1同底数幂的乘法
1.1同底数幂的乘法
第一章 第1节 同底数幂的乘法一、创设情境1．什么样的运算叫做乘方？乘方的结果叫做什么？幂的意义是什么，2．光在真空中的速度大约是3×108m/s ，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107s 秒计算，算一下比邻星与地球的距离约为多少？（只列式）快速计算108×107结果等于多少？二、自主探究1．猜想：（1）102×103； （2）105×108 （3）10m ×10n （m ，n 都是正整数）．2．探究：依据上面的做题经验，2m ×2n 等于什么？n m ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛7171和（－3）m ×(-3)n 呢？（m,n 都是正整数）法则：（文字叙述）（公式）3．拓展法则中说的是两个同底数幂相乘，那么三个或三个以上的同底数幂相乘怎样运算？ a m ·a n ·a p =三、应用法则例1计算：（1）（-3）7×（-3）6； （2）（1111）3 ⨯1111； （3）-x 3 · x 5； （4）b 2m · b 2m +1.例2 光在真空中的速度约为3×108m/s ，太阳光照射到地球大约需要5×102s. 地球距离太阳大约有多远？四、变式训练，1．口答：（1）x2·x5 （2）b5·b （3）32·3n2．下面是某学生所做的四个题目，另一个同学说做错了，而他说没错，请评判一下谁说得对．（1）x5+x5= x10（2）x m·x m=2x m（3）a·a3·a5=a0+3+5 =a8 （4）-a2·(-a4) ·(-a)3=(-a)2+4+3 3．计算：（1）23·24·25 （2）x3·x m-1 （3）y m-1·y m+1·y （4）（5）a3·a3+a2·a44．已知a x=2，a y=3（x、y均为正整数）求a x+y的值六、达标检测A层：1．填空题（1）a（）·a4=a20．（2）若102·10m=102013，则m= ．2．计算：（1）y·y2·y3 （2）y m·y m+1 （3）y m-1·y m+1·y （4）B层：3．某种计算机每秒钟可以进行4×107次运算，那么这台计算机5×102秒可以进行多少次运算？4．若a m=2，a n=5，求a m+n的值．。
1 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即am
1 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即am
1 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即am*an=a(m+n)
在学习数学中，我们会接触到各种各样的函数、表达式和公式，而“同底数幂”就是其中一种。
所谓“同底数幂”是指一个底数和多个指数组合而成的表达式，如
a^m*a^n，其中a为底数，m和n为指数。
在现实生活中，我们会经常遇到同底数幂的乘法性质，即同底数幂相乘时，底数不变，而指数则相加。
比如，有一个函数 f(x)=2^x，对于任意 x，函数
f(x) 的值都是 2 的 x 次方，那么当 x=2 时，
f(x)=2^2=4，而当 x=3 时，f(x)=2^3=8。
如果我们要计算出 f(2)*f(3) 的值，由于这里的两个函数都是同底数幂，即都是 2 的某个次方，所以可以利用它们的乘法性质来进行计算，即 f(2)*f(3)=2^2*2^3=2^(2+3)=2^5=32。
从上面的例子可以看出，同底数幂的乘法性质很容易让我们能够把复杂的计算问题转化为简单的计算过程，大大地减轻了计算的负担。
此外，在某些特殊的情况下，同底数幂的乘法性质也可以被用来计算出一个数的立方。
比如，当 m=3 时，
a^m=a^3，而 a^3=(a^2)*a，由于 a^2 也是一个同底数幂，我们可以利用它的乘法性质来进行计算，即
a^3=(a^2)*a=(a*a)*a=(a*a*a)，也就是说，a 的立方等于a 乘以自身的平方。
总之，同底数幂的乘法性质是一个非常有用的性质，它可以帮助我们快速地计算出一个数的立方，也可以让我们减少计算的负担，大大提高了我们的工作效率。
3.1.1 同底数幂的乘法
（m、n都是正整数）
m n ) ＝ 5×5×…×5 ＝5(
(m n)个5
观察思考： （1）上面各题中等号左边的两个幂的底数有什么特点？
（2）观察上面各题等号左右两边，底数、指数有什么关系？
猜想: am · n=am+n a
(m、n都是正整数)
am · n = （aa…a） a （aa…a） （乘方的意义）
m n
2×2×2 ) ×(
(
2×2
)
)
3＋2
＝ 2×2×2×2×2 ＝2 5
＝2
5 5 ＝( 5×5×…×5 ) ×( 5×5×…×5)
m个 5 n个5
a a a a ) ×( a a a ) 4＋3 ＝ a a a a a a a ＝ a( 7 )＝ a
3、不能疏忽指数为1的情况；
解：原式=64+1=65
学以致用
同底数幂的乘法公式
am · n = am+n a
例1、计算下列各式,结果用幂的 形式表示：
(4) x3 ·5 x (5)32×(－3)5 (6) (a－b)2 · －b)3 (a
温馨提示：
若底数不同，先化为相同，后运用法则． 公式中的a可为一个有理数、单项式或多 项式（整体思想）
102 × 105 × 10 7 等于多少呢？
3.1同底数幂的乘法
回顾
探究
an 表示的意义是什么？其中a、n、an分
别叫做什么?
