2021年高二数学下学期第十四次周练试题
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(解析版)
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（ ）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（ ）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（ ）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
哈尔滨市第三十二中学校2021-2022学年度（下）学期高二数学期中试卷考生须知1．考生要认真填写班级和姓名。
2．本试卷共2页，分为两卷，第I 卷选择题12小题(共48分)；第II 卷非选择题2大题(共52分)。
满分100分。
考试时间70分钟。
3．试题所有答案必须书写在答题卡上。
4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。
第I 卷选择题(共48分)一、单选题（共计12个小题，每小题4分）1．已知圆方程的圆心为（）A.(-2，4）B.(-1,2)C.(1,-2)D.(2,-4)2．P 是椭圆x 2+4y 2＝16上一点，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝（）A ．1B ．3C ．5D ．93．抛物线y 2＝8px （p ＞0），F 是焦点，则p 表示（）A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的C ．F 到准线距离的D ．F 到y 轴的距离4．已知数列通项公式a n ＝n 2﹣n +1，则a5＝（）A ．6B ．13C ．21D ．315．已知等差数列{a n }满足a 2+a 3+a 6+a 7＝2，则a 4+a 5＝（）A ．B ．1C ．D ．26．在等比数列{a n }中，a 1＝3，公比q ＝2，则a 4＝（）A ．24B ．48C ．54D ．667．已知f （x ）＝x 2，则f '（1）＝（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣28．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（）A．31B．32C．63D．649．若，则n＝（）A．4B．5C．6D．710．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（）A．54B．5C．5×4×3×2D．4511．展开式中第5项的系数是（）A．B．C．D．12．下列各式正确的是（）A．（e x•sin x）′＝e x（sin x+cos x）B．（（x+1）2）′＝2xC．（lnx）′＝lnxD．第II卷非选择题（共52分）二．填空题（共4小题，每小题4分）13．在等差数列{a n}中，a3＝3，公差d＝﹣2，则a6＝．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若S5＝7，S10＝21，则S15＝．15．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3＝3，S3＝9，则{a n}的公比为．16．函数f（x）＝x+3lnx的图象在点（1，1）处的切线斜率为三、解答题（共计4个小题，共计36分）17．从1，3，5三个奇数中取两个，再从0，2，4三个偶数中取两个组成满足下列条件的四位数，问：（1）能够组成多少个无重复数字的四位数？（2）能够组成多少个比3000大的四位奇数？18．从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动．（Ⅰ）共有多少种不同的选择方法？（Ⅱ）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？19．求二项式（x2﹣）9展开式的第7项及含x9的项的系数．20．已知x＝3是函数f（x）＝x3﹣ax2﹣9x+1的一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．202205高二数学期中考试答案1—12C ABCB ACACB BA13.﹣314.4215.﹣或116.4．17．解：（1）根据题意，分2种情况讨论：当取出的数字含0时，，当取出的数字不含0时，，故能构成108+72＝180个四位数．（2）根据题意，分3种情况讨论：当最高位为3时，有；当最高位为4时，有；当最高位为5时，有；则能构成12+24+12＝48个比3000大的奇数．18．解：（Ⅰ）根据题意，从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，是组合问题，其选择方法数为，（Ⅱ）根据题意，从6人中选出3人，其中没有女生入选的选择方法数为，所以至少有1位女生入选的选择方法数为20﹣4＝16．19．求二项式（x2﹣）9展开式的第7项及含x9的项的系数．解：展开式的第七项T7＝（x2）3•（﹣）6＝84x6＝，T k+1＝＝＝，令18﹣3k＝9，所以k＝3，所以含x9的项的系数为＝﹣．20．解：（1）∵x＝3是f（x）的一个极值点．∴f'（3）＝0．f'（x）＝3x2﹣2ax﹣9，∴f'（3）＝27﹣6a﹣9＝0，∴a＝3，经检验，a＝3符合题意．（2）f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1，∴f'（x）＝3（x﹣3）（x+1）．令f'（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜3，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上单增，（﹣1，0）上单减，∴f max（x）＝f（﹣1）＝6．又f（﹣2）＝﹣1，f（0）＝1．∴f min（x）＝f（﹣2）＝﹣1．。
2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二年级下册学期5月质量检测数学试题(A)【含答案】
2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二下学期5月质量检测数学试题（A ）一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ）R U ={}2P x x =≥{}4M x x =<()U P M = A ．P B ．M C ．D ．{}24x x ≤<{}4x x ≥【答案】A 【分析】求出，从而得到.U M (){}2U P M x x P ⋃=≥= 【详解】，.{}4U M x x =≥ (){}{}{}242U P M x x x x x x P⋃=≥⋃≥=≥= 故选：A2．设命题，则为（ ）:R,e cos(3)0xp x x ∀∈+-<p ⌝A ．B ．R,e cos(3)0xx x ∀∈+->R,e cos(3)0xx x ∀∈+-≥C ．D ．R,e cos(3)0xx x ∃∈+->R,e cos(3)0xx x ∃∈+-≥【答案】D【分析】全称量词的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】为“”.p ⌝R,e cos(3)0xx x ∃∈+-≥故选：D3．某次数学考试成绩近似服从正态分布，若，则可以估计考试成()270,X N σ~(60)0.872P X >=绩大于或等于80分的概率为（ ）A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由正态分布的对称性可知：，(80)(60)0.872P X P X <=>=故估计考试成绩大于或等于80分的概率为.(80)1(60)10.8720.128P X P X ≥=-<=-=故选：C4．某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x ）12345治愈人数（y ）51535？140由表格可得y 关于x 的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为3648ˆyx =-（ ）A ．105B ．104C ．103D ．102【答案】A【分析】设出第4周的治愈人数为，得到样本中心点，代入回归方程，即可求出.m m 【详解】设第4周的治愈人数为，m ，1234535x ++++==5153514019555m my +++++==样本中心点为1953,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭将代入中，，1953,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭3648ˆy x =-19536348605m+=⨯-=解得：.105m =故选：A5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽取两张，若已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1133102166133【答案】D【分析】先根据题意及组合的意义，求得其中一张是A 牌的概率，两张都是A 牌的概率，从而再利用条件概率公式求得所求.【详解】依题意，不妨设事件为抽取的两张牌中其中一张是A 牌，事件为抽取的两张牌都是M N A 牌，则，，则，()222485248225252C C C 1C C P M -=-=()24252C C P N =()()24252C C P MN P N ==所以，()()2225244222225252485248C C C 61C C C C C 19833P MN P N M M==⨯===--故已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为.133故选：D.6．计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记12345678a a a a a a a a (1,2,3,4,5,6,7,8)k a k =1323，则当程序运行一次时，X 的均值为（ ）12345678X a a a a a a a a =+++++++A ．B ．C ．D ．8983163169【答案】C【分析】得到，利用二项分布求期望公式求出答案.28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭【详解】X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8，且的值即为1出现的次数，X 故，所以.28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭216833EX =⨯=故选：C7．给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小U ,A B A U ⊆B U ⊆A B 元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（ ）(,)A B U {1,2,3,4}U =U A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【详解】 时，的个数是 {}1A =B 123333 7C C C ++=，时，的个数是{}2A =B 1222 3C C ，+= 时，的个数是1，{}3A =B 时，的个数是}2{1A =，B 12223C C ，+= 时，的个数是1，{}13A =，B 时，的个数是1，}3{2A =，B 时，的个数是1，3{}12A =，，B 的有序子集对的个数为：17个，U ∴8．