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。
上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。
如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。
因此先用32-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
∴Q=542-+x x ， R=6。
下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
例3、用综合除法求)23()4101173(2234-+÷-+-+x x x x x x 的商Q 和余式R 。
解：231232
32
34
66
94101173-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232+-x x ， R=23-x 。
（二）、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。
它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。
余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。
略证：设R a x x Q x f +-⋅=)()()(
将x=a 代入得R a f =)(。
例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。
解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。
∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。
可得ｍ＝－17。
求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
解：设b ax x x f +==2)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f ①
∵)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴
b a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b
∴13)(2+-=x x x f 。
注：本例也可用待定系数法来解。
同学们不妨试一试。
即：1))(3())(2())(1(2++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x 由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m 再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。
∴13)(2+-=x x x f 。