底数
n a
幂
指数
an = a × a × a ×… a n个a
回顾
问题（1）
探究
23、22表示什么？ 2×2×2 3 = ----------------. 2 (乘方的意义）
同底数幂的乘法乘方公式
同底数幂的乘法公式是：$a^m \times a^n = a^{m+n}$，其中$a$ 是底数，$m$ 和$n$ 是指数。
这个公式告诉我们，当底数相同时，幂的乘法可以通过将指数相加来得到结果。
同底数幂的乘方公式是：$(a^m)^n = a^{m \times n}$，其中$a$ 是底数，$m$ 和$n$ 是指数。
这个公式告诉我们，幂的乘方可以通过将指数相乘来得到结果。
这两个公式在解决涉及同底数幂的运算问题时非常有用。
例如，如果我们想计算$2^3 \times 2^4$，我们可以使用同底数幂的乘法公式将其简化为$2^{3+4} = 2^7$。
同样地，如果我们想计算$(3^2)^3$，我们可以使用同底数幂的乘方公式将其简化为$3^{2 \times 3} = 3^6$。
1.1 同底数幂的乘法
解：原式＝-x1+3 ＝-x4 当底数是负数时不 要漏加括号！ 1 1
1 63 解：原式 （ ） 2 1 9 （ ） 2
（4） ( ) ( ) 2 2
6
3
注：公式中的a可代表一个数、字母、式子等。
3、已知：am=2， an=3.求am+n 的值.
解： am+n = am·an =2 × 3 =6
学生分组自学，教师巡视（5分钟）
自学检测1（4分钟）
1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
a (×) 4 4 4 8 (3) a +a =a 2a ( × )
(1) a5· a6=a (Leabharlann )a2· a3－ a3· a2 = 0
3 85 3 5 (7)a · b =(ab)
11 30
(2) a· a3=a3 (× ) 4 2 2 (4)a · a =2a4 ( ×) ( √ ) (√ )
B.2个 C.3个 D.4个 6 3、（1）已知x a=2, x b =3,求x a+b =_______
4 (2)已知:an-3×a2n+1=a10,则n＝_______ 81 (3)如果2n=2,2m=8,则3n × 3 m =____.
