直线和圆相切判定方法
切线的判定
.
A
.O
.
B
l
.O
.
切点A
l
.O
l
二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半 径r的关系t; r
r d ┐ l
2、直线和圆相切
d = r
．ｏ d r ┐
l
3、直线和圆相交
d < r
．O d r ┐
l
三.切线的性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
推理 格式
.O l
∵L与⊙ O 相切于A点
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3， ∠2＝∠4 ∴∠3＝∠4． • ∵OD＝OB，OC＝OC， • ∴△ODC≌△OBC． D • ∴∠ODC＝∠OBC． 2 ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC是⊙O的切线．
4 A1 3 O B C
∴OA⊥l
A
切点
切线的画法 过圆O上一点A画圆O的切线. 分析:
过圆O上一点A的切线l与半径OA有什么关系? 据切线的性质定理, l ⊥OA, 由此受到启发,过点A作一条直线l与OA垂直,
作法:
⑴连结OA;
O· · A l
⑵过点A作直线l与OA垂直.
直线l就是所求作的切线,如图
探究新知：
切线的判定定理
经过半径的外端点且 垂直于这条半径的直线 是圆的切线
推理 格式
.O l
∵OA ⊙ O 的半径，且 OA⊥l ∴L是⊙ O 的切线
A
切点
例1
直线AB经过圆O上的C，并且 OA=OB，AC=BC，
求证：直线AB是圆O 的切线
O
A
B
C
规律总结:
• 证明一条直线是圆的切线,常常要 添加辅助线,如果直线与圆有一个 公共点,则连接公共点和圆心,证明 直线垂直于经过这点的半径即可.
点与直线相切公式
点与直线相切公式
圆心到直线的距离：
=半径r。
即可说明直线和圆相切。
直线与圆相切的证明情况：
（1）第一种
在直角坐标系中直线和圆交点的坐标应满足直线方程和圆的方程，它应该是直线 Ax+By+C=0 和圆x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F=0）的公共解，因此圆和直线的关系，可由方程组
Ax+By+C=0 x²+y²+Dx+Ey+F=0的解的情况来判别如果方程组有两组相等的实数解，那么直线与圆相切与一点，即直线是圆的切线。
（2）第二种
直线与圆的位置关系还可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小来判别，其中，当 d=r 时，直线与圆相切。
扩展资料：
几种形式的圆方程
（1）标准方程：：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
（2）一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
（3）直径是方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
联立直线和圆方程时，可以采用这几种形式的圆方程。
对于不同的问题，采用不同的方程形式可使计算得到简化。
直线和圆相切判定方法
一是定义法.只要能证明直线与圆有唯一公共点,就能说直线与圆相切;二是“d=R”法,即证明圆心到直线的距离d等于该圆的半径R,就能判定直线与圆相切;三是利用“切线判定定理”,即经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线第一种方法目前一般不用.用得最多的是第二种和第三种这两种方法,在证明一条直线是圆的切线时,若题中未说明直线与圆有公共点,则选用第二种方法去证明;若题中已给出直线与圆有公共点，则选用第三种方法去证明.。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
圆中与有关切线的问题
圆中与有关切线的问题基础知识：一、切线的定义：①与圆只有一个公共点的直线。
②若圆心到直线的距离与半径相等。
二、切线的性质：1、若Ｌ是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径。
2、圆的切线垂直过切点的半径。
3、推论：圆心、切点、垂直三、切线的判定：1、定义法：与圆只有一个公共点。
2、数量法：∵d=r ∴直线是圆的切线3、过半径的外端且与它垂直的直线。
方法：a、有明确的公共点，作半径，证垂直；b、无明确公共点，过圆心作垂直，证半径。
四、与切线有关的问题：1、切线长定理：a、切线长定义：b、切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线相等，连接圆心与圆外的点平分两切线所成的角。
2、弦切角：a、弦切角的定义：b、弦切角定理（不能直接用）弦切角等于弦切角所夹弧所对的圆周角。
3、三角形的内切圆：a、定义：如果三角形的三边都与这个圆相切，则这个圆叫这个三角形的内切圆。
b、Rt△内切圆半径公式：Rt△内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
c、四边形内切圆：对边和相等。
d、公切线（长）五、常用辅助线：作半径。
能力测试：一、填空题。
1、直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为5，则r的取值范围是。
2、在射线OA上取一点P，使OP＝4cm，以P为圆心作直径为4cm的圆，若⊙P与射线OB相交，则锐角∠AOB的取值范围是。
3、如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝。
4、如图，AB为⊙O的直径，延长AB至D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则AC：AD＝。
5、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O的点，∠BAC＝20°，⋂⋂=DCAD，DE是⊙O的切线，则∠EDC的度数为。
6、OA 、OB 是⊙O 的两条半径，BC 是⊙O 的切线，且∠AOB ＝84°，则∠ABC 的度数为 。
二、选择题。
1、下列命题中，错误的是（ ）A 、垂直于弦的直径平分这弦；B 、弦的垂直平分线过圆心；C 、垂直于切线的直线必过圆心；D 、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
专题 切线证明的常用方法
7．(2018·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD ⊥CD，垂足为 D，连接 BC，BC 平分∠ABD.求证：CD 为⊙O 的切线．
l
dr l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的
B
直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
45°
O
有半径，证垂直
45°
