直线和圆相切
圆和直线相切的公式
圆和直线相切的公式当直线与圆相切时，直线的方程和圆的方程存在以下几个关系：1.直线与圆的切点在直线上。
2.直线与圆的切点的切线与直线垂直。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率。
现在，我们将分别介绍这些条件，并推导得出相切的公式。
1.直线与圆的切点在直线上：设直线的方程为 y = mx + c，圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆的圆心坐标，r为半径长度。
为了找到直线与圆的切点，我们将方程代入圆的方程，得到：(x-a)² + (mx + c - b)² = r²将方程展开，得到:x² - 2ax + a² + m²x² + 2mcx + c² + b² - 2bmx = r²整理后，得到方程：(1 + m²)x² + 2(mc - am - bm)x + a² + c² + b² - 2ab - r² = 0如果直线与圆相切，方程只有一个根，也就是说，二次方程的判别式为零。
因此，判别式为：(2(mc - am - bm))² - 4(1 + m²)(a² + c² + b² - 2ab - r²) = 02.直线与圆的切点的切线与直线垂直：通过求得的切点，我们可以获得切线的斜率。
与直线垂直意味着切线的斜率的乘积与直线的斜率为-1、设直线的斜率为m，切线的斜率为k。
通过求导数得到切线的斜率k=-1/m。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率：这个条件可以由上述条件推导得出。
当直线与圆相切时，直线的斜率等于切线的斜率。
现在，我们通过一个例子来解释这些公式的应用。
假设有一个以坐标原点为中心的圆，半径为r。
直线通过点(0,h)，与圆相切。
圆与直线的切点与切线计算方法
圆与直线的切点与切线计算方法在几何学中，圆与直线的切点与切线是一个重要的概念。
切点是指直线与圆相交的点，而切线则是从切点出发与圆相切的直线。
本文将介绍如何计算圆与直线的切点以及相应的切线方程。
一、圆与直线的切点计算要计算圆与直线的切点，我们首先需要知道圆的方程和直线的方程。
圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
直线的方程一般表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为常数。
下面我们来讲解两种情况下的切点计算方法。
1. 直线与圆相交（两个切点）当直线与圆相交时，即存在两个切点。
这种情况下，我们可以通过解方程组来求解切点的坐标。
首先，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
然后，通过求解二次方程可以得到x的两个解。
将这两个解带入直线方程，即可求得对应的y坐标，得到两个切点的坐标。
2. 直线与圆相切（一个切点）当直线与圆相切时，即只存在一个切点。
这种情况下，我们可以通过判断直线到圆心的距离是否等于半径来确定切点的坐标。
首先，计算直线的斜率m。
然后，利用圆心坐标(a, b)和直线方程可以得到直线上过圆心的一条直线的方程。
接着，通过计算直线到圆心的距离（可以用点到直线的距离公式）和圆的半径的比较，确定是否存在切点。
如果直线到圆心的距离等于半径，那么切点即为圆心的坐标，否则不存在切点。
二、切线的计算方法切线是从切点出发与圆相切的直线。
切线的斜率可以通过切点处的圆的切线是圆上切点的切线垂直的来计算。
切线的斜率等于直线与圆的切点处切线的斜率的负倒数，即m = -1/m_t，其中m是直线的斜率，m_t是切点处切线的斜率。
知道切点的坐标和切线的斜率后，我们可以利用点斜式或一般式来表示切线的方程。
总结：圆与直线的切点计算方法可以通过解方程组或计算直线到圆心的距离来确定。
切线的斜率可以通过切点处切线的斜率的负倒数得到。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
12.2直线与圆相切
此时切线方程为：21x 20 y 145 0
(2)当过点 B(5, 2) 的切线斜率不存在时， 结合图形可知 x 5 也是符合题意的切线方程．
小结
过一点求圆的切线的方程
1、求经过圆上一点M( x0 ,y0 )的切线的方程 : 法一：点法向式方程 常用方法
法二：斜率关系
法三：平面向量 求点的轨迹方程的方法
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点， 由题意： OM MP 即 OM MP 0
y
P ( x, y )
l
M ( x0 , y0 )
法3：设点法向式方程，避免斜率存在性问题， 用点到直线的距离等于半径。
【回顾练习】
练习1
当 0 a 1 时，判断原点与圆
x 2 y 2 2ax 2 y a 2 4a 1 0 的位置关系。
2. 求证：不论 k 为何值，直线 kx y 4k 3 0 与曲线
r O
x
P
过圆外一点的直线与圆相切
例1.求过点 M (2, 2 3) 且与圆 x2 y 2 4 相切的直线方程.