4、（a-b)·(b-a)2n=________. (a-b)2n+1 5、一个长方体的长为4×10³厘米，宽为2×10²厘米， 高为2.5×10³厘米，则它的体积为_________ 2×109 立方厘米。
1 b
6、计算:
3
b ;
2 3 3
-b5 -a4
3
(2) x ( x) ;
2 m 2
-x3
m 1
1.1同底数幂的乘法
课题：1.1同底数幂的乘法课型：新授课年级：七年级教学目标：1.掌握同底数幂乘法的法则；能正确地运用同底数幂乘法的运算性质，并能应用它解决一些实际问题.2.经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义，感悟数学中特殊到一般”和化归的数学思想，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.教学重难点重点：同底数幂的乘法法则的推导过程，会用同底数幂的乘法法则进行有关计算.难点：探究同底数幂的乘法法则的过程及培养学生的归纳能力和化归思想.教法及学法指导：本节课通过复习引入，不断的通过问题引导学生的思维活动，同时突出学生的“探索”，将观察、思考等活动贯穿于教学活动的始终，在教学过程中立足让学生自己去探索、分析归纳、合作交流.课前准备：教师准备：制作教学课件．学生准备：准备练习本和预习课本内容.教学过程:一、复习回顾，提出问题活动内容：复习幂的意义，提出问题问题：2表示什么？10×10×10×10×10 可以写成什么形式?1. 5a表示的意义是什么？其中a、a、n a分别叫做什么?2. n3. 光在真空中的速度大约是3×108千米/秒.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3 ×107 秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？处理方式：第一、二个问题，多媒体展示后让学生口答，教师再通过两三道习题巩固定义，如()23-，43-.第三个问题让学生在演草纸上书写，并找一学生板书3×108×3×107×4.22=3×3×4.22×（108×107），接着老师追问108× 107等于多少呢？这节课我们就来学习这类幂的运算，同底数幂的乘法设计意图：通过复习幂的意义，为本节课公式的推导做好准备，联系生活提出问题，学生解决有困难，从而引出本节课的学习内容，激发学生学习的欲望.二、自主合作，解决问题活动内容1： 经历同底数幂的运算性质的过程 1.利用乘方的意义计算下列各式： （1）102×103（2）105×108（3）10m×10n（m ，n 都是正整数）（4）(71)m ×(71)n（m ，n 都是正整数） (5) (-3)m× (-3)n（m ，n 都是正整数）处理方式：让学生独立利用乘方的意义进行推导，并找学生板书各题.师生共同订正推导过程中的错误，如底数是分数或是负数要添加括号. 102×103=（10×10 ）×（10×10×10 ）=10510m×10n=（10×10×… ×10 ）×（10×10× … ×10 ）=10m+nm 个10 n 个10(71)m ×(71)n = （71×71×… ×71）×（71×71× … ×71）=（71）m+nm 个71 n 个71(-3)m×(-3)n=[(-3)×(-3)×…×(-3)]×[(-3)×(-3)×…×(-3)]=(-3)m+nm 个10 n 个10指数幂= a·a· … ·a n 个a底数设计意图：由特殊过渡到一般，让学生经历同底数幂的乘法性质的推导过程，并在发现的过程中不断巩固幂的意义，同时，本环节为学生下一步归纳同底数幂的乘法法则做好准备.活动内容2：归纳同底数幂的运算性质 问题:1.观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？2.猜想: =⋅nma a? (当m 、n 都是正整数)处理方式：让学生观察以上推导的算式，底数、指数有什么关系，学生归纳后教师提出第二个问题，猜想:nmaa ⋅的结果，并让学生进行验证.nmaa ⋅= (a ﹒a ﹒﹒﹒﹒a)·(a ﹒a ﹒﹒﹒﹒a)m 个a n 个a =a ﹒a ﹒﹒﹒﹒a (m+n)个a =a m+n所以n m a a an m n m、(+=⋅是正整数）上面两个问题处理完后老师教师继续追问：（1）a m．a n ．a p 等于什么？接着让学生推导出am．a n ．a p = a m+n+p ,，（2）如何用语言叙述这一性质？（老师板书性质）a m ．a n =a m+n （ m 、n 是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.教师点拨强调：运用法则时，幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加.设计意图：通过观察、归纳、推导得到同底数幂的乘法法则，培养学生的合情推理能力，完成本节课的第一个目标.