弹性力学问题的解法
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z
∂τ yx ∂x
+
∂σ y ∂y
+
∂τ yz ∂z
+ fy = 0
σ ij , j + f i = 0
x = −y tan β
X = γy cos β Y = γy sin β
由应力边界条件公式， 由应力边界条件公式，有
α
l(σ x )s + m(τ xy )s = X m(σ y )s + l(τ xy )s = Y
σ x ⋅ (−cos β ) +τ xy ⋅ (−sin β ) = γy cos β
根据给定物体边界条件都类型， 根据给定物体边界条件都类型， 可将弹性力学边界条件分为三类一.位 Nhomakorabea边界条件
(Displacement Boundary Condition)
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量是 已知的，即： us = u , vs = v 式中 s 、 s —是位移的边界值； u v 是位移的边界值； 是位移的边界值
pi = σ ij n j
（在 Sσ 上）
τ zx ⋅ l + τ zy ⋅ m + σ z ⋅ n = p z
2）位移边界条件
(Displacement Boundary Condition)
u = u*
v = v*
w = w*
v w 注意： u * 、 * 、 * 为弹性体表面已知的位移
以上15个基本方程包含弹性力学所要研究的15个基本未知量， 以上15个基本方程包含弹性力学所要研究的15个基本未知量， 15个基本方程包含弹性力学所要研究的15个基本未知量 即6个应力分量(Stress Components ) 个应力分量
[
]
γ xy
2(1 + v) = τ xy E 2(1 + v) v) = τ yz E
2(1 + v) τ zx E
v 1+ v σ ij − δ ijσ kk E E
1 ε y = σ y − v(σ z + σ x ) E
[
]
γ yz
ε ij =
1 ε z = σ z − v(σ x + σ y ) E
[
]
γ zx =
2)用应变表示应力的关系式
(The Stresses Explained by Strains)
σ x = λθ + 2Gε x
σ y = λθ + 2Gε y
τ xy = Gγ xy
τ yz = Gγ yz
σ ij = λδ ijθ + 2Gε ij
σ z = λθ + 2Gε z
u |x=l = 0, v |x=l = 0
∂u ∂v = 0, =0 ∂y x=l ∂x x=l
σ x ⋅ (−sin β) +τ xy ⋅ cos β = 0 σ y ⋅ cos β +τ yx ⋅ (−sin β) = 0
例3 图示水坝，试写出其边界条件。 图示水坝，试写出其边界条件。
左侧面： 左侧面： l = −cos β, m = −sin β
σ y ⋅ (−sin β ) +τ xy ⋅ (−cos β ) = γy sin β 右侧面： 右侧面： l = cosα, m = −sin α x = y tanα cosα ⋅σ x − sin α ⋅τ xy = 0
X =Y = 0
− sin α ⋅σ yx + cosα ⋅τ xy = 0
图(a)
o x
图 (b )
x
y
τ
u
s xy
=u = 0 = f y= 0
y
(σ x ) s = f x 0 v s = v = 0
例1 如图所示，试写出其边界条件。 如图所示，试写出其边界条件。
(1) (2)
(3)
∂v us = 0 ∂u = 0, = 0 x = 0, ∂y ∂x h vs = 0 h x x = a, l =1, m = 0 a X = 0,Y = 0 y (4) y = +h, l = 0, m = +1 l(σ x )s + m(τ xy )s = X X = 0,Y = 0 m(σ y )s + l(τ xy )s = Y (σx )s ⋅ 0 + (τ xy )s ⋅ (+1) = 0 (σx )s = 0, (τxy )s = 0 (σ y )s ⋅ (+1) + (τxy )s ⋅ 0 = 0 l = 0, m = −1 y = −h, (σ y )s = 0, (τxy )s = 0 X = 0,Y = q
第四章 弹性力学问题的解法
Methods of Analysis for Elastic Mechanics
参
考 教 材
1）《弹性力学》（第4版，上册），徐芝纶著 2）《弹性力学与有限元法》，蒋玉川、张建海、 李章政编著
§4.1 弹性力学的基本方程
Basic Equations of Elastic Mechanics 平面应力问题
q
(σ ) ⋅ (−1) + (τ ) ⋅ 0 = q (σ ) = −q, (τ ) = 0
y s xy s
y s xy s
(σx )s ⋅ 0 + (τ xy )s ⋅ (−1) = 0
说明： 说明：
x = 0 的边界条件，是有矛 的边界条件， 盾的。由此只能求出结果： 盾的。由此只能求出结果：
y
τ xy y=0 = 0
(2) BC段（x = l）： l = 1 m = 0 段 ）： ,
x σ y y=0 = p(x) = p0 l
(3) AC段（y =x tan β）: 段 ）
l = cos(N, x) = cos(90 + β) = −sin β
m = cos(N, y) = cos β
σy τ yx
Xf xn Xn
X n = Yn
σ x τ yx
τ xy l σ y m
σx
τ xy
f Yyn