某生即将参加《奔跑吧兄弟》打靶比赛海选活动，每人有7次打靶机会，打中一次得1分，不中得0分，若连续打中两次则额外加1分，连续打中三次额外加2分，以此类推……，连续打中七次额外加6分，假设该生每次打中的概率是，且每次打中之间相互独立，则该生在比赛中恰好得237分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7623872366236723【答案】B【分析】考虑三种情况，求出每种情况下的概率，相加得到答案.【详解】若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，1343C C 4=436722241333⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次打中，两次没打中，且两次打中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭综上：该生在比赛中恰好得7分的概率为6558766722223333++=故选：B二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．“”是“”的充要条件||x y ≥22x y ≥B ．“”是“”的必要不充分条件21x ==1x -C ．若集合，，则{}2,Z P x x k k ==∈{}4,Z Q x x k k ==∈P Q⊆D ．对任意表示不大于x 的最大整数，例如，那么“”是“R,[]x x ∈[1.1]1,[ 1.1]2=-=-||1x y -<”的必要不充分条件[][]x y =【答案】BD【分析】A 选项，可举出反例；B 选项，解方程，得到，故B 正确；C 选项，根据集21x =1x =±合间的关系得到；D 选项，举出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案.Q P ⊆【详解】当时，满足，但不满足，故A 错误；1,0x y =-=22x y ≥||x y ≥，解得：，因为，但，故“”是“”的必要不充21x =1x =±=1=1x x -⇒±1x =±⇒1=-21x ==1x -分条件，B 正确；，其中为偶数，故，C 错误；{}(){}4,Z 22,Z Q x x k k x x k k ==∈==⨯∈2k Q P ⊆令，满足，但，，充分性不成立，0,0.5x y ==-||1x y -<[]0,[]1x y ==-[][]x y ≠由得：，故，必要性成立，[][]x y =11x y -<-<||1x y -<故“”是“”的必要不充分条件，D 正确.||1x y -<[][]x y =故选：BD10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．B ．C ．D ．5(1)512P X ==1(9)1024P X ==()5D X =5()2D X =【答案】AD【分析】分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求110,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 方差公式求出方差.【详解】设“向右下落”， “向左下落”，A =A =则，()()12P A P A ==因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，X A所以，于是，同理可得：110,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭ 9110115(1)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，A 正确，B 错误；9910115(9)C 22512P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭由二项分布求方差公式得：，C 错误，D 正确.115()101222D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭故选：AD11．下列选项中正确的有（ ）.A ．随机变量，则14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ ()318D X +=B ．将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率A =B =()511P A B =C ．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量.ξ则的数学期望ξ()75E ξ=D ．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者34是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为2764【答案】AC【分析】对于A ，利用二项分布定义求解即可；对于B ，代入条件概率公式即可；对于C ，写出的所有可能取值，列出分布列计算即可；对于D ，代入次独立重复试验中恰好发生次的概率ξn k 公式即可．【详解】对于A ，随机变量服从二项分布，． X 14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ 118()4(1393D X ∴=⨯⨯-=则，故A 正确；(31)9()8D X D X +==对于B ，根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，(A |B)P B A 即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为，665511⨯-⨯=“两个点数都不相同”则只有一个6点，共种，12510C ⨯=故，故B 错误；10(|)11P A B =对于C ，的所有可能取值为0，1，2，ξ，273210()k kC C P k C ξ-==可得，，．1(0)15P ξ==7(1)15P ξ==7(2)15P ξ==的分布列ξξ012P115715715，故C 正确；1777()0121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=对于D ，某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者34是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为，故D 错误．123339(1)4464C ⨯⨯-=故选：AC ．【点睛】本题考查了二项分布、条件概率、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、次独n 立重复试验中恰好发生次的概率等，知识点较多，但难度不大，仔细分析每一个选项即可．k 12．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中1A 2A 随机取出两球，分别用B ，C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．()15|21P B A =()212|21P C A =C ．D ．()1742P B =()4384P C =【答案】BCD【分析】在各自新的样本空间中求出，判断A ，B ；利用全概率公式计算，()1|P B A ()2|P C A ()P B 判断C ，D 作答.()P C 【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A 不正确；1A ()25127C 10|C 21P B A ==在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B 正确；2A ()1143227C C 12|C 21P C A ==因，，， 1253(),()88P A P A ==()110|21P B A =()24272C 6|C 21P B A ==则，C 正确；()()()12215103617||821821(2)()4P B P B A P B A P A P A =+=⨯+⨯=因，， ()212|21P C A =()1152127C C 10|C 42P C A ==则，D 正确.()()()121251031243||821821()8)(4P C P C A P C A P A P A =+=⨯+⨯=故选：BCD三、填空题13．已知集合，，若，则a 的取值范围是[],21A a a =-{}12B x x =-≤≤A B A = ________________．【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据交集运算的结果得到，从而得到不等式组，求出a 的取值范围.A B ⊆【详解】因为，所以，A B A = A B ⊆因为，，[],21A a a =-{}12B x x =-≤≤所以，解得：.211212a a a a <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦14．某工厂为研究某种产品的产量x （吨）与所需某种原材料y （吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：x 3456y23m5根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为.75ˆ0ˆy bx =+(4,3)，则表中m 的值为__________．0.15-【答案】##3.8195【分析】先由样本处的残差求得，再由样本中心落在回归直线上得到关于的方程，(4,3)ˆ0.6b =m解之即可.【详解】因为回归方程为，在样本处的残差为，.75ˆ0ˆy bx =+(4,3)0.15-所以，得，()340.755ˆ0.1b-+=-ˆ0.6b =故回归方程为，0.6075ˆ.x y=+因为，，()13456 4.54x =⨯+++=()11023544m y m +=⨯+++=所以，解得，100.6 4.50.754m+=⨯+ 3.8m =故m 的值为.3.8故答案为：.3.8四、解答题15．如图，在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次，则该智能汽车恰好能移动到点的概率为________________．(5,3)M【答案】##7320.21875【分析】将智能汽车的移动情况转化为组合问题，求出智能汽车移动的所有情况种数，再求出移动到点的情况种数，从而利用古典概率的概率的求法即可得解.(5,3)M 【详解】因为智能汽车每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次，所以智能汽车可能在这8次移动中向上移动8次，向右移动0次，共有种情况，88C 智能汽车可能在这8次移动中向上移动7次，向右移动1次，共有种情况，78C 智能汽车可能在这8次移动中向上移动6次，向右移动2次，共有种情况，68C ……智能汽车可能在这8次移动中向上移动0次，向右移动8次，共有种情况，08C一共有种情况，876088888C C C C 2++++= 其中该智能汽车恰好能移动到点（记为事件），即在这8次移动中向上移动3次，向右移(5,3)M M 动5次，共有种情况，38876C 87321⨯⨯==⨯⨯⨯所以.