求: 过这点与圆相切的直线的方程. 方法一 设点斜式方程，注意k存在， 不存在，利用圆心与切线的距离等 于半径 求出k
y
l1
M (2,2 3)
l2
O
xபைடு நூலகம்
方法二 点斜式方程，k存在，不存在 ，利 用直线与元相交于一点，用 0来求出k
即：l : ax by 2a 2 3b 0 由题意，得圆心(0,0)与切线的距离
直线和圆相切
24.2.2(2)直线和圆相切一、内容和内容解析1.内容切线的判定定理2.内容解析直线和圆相切是直线和圆中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线与曲线的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能用数量关系确定位置关系的方法推导切线的判定定理。
（2）会用切线的判定定理解决简单问题。
2．目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。
达成目标（2）的标志是：知道切线的判定定理，能够分清每个定理的条件和结论，并能解决简单问题；明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
三、教学问题诊断分析1.由于是抽班教学，教师和学生之间不是很熟悉，所以首先要营造一个良好的轻松的学习气氛，学生才能不紧张，进而很快的和老师融合进入学习状态，所以最好用轻松地情景教学给学生带入课堂。
2.学生之前已经学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。
所以让学生自己经历画图感知和交流悟理”垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，”经过半径外端”说明距离d等于半径，理解切线判定定理的两个条件。
3.教师要帮助学生明确定理的题设和结论正确理解定理，所以借助几个判断分析感受两个条件的重要性。
4.借助层次分明的证明题反复体会切线定理的两个要素，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
给予以上分析，本节课的教学重点是：探索切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
教学难点是：探索圆的切线的判定方法和解决相关问题是怎么添加辅助线。
四、教学过程设计1.情境引入，感知直线和圆相切问题1让老师带着同学们到生活中找一找我们今天要学习的内容，它们共同体现了两种图形的哪一种位置关系?师生活动：共同欣赏后学生回答直线和圆相切。
直线与圆重要的位置关系——相切
\中考链接责任编辑:彭深2020748334@直线与圆重要的位置关系相切画封霞霖直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交，其中相切是中考的高频考点。
我们对直线与圆的位置关系的研究,反映了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系：由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系。
这里的数形结合，既是重要的知识内容,又是重要的思想方法。
一、切线与函数例1(2019-荷泽)如图1,直线y=交兀轴于点4,交y轴于点点P 是尤轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作O p,当O p与直线佃相切时，点、p的坐标是y图1【分析】考点:一次函数、切线性质。
对于运动问题，要考虑多解。
对圆心位置分类讨论,圆心在4点左侧和右侧，直线都会与圆相切。
根据相切时圆心到直线的距离等于半径,结合相似或者三角函数，找到圆心P的位置。
•解：•.•直线y=-扌％-3交％轴于点A,交y轴于点B,令％=0,得y=-3,令y=0,得x=~4,/.4(-4,0),5(0,-3),..OA=4,OB=3,:.AB=5O设O p与直线ab相切于d,连接PD,如图2,P在A点左侧时为R,在4点右侧时为匕。
j图2则PD1AB,PD=1,Z-ADP=/-AOB=90°,"AD=ABAO,.-.AAPD^/^ABO,•PD_4P••OB AB5•1=4P•Ap=d•-35^3，.-.OP=OA+AP或OA-4P,0P=孑或孕，.•.P.（-^,0）,P2（-j,0）o【点评】这道题目中有圆，但要做到心中无圆。
如果抓住切线的本质,C>Pi 和OP2不画出来亦可。
我们要抓住的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。