三、展示汇报，反馈点拨活动内容：利用同底数幂的运算性质进行计算 （多媒体出示）例1计算（1）(-3)7×(-3)6（2）（3）-x 3.x5（4）b 2m .b 2m +1处理方式：先让学生独立利用法则进行计算，然后师生共同订正答案. 预设学生的易错点：111111113⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1.（1）（3）题漏加括号，老师可以让学生比较加不加括号的区别；2. （2）中学生容易把第二个因式的指数误认为0；3．（3）题的负号，学生可能会误认为是底数的负号，教师可以追问（3）题是不是同底数幂的乘法运算，对于（3）题中“－”你是怎样理解的？ 【规范解题】（1）（－3）7×（ －3）6= （－3）7+6 = （－3）13；（2）（1111）3×（1111） = （1111）3+1 = （1111）4； （3） －x 3• x 3= －x 3+5= －x 8；（4） b2m• b2m +1= b2m+2m +1= b4m +1四、巩固训练，拓展提高活动内容1：巩固同底数幂的运算性质 1.计算2.下面的计算是否正确？如有错误请更正.（1）b 4· b 4= 2b 4（ ） （2）b 5+ b 5= b 10（ ）（3）x 5·x 5= x 25( ) （4）c · c 3= c 3( )处理方式：让学生书写1题，口答2题，学生口答判断后，让学生说出错因，并给出正确的答案.设计意图：1题仿照例题，再一次巩固易错点，2题通过错例，让学生进一步巩固同底数幂的乘法性质.活动内容2：应用同底数幂的运算性质例2光在真空光的速度是 3×108千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒.地球距离太阳大约有多远？（解决开头提出的问题）光在真空中的速度大约是3×108千米/秒.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3 ×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？处理方式：让学生板书两个题目.设计意图：第1题通过练习让学生体会同底数幂的乘法在生活中的应用， 第2题 是为了照应开头，巩固同底数幂的乘法在生活中的应用.活动内容3：提高同底数幂的运算性质的练习（3）－x 2·x 3； （4）（－c ）3·（－c ）m.（1）52×57； （2）7×73×72；1.计算（a－b）3·（a－b）2；2.若a m =3，a n =2，求a m+n 的值.处理方式：让学生先独立思考，再小组交流答案.请同学们想一想本节课的收获，并说给同伴听.设计意图：1题让学生理解公式中的底数可以是字母，也可以是多项式；2题是公式的逆用，培养学生的逆向思维，同时再一次加深对同底数幂的乘法性质的理解.五、当堂检测，课堂小结(一)课堂小结请同学们想一想本节课的收获，并说给同伴听.1．同底数幂的法则是什么？2．计算中的易错点是什么？处理方式：让学生先回顾本节课的收获，并说给同伴听，教师再强调.设计意图：帮学生梳理知识，再一次强调所学内容.(二)课堂小结A层：1.（1）5x .（）= 2008x(2)36x x-⋅＝；2.如果2-n a‧1+n a‧2a=11a,则n= .3．计算2a‧3a+ a‧4a4．某种计算机每秒钟可以进行4×107次运算，那么这台计算机5×102秒可以进行多少次运算？B层：5．若a m=2，a n=5，求a m+n的值．处理方式：学生独立测试，小组长批改.设计意图：考察学生本节课的掌握情况，查缺补漏.作业：必做：课本 P4习题1.1第1、2题．选做：课本 P4 习题1.1第4题．板书设计。
1-1 同底数幂的乘法
【例1】计算：
(1)－a· (－a)2· (－a)5； (2)－a3· (－a)4； (3)9·3m· 32n.
解析 (1)可以先按同底数幂的乘法法则计算，再用
幂的符号法则确定符号；也可以先确定幂的符号， 再按同底数幂的乘法法则计算 . (2)要经过恰当的变 形，变成同底数幂后，再计算 . (3)变成同底数幂的 乘法，将9变形为32.
解 ∵2x＝4, 2y＝8， ∴2x＋y＝2x· 2y＝4×8＝32.
举一反三 1. 计算： (1)35×(－3)3×(－3)2；
解： 原式＝35×(－3)3×32＝－35＋3＋2＝－310；
(2)(x－y)· (x－y)4· (x－y)5； 解：原式＝(x－y)1＋4＋5＝(x－y)10； (3)32×(－2)2n×(－2)(n为正整数)； 解：原式＝25×22n×(－2)＝－25＋2n＋1＝－22n＋6 ； (4)(2a＋b)3· (2a＋b)m－4· (2a＋b)2n＋1. 解：原式＝(2a＋b)m＋2n ；
第一章
整式的乘除
1 同底数幂的乘法
名师导学
新知 同底数幂的乘法
(1)正整数指数幂的意义.