()8877232P M ⨯==故答案为：73216．已知条件，条件q ：________________，若q 是p 的必要不充分条件，求:121p m x m -≤≤+实数m 的取值范围．试从下列两个条件中选择一个补充在上面横线处，并完成题目．（1）(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++（2）312x >-【答案】答案详见解析【分析】根据所选条件求得条件对应的的取值范围，结合必要不充分条件的知识列不等式，从qx 而求得的取值范围.m 【详解】因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，q p p q设满足条件，的构成集合，则 ，其中.p qx ,A B A B {}121A m m m m =-≤≤+若选条件（1）：，(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++，解得，()()22280,28420x x x x x x -++>--=-+<24-<<x 所以，{}|24B x x =-<<当，即，时满足题意；A =∅211m m +<-2m <-当，即，时满足题意；..A ≠∅12121412m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->-⎩312m -<<综上所述，的取值范围是.m 3212m m <--<<或若选条件（2）：，312x >-，解得，()()332510520222x x x x x x x -+--==>⇔--<---25x <<所以，{}|25B x x =<<当，即，时满足题意；A =∅211m m +<-2m <-当，即，此时方程组无解；A ≠∅12121512m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->⎩综上所述，的取值范围是.m 2m <-17．已知命题p ：方程无解，命题恒成立．若命题p 和q 均为e xmx =2:(0,),10q x x mx ∀∈+∞++>假命题，求实数m 的取值范围．【答案】(],2-∞-【分析】得到有解，转化为与有交点，画出两函数图象，数形结合得到：e x mx =()e x f x =y mx =或，再根据题意得到为真命题，参变分离后得到e m ≥0m <2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤，得到，最后求交集得到实数m 的取值范围.12x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭2m ≤-【详解】命题p 为假命题，故方程有解，即与有交点，e x mx =()e xf x =y mx =画出与的图象，()e xf x =y mx =显然当时，与有交点，符合要求，0m <()e x f x =y mx=当时，令，则，设切点为，0m >()e x f x =()e x f x '=()00,e xx 则在的切线斜率为，()e x f x =()0,e x x ()0ex f x '=故在的切线方程为，()e xf x =()0,e x x ()00e e x x y x x -=-又切线过原点，故，解得：，()0000e e 0x x x -=-01x =所以在的切线斜率为，()e xf x =()0,e x x e故要想与有交点，需要满足，()e xf x =y mx =e m ≥综上：或，e m ≥0m <命题q 为假命题，故为真命题，2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤所以，1(0,),x m x x ⎛⎫∃∈+∞≤-+ ⎪⎝⎭其中，12x x ⎛⎫-≤-=- ⎪⎝⎭+故，2m ≤-将或与取交集得：实数的取值范围为.e m ≥0m <2m ≤-m (],2-∞-18．某车间一天生产了100件产品，质检员为了解产品质量，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测．假设这100件产品中有40件不合格品，60件合格品，用X 表示样本中合格品的件数．(1)求X 的分布列（用式子表示）和均值；(2)用样本的合格品率估计总体的合格品率，求误差不超过0.1的概率．参考数据：设．则(),0,1,2,,20k P X k p k ===⋯8910110.02667,0.06376,0.11924,0.17483p p p p ====121314150.20078,0.17972,0.12422,0.06530p p p p ====【答案】(1)分布列见解析，12(2)0.79879【分析】（1）根据题意得到随机变量服从超几何分布，得到分布列及数学期望；X （2）样本合格品率，故，再根据题目条件得到其概率，2020Xf =()()200.60.11014P f P X -<=≤≤得到答案.【详解】（1）由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次实验结果不相互独立，所以随机变量服从超几何分布.X 的分布列为；X ()20604020100C C ,0,1,220C k kP X k k -⋅=== 的均值为X ()602012100E X np ==⨯=.（2）样本中合格品率是一个随机变量，2020Xf =()()200.60.11014P f P X -<=≤≤，0.119240.174830.200780.179720.124220.79879=++++=所以误差不超过的概率为.0.10.7987919．某高科技公司对其产品研发年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x 12345y0.511.535.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为y bx a =+ebx ay +=年销售量y 关于年投资额x 的回归分析模型，经计算方案①为，请根据表2的数据，ˆ 1.2 1.3yx =-确定方案②的回归模型；表2：x 12345ln z y=-0.70.41.11.7(2)根据下表中数据，用决定系数比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更2R 可靠的模型，预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量．经验回归方程ˆ 1.2 1.3y x =-e bx ay +=()521ˆii i yy=-∑ 1.90.1122参考公式及数据：，()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑ ()() ()2222.86112221111.e 17.5nni ii ii i n n iii i y y y y R y y yny ====--=-=-≈--∑∑∑∑【答案】(1)；0.59 1.27e x y -=(2)选择方案②，理由见详解，17.5（千件）.【分析】（1）两边取对数，求出，，代入公式求出，ebx ay +=3x =0.5z =ˆ0.59b =，求出回归方程；ˆˆ 1.27a z bx =-=-（2）求出，计算出，得到案②的回归模型精度更高、更可靠，并代入求出预2.3y =2221R R >7x =测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.【详解】（1）对两边取对数得：，令，ebx ay +=ln y bx a =+ln z y =其中，，1234535x ++++==0.700.4 1.1 1.70.55z -++++==则，()222222ˆ0.5910.72030.44 1.15 1.7530.51234553b⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯-+==⨯⨯+++-⨯，ˆˆ0.50.593 1.27a z bx =-=-⨯=-所以，即；ln 0.59 1.27z y x ==-0.59 1.27ex y -=（2）方案①中，，ˆ 1.2 1.3yx =-0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()5221122512222220.51 1.53 5.551.9 1.91110.88316.32.35i ii ii y y R yy ==-=-=-=-≈-++++-⨯∑∑方案②中，同理可得：，0.59 1.27ex y -=0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()2212221550.1122110.99316.35i ii ii y y R yy ==-=-=-≈-∑∑显然，故方案②的回归模型精度更高、更可靠，2221R R >令中得：，0.59 1.27e x y -=7x =0.597 1.27 2.86e e 17.5y ⨯-==≈所以预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.20．某商场为了促销规定顾客购买满600元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小王购买了600元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，选择继续抽奖的概211,,323率均为，且每次是否抽中互不影响．12(1)求小王第一次抽中，但所得奖金归零的概率；(2)设小王所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)29(2)分布列见解析，数学期望为152【分析】（1）设出事件，分为两种情况，第一次抽中，第二次没抽中和前两次均抽中，第三次没抽中，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行求解；（2）写出X 的可能取值及相应的概率，得到分布列及数学期望.【详解】（1）记小王第次抽中为事件，则有,,，并且i (1,2,3)i A i =()123P A =()212P A =()313P A =两两相互独立.123A A A ，，小王第一次抽中但奖金归零记为事件A ，则A 的概率()()()12123P A P A A P A A A =+.211211121132232239=⨯⨯-+⨯⨯⨯-=（）（）（2）小王所得奖金总数为随机变量，则的可能取值为0，10，30，60，X X ，()()122501399P X P A A ⎛⎫==+=-+=⎪⎝⎭，()()11211102323P X P A ==⨯=⨯=，()()12121111302322212P X P A A ==⨯=⨯⨯⨯=.()()123211111603222336P X P A A A ===⨯⨯⨯⨯=随机变量的分布列为X X103060P5913112136随机变量的数学期望.X ()51111501030609312362E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21．