第4章 热传导问题的数值解法
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第4章 热传导热问题的数值解法
△y
△x
m,n+1 Φ2 m-1,n Φ1
△x
Φ3 m+1,n m,n Φ4 qw m,n-1
边界热流密度q 边界热流密度 w的几种情况：
(1) 绝热边界： qw=0 绝热边界： (2) qw为有限值（热流传入计算区域时为正） 为有限值（热流传入计算区域时为正） (3) 对流边界：qw= h（tf - tm,n） 对流边界： （
△x
1 Φ1 (m-1,n)
2 (m,n+1) Φ2 0(m,n) qw Φ3 3(m,n-1)
m
将各量代入能量守恒方程，并经化简，即可得 将各量代入能量守恒方程，并经化简， 节点 “0”的离散方程 . 的离散方程 △x=△y时，有： △ 时
•
1 ∆x Φm,n 2∆xqw t m,n = (2t m−1,n + tm,n+1 + t m,n−1 + + )⋯(4 − 4b) 4 λ λ • 1 ∆x 2 Φ m,n 2∆xqw = (2t1 − 4b*) 4 λ λ
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想 见P162)： 数值求解的基本思想(见 ： 把原来在时间、空间坐标系中连续的 把原来在时间、空间坐标系中连续的 连续 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 离散点 合来代替， 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（ ），来获得 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（ 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解） 物理量的数值解）
第四章
主要内容
▲数值求解的基本思想及常用的数值求解方法 数值求解的基本思想及 基本思想 ▲有限差分法 节点离散方程的建立 ▲节点离散方程的建立 ——泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法 节点离散方程 方程(组 的求解 ▲节点离散方程 组)的求解 1、直接求解 、直接求解; 2、简接求解 高斯-赛德尔 迭代法* 、简接求解——高斯 赛德尔 高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 迭代法 ▲非稳态导热问题数值求解的有关概念 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 数值求解的高斯-赛德尔 数值求解的高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 赛德尔 迭代法
△x
m,n+1 Φ2 m-1,n Φ1
△x
Φ3 m+1,n m,n Φ4 qw m,n-1
边界热流密度q 边界热流密度 w的几种情况：
(1) 绝热边界： qw=0 绝热边界： (2) qw为有限值（热流传入计算区域时为正） 为有限值（热流传入计算区域时为正） (3) 对流边界：qw= h（tf - tm,n） 对流边界： （
△x
1 Φ1 (m-1,n)
2 (m,n+1) Φ2 0(m,n) qw Φ3 3(m,n-1)
m
将各量代入能量守恒方程，并经化简，即可得 将各量代入能量守恒方程，并经化简， 节点 “0”的离散方程 . 的离散方程 △x=△y时，有： △ 时
•
1 ∆x Φm,n 2∆xqw t m,n = (2t m−1,n + tm,n+1 + t m,n−1 + + )⋯(4 − 4b) 4 λ λ • 1 ∆x 2 Φ m,n 2∆xqw = (2t1 − 4b*) 4 λ λ
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想 见P162)： 数值求解的基本思想(见 ： 把原来在时间、空间坐标系中连续的 把原来在时间、空间坐标系中连续的 连续 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 离散点 合来代替， 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（ ），来获得 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（ 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解） 物理量的数值解）
第四章
主要内容
▲数值求解的基本思想及常用的数值求解方法 数值求解的基本思想及 基本思想 ▲有限差分法 节点离散方程的建立 ▲节点离散方程的建立 ——泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法 节点离散方程 方程(组 的求解 ▲节点离散方程 组)的求解 1、直接求解 、直接求解; 2、简接求解 高斯-赛德尔 迭代法* 、简接求解——高斯 赛德尔 高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 迭代法 ▲非稳态导热问题数值求解的有关概念 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 数值求解的高斯-赛德尔 数值求解的高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 赛德尔 迭代法
第四章 热传导问题的数值解法
上的标号m、n来表示。
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
4第四章导热问题的数值解法
每一个节点可以看作是以它为中心的一个小区域 的代表。它由相邻两节点连线的中垂线构成，这 个小区域称作元体或控制体。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
第4章 热传导问题的数值解法
相邻节点向中心节点导入的热量：
w
A t
x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
e
A
t x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
s
A
t y
Δx 1 tm,n1
Δy
tm,n
n
A
t y
Δx
1
tm,n1 Δy
tm,n
热平衡时：
w e s n 0
如果 Δx Δy ：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
tm1,n
tm,n
Δx 1!
t x
m,n
Δx 2 2!
