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直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆位置关系的判定方法直线和圆的位置关系是初中数学中常见的问题，也是高中和大学数学中常见的基础概念，理解好这两者之间的关系对进一步的数学学习和应用都有很大的帮助。
下面将介绍判定直线与圆位置关系的方法。
一、一次函数方程式首先，对于经过圆的直线，可以将其方程式化为一次函数的形式，即：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
接下来，我们只需要找到该函数与圆的位置关系即可。
1、当k=0时，直线平行于x轴，此时若圆心的y坐标在直线两端点的y坐标之间，则直线与圆有两个交点；若圆心的y坐标小于直线两端点的y坐标，则没有交点；若圆心的y坐标大于直线两端点的y坐标，则有且只有一个交点。
2、当k不为0时，此时直线的斜率存在，这意味着直线与圆的位置关系会发生变化。
如果直线的斜率大于圆与直线的交点处的切线的斜率，则直线与圆没有交点；如果直线的斜率小于切线的斜率，则直线与圆有两个交点；如果直线的斜率等于切线的斜率，则直线与圆有且只有一个交点。
二、圆的一般方程式还有一种情况是，圆的方程不是标准方程，而是一般方程：（x-a）² +（y-b）² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这时我们可以将直线的方程式 y=kx+b 代入圆的一般方程，并进行变形。
变形后的方程为：(k²+1)x² + (2kb-2ak-2b) x+(a²+b²-r²) = 0解此一元二次方程可以得到交点的横坐标，进而求得纵坐标。
当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标接近时，则判断直线与圆相切；当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标相等时，则判断直线与圆相离；否则，判断直线与圆相交。
相交时，根据解出的横坐标作代入圆的方程，得到两个交点的纵坐标。
总结：在日常生活和工作中，我们经常需要判定直线和圆的位置关系，上述方法简单易行，当我们用好这些方法，可以在很大程度上提高工作有效性。
判定一条直线是圆的切线的三种方法
判定一条直线是圆的切线的三种方法
有几种方法可以确定给定线是否与圆相切。
以下是您可以使用的三种方法：
第一，直线方程：如果你知道直线的方程，你可以把圆上一点的坐标代入方程中，看看它是否满足。
如果方程满足于圆上的一点，则该方程也满足于圆上的所有点，因此直线必须与圆相切。
第二，距离圆心的距离：如果知道直线的方程和圆心的坐标，就可以使用距离公式计算圆心到直线的距离。
如果距离等于该圆的半径，则该直线与该圆相切。
第三，直线与半径之间的角度：如果知道直线的方程式和圆上某点的坐标，则可以使用直线与绘制到该点的半径之间的角度来确定直线是否与圆相切。
如果角度为90度，则直线与圆相切。
直线和圆的位置关系课件(浙教版)
A
CB QH
数学知识： 直线与圆的三种位置关系.
直线与圆的位置关系的判定方法. 根据已知条件作与直线相切的圆. 生活与数学.
思想方法：
分类互逆思想.
1.作业本 2.课本P50组(4)(5)
希望大家如这旭日, 朝气蓬勃!
1.设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离 为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_相_交___。 直线a与⊙O的公共点个数是_两_个__。
2、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离 是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是相__切_ 。
3、已知⊙O的半径为6cm，O到 直线a的距离为7cm，则直线a与 ⊙O的公共点个数是_零___。
若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为 （ C ）
A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4 2.设⊙P的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的距离为
4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ D ）
A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
3.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），
则⊙A与X轴的位置关系是_相__离__, ⊙A与Y轴的位置关系是_相__切___。
4、已知⊙O的直径是6cm， O到直线a的距离是4cm， 则⊙O与直线a的位置关系是相_离__ _。
在码头A的北偏东60°方向有一个海岛， 离该岛中心P的15海里范围内是一个暗礁区。货船 从码头A由西向东方向航行，行驶了18海里到达B， 这时岛中心P在北偏东30°方向。若货船不改变航 向，问货船会不会进入暗礁区？
.O .A
1.若A为⊙O上的一点，则过点A的直线与⊙O相切( × ) 变：若A为⊙O内一点呢？ 过点A的直线与 ⊙O必相交
12.2直线与圆相切
此时切线方程为：21x 20 y 145 0
(2)当过点 B(5, 2) 的切线斜率不存在时， 结合图形可知 x 5 也是符合题意的切线方程．
小结
过一点求圆的切线的方程
1、求经过圆上一点M( x0 ,y0 )的切线的方程 : 法一：点法向式方程 常用方法
法二：斜率关系
法三：平面向量 求点的轨迹方程的方法
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点， 由题意： OM MP 即 OM MP 0
y
P ( x, y )
l
M ( x0 , y0 )
法3：设点法向式方程，避免斜率存在性问题， 用点到直线的距离等于半径。
【回顾练习】
练习1
当 0 a 1 时，判断原点与圆
x 2 y 2 2ax 2 y a 2 4a 1 0 的位置关系。
2. 求证：不论 k 为何值，直线 kx y 4k 3 0 与曲线
r O
x
P
过圆外一点的直线与圆相切
例1.求过点 M (2, 2 3) 且与圆 x2 y 2 4 相切的直线方程.