单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
σ x τ yx
τ xy l f x = σ y s m f y
∂w ∂u = + ∂x ∂z
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
γ zx
变形协调方程(Deformation Compatibility Equation )
——(Saint-Yenant方程)
∂ εx + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
∂ 2ε x ∂ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 2 = − ∂x + ∂y + ∂z ∂y∂z ∂x
图示薄板， 方向受均匀拉力作用 方向受均匀拉力作用， 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 例4 证明在板中间突出部分的尖点 处无 证明在板中间突出部分的尖点A处无 应力存在。 应力存在。 解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 平面应力问题，
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上已知的位移分量。 边界上坐标的已知函数或边界上已知的位移分量。
二、应力边界条件
(Stress Boundary Condition)
——应力分量与面力分量之间的关系 应力分量与面力分量之间的关系 在全部边界上应力边界条件已知。 在全部边界上应力边界条件已知。
１.在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的应力 分量与坐标面应力的关系有
例 举 ：
fx = ql fy = 0
y
fx = 0, fy = ql
x
右 : (σ x ) s = − ql , (τ xy ) s = 0
fx = −ql fy = 0
左 : (σ x ) s = − ql , (τ xy ) s = 0
fx = 0, fy = −ql
下 : (σ y ) s = − ql , (τ yx ) s = 0
o
x 上面：l=0，m=-1 左面： l=-1 m=0 下面：l=0，m=1 y 右面： l=1 m=0
(σ l = ±1 x)s = ± X (τ = m = 0 xy)s ±Y
(2).在上下两面 (2).在上下两面
l = 0 y ) s = ± f y (σ (τ = m = ±1 yx ) s ± f x
.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量, 注： A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且当 边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同, 边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同,当边界的 外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。 外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。
B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、 边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、 边界上的面力转变为应力分量其正负号规定 负面负向为正，其余为负。 负面负向为正，其余为负。
τ zx = Gγ zx
(4) 边界条件(boundary conditions) 1）应力边界条件
(Stress Boundary Condition)
04弹性力学解题方法
解题思路：
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi
ui u j n jG x j x i
ui ui
几何 方程 物理 方程
u v w
n j ij Fi （4－4）
ij
ij
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
ij 2G ij ij
ij
ui u j G x j x i ij
ui u j x i x j
（4－1）
a i ij a j ij x j x i
2 ui 2u j G x x j j xi x j
2. 位移的边值问题
在物体的全部表面上给定位移的问题。 位移法
3. 混合边值问题
在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分 表面上给定位移的问题。 力法或位移法
§4－2 按位移求解弹性力学问题
基本方程
ij x j fi 0
ij
u j ui 1 2 x j x i
G G (1 2 )
Laplace算子 位移分量表示 的平衡微分方程
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi G G 2 u f x 0 1 2 x G G 2v f y 0 1 2 y G G 2 w f z 0 1 2 z
以位移分量为基 本未知量
用位移表示应 力和应变
物理 方程
求出位移 分量
几何 方程
2. 力法
以应力分量为基 本未知量
求出应力 分量 消去位移和应 变分量
弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法
说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
弹性力学部分习题解决方案
当涉及到弹性力学部分的习题解决方案时，这可能涉及到各种不同类型的问题，包括材料的应力应变关系、结构的变形与应力分布、材料的弹性性质等。
以下是一些可能出现在弹性力学部分习题中的主题和解决思路：
1. 应力应变关系：
-根据题目给出的条件和要求，利用材料的本构关系（如胡克定律）计算应力和应变之间的关系。
-可能涉及到拉伸、压缩、剪切等不同形式的加载情况。
2. 变形与位移：
-通过弹性力学原理和平衡条件，推导结构的变形与位移关系。
-可能包括梁的弯曲、板的挠曲等问题，需要考虑边界条件和载荷情况。
3. 应力分布：
-计算结构中不同位置的应力分布，包括轴向应力、剪切应力等。
-根据结构的几何形状和加载条件，确定应力的分布规律。
4. 能量方法：
-使用能量方法（如弹性势能原理）来分析结构的稳定性和变形情况。
-可以通过最小势能原理或最大耗散能原理求解结构的平衡状态。
5. 材料参数：
-根据材料的弹性模量、泊松比等参数，计算结构的响应和性能。
-考虑材料的非线性、各向异性等特性对结构行为的影响。
针对具体的习题解决方案，通常需要根据题目提供的条件和要求，结合课程中学习到的知识和理论进行分析和推导。
高中物理弹性力学题如何解答
高中物理弹性力学题如何解答弹性力学是高中物理中的一个重要知识点，涉及到弹簧、弹性体等物体的力学性质。
在解答弹性力学题目时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，详细说明高中物理弹性力学题如何解答，并给出一些解题的指导。
题目一：一根弹簧的弹性系数为k，将其悬挂在天花板上，并挂上一个质量为m的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动频率。
解答思路：根据弹簧的弹性力学特性，物体在弹簧上的振动属于简谐振动。
简谐振动的振动频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关。
根据公式f=1/2π√(k/m)，我们可以计算出振动频率。
题目二：一根长为L的均质弹性绳，两端固定在墙上，中间悬挂一个质量为m 的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动周期。
解答思路：同样地，根据弹性绳的弹性力学特性，物体在弹性绳上的振动也属于简谐振动。
简谐振动的周期与弹性绳的长度和物体的质量有关。
根据公式T=2π√(m/L)，我们可以计算出振动周期。
通过以上两个例题，我们可以看出解答弹性力学题的关键在于掌握弹性力学的基本公式和原理。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 确定题目中给出的已知量和未知量，理清思路，明确要求。
2. 根据题目中给出的物体和弹性体的性质，选择合适的公式进行计算。
3. 在计算过程中，注意单位的转换和计算的精度，保证结果的准确性。
4. 对于复杂的题目，可以将问题分解为多个简单的小问题，逐步解决，最后综合得出答案。
除了以上的解题技巧，我们还可以通过一些实际例子来加深对弹性力学的理解，并举一反三。
例如，我们可以通过观察弹簧的伸缩现象来理解弹性力学的基本原理，或者通过观察各种弹性体的应用，如弹簧秤、弹簧减震器等，来了解弹性力学在实际生活中的应用。
总之，解答高中物理弹性力学题需要掌握基本的解题技巧和方法，并通过具体的例题加深对弹性力学的理解。
解析弹性力学问题的解题思路
解析弹性力学问题的解题思路弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力分布规律。
解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。
一、力学模型的建立解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和物理性质都合适的理想模型。
常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。
建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。
二、应力和应变的计算在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。
应力是指单位面积上的力，常用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。
计算应力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。
三、边界条件和力的施加解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。
边界条件是指在模型的边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。
根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。
四、应力分布和形变分析在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到物体内部的应力分布和形变情况。
应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。
