直线与圆相切
求直线与圆相切切点的一个新方法
求直线与圆相切切点的一个新方法
求直线与圆相切切点的一个新方法，可以使用统计学方法。
首先，通过确定直线斜率和圆心坐标来确定圆的方程并提出两个关于x的方
程来求得两个结果，可能是x的最小值和最大值。
接着，用同样的方
程计算y，可以得到y的最小值和最大值，然后，根据这些值来计算出
最小点和最大点。
然后，使用非线性优化方法，可以找到切点。
比如可以使用遗传
算法，先定义一个拟合函数，然后使用它来度量直线和圆之间的距离，最后找到一组参数，使得距离最小。
拟合函数要求输入坐标，也就是x，y，然后会输出一个相对于解空间的距离，最终距离越小，就代表最终
的直线与圆的切点距离越近。
再然后，将上述参数转换回坐标空间，即可以得到直线和圆的切
点坐标。
最后，验证直线和圆的切点和原圆的中心点之间的距离是否
小于圆的半径，如果是，则说明确实存在直线和圆的切点，这样，就
可以用来求解直线与圆相切切点的问题。
高中数学：直线与圆相切时参数的几种求法
高中数学：直线与圆相切时参数的几种求法
下面举一例，浅析解决直线与圆位置关系问题的四种常用途径。
题目：直线与圆相切，则a的值为（）
A. B.
C. 1
D.
一. 利用几何量之间关系处理
即利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：（1）圆C与直线相离；
（2）圆C与直线相切；
（3）圆C与直线相交。
解法1：圆的圆心为（1，0），半径，据题意有，解得。
故选D。
二. 利用方程思想处理
即把直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程，其判别式为△，则有：
（1）圆C与直线相离；
（2）圆C与直线相切；
（3）圆C与直线相交。
解法2：由直线方程得，并代入圆方程，整理得。
又直线与圆相切，应有
，解得。
故选D。
三. 利用数形结合法处理
即作出直线与圆的图形，利用图形的直观性，从而使问题解决。
解法3：由直线过定点，如下图知，若直线与圆相切，则有直线与x轴平行，即。
故选D。
四. 特殊方法处理
对于选择题，除了以上常规的方法，还可借助特殊方法来处理，如验证法、估算法、特征分析法等途径。
解法4：验证法
取，显然满足条件，排除B、C；再取a=1，得直线方程是与圆相交。
故排除A，而选D。
▍ ▍ ▍。
12.2直线与圆相切
此时切线方程为：21x 20 y 145 0
(2)当过点 B(5, 2) 的切线斜率不存在时， 结合图形可知 x 5 也是符合题意的切线方程．
小结
过一点求圆的切线的方程
1、求经过圆上一点M( x0 ,y0 )的切线的方程 : 法一：点法向式方程 常用方法
法二：斜率关系
法三：平面向量 求点的轨迹方程的方法
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点， 由题意： OM MP 即 OM MP 0
y
P ( x, y )
l
M ( x0 , y0 )
法3：设点法向式方程，避免斜率存在性问题， 用点到直线的距离等于半径。
【回顾练习】
练习1
当 0 a 1 时，判断原点与圆
x 2 y 2 2ax 2 y a 2 4a 1 0 的位置关系。
2. 求证：不论 k 为何值，直线 kx y 4k 3 0 与曲线
r O
x
P
过圆外一点的直线与圆相切
例1.求过点 M (2, 2 3) 且与圆 x2 y 2 4 相切的直线方程.