2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：潜伏期年龄长潜伏期非长潜伏期合计50岁以上3011014050岁及50岁以下204060合计50150200(1)依据小概率值的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？0.05α=(2)假设潜伏期Z 服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．现()2,N μσμx 2σ2s 在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；(3)以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，()*∈N k k ()g k 当k 为何值时，取得最大值？()g k 附：．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.01x α2.7063.841 6.635若随机变量Z 服从正态分布，则，()2,N μσ()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈，．(22)0.9545P Z μσμσ-≤≤+≈(33)0.9973P Z μσμσ-≤≤+≈ 2.25≈【答案】(1)认为“长潜伏期”与年龄无关．(2)答案见解析(3)k ＝250【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到结论；（2）求出，由正态分布的对称性求出，根据小()27.1,2.25Z N ()10.997313.850.001352P Z -≥≈=概率事件得到相应结论；（3）表达出，得到，从而得到的单调性，得到取得最大值时()g k ()()11001113g k g k k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()g k ()g k k 的值.【详解】（1）零假设为H 0：“长潜伏期”与年龄无关，依据表中数据，得：，22200(304011020) 3.175 3.8411406050150χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，因此认为H 0成立，0.05α=故认为“长潜伏期”与年龄无关；（2）由题意知潜伏期，由，()27.1,2.25Z N ()10.997313.850.001352P Z -≥≈=得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；（3）由于200个病例中有50个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，14于是.()1000100013C44k kk g k -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，()()10001000100011001110001100013C C 1100144113C 313C 44kkk kk k k k g k g k k -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且时，；100104k <<N k *∈()()11g k g k >-当且时，；100110004k <≤N k *∈()()11g k g k <-∴，．()()()12250g g g <<< ()()()2502511000g g g >>>故当k ＝250时，g (k )取得最大值．五、双空题22．某生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道得2分，答错减1分，已知该生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互之间没有影响，表示该生得分，则23X ____，__________()E X =()D X =【答案】 6 12【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再Y ()(),E Y D Y 由与的关系求得即可.X Y (),E X ()D X 【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，Y Y 26,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以，()()221464,63333E Y D Y =⨯==⨯⨯=又因为，()2636X Y Y Y =--=-所以，.()()363466E X E Y =-=⨯-=()()2439123D X D Y ==⨯=故答案为：6；12.。
河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理(原卷版)
1河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. 1B. 2D. 52. 若函数，则的值为（）A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是（）A. 、、都不小于B. 、、都小于C. 、、至多有一个小于D. 、、至多有两个小于4. 已知，若a ，b ，，且，，，则的值（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定.5. 若离散型随机变量X 的分布列如表所示，则a 的值为（）X 12PA.或 B.C.D. 6. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x /万元1020304050销售额y /万元62758189根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（）A. 68B. 68.3C. 68.5D. 707. 下列说法错误的是（）()1,2-z =()()2121262f x f x x '=-+-()2f '-2468a b c 6a b c ++=a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2()32f x x x =+R c ∈0a b +<0a c +<0b c +<()()() f a f b f c ++41a -23a a+132-132-120.6754.9y x =+2A. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小B. 用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好C. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量，则D. 对于独立性检验，随机变量的观测值k 值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大8. 在一组样本数据，，，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. 1B.C.D. 9. 2022年，为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行，郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A 表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B 表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则（）A.B.C.D.10. 已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D. 11. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（）种.A. B. C. D. 12. 已知函数，，若，则的最小值是（）A. B. 0C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 由直线和曲线所围图形的面积___________.14. 在某次高三联考中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有人.2R 2R 35ζ7(2)1E ζ+=2K 11(,)x y 22(,)x y L (,)n n x y 2n ≥1x 2x n x (),i i x y ()1,2,,i n = 32y x =-+1-1515-()|P B A =172718383239,0(),0xx x x x f x xe x -⎧--≤=⎨->⎩()y f x a =+1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭1,5e⎛⎫- ⎪⎝⎭15,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭64111560144026402160()e xf x x =()lng x x x =()()(0)f a g b t t ==>1ln tab -21e -1e-32e -y x =2y x =()95,100N 100003则本次考试数学成绩大于分的大约有___________人.（参考数据：，）15. 若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.16. 在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列，例，，，，设数列的前项和为.若，则___________.三､解答题：共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或验算步骤.17. 已知复数z 满足.（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.18.用数学归纳法证明：．19. 已知在的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.（1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项.20. 已知函数.（1）当时，求该函数在点处的切线方程；105()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈(3)(1)(1)(2)4ln(31)]4ln 4y x x x x x x =--++++-()1,02x ay =+=a n 0123L ()na b +{}n a 11a =211a =+312a =+L {}n a n n S 20243a m =+2022S =()13i i z +=+z ()2i z a +()()()()()*12213521n n n n n n n N ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈2nx ⎛⎝()()221ln af x x a x x=-+-1a =11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4（2）讨论函数的单调性.21.某工厂生产一种产品测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c ､d 为大于0的常数），求y 关于x 的回归方程；（2）已知产品的收益z （单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x 约为何值时（结果用整数表示），收益z 的预报值最大？附：（1）参考数据：，，，.（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.22. 已知函数，其中.（1）若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有两个极值点，且，当时，证明：.()f x ()mm x ()g y yx()g y ()mm x dy c x =⋅20.32z y x =-()61ln ln 75.3i i i x y =⋅=∑()61ln 24.6i i x ==∑()61ln 18.3i i y ==∑()621ln 101.4i i x ==∑(),i i v u (1,2,,)i n = u bv a =⋅+ ()()()1122111ˆnniii i i i nnii i v v uu v unvu b v v vnv====---==--∑∑∑∑ˆˆau bv =-e 2.7182≈21()e 312xf x ax ax =+++a ∈R [)1,-+∞()f x 12,x x 12x x <2131339x x +≤≤+1252ln36ln362x x ≤-≤+-。
