实二次型的合同标准形与正交标准形
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线性代数 6-2标准形规范形
2 2 2 λ y + λ y + + λ y ⋯ X＝QY 化为标准形 1 1 2 2 n n ,其中
λ1 , λ2 ,⋯, λn为A的全部特征值, Q的列向量为对应
于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的标准正交 特征向量 . 标准正交特征向量 特征向量.
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. 求正交阵Q, 使Q-1AQ为对角形 为对角形. T ⎛ 1 1 1⎞ λ = 3 α = (1,1,1) 1 1 ⎜ ⎟ T T A = ⎜ 1 1 1⎟ λ = λ = 0 α = ( − 1,1,0) α = ( − 1,0,1) , 2 3 2 3 ⎜ 1 1 1⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎠ − −
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, 在解析几何中 在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{
x = x′ cosθ − y = x′ cosθ +
y′ sinθ y′ sinθ
f = a′x′ 2 + c′y′ 2
(标准方程 ) 标准方程)
−5 5 = − 5 − 5 T 5 T 5 × 10 = α α f (α ) = α T Aα ≤ α α= ×10 = 5 5 2 2 2 2
故 m = −5 5, M = 5 5
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二、配方法
定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性 替换化为标准形. . 证明略。后面以例说明 证明略。后面以例说明. : 用“矩阵合同”概念表述定理 概念表述定理: 3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同 . 定理 定理3 上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.
λ1 , λ2 ,⋯, λn为A的全部特征值, Q的列向量为对应
于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的标准正交 特征向量 . 标准正交特征向量 特征向量.
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. 求正交阵Q, 使Q-1AQ为对角形 为对角形. T ⎛ 1 1 1⎞ λ = 3 α = (1,1,1) 1 1 ⎜ ⎟ T T A = ⎜ 1 1 1⎟ λ = λ = 0 α = ( − 1,1,0) α = ( − 1,0,1) , 2 3 2 3 ⎜ 1 1 1⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎠ − −
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, 在解析几何中 在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{
x = x′ cosθ − y = x′ cosθ +
y′ sinθ y′ sinθ
f = a′x′ 2 + c′y′ 2
(标准方程 ) 标准方程)
−5 5 = − 5 − 5 T 5 T 5 × 10 = α α f (α ) = α T Aα ≤ α α= ×10 = 5 5 2 2 2 2
故 m = −5 5, M = 5 5
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二、配方法
定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性 替换化为标准形. . 证明略。后面以例说明 证明略。后面以例说明. : 用“矩阵合同”概念表述定理 概念表述定理: 3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同 . 定理 定理3 上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.
二次型的标准型和规范型
小结 : 设A为实对称矩阵 , (1)求一可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角矩阵 . (2)求一正交矩阵 Q, 使Q 1 AQ为对角矩阵 . (3)求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . (4)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ为对角矩阵 .
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f ( x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵 . (2)任一方阵均可利用对等 的初等行、列变换化为 对角矩阵. 这里, " 对等" 指的是作一次初等行变 换后, 立即再作一次同种的初 等列变换.
例5 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形 .
命题1 二次型的标准形不唯一.
命题2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：
2 2 g ( y1 , y2 , , yn ) d1 y12 d p y 2 p d p 1 y p 1 d r y r ,
1 , 2 , , n为A的n个特征值.
2 2 例1 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 8 x2 x3 5 x3
化为标准形 .
问题 : 设A为实对称矩阵 , 求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . 方法 : (1)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ Q 1 AQ为对角矩阵 . 令P Q即可. (2)求一正交变换 x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为标准形 . 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换 x Py( P为可逆矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
实二次型的合同标准形与正交标准形
② 你能否证明: 对任意正整数 m,正定矩阵 A有唯一的 m次
正定方根 S使得A S m ?
③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？
④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 A R为n可n逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交
S
矩阵 , 使得
.
U
A US
3） 1 y12 2 y22 L r yr2 2byn 0（当 r r% 2 ）
3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 ① 运算性质 ② 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值
③ 与正交标准形相关的矩阵分解
i) Q分R解
设 A R, 如n果n
R
应用:
① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
R 定理8.13 对 中二次(n超) 曲面 f (x) xT Sx 2T x a x%T S%x% 0
记 相应r的, 值p.,则q,可t 经仿p射分变别q换r%为,化p%此的0,二q秩%,次、t%超正曲惯面性的指S方数程、S%为负惯性指数、符号差；
① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形
② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形
福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间）， [3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起 点）.
,则有A唯一的0正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 Q .
A QR
n A ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使
（文献[1] 第九章 习题14）
正定方根 S使得A S m ?
③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？
④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 A R为n可n逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交
S
矩阵 , 使得
.
U
A US
3） 1 y12 2 y22 L r yr2 2byn 0（当 r r% 2 ）
3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 ① 运算性质 ② 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值
③ 与正交标准形相关的矩阵分解
i) Q分R解
设 A R, 如n果n
R
应用:
① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
R 定理8.13 对 中二次(n超) 曲面 f (x) xT Sx 2T x a x%T S%x% 0
记 相应r的, 值p.,则q,可t 经仿p射分变别q换r%为,化p%此的0,二q秩%,次、t%超正曲惯面性的指S方数程、S%为负惯性指数、符号差；
① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形
② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形
福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间）， [3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起 点）.