另外，利用相似求ap的这部分，用三角函数也可以解决。
二、切线与角度例2（2019-天津）已知PA,PB分别与O0相切于点A.B,乙4加=80。
,C为Oo上一点。
（I）如图3-①，求厶1CB的大小；（n）如图3-②,也为00的直径,4E与相交于点D,若AB=AD,求AEAC的大小。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系介绍直线和圆是几何中常见的元素，它们在空间中的相对位置关系对于多个学科领域都具有重要意义。
本文将介绍直线和圆的四种基本位置关系：相离、相切、相交和包含。
相离相离是指直线和圆没有任何交点，它们在空间中完全没有重叠部分。
如果一条直线与一个圆都是无限延伸的，直线与圆的位置关系就可以通过它们的公式来确定。
设直线方程为Ax + By + C = 0，圆心坐标为(h, k)，半径为r，则直线与圆的位置关系可以通过以下公式判断：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d > r：相离else：其他位置关系其中，d为直线到圆心的距离。
相切相切是指直线与圆只有一个交点，这个交点同时位于直线上和圆上。
相切的情况可以进一步分为两种：外切和内切。
外切外切是指直线与圆相切，且直线在圆的外部。
对于直线方程Ax + By + C = 0和圆心坐标(h, k)，半径r，判断直线与圆是否外切的公式如下：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = r：外切else：其他位置关系内切内切是指直线与圆相切，且直线在圆的内部。
同样，可以通过直线方程和圆的参数来判断直线与圆是否内切：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = -r：内切else：其他位置关系相交相交是指直线与圆有两个不重复的交点。
如果直线方程和圆的参数已知，可以通过以下公式来判断直线与圆是否相交：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d < r：相交else：其他位置关系包含包含是指直线经过圆的中心，这是一种特殊的位置关系。
如果直线方程和圆心坐标已知，可以通过以下公式判断直线是否包含圆：Ah + Bk + C = 0结论直线与圆的位置关系可以通过直线方程和圆的参数来判断。
相离、相切、相交和包含是直线和圆的四种基本位置关系。
极坐标中直线与圆相切
极坐标中直线与圆相切在坐标几何中，我们常常使用直角坐标系来描述平面中的几何问题。
而在极坐标系中，我们可以通过极径和极角的组合来表示平面中的点。
在本文中，我们将讨论直线和圆在极坐标系中的表示，并研究直线和圆之间的相切关系。
首先，我们来简要介绍极坐标系的基本概念。
极坐标系是一种由极轴和极角组成的二维坐标系统。
极轴是坐标原点到点的连线所在的直线，通常沿着水平方向，而极角是极轴与连线之间的夹角。
在极坐标系中，点的位置由极径和极角两个坐标值确定。
接下来，我们将探讨直线在极坐标系中的表示。
在直角坐标系中，一条直线可以用斜率和截距来表示。
然而，这种表示方法在极坐标系中并不适用。
相反，我们可以使用极坐标方程来表示一条直线。
极坐标方程的一般形式为：r = m·θ + c其中，r代表点到原点的距离（即极径），θ代表点的极角，m是直线的斜率，c是直线与极轴的截距。
通过给定m和c的值，我们可以确定一条直线在极坐标系中的表达式。
那么在极坐标系中，圆的表示又是怎样的呢？与直线不同，圆不能简单地通过一条方程来表示。
而是需要使用圆心的极坐标和圆的半径来确定。
圆心的极坐标由极径和极角确定，而半径则是圆心到圆上任意一点的距离。
因此，我们可以将圆的表示写为：r = R其中，R是圆的半径。
通过给定半径R的值，我们可以确定一个圆在极坐标系中的表达式。
现在，让我们来研究直线和圆相切的情况。
在极坐标系中，直线和圆相切意味着直线与圆的切点只有一个。
换句话说，直线与圆的根部重合。
要判断直线和圆是否相切，我们可以将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程，然后解方程组来求解。
假设我们有一条直线的极坐标方程为r = m·θ + c，一个圆的极坐标方程为r= R。
我们将直线的方程代入圆的方程中，得到m·θ + c = R。
此方程表示了直线和圆相切的条件。
通过解这个方程，我们可以求解出θ的值，并进一步确定直线与圆的相切点的位置。