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题一、单选题1．如图所示，散点图中需要去掉一组数据，使得剩下的四组数据的相关系数最大，则应去掉的数据所对应的点为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】D【分析】由相关系数的强弱关系求解即可【详解】由散点图可知，D 点偏离最远，所以去掉D 点后，剩下四组数据的相关系数最大． 故选：D2．已知2C 6n =，则n 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】()21C 6621n n n -=⇒=⨯，化简得：2120n n --=，解得：4n =或3n =-（舍去）.故选：B3．下列说法中错误的是（ ）A ．设()20,N ξσ~，且1(2)4P ξ<-=，则1(02)2P ξ<<= B ．经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x yC ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1D ．若变量x 和y 满足关系10.3y x =-，且变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关 【答案】A【分析】选项A 根据正态曲线的对称性求解；选项B 由经验回归方程可以判断；选项C 根据线性相关系数的定义判断；选项D 根据两个变量的相关关系进行判断. 【详解】对于A ，正态曲线关于0x =对称，则(2)(2)P P ξξ<-=>，则1(22)12(2)2P P ξξ-<<=-<-=，则1(02)4P ξ<<=，所以A 错误； 对于B ，经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x y ，B 正确； 对于C ，||r 越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，C 正确； 对于D ，10.3y x =-，则x 与y 负相关，所以x 与z 负相关，D 正确. 故选：A.4．下列运算正确的个数是（ ） ①ππsin cos 77'⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()155x x x -'=⋅；③()31log ln3x x '=；④()545x x '=. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解.【详解】①πsin 07'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以该运算错误；②()55ln 5x x '=，所以该运算错误；③()31log ln3x x '=，所以该运算正确；④()545x x '=，所以该运算正确. 所以正确的个数为2. 故选：B.5．在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是（ ）A ．15B ．6C ．6-D ．15-【答案】C【分析】写出通项公式，令x 的指数为4，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()6621661C C 1--+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭kk k k kk k T x x x ，令624k -=，解得1k =，因此，展开式中4x 的系数是()116C 16⋅-=-. 故选：C.6．某校从高一、高二、高三三个年级中各选派10名同学集中观看“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，其中三个年级选派同学中女生人数分别为5、6、7，观看后学校在选派的30名同学中随机选取一名同学汇报心得体会，则在选取一名女同学的条件下该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．730B ．13C ．1130D ．718【答案】D【分析】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三， 则()5673305P A ++==，()730P AB =，因此，()()()75730318P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.7．随机变量X 的分布列为若() 1.1E X =，则()D X =（ ）A ．0.49 B ．0.69 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得,n m 的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：131510n ++=，解得：12n =；()11301 1.15210E X m ∴=⨯+⨯+⨯=，2m ∴=；()()()()2221130 1.11 1.12 1.10.495210D X ∴=-⨯+-⨯+-⨯=.故选：A.8．在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数有（ ） A ．48B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据排列组合的特点依照题意列式即可求解【详解】有题意可知：前面两次检测取到的是一件合格品一件次品，第三次又是次品，所以第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数为：111242C C C 16=种，故选：C9．已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】画出()()、-f x f x 的图象， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要使()()f x f x =-恰有5个零点， ln y x =与y ax =-的图象必需有两个交点，求出ln y x =与y ax =-相切时a 的值可得答案.【详解】因为()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以(),0ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，()(),0ln ,0ax x f x x x -≥⎧-=⎨-<⎩，因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，所以()()、-f x f x 的图象恰有5个交点，画出()()、-f x f x 的图象，由图象可得， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要恰有5个零点，则y ax =与()ln y x =-，ln y x =与y ax =-的图象必有两个交点， 当ln y x =与y ax =-的图象相切时，设切点(),m n ， 此时切线的斜率为11'===ny x m m，可得1n =，1ln =m 得e m =，所以切点()e,1， 即1ea -=，交点1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题10．曲线e 1x y =+在点()0,2处的切线方程为___________. 【答案】2y x =+【分析】求导得e x y '=，进而得切线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】求导得e x y '=，故切线的斜率为0e 1=， 故切线方程为21(0)y x -=-， 即2y x =+． 故答案为：2y x =+ 11．设随机变量16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭ξ，则()2P ξ=等于___________. 【答案】1564【分析】根据二项分布的概率公式计算即可得解. 【详解】解：因为随机变量16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ， 所以()242611152C 12264P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1564. 12．已知10名同学中有2名女生，若从中选取2名同学作为学生代表，则恰好选取1名女生的概率为___________. 【答案】1645【分析】根据古典概型，结合组合数公式求解即可.【详解】从10名同学中任选2人，共有210C 45=种取法，其中恰好选取1名女生的取法有1182C C 16=种，故恰好选取1名女生的概率为1645P =. 故答案为：164513．根据历年气象统计资料显示，某地四月份吹东风的概率为9,30下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为___________. 【答案】89【分析】设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，得到()P A ，()P AB ，结合()(|)()P AB P B A P A =，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，则34(),()1015P A P AB ==， 所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3()910P AB P B A P A ===. 故答案为：8914．若5个人排成一排照相，要求甲､乙两人必须相邻，则有___________种不同的排法（用数字作答）. 