,则有A唯一的0正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 Q .
A QR
n A ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使
（文献[1] 第九章 习题14）
线性代数二次型的标准形和规范形
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x1 22x1x22x1x32x2 25x3 26x2x3
(x1x2x3)2x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x 1 x 2 x 3 )2 x 2 2 4 x 3 2 4 去x 2 掉x 3配方后多出来的项
x3 0 0 1 y3
标准形为 f y12y22.
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
0 0
1 2 , 1
(C 10)
例2 用配方法化二次型
f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 3 y 3
即
x1 x2
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
再配方，得
f 2 (y 1 y 3 ) 2 2 (y 2 2 y 3 ) 2 6 y 3 2 ,
第二节
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换XCY，
把二次型f(x1,x2,,xn)XTAX化为y1, y2,, yn 的平方和 d1y12 d2y22 dnyn2 ，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵C， 使CTAC成为对角阵，即A与一个对角阵合同。
z3
第七章 n元实二次型 S1 n元实二次型及其标准形
ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
nn
于是得到： f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j X T AX (3)
i1 j1
4
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型. 即二次型与对称矩阵之间是1−1对应关系.
3) aii 0, i 1, 2, , n, 且 a1 j 0, j 1, 2, , n . 由对称性，
nn
a j1 0, j 1, 2, , n ，于是 f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j
i2 j2
是n−1元二次型. 由归纳法假设，可用坐标变换化
为平方和形式.
xn zn
16
该坐标变换使
f ( x1 , x2 ,
, xn ) 2a12 x1 x2 2a12 (z1 z2 )(z1 z2 )
2a12 z12 2a12 z22
x1 z1 z2 x2 z1 z2 x3 z3
xn zn
右端为 z1, z2 , , zn 的二次型, 且 z12 前的系数不为零, 属第一种情况，引理得证.
而前面定理又可表述为： 两个n元实二次型等价它们的矩阵是合同矩阵. 另外，两个等价的n元实二次型必有相同的秩.
10
§7.1.2 二次型的标准形
只含变元平方项的二次型：
f d1 x12 d2 x22 dn xn2
称为二次型的标准形.
d1
二次型(1)的矩阵是对角矩阵
D
d2
(1)
.
dn
第七章 n元实二次型
• n元实二次型的定义 • n元实二次型的标准形 • 正定二次型及其性质 • 用正交变换化二次型为标准形
实二次型及其标准型
返回
二、合同变换
1. 矩阵合同
定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同.
返回
A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
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t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
返回
将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
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四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
返回
x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为
实二次型及其标准形
A与B等价：PAQ = B, 与 等价 等价：
P, Q 可逆； 可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 与 相似 相似： 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形 形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数； 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差 符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆， ），（满秩 若C可逆，则称 为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 可逆 则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 正交， 若C正交，则称 为正交线性变换。 正交 则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质： （1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证： 由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆， 设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆 矩阵的合同： 矩阵的合同： 矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。 所以，通过非退化线性变换， 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
二次型的标准形
以 1 与2 正交，只需单位化得 p1
1 1
1 2
(1，1，0)T
，
p2
2 2
(0 ，0 ，1)T ．
②
当 3 0 时，由 Ax 0 得基础解系为 3 (1，1，0)T ，直接单位化得
p3
3 3
1 (1，1，0)T ． 2
1.1 用正交变换化二次型为标准形
1
2
（4）令
P
(
p1
，p2
，p3
应用线性代数
二次型的标准形
若二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) 经过可逆线性变换 x Cy 可化为只含平方项的形式 f b1 y12 b2 y22 bn yn2 ， 则称上式为二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) 的标准形， B diag(b1 ，b2 ， ，bn ) 为标准形矩阵．
T
，1
，再将
2
，3
单位化得
p2
2 2
(
2 5
，1 5
，0)T
，
p3
3 3
( 2 ， 4 ， 5 )T ． 35 35 35
1
3
（4）令
P
(
p1
，p2
，p3
)
2 3
2
3
2 5
1 5
0
2 35
4 35 5
，
x
x1 x2 x3
，
y
y1 y2 y3
，则正交变换
解
二次型
f
( x1
，x2
，x3 ) 不含平方项，令
x1 x2
y1 y1
y2 ，
y2
，即
x1 x2
1
第一节二次型及其标准型和合同矩阵
a21
x2
x1
a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
X
x2
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f X T AX ,其中A为对称矩阵.
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。 即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系 称对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，也把 f 称为 对称矩阵 A 的二次型。 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
则称二次型X T AX与二次型Y T BY等价
等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的; 反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示法
1．用和号表示二次型
f
x1 ,
x2 ,,
xn
a11 x12
a22 x22
a
nn
x
2 n
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
3
的矩阵为：