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24.2.2(2)直线和圆相切
一、内容和内容解析
1.内容
切线的判定定理
2.内容解析
直线和圆相切是直线和圆中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线与曲线的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能用数量关系确定位置关系的方法推导切线的判定定理。
（2）会用切线的判定定理解决简单问题。
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。
达成目标（2）的标志是：知道切线的判定定理，能够分清每个定理的条件和结论，并能解决简单问题；明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
三、教学问题诊断分析
1.由于是抽班教学，教师和学生之间不是很熟悉，所以首先要营造一个良好的轻松的学习气氛，学生才能不紧张，进而很快的和老师融合进入学习状态，所以最好用轻松地情景教学给学生带入课堂。
2.学生之前已经学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。
所以让学生自己经历画图感知和交流悟理”垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，”经过半径外端”说明距离d等于半径，理解切线判定定理的两个条件。
3.教师要帮助学生明确定理的题设和结论正确理解定理，所以借助几个判断分析感受两个条件的重要性。
4.借助层次分明的证明题反复体会切线定理的两个要素，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
给予以上分析，本节课的教学重点是：探索切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
教学难点是：探索圆的切线的判定方法和解决相关问题是怎么添加辅助线。
四、教学过程设计
1.情境引入，感知直线和圆相切
问题1让老师带着同学们到生活中找一找我们今天要学习的内容，它们共同体现了两种图形的哪一种位置关系?
师生活动：共同欣赏后学生回答直线和圆相切。
设计意图：营造一个良好的轻松的学习气氛，学生很快的和老师融合进入学习状态了解学习内容。
通过展示实际生活中的图片，也让学生感受切线与现实生活有着密切的联系。
2.动手操作，探索切线的判定定理
问题2你掌握了哪几种直线与圆相切的方法？你还会其它方法吗？
【探究学习】动手试一试，并交流理由
（1）请给⊙O画一条切线BC。
（2）同伴间交流BC是⊙O的切线的理由。
师生活动：学生思考后回答，之后动手画圆的切线并互相交流画出的直线是圆的切线的理由；老师在小组间巡视并倾听和引导讲出是切线的正确理由。
教师总结：以这种形式也画出了圆的切线，这就是从位置关系角度阐述的另一种直线和圆相切的判断方法即圆的切线的判定定理法，它和利用圆心到直线的距离d等于半径来判断圆的切线没有本质上的区别只是表现形式不同而已。
问题3 一起看圆的切线的判定定理的图形表示、文字语言、符号语言，边看边完成学案的定理书写部分
师生活动：教师播放幻灯片同时板书圆的切线的判定定理的图形表示、文字语言、符号语言；学生理解内容的同时模仿书写。
设计意图：探索切线的判定定理是本节课的重点，所以要给充分的时间让同学自己动手感知，可深刻感受切线的判定定理的条件和结论。
并交流所画直线是圆的切线的理由，以便体会圆的切线的判定定理和利用圆心到直线的距离d等于半径来判断圆的切线没有本质上的区别只是表现形式不同而已。
另外问题3的处理方法是为了让同学体会几何语言的三种表现形式，明确各种书写的语言和书写格式。
3.运用判定定理解决简单问题
问题4【基础学习】
判断对错，认为错的请在空白处画出反例。
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）
(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）
(4)过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线（）
师生活动：2名学生板演，其他学生自主练习做完可互相交流；教师巡视、指导、提醒要求错的要画出反例。
设计意图：加强对圆的切线的判定定理的两个条件的理解，强调两个条件是缺一不可的。
两个条件的重要性。
问题5【巩固学习】
师生活动：学生1-5自己证明遇到问题可同学间交流。
第2,3题板演。