2t x 2
m,n
tm1,n tm,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
两式相加：
tm1,n tm1,n 2tm,n
Δx
2 2t x 2
③ 内部角点
2
hx
3t
m,n
2
tm1,n
tm,n1
tm1,n
tm,n1
3x 2 m ,n 2
2hx
tf
hΔx Δx
1 h BiΔ ——网格 Bi 数
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
如果边界为曲线，或倾斜边界， 用阶梯形折线模拟真实边界。
4.3.3 求解代数方程的迭代法
求解代数方程组： 直接解法——高斯消元法，矩阵求逆； 迭代法——逐次逼近法。
) 1
2FoΔBiΔt
f
式中，网格毕渥数 BiΔ hΔx ，网格傅里叶数 FoΔ aΔ Δx2
w
A t
x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
e
A
t x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
s
A
t y
Δx 1 tm,n1
Δy
tm,n
n
A
t y
Δx
1
tm,n1 Δy
tm,n
热平衡时：
w e s n 0
如果 Δx Δy ：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
tm1,n
tm,n
Δx 1!
t x
m,n
Δx 2 2!
2t x 2
m,n
tm1,n tm,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
两式相加：
tm1,n tm1,n 2tm,n
Δx
2 2t x 2
③ 内部角点
2
hx
3t
m,n
2
tm1,n
tm,n1
tm1,n
tm,n1
3x 2 m ,n 2
2hx
tf
hΔx Δx
1 h BiΔ ——网格 Bi 数
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
如果边界为曲线，或倾斜边界， 用阶梯形折线模拟真实边界。
4.3.3 求解代数方程的迭代法
求解代数方程组： 直接解法——高斯消元法，矩阵求逆； 迭代法——逐次逼近法。
) 1
2FoΔBiΔt
f
式中，网格毕渥数 BiΔ hΔx ，网格傅里叶数 FoΔ aΔ Δx2
No.08 1013 4 导热问题的数值解法
Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
15
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
13
(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
(k ) t max
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
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界面:控制容积的边界
均分网格:
x const
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立 离散方程是数值求解过程中的重要环节，包括计 算区域内部和外部节点的离散方程，是本章的重 点内容。
4. 设立温度场的迭代初值
节点代数方程组的求解一般采用迭代法，这时需要对被求解的温度 场预先假定一个初始温度分布，称为初场
.
x m,n 2hxt f hx 2 2 t m,n 2tm1,n tm,n1 tm,n 1
2
x m,n 2hxt f h x 外部角点： 2 1t m,n t m1,n tm,n 1 2
2
x 4 ...
m,n
t m1,n t m 1,n 2t m,n
0(x 2 )
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t x 2
m,n
t m 1,n t m 1,n 2t m ,n x 2
2t 2t 0 2 2 x y
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
6. 解的分析
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
2t 2t 0 2 2 x y
x0 xH y0 y W t t0 t h(t t f ) x t h(t f t ) y t h(t t f ) y
t t m1,n 两式相加得: m 1,n
2t 2t m,n 2 x
4 1 t 2 x 4 12 x m,n
x 4 ...
m,n
t m1,n t m1,n 2t x 2
m,n
2t 2t m,n 2 x x 2
1 4t x 4 12 x m,n
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法（不要求） 4.3.3 求解代数方程的迭代法
返回
4.3.1 边界节点离散方程的建立
边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关 一、第一类边界条件情形 如果所有边界均为第一类边界条件类 型，由于此时边界温度值为已知，所 有内节点的离散方程组成了一个封闭 的代数方程组，可以封闭求解。因此 这种情形边界节点不需要离散方程。
将差分表达式代入控制方程
2t 2t 0 得: 2 2 x y
tm1,n tm1,n 2tm,n x
如果 x y
2
tm,n1 tm,n1 2tm,n y
2
0
则有:
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
2. 迭代过程是否已经收敛的判据 判断迭代是否已经收敛的判据常用的有三种：
max ti
(k )
ti
( k 1)
max
ti
(k )
ti (k ) ti
ti
( k 1)
max
ti
(k )
( k 1)
t max
(k )
允许的相对偏差ε之值一般在10-3—10-6之间，视具体情况而定
在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示：
返回
4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离 散，而是直接对元体应用热力学第一定律 和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 散方程。
n
w e
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热 问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
同理,得温度在y方向二阶导数的中心差分表达式:
2t y 2
m,n
t m,n 1 t m,n 1 2t m,n y 2
t x 2
2
m,n
t m 1,n t m 1,n 2t m ,n x
2
2t y 2
m,n
t m,n 1 t m,n 1 2t m,n y 2
数值解获取方法：
通过求解按一定方法建立起来的关于离散点上所求物理量的代数方程 组，来获得离散点上所求物理量的数值
返回
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
1. 建立所求问题的数学描述 2. 确定导热体内的离散节点 （区域离散化） 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立温度场的迭代初值
5. 求解代数方程组
s
整理得:
tm1,n tm1,n 2tm,n x
2
tm,n1 tm,n1 2tm,n y
2
0
所得结果与Taylor级数法结果相同 采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单， 并且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要很好的掌握。
返回
4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
2.