通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。
解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。
通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。
在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。
解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。
弹性力学解题方法问题
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
xy
x
y
y
zy
z
fy
0
z
x
yz
y
z
z
fz
0
张量表示： ij,i f j 0
2.几何方程：弹性体要满足的基本方程
x
u x
,
y
v y
,
z
w , z
xy
1 2
( v x
u ) y
yz
1 2
( w y
v ) z
zx
1 2
( u z
w) x
张量表示：
ij
1 2
A
1 2
21 G
q
由条件 wzh 0 得
B
1 2
21 G
qh
1 2
41 G
gh2
w 将常数 A 和 B 代入 的表达式，得
w
1 2
4G1
g
h2 z2
2qh z
u0
求应变
v0
e z
=
2G1-(12-mm) [-zr g
-q]
由广义胡克定律
x 2G xx xy 2G xy
按位移解题例题
例 设有半空间体，单位体积的
质量为 ，在水平边界面上受均 布压力 q 的作用，试用位移法求
各位移分量和应力分量，并假设在
处 z 方向的位移 w 0 z h
解：可以假设
u 0,v 0, w wz
因此体积应变
受均布压力作用的半空间体
xyz
uvwdw x y z dz
对于Leme方程 G2ui ( G) ,i fi 0
弹性力学第五章：弹性力学解法
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2
yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x
06-弹性力学解题方法
§4－3 按应力求解弹性力学问题
基本方程
ij
x j
fi
0
ij
1
E
ij
E
ij
ij
1 ui 2 x j
u j xi
相容方程（应变协调方程）：
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
x
xy
z
zx
弹性方程：
r
E
1
1
2
u r
1
E
1
2
u r
z
E
1
1
2
w z
zr
E 2(1
)
u z
w r
r z 0
z 0 r 0
E 2(1
)
1
1
2
r
2u
u r2
fr
0
u u w
E 2(1
)
1
1
2
z
2w
fz
0
r r z
2
2 r 2
1 r
r
2 z 2
u z
w x
Fx
lG
u y
v x
m
2G
v y
nG
v z
w y
Fy
解题思路：
G
1 2
xi
G 2ui
fi
0
（4－3）
n
jG
ui x j
u j xi
第2章 弹性力学中的若干典型问题及基本解法的讨论
同样可以由上式导出另一方向上的应力平衡微分方程式 综合起来得到如下空间轴对称问题的应力平衡微分方程：
r z r r K 0 r z r r r z r z Z 0 z r r
z r z r z Z 0 z r r
(r+dr)d
图2-3 轴对称问题示意
（c）
2.2 空间轴对称问题 平衡微分方程的推导：
14
如图2-3（c）所示的微元体的内侧面的正应力是r ，外侧面 r dr 上的正应力近似为 r 。由于对称， 在方向（环向）没有 r z 增量。下侧面的正应力是z ，上侧面的正应力近似为 z z dz。 rz dr，下面及上面的 内侧面和外侧面上的剪应力分别为rz 及 rz r zr dr 剪应力则分别为zr 及 zr 。径向体力用K表示，而轴向体力 r （z方向的体力）用Z表示。将该微元体所受的各力都投影到六面 d d d sin cos 1 ，可得到如下力 体中心的径向轴上，并取 及 2 2 2 平衡关系式
x xy X 0 x y y xy Y 0 y x
（2.1）
2.1.1 平面应力问题 平面应力问题的几何方程
u x x v u ε y , y x xy v u x y
（2.10）
15
2.2 空间轴对称问题 化简，同时除以rddrdz，并略去微量，得轴对称问题的一个方向 上的应力平衡微分方程式如下
r z r r K 0 r z r
（2.11）
将微元体所受的各力都投影到z轴上，则得力平衡关系式
第四章 弹性力学问题的求解方法
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
弹性力学问题求解也称为弹性力学边值问题求解
§7-2 弹性力学求解方法
• 求解弹性力学问题有位移法、应力法和应力函 数法三种方法。
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程 3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程得到一组用应力函数表示的相容方程即应力函数表示的控制方程
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
函数表示——应力函数表示的控制方程。
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。