【答案】48【分析】用捆绑法求解即可【详解】因为把甲、乙两人必须相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和其他3人进行全排列，再考虑甲乙之间的顺序，所以共有4242A A 48=种，故答案为：48 三、双空题15．已知函数()()e 1xf x x =-，则()f x 的极小值为___________；若函数()12g x mx =-，对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是___________.【答案】 1- 11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用导数可求得函数()y f x =的极小值；（2）由题意可得出()()min min f x g x >，分0m >、0m <、0m =三种情况讨论，根据题意可得出关于m 的不等式，进而可求得m 的取值范围.【详解】由()()e 1xf x x =-，得()()e 1e e x x x f x x x '=-+=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：所以，函数()y f x =的极小值为()()00e 011f =-=-；（2）[]12,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x >，即()()min min f x g x >，()()min min 1g x f x ∴<=-.①当0m >时，函数()y g x =单调递增，()()min 112g x g m =-=--，112m ∴--<-，即12m >； ②当0m <时，函数()y g x =单调递减，()()min 1222g x g m ==-，1212m -∴<-，即14m <-；③当0m =时，()12g x =-，不符合题意.综上：11,,42m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-；11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、解答题16．为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表：通过分析，发现商品的销售量y 与价格x 具有线性相关关系.(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程；（ˆb保留两位小数）(2)根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数）附：在经验回归方程ˆˆˆybt a =+中，552122111ˆˆˆ,,386,508.5ni ii i i ini i ii x y nxyb a y bx x y x xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 【答案】(1) 1.6524.5y x =-+；(2)预测销售量为12件时的售价是7.58元.【分析】（1）根据所给数据求出ˆb，ˆa ，即可得出回归直线方程； （2）根据回归方程，求出预测值即可. 【详解】(1)由题意知10x =，8y =，∴3865810= 1.65508.55100ˆb-⨯⨯≈--⨯，()8 1.651024ˆ.5a=--⨯=， ∴线性回归方程是 1.6524.5y x =-+；(2)令 1.6524.512y x =-+=， 可得7.58x ≈，∴预测销售量为12件时的售价是7.58元.17．已知函数()()22f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭(2)()max 9f x =，()min 3f x =-【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间； （2）分析函数()f x 在区间[]1,3-上的单调性，进而可求得函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值. 【详解】(1)解：()()23222f x x x x x =-=-，所以，()234f x x x '=-.由()2340f x x x '=->，解得0x <或43x >； 由()2320f x x x '=-<，解得403x <<， 所以()f x 的递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：由（1）可知，函数()f x 在[)1,0-上单调递增，在40,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()()00f x f ==极大值，()432327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值，又因为()13f -=-，()39f =，所以， 由（1）知0x =是()f x 的极大值点，43x =是()f x 的极小值点， 所以()f x 极大值()00f ==，()f x 极小值432327f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()13f -=-，()39f =，()max 9f x =，()min 3f x =-.(1)以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面22⨯列联表.(2)根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关. 下面的临界值表供参考：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++【答案】(1)答案见解析(2)有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关 【分析】（1）由已知计算填表即可；（2）计算2χ，再由独立性检验的基本思想求解即可 【详解】(1)由以上统计数据填写下面22⨯列联表，如下(2)根据公式计算()225010271039.98 6.63537133020χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关19．已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.【答案】分布列答案见解析，数学期望：97【分析】若选①，分别求出随机变量X 的取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，计算期望；若选②，则随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的概率公式列出分布列，计算期望. 【详解】若选①，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===；所以X 的分布列为期望()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 若选②，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3，且3~3,7X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()333640C 17343P X ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭， ()213331441C 177343P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()223331082C 177343X P ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3333273C 7343P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X ∴的分布列为：期望()37793E X =⨯=. 20．设函数()3x f x e ax =-+（a R ∈）.（1）讨论函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上的最小值是4，求a 的值.【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）1e -【分析】（1）求得函数的导数()x f x e a '=-，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，此时最小值不满足题意；当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点，分类讨论，即可求解.【详解】解：（1）()x f x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增；无极值当0a >时，()0f x '>，解得ln x a >，由()0f x '<，解得ln x a <.函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 的极小值为()ln ln 3f a a a a =-+，无极大值综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，∴函数()f x 在[]1,2上的最小值为()134f e a =-+=，即10a e =->，矛盾.当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点.①当ln 1a ≤即0a e <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，则函数()f x 的最小值为()134f e a =-+=，即1a e =-，符合条件.②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[]1,2上单调递减，则函数()f x 的最小值为()22234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾. ③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[]1,ln a 上单调递减，函数()f x 在[]ln ,2a 上单调递增，则函数()f x 的最小值为()ln ln ln 34a f a e a a =-+=，即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则()ln 0h a a '=-<，∴()h a 在()2,e e 上单调递减， 而()1h e =-，∴()h a 在()2,e e 上没有零点， 即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解.综上，实数a 的值为1e -.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用；本题属于难题.。
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
的极大值点为 ，选项B判断错误；
函数 在（a，b）上的极值点为 ， 共2个.选项D判断正确；故选：D.