求: 过这点与圆相切的直线的方程. 方法一 设点斜式方程，注意k存在， 不存在，利用圆心与切线的距离等 于半径 求出k
y
l1
M (2,2 3)
l2
O
xபைடு நூலகம்
方法二 点斜式方程，k存在，不存在 ，利 用直线与元相交于一点，用 0来求出k
即：l : ax by 2a 2 3b 0 由题意，得圆心(0,0)与切线的距离
直线与圆重要的位置关系——相切
\中考链接责任编辑:彭深2020748334@直线与圆重要的位置关系相切画封霞霖直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交，其中相切是中考的高频考点。
我们对直线与圆的位置关系的研究,反映了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系：由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系。
这里的数形结合，既是重要的知识内容,又是重要的思想方法。
一、切线与函数例1(2019-荷泽)如图1,直线y=交兀轴于点4,交y轴于点点P 是尤轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作O p,当O p与直线佃相切时，点、p的坐标是y图1【分析】考点:一次函数、切线性质。
对于运动问题，要考虑多解。
对圆心位置分类讨论,圆心在4点左侧和右侧，直线都会与圆相切。
根据相切时圆心到直线的距离等于半径,结合相似或者三角函数，找到圆心P的位置。
•解：•.•直线y=-扌％-3交％轴于点A,交y轴于点B,令％=0,得y=-3,令y=0,得x=~4,/.4(-4,0),5(0,-3),..OA=4,OB=3,:.AB=5O设O p与直线ab相切于d,连接PD,如图2,P在A点左侧时为R,在4点右侧时为匕。
j图2则PD1AB,PD=1,Z-ADP=/-AOB=90°,"AD=ABAO,.-.AAPD^/^ABO,•PD_4P••OB AB5•1=4P•Ap=d•-35^3，.-.OP=OA+AP或OA-4P,0P=孑或孕，.•.P.（-^,0）,P2（-j,0）o【点评】这道题目中有圆，但要做到心中无圆。
如果抓住切线的本质,C>Pi 和OP2不画出来亦可。
我们要抓住的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。
另外，利用相似求ap的这部分，用三角函数也可以解决。
二、切线与角度例2（2019-天津）已知PA,PB分别与O0相切于点A.B,乙4加=80。
,C为Oo上一点。
（I）如图3-①，求厶1CB的大小；（n）如图3-②,也为00的直径,4E与相交于点D,若AB=AD,求AEAC的大小。
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°∴在中，∠C=45°∴ CD=AD∵ BC=6cm ∴∴∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．AD由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．练习：1.如图，AB 为⊙O 直径，BD 切⊙O 于B 点，弦AC 的延长线与BD 交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC 长为________．D2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，过点P 的任一直线交⊙O 于B 、C ，•连结AB 、AC ，连PO 交⊙O 于D 、E ．（1）求证：∠PAB=∠C ．（2）如果PA 2=PD ·PE ，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O 的半径．_A_P答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为32．。
直线与圆相切几何关系教案
直线与圆相切几何关系教案教案标题：直线与圆相切几何关系教学目标：1. 理解直线与圆相切的几何关系；2. 能够确定直线与圆相切的条件；3. 能够解决与直线与圆相切相关的几何问题。
教学准备：1. 教师：黑板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生：教科书、几何工具箱。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 引入话题：请学生回顾并复习直线与圆的基本概念。
2. 提问：你们知道直线与圆有哪些可能的几何关系？步骤二：讲解直线与圆相切的概念（10分钟）1. 教师使用投影仪展示直线与圆相切的示意图，并解释相切的概念。
2. 引导学生观察示意图，并理解相切的特点：直线与圆只有一个公共的切点。
步骤三：直线与圆相切的条件（15分钟）1. 教师讲解直线与圆相切的条件：直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。
2. 教师通过示意图和数学公式的推导，帮助学生理解这一条件。
步骤四：解决与直线与圆相切相关的几何问题（20分钟）1. 教师提供一些直线与圆相切的几何问题，让学生独立或小组合作解决。
2. 教师在解答问题的过程中给予指导和提示。
步骤五：巩固与拓展（10分钟）1. 教师提供更复杂的直线与圆相切问题，让学生尝试解决。
2. 学生进行小组讨论，分享解题思路和方法。
步骤六：总结与评价（5分钟）1. 教师总结直线与圆相切的几何关系和条件。
2. 教师给予学生反馈和评价，鼓励他们在几何问题中运用所学知识。
教学延伸：1. 学生可以通过练习题进一步巩固直线与圆相切的知识；2. 学生可以尝试解决更复杂的几何问题，如直线与多个圆相切等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 教师布置作业，检查学生对直线与圆相切的理解和应用。
备注：教案中的时间仅供参考，实际教学中可根据具体情况进行调整。
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系介绍直线和圆是几何中常见的元素，它们在空间中的相对位置关系对于多个学科领域都具有重要意义。
