04力学第四章

1 1 2 Ek mi vi mi (vc vi) 2 i 2 2 r c 1 mi (vc vi) (vc vi) O 2 1 1 2 ( mi )vc mi vi2 mi vi vc 2 2 1 1 2 2 0 mi vc mi vi mi vi mvc 2 2
记作：
Ai Ae Ek 2 Ek1
质点系动能定理
上式表明：质点系所 有外力和内力功的总和 等于质点系动能的增量。
注意
内力能改变系统的总动能， 但不能改变系统的总动量。
2、机械能守恒定律 若质点系所受的力仅为保守力，则
Ai Ae (Ep 2 Ep1 )
即
(Ep 2 Ep1 ) Ek 2 Ek1
m dm dl l m dm dS S m dm dV V
3、质心的速度和质点系的动量
当 质量mi 不变时，由（1）式得质心的速度
vc

mi vi m
（2）
由此得质点系的总动量为
p mi vi mvc
（3）
质点系的总动量等于质心的速度与质点系总 质量之积。
4、质心的加速度和质心运动定理
讨论
若质点系是由两个质点组成，无论质心是否 运动，在质心系中观察，两个质点的动量总是大 小相等，方向相反，总动量为零。
例如：工作于空间站密封舱外的宇航员，在丢掉 其工具后向相反方向运动，宇航员和工具相对于 y 质心的总动量为零。
P 1
x
c
z
P2
2 0 P C P 1P
3、质心系中的动能定理
n
n
F dt dP
i 1 i
n
(6)
Fdt dP P
i 1 i
n
(7)
例4.1.3 人在船上的运动
静止的船（质量M，长度L）上有一 个人（质量m）。当人从船头走到船 尾时，船移动了多少？
方法1 用动量守恒定律
船人系统：水平方向不受外力，则该 方向上系统的动量守恒，所以有 0 mv MV
质点系动力学研究质点系整体运动 特征量（动量、角动量和动能）的 变化与作用力间的关系。主要内容: 质点系的动量定理 质点系的动能定理
质点系的角动量定理
4.1 质点系动量定理与质心运动定理
4.1.1 质点系动量定理
质点系：若干个有相互作 用力的质点组成的系统。 内力 F i ：系统内各质点 间的相互作用力。
xc y c
mi xi
m mi yi m
质量连续分布
xc yc
xdm
m
ydm
m
说 明
（1）质心是质点系质量分布的中心。
（2）对于形状规则、质量分布均匀的物体， 质心位于几何中心。 （3）线分布： 面分布： 体分布：
（2）在内力的作用下，质点系内各部分的运动 可以不相同，但质心的运动与内力无关，仅取 决于外力。 （3）若质点系受到的外力的矢量和为零，则质 心静止或作匀速直线运动。
求质心的位置
例4.1.2 求半径为R的半球形球壳的质心
解：将球壳细分成无数多细 环如图，设球壳质量面密度为 。 则其中任一细环的质量为
当 质量mi 不变时，由质心速度可以得到质心 加速度
ac
ma
i
i
m
（4）
这时，质点系的动量定理可以写为
(e) d Fi d t (mvc ) mac
（5）
系统所受的合外力等于系统的质量乘以质心的 加速度，上式又称质心运动定理。
说明
（1）质心的运动代表着质点系整体的运动，与 单个质点的运动相同。这正是将实际物体抽象 为质点模型的实质。
m V v 既 M 船与人的运动方向相反，速度大小 与它们的质量成反比。
由速度对时间积分既可得到位移。
方法2
用质心的概念
从质心角度考虑：由于系统水平方向 不受外力，所以质心的水平位置应保 持静止，既
X C c or C 0
而 解得
( L X )m ( X ) M XC 0 mM Lm X mM
动能定理只使用于惯性系，若在非惯性系中， 必须加上惯性力的功。即
A外 A内 A惯 Ek 2 Ek1
在质心系中，
A惯 0
mi ac
c
ac
证明：设质点系的质心加速 度为 ac ，在质心平动参考 系中作用于每个质点的惯性 力为 m a 。
i c
惯性力的元功为：
dAi mi ac dri
例4.1.1 爆炸前后总动量守恒 一个静止的物体 炸裂成三块，其中两块具有相等的质量，且以相同 速率30 m/s 沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量 为前两块的总和，求第三块的速度。 解：物体的动量原 等于零，根据动量守恒 定律知道，物体分裂为 m3v3 三块后，这三块碎片的 动量的动量总和仍然等 于零。
m1
h
量守恒。第二步锤和桩一起克服地
基的阻力前进，最后静止。可应 用质点系的动能定理。
m2
d
动力学方程为
(m1 m2 )v m1v1
v1 2gh 1 (m1 m2 ) gd fd 0 (m1 m2 )v 2 2
由（1）、（2）和（3）式可解得 阻力为