当同学们遇到问题有交流声起后，第4题板演。
老师巡视找和幻灯不一样的方法到黑板演示，同时对不会的同学加以指导，规范书写。
设计意图：1题直接证明，难度比较小通过基础学习的练习应该都能掌握不用板演，老师直接巡视指导书写。
2,3题全体规范书写强调两个条件要体现出来当然在已知中已经暗示存在的可以不写，另外提醒注意多种解题方式对学生加强一题多解的训练。
类比2,4题的图示特点的不同引导学生分析应如何添加辅助线。
学生总结并归纳如果已知直线经过圆上一点，则连结这点和圆心，得到半径，再证所作半径与这条直线垂直。
如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证垂线段长等于半径长是半径。
对于学有余力的同学可做【拓展学习】提升自己同时等待其他同学。
时间充裕可对拓展学习加以指导和讲解。
4.小结
问题6 通过本堂课的学习掌握了哪些知识与方法？
师生活动：教师与学生一起回顾本堂课内容。
1、知识：切线的判定定理。
着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可。
2.方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1) 根据切线定义判定：即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
(2)根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一
3. 常用的添辅助线方法：
⑴直线与圆有交点：连半径，证垂直
⑵直线与圆无交点：作垂直，证半径
设计意图：通过小结，使学生梳理本课内容，把本节课的核心——切线的判定定理，明确定理的题设和结论。
总结几种切线的判定方法。
明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
5.目标检测
设计意图：考查学生对切线判定定理的掌握
6.布置作业
设计意图：巩固本节课知识，对有能力的学生也加以提升。
五、课后反思
新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”所以我尽力做到：
1、举切合生活的例子引入课题，营造轻松的学习气氛，学生才能不紧张，进而很快的和老师融合进入学习状态，加强师生情感。
2、让学生真正“动起来”动得有序，动而不乱。
课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。
因此，根据这节课的教学内容，我设计了六个主题四个需要学生在课堂上主动参与的活动：（一）创设情境，观看图片激发兴趣。
（二）动手操作，经历动脑思考、交流、归纳、总结的过程。
得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。
（三）应用好定理的前提是理解好定理。
为了能让学生更好的理解定理设置判断题，并且画图让学生理解分析，掌握切线的判定定理的条件的重要性。
应用定理，运用两个图形基本一致的两道证明题的类比，得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和做垂直，证半径”。
（四）小结，注意了问题明确。
通过梳理内化再归纳总结本课重点。
（五）反馈，题目难度不大，本着掌握本课基本内容的原则。
3、在多位老师的指导下，做到有备而教，教而有思，思而有得。
教学设计是“以学定教”有预见性。
（一）是能预测学生在学习某教学内容时，可能会遇到哪些问题；（二）是能设想出解决这些问题的方法。
（三）是能按照学生的接受能力不同，编排梳理知识内容。
安排练习难易程度，使学案有梯度。
4、注意培养学生的解题能力。
教学中注意引导学生分析每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，再理清思路。
同时注重一题多解。
5、注意多种评价手段的运用。
教学中面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。
一个会心的微笑、一个轻抚的动作、一句真诚的语言…让学生及时感觉到被认可，他就更有动力投入到下面的学习中。
6、作业分层给有能力的同学给予更大的空间。
在整个教学过程中也存在了很多不足
如：鼓励性语言不丰富，反馈没有收上来流于形式，作业在试卷上给出但没明确说明。
这些都是由于平时没有注意而导致的在比赛中体现出来的很多细节问题。
会在以后的教学过程中多加注意。
当然很多在本课上体现的好的地方也是经过同事们的热心提醒所注意的会在以后的教学中一直贯彻和彻底实施下去。