区域离散化
网格划分： 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域 节点:网格线的交点，是需要确定温度值 的空间位置。分内节点和外节点两大类 步长：相邻两节点间距离，x和y方向可 不相等，在一个方向步长也可不均匀
控制容积:节点代表的区域 ,由相邻两节 点连线的中垂线构成，也叫元体
2t 首先推导温度在x方向二阶导数的代数表达式 x 2
对节点(m+1,n)和节点(m-1,n)分别写出t对 节点(m,n)的Taylor级数展开:
2t 2t 0 2 2 x y
m ,n
1 2t 1 3t 1 4t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
2
.
内部角点：
2
3x m,n 2hxt f hx 2 3 tm,n 2t m1,n tm,n 1 tm1,n t m,n 1 2
返回
.
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
不要求掌握
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4.3.3 求解代数方程的迭代法
代数方程组的求解方法分为直接解法（高斯消元法等）和迭代法。本 书仅介绍迭代法中的高斯-赛德尔迭代法。
1. 高斯-赛德尔迭代法
下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤：
a11t1 a12t 2 a13t3 b1 a21t1 a22t 2 a23t3 b2 a t a t a t b 33 3 3 31 1 32 2
5. 求解代数方程组
选用能够得到收敛解的代数方程组求解方法
6. 解的分析 对数值解的结果进行分析，得到有用的结论以指导生产和设计
返回
4.2 内节点离散方程的建立方法
包括Taylor级数展开法和热平衡法
4.2.1 Taylor 级数展开法 4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
返回
4.2.1 Taylor 级数展开法
如 x y ，则有：
tm,n
. 2 3x m,n 2xqw 1 2t m1,n 2t m,n 1 t m,n 1 t m1,n 6 2
三、第三类边界条件情形
qw ht f tm,n
将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中，可 得第三类边界条件下边界节点的离散方程。 对于Δ x=Δ y的情形，有: 平直边界节点：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y
如
x y
tm,n
，则有：
. 2 x m,n 2xqw 1 2t m1,n t m1,n t m,n 1 4
2、边界上的外部角点
边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小 的面积。对该外部节点元体应用能量平衡
Φn x Φs x
y tm,n1 tm,n y
将各表达式代入对元体(m,n) 能量守恒方程得：
n
e
y
t m1,n tm,n
x
y
tm1,n tm,n
x
tm,n1 tm,n 0
w
x
tm,n1 tm,n
y
x
y
二、第二类边界条件情形
此时边界温度值未知，需建立边界节点温度的离散方程。
设边界热流密度为qw，并且导热体内有内热源，下面采用元体能量 平衡法来建立边界节点温度的离散方程。 1、平直边界上的节点
边界节点(m,n)代表的区域为半个普通大小元 体。对该半个元体应用能量平衡（稳态情形）
tm1,n tm,n x x tm,n 1 tm,n x tm,n1 tm,n xy . m,n yqw 0 2 y 2 y 2
第4章 热传导问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想
4.2 内节点离散方程的建立方法
4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
4.4 非稳态导热问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 基本思想
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
返回
4.1.1 基本思想
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
t m,n
3、边界上的内部角点
边界节点F代表的区域为3/4个普通元体大小 的面积。对该外部节点元体应用能量平衡
均分网格:
x const
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立 离散方程是数值求解过程中的重要环节，包括计 算区域内部和外部节点的离散方程，是本章的重 点内容。
4. 设立温度场的迭代初值
节点代数方程组的求解一般采用迭代法，这时需要对被求解的温度 场预先假定一个初始温度分布，称为初场
.
x m,n 2hxt f hx 2 2 t m,n 2tm1,n tm,n1 tm,n 1
2
x m,n 2hxt f h x 外部角点： 2 1t m,n t m1,n tm,n 1 2
2
x 4 ...
m,n
t m1,n t m 1,n 2t m,n
0(x 2 )
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t x 2
m,n
t m 1,n t m 1,n 2t m ,n x 2
2t 2t 0 2 2 x y
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
6. 解的分析
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
2t 2t 0 2 2 x y
x0 xH y0 y W t t0 t h(t t f ) x t h(t f t ) y t h(t t f ) y
t t m1,n 两式相加得: m 1,n
2t 2t m,n 2 x
4 1 t 2 x 4 12 x m,n
x 4 ...