2 0
2 R sin cos d
3
2 R
2
1 R 2
质点系的动量定理
质点系的质心运动定理
d n Fi pi dt i 1 i 1 dP dt dmvC dt m aC
n
d dP Fi pi dt i 1 dt i 1
r
d m ( 2 r R d ) 2 2 R sin d
半球壳的质量为
o
R
m d m 2 R
2
2 R


2 0
sin d
2
（质量均匀分布可不必积分）
根据对称性，细环的质心位于 y 轴，积分可得半球 壳质心的位置
xc 0 yc ydm m
135
0
4.1.3 质心和质心运动定理
p mi vi mvc （1） 若令 其中 m mi m1 m2 …… 为质点系的总
质量，则可看出： 质点系中总是存在着一个特殊的点C，该点的 运动代表着质点系整体的平动。
1、质心
如何确定这个特殊 点的位置？
质点系的总机械能为
Ep 2 Ek 2 Ep1 Ek1 常量
机械能守恒定律
4.2.2 内力的功
以两质点为例，讨论 一对内力的功。 质点1： dA 1 F 1 dr 1 质点2： dA2 F2 dr2
1
r1
F1
F2
r12 r1 r2
2
r2
o
dAi F1 dr1 F2 dr2 F1 dr1 F1 dr2 F1 dr1 dr2 F1 d r1 r2 F1 dr12
4.2.3 质点系的动能与势能
1、质点系的动能 定义：
柯尼希定理：
1 2 Ek mi vi 2
1 1 2 2 Ek mvc mi vi 2 2
表述：质点系的动能等于质点系随质心的平动动能 与质点系相对于质心的动能之和。
柯尼希定理推导：取大地为静系，质点系的质心为 动系，质点P为质点系中的一点。则
vi vc vi
y
mi P r c i r
x
质心相对于质心的速度
2、质点系的势能
内势 能： 与内保守力相应的势能 质点系的势能 外势 能： 与外保守力相应的势能
质点系的重力势能：
E p mi gyi mi yi g mgyc
即
E p mgyc

m1v1

m2v2
即：m1v1 m2v2 m3v3 0
所以这三个动量必处 于同一个平面内，且 m3v3 第三块的动量必和第 一、二块的合动量大 小相等、方向相反， 如图所示。 因为 v1 和 v 2 相互垂直，所以
m1v1

m2v2
(m3v3 ) (m1v1 ) (m2v2 )
A外 A内 Ek 2 Ek1
4.2.5 例题分析
例 4.2.1 落锤打桩 如图所示，设锤和桩的质量 分别为 m1 和 m2 ，锤下落的高度为 h ，假定地基的 阻力恒定不变，落锤一次，木桩打进土中的深度 是 d ，求地基阻力。
解：锤打桩的过程可分为两步： 第一步锤与桩碰撞达到共同速度，
由于碰撞时间很短，外力可忽略，动
d ( mi vi ) dt
由于内力总是成对出现，大小相等方向相反， 矢量和为零。
F
(i)
i
0
因此有
F
(e)
i
d ( mi vi ) dt
用 F 和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：
总动量
p mv i i m 1v1 m2v2
上式表明：质点系所受到的合外力等于质点系的 动量对时间的变化率。
惯性力对质点系总的元功为
i i c i
dA m a dr a d (m r)
c i i
由质心定义知
i i
（ rc是质心相对质心的位矢）
因此有 即
m r mr 0
c
i
c
A 惯 0
mi ac
ac
dA 0
结 在质心系中，惯性力的功为零。其动能定理 论 与惯性系中的动能定理具有完全相同的形式。在 某些问题的求解中，选用质心系比惯性系更方便。