3.某铁球在 时，半径为 ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为 时铁球的半径为 ，其中a为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10.已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（）．
A. B. 是等比数列
C. D.
12.已知函数 （ ， 且 ），则（）
A.当 时， 恒成立
B.若 有且仅有一个零点，则
C.当 时， 有两个零点
D.存 ，使得 有三个极值点
〖答案〗AC
〖解析〗对于A， 即 ，两边取对数， ，
令 ， ，
单调递增； 单调递减；
的最大值为 ， ，A正确；
对于B，若 有且仅有一个零点，则 ，两边取对数，有： ，
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年
高二下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ,所以直线m与圆C相离，不合题意.
河南名校联盟2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题(解析版)
A. 都小于 1 4
C. 都大于 1 4
【答案】B
B. 至少有一个不小于 1 4
D. 至少有一个不大于 1 4
【解析】
【分析】先求出 x y z 3 ，通过反证法证得 x, y, z 都小于 1 不成立，即可得出结果.
4
4
【详解】
x
y
z
a2
b
b2
c
c2
a
a
1 2
2
b
1 2
2
质：过圆
C 上一点 M (x0,
y0 ) 的圆的切线方程是 x0x
y0 y
r2 .类比上述结论，过椭圆 E : x2 12
y2 4
1 的点
P 3, 1 的切线方程为______.
【答案】 x y 4 0
【解析】
【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1上一点 P(x0,
【详解】∵ f x 2 a ln x ax ，
x
∴
f
x
2 x2
a x
a
，
∵曲线 y f x 在 x 1处的切线与直线 y 2 平行，
∴ f 1 0 2 a a 0 a 1．
故选：A﹒
5. 已知 a,b, c R ，且 x a2 b ， y b2 c ， z c2 a ，则 x, y, z 三个数（ ）
由不等式得性质，D 正确． 故选：D．
2. 已知 k R ，则“ 2 k 3 ”是“方程 x2 y2 1表示双曲线”的（ ） 6k k2
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知两个正态密度函数()()()2221,1,22πx i i i i x e x i μσϕσ--=∈=R 的图象如图所示，则（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ<C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>【答案】A【分析】正态曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠右，所以1ϕ图象的均值比2ϕ图象的均值小，又由σ越小图象越“瘦高”，得到正确的结果. 【详解】正态曲线关于直线x μ=对称，且在x μ=2πσ 由题图易得12μμ<，因为()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<. 故选：A.2．甲､乙､丙､丁四位同学各自对,x y 两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r ，如下表：甲 乙 丙 丁r0.20 0.95- 0.12- 0.85则试验结果中,x y 两变量有更强线性相关性的是（ ）A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】由相关系数的绝对值的大小判断．【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为0.95r =，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性． 故选：B ．3．6(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．60 C ．120 D ．240【答案】B【分析】根据二项展开式通项公式计算．【详解】()166C 2C 2rr rr r r T x x +==⨯， 所以2x 的系数是226C 260⨯=．故选：B ．4．从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（ ） A ．13B ．514C ．1013 D ．58【答案】D【分析】根据已知条件及古典概型公式，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设“任选2名同学，都是男同学”的事件为A ， 设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为B ，所以()2529C 10C 45P AB ==，()225429C C 16C 45P B +==， 所以在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率为()()()1054516845P AB P A B P B ===.故选：D.5．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y 与当天气温x （单位：C ）的对比表，已知表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ27ybx =+，则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为（ ） CA ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】先求得ˆb的值，再据此模型计算出35C 时卖出奶茶的杯数. 【详解】由题可知1(510152025)155x =++++=，1(2620161414)185y =++++=，由ˆ181527b=+，可得3ˆ5b =-， 则3ˆ352765y=-⨯+= 则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为6. 故选：C6．函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则m 的取值范围是( )A ．()2,1-B ．[)2,1-C ．()2,1--D ．(]1,1-【答案】B【分析】根据f (x )的导数求f (x )的单调性和极值，作出f (x )简图，数形结合即可求m 的范围.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，易知()f x 在(),1-∞-，()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 又()22f -=-，()12f -=，12f ，()2f x =，故f (x )图像如图：函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则由图可知21m -≤<.故选：B.7．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ） A ．120B ．112C ．110 D ．16【答案】A【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共55A 120=个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.24C ?16=因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有24C 6=个，所以所求的概率6112020P ==． 故选：A ．8．已知()()21ln f x x a x =-+在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为（ ） A ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．13ln 2,ln 224⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得导函数在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有两个零点，根据二次函数的性质可得3182a <<，由根与系数的关系可得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩以及21324x <<，求出()12f x x 的表达式，将1x 用2x 表示，表示为关于2x 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【详解】由题意得()()222220a x x af x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=，得2220x x a -+=，由题意知2220x x a -+=在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个根1x ，2x ，∴20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩，得3182a <<．由根与系数的关系得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，由求根公式得1,2x ==， ∵12x x <，∴2x =，∵3182a <<，∴21324x <<．则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭，令21t x =-，则1142t <<． 设()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<< ⎪⎝⎭，则()12ln g t t '=+，易知()g t '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()12ln 12ln 2ln 04eg t t '=+<-=<，∴当1142t <<时，函数()g t 为减函数， ∴()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-，且()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-，∴()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数a 的取值范围，以及1x 与2x 之间的关系；（2）将题意转化为关于2x 的函数，构造出21t x =-，利用导数判断单调性.二、多选题9．已知随机变量,X Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ，则下列选项正确的有（ ）A ．()6E x =B ．()6E Y =C ．() 2.4=D XD ．