求: 过这点与圆相切的直线的方程. 方法一 设点斜式方程，注意k存在， 不存在，利用圆心与切线的距离等 于半径 求出k
y
l1
M (2,2 3)
l2
O
xபைடு நூலகம்
方法二 点斜式方程，k存在，不存在 ，利 用直线与元相交于一点，用 0来求出k
即：l : ax by 2a 2 3b 0 由题意，得圆心(0,0)与切线的距离
切线的性质和判定定理
D
解：BD是⊙O的切线
连接OD
A
∵ OD=OA
O
C
B ∴∠ODA=∠BAD=∠B
=300
∴∠ BOD=600
∴∠ODB=900
即： OD⊥DB
∴BD是⊙O的切线
变式练习 练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，
交边BC于P，BP=PC, PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。
∵ AB为直径
思∵考直线L是
⊙如O图的：切如果线直，线L
是A⊙是O的切切点线。,切点为
AL是,∴ 点那不么L是⊥半一径O定AO垂于A与直A直呢线?
.O
一定垂直(可用反证法来证）
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
简记为：“知切线，连半径，得垂直”
切线的性质定理反证法
假设切线l不垂直于过切点的半 径OA，
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过 半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
A
l
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端；(2)垂直于过该点半径；
符
号 语
∵l⊥OA，A点是⊙O上一点
言
表
达 ∴直线l是⊙O的切线
为什么?
解：AC与⊙O相切
连接OD,作OE⊥AC
E
∴∠OEC=900
∵ AB是⊙O的切线
∴OD⊥AB,
∴∠ODB=900=∠OEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵O是BC的中点
∴OB=OC
∴△OBD≌△OCE
直线与圆的位置关系优质课PPT课件
O
它们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).
A x
7
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判断下列直线与圆的位置关系
(1).圆x2 y2 13与直线x y 1 0;
相交
(2).圆x2 y2 8x 2 y 8 0, 直线4x 3y 6 0;
相切
(3).圆( x 2)2 y2 1, 直线2x y 5 0.
例 2:已知圆 C:X2+y2=1和过点 P( -1 ,2) 的直线L.
(1)试判断点P的位置. (2)若直线L与圆C相切 ,求直线L的方程.
(3)若直线L与圆相交于A 、B两点,求直线 L 的斜率范围.
(4)当直线L的斜率为-1时,试判断它们的 位置关系. (5)若直线L与圆相交于A 、B两点 ,且满足 OA⊥OB, 求直线L的方程.
当 d>r 时，直线与圆的位置关系是相离 当 d=r 时，直线与圆的位置关系是相切 当 d<r 时，直线与圆的位置关系是相交
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直线与圆的位置关系的判定方法
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r d=r d<r
x2 y2 6x 5 0
(x 3)2 y2 4
圆心（3，0） 直线x-my+3=0
r=2
d 6 m2 1
比 相交
d<r
较
d 相切
d=r
与
相离
d>r
r
6 2,得m 2 2或m 2 2 m2 1
6 2,得m 2 2 m2 1
6 2,得 2 2 m 2 2 m2 1
切线的判定和性质
·
●
o
A
活动2 探索切线的判定定理
如图1，在⊙O中，经过半径的外端点A 做直线l⊥OA，则圆心到直线l的距离是多 少？
.O
L
A
思考：
如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线 和圆有什么关系呢？ 相切 切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.
数学语言描述: ∵ OA是半径 ,OA⊥L 于点A, ∴L是⊙O的切线
A
O E B P C
活动5 切线的性质定理
1.阅读课本97页思考
如果L是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA 与直线L是不是一定垂直呢? 2.如图，CD是切线，A是切点，连结AO并延长与 ⊙ O交于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形 时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90° B 因此，可得： OA⊥CD 数学语言描述:
第101-102页第4题，第5题，第12题 选作题
如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径作半圆 O，交斜边于D,OE∥AC交AB于E。 求证：DE是⊙O的切线。 C
D
OAEB来自活动6 判定与性质的辨析
切线的判定与性质定理有那些区别与联系？ 切线的判定： 1、判定直线与圆是位置关系 2、是直线具备某些特点后来判定是否是 圆的切线 切线的性质： 直线与圆相切时切线所具有的特点
活动7定理的应用
例2 ：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点，腰AB与⊙O相切与点D， 求证：AC是⊙O的切线
B
C O● A D P
2、完成课本98页练习
小结归纳
1.切线的判定：
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2.切线的性质：
圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定与性质
切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l 和⊙O 是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（ ）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。