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
5．(2018·内江改编)如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 于点 D，
过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，连接 DE.判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．
解：DE 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接 OD，BD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，OE 为△ABC 的中位线．∴BE＝CE，∴DE＝BE ＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点 D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线
3.(2018·阿坝州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点
D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：(1)直线 DE 与⊙O 相切， 理由如下： 连接 OD，∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ODA. ∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB. ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ODA＋∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝180°－90°＝90°， ∴直线 DE 与⊙O 相切
数学人教版九年级上册切线的概念·切线的判断
小结
判定直线与圆相切有哪些常用方法？
(1)如果已知直线经过圆上某一点,则作过这点的半 注意 径为辅助线,再证所作半径与这条直线垂直。简记为： 连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中未指明直线与圆的公共点,则过 圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半 径长。简记为：作垂直,证半径。
练习1.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长 线上,BD=OB,点C在⊙上,∠CAB=30°, 求证:DC是⊙O的切线.
D
B
2:如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的 平分线交BC于D，E为AB上一点， DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画 圆．求证：（1）AC是⊙D的切线； （2）AB+EB=AC．
反馈练习
1.如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,E是⊙O外 一点,EF⊥AB于F,交AD于点C,且CE=ED, A 求证:DE为⊙O的切线.
例1.已知：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,
CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OC ∵ OA＝OB CA＝CB ∴ AB⊥OC ∵ 直线AB经过半径OC的外端 ∴ AB是⊙O的切线
O
A
C
B
练习1.如图:AB是⊙O的直径,∠B=450,AT=BA． 求证:AT是⊙O的切线.
即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线根据位置关系oorrllaaoorrllaaoorrllaa利用判定定理时要注意直线须具备以下两个条件利用判定定理时要注意直线须具备以下两个条件缺一不可缺一不可11直线经过半径的外端直线经过半径的外端
复习引入
(1)直线和圆有哪几种位置关系? (2)如何判定直线和圆的位置关系呢? (两种方法)
A O
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°∴在中，∠C=45°∴ CD=AD∵ BC=6cm ∴∴∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．AD由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．练习：1.如图，AB 为⊙O 直径，BD 切⊙O 于B 点，弦AC 的延长线与BD 交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC 长为________．D2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，过点P 的任一直线交⊙O 于B 、C ，•连结AB 、AC ，连PO 交⊙O 于D 、E ．（1）求证：∠PAB=∠C ．（2）如果PA 2=PD ·PE ，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O 的半径．_A_P答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为32．。
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（2）当BF=5，SinF=3/5，
求BD的长
尝试探究2
以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,与 斜边AC交于点D，E为BC上中点，连接 DE 求证：DE是圆O切线
证切线常用方法小结
知道点在圆上：辅助线是连半径证垂直 常用方法：证全等，证平行，证互余。
小试牛刀：
如图AB为⊙O的直径，C、D 为⊙O上不同于A、B的两点， ∠ABD=2∠BAC，连接CD。过 点C作CE⊥DB，垂足为E，直 线AB与C义和定 理
2.进一步明确运用定理时，常用的添加 辅助线的方法
3.通过判定定理的运用，培养自己观察， 分析问题的能力。
尝试探究1
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上， ∠CAB的平分线交圆O于点D，过点D作AC 的垂线交AC的延长线于点E，
求证：ED与圆O的切线
直线和圆(综合课)
许广圣
圆的复习：
1.点和圆 2.直线和圆 3.正多边形和圆 4.和圆有关的运算
1.直线和圆的位置关系 2.切线的性质与判定 3.三角形的内切圆
判定一条直线是圆的切线的方法
1. 定义-----唯一公共点 2. 数量关系:d=r 3. 判定定理
常用方法及辅助线： （1）知道点在圆上：连半径证垂直 （2）不知道点在圆上：做垂直证半径