本文将介绍直线和圆的四种基本位置关系：相离、相切、相交和包含。
相离相离是指直线和圆没有任何交点，它们在空间中完全没有重叠部分。
如果一条直线与一个圆都是无限延伸的，直线与圆的位置关系就可以通过它们的公式来确定。
设直线方程为Ax + By + C = 0，圆心坐标为(h, k)，半径为r，则直线与圆的位置关系可以通过以下公式判断：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d > r：相离else：其他位置关系其中，d为直线到圆心的距离。
相切相切是指直线与圆只有一个交点，这个交点同时位于直线上和圆上。
相切的情况可以进一步分为两种：外切和内切。
外切外切是指直线与圆相切，且直线在圆的外部。
对于直线方程Ax + By + C = 0和圆心坐标(h, k)，半径r，判断直线与圆是否外切的公式如下：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = r：外切else：其他位置关系内切内切是指直线与圆相切，且直线在圆的内部。
同样，可以通过直线方程和圆的参数来判断直线与圆是否内切：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = -r：内切else：其他位置关系相交相交是指直线与圆有两个不重复的交点。
如果直线方程和圆的参数已知，可以通过以下公式来判断直线与圆是否相交：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d < r：相交else：其他位置关系包含包含是指直线经过圆的中心，这是一种特殊的位置关系。
如果直线方程和圆心坐标已知，可以通过以下公式判断直线是否包含圆：Ah + Bk + C = 0结论直线与圆的位置关系可以通过直线方程和圆的参数来判断。
相离、相切、相交和包含是直线和圆的四种基本位置关系。
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直线与圆相切
【教学目标】
1、理解并掌握圆的切线判定和性质,能运用它解决有关问题.
2、通过对圆的切线判定和性质复习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力,能解决关
于圆的综合应用题.
【教学重点】圆的切线的判定和性质定理
【教学难点】圆的切线的判定和性质定理的综合应用
【教学过程】
一、小题引路：
1、下列命题是真命题的是（）
A. 经过半径的外端的直线是圆的切线。
B. 与半径垂直的直线是圆的切线。
C. 经过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。
D．经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）
A．1 B．1或5 C． 3 D． 5
3、已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
则⊙O与直线AC的位置关系是_________.
4、如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA=4cm，PB=2cm．则⊙O的半径长是________．
二、考点梳理：
1、判定切线的方法有哪些？
（1）用公共点的个数：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）用直线到圆心的距离：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线；
条件：(1)经过半径的外端；(2)垂直于过该点半径；
2、判定切线的常用的添辅助线的方法：
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。
即“证切线，连半径，证垂直”。
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。
即“证切线，作垂直，证半径”。
3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。
即“知切线，连半径，得垂直”。
三、典例精讲：
例1、如图所示，在△ABC中，以AB为直径的⊙O，交边BC于D， BD=DC, DE⊥AC于E。
求证: DE是⊙O的切线。
C B F O
D
E A 例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE
（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；
（2）若∠B=30°，AD=3，求BD 的长。
例3、例3、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，点C 在AB 的延长线上，CE⊥AD，交AD 延长线于点E ． （1）求证：；∠BDC=∠A
（2）若DE=2，2
1tan =A ，求AD 的长．
四、运用提升：
例4、如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于点F ，且CE =CF 。
（1）求证：DE 是⊙O 的切线。
（2）若AE =29，BD =3，求⊙O 的半径。
五、当堂检测：
1、如图， BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB=30°，则∠B= ．
A D
B O C
2、如图：AB 是⊙O 的直径，DC 是⊙O 的切线，点D 在AB 的延长线上，∠CAB=35º，则∠D=____
3、如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且
==，连接AC ，AF ，过点C 作
CD ⊥AF 交AF 延长线于点D ，垂足为D ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若CD=2，求⊙O 的半径．
4. (选做题)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；
(2)求cos E ∠的值。