m,n
t m1,n t m1,n 2t x 2
m,n
2t 2t m,n 2 x x 2
1 4t x 4 12 x m,n
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法（不要求） 4.3.3 求解代数方程的迭代法
返回
4.3.1 边界节点离散方程的建立
边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关 一、第一类边界条件情形 如果所有边界均为第一类边界条件类 型，由于此时边界温度值为已知，所 有内节点的离散方程组成了一个封闭 的代数方程组，可以封闭求解。因此 这种情形边界节点不需要离散方程。
将差分表达式代入控制方程
2t 2t 0 得: 2 2 x y
tm1,n tm1,n 2tm,n x
如果 x y
2
tm,n1 tm,n1 2tm,n y
2
0
则有:
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
2. 迭代过程是否已经收敛的判据 判断迭代是否已经收敛的判据常用的有三种：
max ti
(k )
ti
( k 1)
max
ti
(k )
ti (k ) ti
ti
( k 1)
max
ti
(k )
( k 1)
t max
(k )
允许的相对偏差ε之值一般在10-3—10-6之间，视具体情况而定
在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示：
返回
4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离 散，而是直接对元体应用热力学第一定律 和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 散方程。
n
w e
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热 问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
同理,得温度在y方向二阶导数的中心差分表达式:
2t y 2
m,n
t m,n 1 t m,n 1 2t m,n y 2
t x 2
2
m,n
t m 1,n t m 1,n 2t m ,n x
2
2t y 2
m,n
t m,n 1 t m,n 1 2t m,n y 2
数值解获取方法：
通过求解按一定方法建立起来的关于离散点上所求物理量的代数方程 组，来获得离散点上所求物理量的数值
返回
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
1. 建立所求问题的数学描述 2. 确定导热体内的离散节点 （区域离散化） 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立温度场的迭代初值
5. 求解代数方程组
s
整理得:
tm1,n tm1,n 2tm,n x
2
tm,n1 tm,n1 2tm,n y
2
0
所得结果与Taylor级数法结果相同 采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单， 并且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要很好的掌握。
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4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
2.
区域离散化
网格划分： 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域 节点:网格线的交点，是需要确定温度值 的空间位置。分内节点和外节点两大类 步长：相邻两节点间距离，x和y方向可 不相等，在一个方向步长也可不均匀
控制容积:节点代表的区域 ,由相邻两节 点连线的中垂线构成，也叫元体
2t 首先推导温度在x方向二阶导数的代数表达式 x 2
对节点(m+1,n)和节点(m-1,n)分别写出t对 节点(m,n)的Taylor级数展开:
2t 2t 0 2 2 x y
m ,n
1 2t 1 3t 1 4t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
2
.
内部角点：
2
3x m,n 2hxt f hx 2 3 tm,n 2t m1,n tm,n 1 tm1,n t m,n 1 2
返回
.
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
不要求掌握
返回
4.3.3 求解代数方程的迭代法
代数方程组的求解方法分为直接解法（高斯消元法等）和迭代法。本 书仅介绍迭代法中的高斯-赛德尔迭代法。
1. 高斯-赛德尔迭代法
下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤：
a11t1 a12t 2 a13t3 b1 a21t1 a22t 2 a23t3 b2 a t a t a t b 33 3 3 31 1 32 2
5. 求解代数方程组
选用能够得到收敛解的代数方程组求解方法
6. 解的分析 对数值解的结果进行分析，得到有用的结论以指导生产和设计
返回
4.2 内节点离散方程的建立方法
包括Taylor级数展开法和热平衡法
4.2.1 Taylor 级数展开法 4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
返回
4.2.1 Taylor 级数展开法
如 x y ，则有：
tm,n
. 2 3x m,n 2xqw 1 2t m1,n 2t m,n 1 t m,n 1 t m1,n 6 2
三、第三类边界条件情形
qw ht f tm,n
将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中，可 得第三类边界条件下边界节点的离散方程。 对于Δ x=Δ y的情形，有: 平直边界节点：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y
如
x y
tm,n
，则有：
. 2 x m,n 2xqw 1 2t m1,n t m1,n t m,n 1 4
2、边界上的外部角点
边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小 的面积。对该外部节点元体应用能量平衡
Φn x Φs x
y tm,n1 tm,n y
将各表达式代入对元体(m,n) 能量守恒方程得：
n
e
y
t m1,n tm,n
x
y
tm1,n tm,n
x
tm,n1 tm,n 0
w
x
tm,n1 tm,n
y
x
y
二、第二类边界条件情形
此时边界温度值未知，需建立边界节点温度的离散方程。
设边界热流密度为qw，并且导热体内有内热源，下面采用元体能量 平衡法来建立边界节点温度的离散方程。 1、平直边界上的节点
边界节点(m,n)代表的区域为半个普通大小元 体。对该半个元体应用能量平衡（稳态情形）
tm1,n tm,n x x tm,n 1 tm,n x tm,n1 tm,n xy . m,n yqw 0 2 y 2 y 2
第4章 热传导问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想
4.2 内节点离散方程的建立方法
4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
4.4 非稳态导热问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 基本思想
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
返回
4.1.1 基本思想
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
t m,n
3、边界上的内部角点
边界节点F代表的区域为3/4个普通元体大小 的面积。对该外部节点元体应用能量平衡