几个相同因数a相乘，即 a· a· …· a，记作an，读作a的
n次幂(或a的n次方)，其中a叫做底数，n叫做指数. 这里 a可以是任意的有理数，也可以是单项式，也可以是多 项式. 需将同底数幂的意义与乘法的意义严格区分开， 如：a3＝a· a· a(幂的意义),3a＝a＋a＋a(乘法的意义).
n个a
(2)幂的乘方法则.
一般的，我们有(am)n＝amn(m，n都是正整数). 即
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
注意：①不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法
15.1.1同底数幂的乘法【精简版】
2013年7月25日5时19分
思考：
an 表示的意义是什么？其中a、n、an分
别叫做什么?
底数
n a
幂
指数
an = a × a × a ×… a
2013年7月25日5时19 分
n个a
问题：
25表示什么？ 10×10×10×10×10 可以写成什么形式?
25 = 2×2×2×2×2 . (乘方的意义）
2.计算：（1）23×24×25
（2）y · 2 · 3 y y
解：（1）23×24×25=23+4+5=212
2013年7月25日5时19分
（2）y · 2 · 3 = y1+2+3=y6 y y
练习一
1. 计算：（抢答）
（1） （2）
105×106 a7 ·3 a
(1011 )
( a10 )
2013年7月25日5时19分
.
拓展提高
1、计算： （1）- 103×105 （2）（-a）3×（-a）2 = -103+5 =（-a）3+2 = -108 =（-a）5 =-a5
（3）-（-b）3×（-b）2 （4）（-a）4×（-a）2 =-（-b）3+2 =（-a）4+2 =-（-b）5 =（-a）6 =-(-b5) =b5 =a6
4、计算： （1）已知：xm=7， xn=8，求xm+n的值
解：∵xm=7， xn=8
∴xm+n =xm×xn
=7×8 =56
（2）已知：2x=13，求2x+3的值 解：∵2x=7 ∴2x+3 =2x×23
=13×8 =104
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对于任意底数a与任意正整数m,n,
am·an=(aa···a)(aa···a) =aa···a =am
一般地，我们有am·an=am+n(m,n都是正整数)
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例１ 计算： (1) x2·x5; (2) a·a6; (3) 2×24×23; (4) xm·x3m+1.
仔细做一做
计算： 1.-x2·(-x)5 ·(-x); 3.(x-y)3(y-x)2.
2.(x+y)m-1·(x+y)m+1·(x+y)3-m;
思维延伸
１已知xa=2,xb=3,求xa+b. ２已知x3·xa·x2a+1=x31,求a的值.
综合拓展
已知2x=3,2y=6,2z=36,试写出x,y,z的关系式.
14.1整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
学习目标
1、教学目标 （一）教学知识点 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
（二）能力训练要求 1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用， 使学生初步理解特殊到一般，
解： (1)x2·x5 =x2+5 =x 7. (2) a·a6 =a1+6 =a7.
(3)2×24×23=21+4+3=28. (4) xm·x3m+1=xm+3m+1 = x 4m+1.
练习
计算： (1) b5·b ; (3) –a2·a6;
(2) 10×102×103; (4) y2n·yn+1.
一般到特殊的认知规律． （三）情感与价值观要求 体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
重点：正确理解同底数幂的乘法法则．难点：正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
Ⅰ．提出问题，创设情境 复习an的意义： an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．
乘方的结果叫幂；a叫做底数， n是指数． （出示投影片）
我们来看下面的问题吧
一种电子计算机每秒可进行1012次运算,它工作103秒可 进行多少次运算?
根据乘方的意义可知: 12个10
1012×103=(10×…×10) ×(10×10×10)
=(10×10×…×10)
=1015
15个10
探究 根据乘方的意义填空,看看计算结果有什么规律: (1) 25×22=2( ) ; (2)a3∙a2=a ( ) ; (3) 5m∙5n = 5 ( ) .