第3章 排队模型分析法-1

k! 其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。
其均值为
E( Χ )
Pk P{ Χ k }
k
e
k= 0，1，2 …
方差值为
D( Χ )
泊松分布只需要确定一个参数λ，且事件发生间隔之间服从 负指数分布。
主要应用：广泛应用于各种随机事件的描述或近似
负指数分布(Exponential distribution)
生灭过程
生灭过程的状态转移流图 、福克-普朗克方程 生灭过程的平稳分布 、系统方程
排队系统
流入=流出”
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介
第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第1节 排队论简介
排队论，又称为随机服务系统理论，是在随机过 程基础上发展起来的一门研究资源有限性和需求 随机性的数学方法，通过研究各种服务系统在排 队等待中的概率特性，来解决系统的最优设计和 最优控制。 排 队 论 起 源 于 20 世 纪 初 丹 麦 电 信 工 程 师 A.K. Erlang对电信系统的研究，现已发展成为一门应 用广泛的学科，在电信、交通运输、生产与库存 管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事 作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域， 有着非常重要的应用。
排队系统的理论基础
随机变量（离散型，连续型）；
概率及概率分布函数、概率密度函数； 数学期望（均值）、方差（偏差）； 概率的归一性（正则规则）； 生灭过程的系统方程。
§1.3 排队系统的符号表示方法
一个排队系统是由许多条件决定的，为简明起 见，在经典的排队系统中，常采用3～6个英文字母 表示一个排队系统，字母之间用斜线隔开。 “Kendall”记号：X / Y/ Z / A / B / C 第一个字母表示顾客相继到达的时间间隔分布 第二个字母表示服务时间的分布类型 第三个字母表示服务台的数目 第四个字母表示系统的容量 第五个字母表示顾客源中的顾客数目 第六个字母表示服务规则(默认为 FCFS)。

f1 (t u ) f1 (u ) du
( t u ) u e e du 0
t
If k r，T T1 T2 Tr的密度函数为 f r (t ) Then
(t ) r 1
( r 1)!

e t
(t 0)
k r 1, T T1 T2 Tr Tr 1的密度函数为 f r 1 (t )
排队系统的基本组成——服务机构
服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联 2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物) 3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
1)
排队方式
1951: Kendall published “Some Problems in the Theory of Queues” and in 1953 proposed to use Kendall’s notation 1953-57: Kendall, Lindley, Pollaczek & Khinchin studied M/G/1 with embedded Markov chain method 1961: Little proved the Little Formula 1975/6: Kleinrock published the best known textbook in queueing theory 1982: Wolff proved and popularized the PASTA principle 1981: Neuts introduced the matrix analytic method
即
T T1 T2 Tk
T
i 1
k
i
理解：对于k个串联的服务台，每个服务台的服务时间相 互独立，均服从负指数分布，则每个顾客总的服务时间服 从Ek分布。 f(t) 当k=1, Ek为负指数分布， 完全随机；当k足够大 时，Ek分布近似于正态 分布；当k →∞时，X以
20
6 5 4 3 2 k=1
网络分析与测试
顾军 计算机学院网络工程系 jgu@
随机性分析基础
随机变量
概率分布特征
独立/ 增量/ 平稳
随机过程
状态转移特征
高斯、 泊松、 马尔可夫过程 维纳 负指 K步状态转移概率、状态 齐次马氏链、 C-K 数分 转移概率函数、状态转 方程、K氏前进方程、 布 移速度矩阵(Q-矩阵) K氏后退方程
一般地，若随机变量t取具有概率密度函数为
e t f (t ) 0
t0 t0
其中λ>0为常数，则t称服从参数为λ的指数分布，其分布 函数F (t)为： 1 e t t 0 F (t ) t 0 0 其均值为 E ( t )
1

方差值为
D( t )

排队论的发展史

初期(10‘s-40‘s)
主要研究应用于电话网和远程通信系统等无队列排
队系统

中期(40‘s-60’s)
推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域，
主要研究有队列的排队系统和排队网络

近期(60‘s-今)
主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分
析和近似分析，尤其注重对业务突发性和带有各种 网络控制的排队系统的研究
Milestones of Queueing Theory

1909: Erlang published his first paper on queueing theory 1917: Erlang published his famous paper “Solution ….”

1936-47: Palm published “Repairmen in Serving Automatic Machines” Industritidn Norden
排队论所要研究解决的问题(续)
排队论研究排队系统的最优化问题。 最优化问题一般涉及两种类型：
排队系统的最优设计(静态优化)问题。例如，电
话网中的中继电路群数目，分组交换网中的存储空 间大小等，工厂的中间制品仓库大小，医院病床数 量的多少，机场跑道的数量，车站站台数等等。 排队系统的最优控制(动态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目的增加与否，路由转发设 备的升级与否，网络基础设施的改造与否等。
几个经典排队系统的符号表示(1)
M/M/c/：输入过程是泊松流，服务时间服从负 指数分布，有c个服务台平行服务(0<c)，容量 为无穷的等待制系统 M/G/1/：输入过程是泊松流，服务时间独立、 服从一般概率分布，只有1个服务台，容量为无 穷的等待制系统 Ek/G/1/K：相继到达的间隔时间独立、服从k阶 爱尔朗分布，服务时间独立、服从一般概率分布， 只有1个服务台，容量为k(0k<)的混合制系统 D/M/c/K：相继到达的间隔时间独立、服从定长 分布，服务时间独立、服从负指数分布，有c个 服务台平行服务，容量为k(ck<)的混合制系统

几个经典排队系统的符号表示(2)
Mr/M/1/：顾客以每批为固定的r个成批到达， 批与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布， 服务时间独立、服从负指数分布，有1个服务台， 容量为无穷的等待制系统 MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
( 0为常数)
( 2)
k
1
1、均值 2、方差
E[X ]
D[X ]
k
k 2
3、均方差
4、方差系数
X


k
T1 0
T2
T3
T4
T5
T6 t
T’1
T’2
T’3
简单流：相邻时间发生的时间间隔服从负指数分布，具有 无记忆特性或无后效性、马尔可夫性。 在简单流中每隔(k-1)个“点”的“点”组成的流叫k阶爱 尔朗分布，记为Ek，有无记忆特性。




§1.1 排队的概念
排队是日常生活和工作中常见的现象，由
两个方面构成：
要求得到服务——顾客 提供服务——服务员或服务台 顾客与服务台(二者缺一不可)就构成一
个排队系统，或称为随机服务系统。
排队系统的一般表示
顾客源 排队系统 排队结构
排队规则
服务 机构
服务规则

接受服务 后离去
1. 单服务员(台)的排队系统
顾客到达
…
服务员
服务完成离去
2. 多服务员(台)的排队系统
服务员1
一个队列
顾客到达
…
服务员2 … 服务员n
… 服务员1 … 服务员2 服务员n …
服务完成离去
服务完成离去 服务完成离去 服务完成离去 离去
多个队列
顾客到达
… …
…
串联 顾客到达
…
服务员1
服务员2
排队系统的分类

定长分布(deterministic distribution)
0, t c f (t ) 1, t c

概率特征：
方差为0

主要应用：
周期性到达事件 定长服务系统（e.g.,
ATM网络）
泊松分布(Poisson distribution)