() 2.4D Y =【答案】ACD【分析】根据已知条件及二项分布的期望与方差公式，结合期望与方差的线性公式即可求解.【详解】因为()10,0.6XB ，所以()100.66E x =⨯=，故A 正确；所以()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=，故C 正确； 又因为8X Y +=，所以8Y X =-,所以()()()88862E Y E X E X =-=-=-=，故B 不正确； 所以()()()()2811 2.4 2.4D Y D X D X =-=-=⨯=，故D 正确. 故选：ACD.10．已知(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】BCD【分析】利用二次项系数的性质即可求解.【详解】因为(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数5C n 最大，则n 的值可以为9或10或11.当9n =时，(2)n a b +的展开式共有10项，其中第5项与第6项的二项式系数相等且最大，满足题意，当10n =时，(2)n a b +的展开式共有11项，只有第6项的二项式系数最大，满足题意， 当11n =时，(2)n a b +的展开式共有12项，其中第6项与第7项的二项式系数相等且最大，满足题意， 故选：BCD.11．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为( ) A ．1127510C C C B ．312213757575C C C C C C ++ C ．4441275C C C -- D ．()112112756464C C C C C C ++【答案】BC【分析】可以用两种方法求解：①分三类：3男1女，2男2女，1男3女；②用任选4人的方法数减去全部为男生或全部为女生的方法种数.据此几何判断求解.【详解】(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为312213757575C C C C C C ++．(2)任选4人的方法种数为412C ，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为4475C C +，所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为4441275C C C --． 故选：BC ．12．记()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '<<-对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（ ） A ．()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．()()1122f f < C ．()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D ．()()111242f f <+ 【答案】BC【分析】对于AB ，构造函数()()f x F x x=，求导，借助单调性比较大小即可；对于CD ，构造函数()2()=f x xh x x -，求导，借助单调性比较大小即可. 【详解】解：因为()()f x f x x <'，所以()()0f x x f x '->，则()()()()2=0f x f x x f x F x x x ''-⎡⎤'=>⎢⎥⎣⎦，所以()()f x F x x =在()0,x ∈+∞单调递增，所以()112F F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()112112f f ⎛⎫⎪⎝⎭>，所以()1122f f⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 错误；同理()()21F F >，即()()2121f f >，所以()()1122f f <，故B 正确；因为()()2xf x f x x '<-，所以()()20xf x f x x '-+<，构造函数()2()=f x xh x x -，则()()()232()==0f x x xf x f x xh x x x ''--+⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，所以()2()=f x x h x x -在()0,x ∈+∞单调递减，所以1(1)()2h h <，即()111f -112214f ⎛⎫-⎪⎝⎭<，化简得()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 正确；同理(2)(1)h h <，即()224f -()111f -<，化简得()()111242f f >+，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知2()1f x x =-，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【分析】求出导函数，直接代入.【详解】因为2()1f x x =-，所以()2f x x '=，所以12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭1.故答案为：114．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=． 故答案为：415．若方程：12348x x x x +++=，则方程的正整数解的个数为___________. 【答案】35【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可.【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有37765C 35321⨯⨯==⨯⨯种.故答案为：35.16．已知函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，则m 的取值范围为___________. 【答案】35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】()f x 与()g x 的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程()()0f x g x -=在区间[]1,3内有解，即方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解，所以构造函数()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈，利用导数的知识点求出()h x 的值域即可求出答案【详解】函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程27ln 03x x x m -+-=在区间[]1,3内有解， 所以方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解. 令()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈， 所以()()()23123176732333x x x x h x x x x x+--++'=-+==-令()0h x '=，解得13x =-或32x =所以当[]1,3x ∈时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：由上表可知()413h =，()43ln 323h =-<，又335ln 224h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当[]1,3x ∈时，()h x ∈35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，故m 的取值范围是35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦四、解答题17．（1）若282828x x C C -=，求x 的值；（2）求3334510C C C +++的值.【答案】（1）8或12；（2）329.【分析】（1）根据组合数的定义及组合数的性质1即可求解； （2）根据组合数的定义及组合数的性质2即可求解；【详解】（1）由282828x x C C -=，得282828N 28x x x x x +⎧⎪⎪⎨≤-≤∈-=⎪⎪⎩或282828N 2828x x x x x +≤-≤∈-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得8x =或12x =；实数x 的值为8或12.（2）由组合数的性质知，333333451045410444C C C C C C C C =++++++-+44344446643413355101140C C C C C C C 329C C C =-=++-=-+++=+.所以3334510C C C +++的值为329.18．袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X ，求X 的分布列和期望； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y ，求Y 的分布列和期望. 【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：23(2)分布列答案见解析，数学期望：23【分析】（1）根据题意X 满足二项分布，建立二项分布模型，得到X 的可能取值，利用二项分布计算概率，列出分布列即可；（2）根据题意可得Y 满足超几何分布，得出Y 的可能取值，分别计算其概率，列出分布列即可求得.【详解】(1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数X 的可能取值为0,1,2， 其中每次抽取到黑球的概率均为13，所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，可得：()02021140C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()121141C 1339P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()2221112C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列为：23E X； (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数Y 的可能取值为0,1,2，可得()()()21126633222999C C C C 5110,1,2C 12C 2C 12P Y P Y P Y =========，所以随机变量Y 的分别列为：()152********12E Y =⨯+⨯+⨯=. 19．已知函数()31443f x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，求实数a 的范围. 【答案】(1)增区间：（(),2),2,∞∞--+；减区间：（2,2)- (2)428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）对函数求导，解导函数大于零得增区间，解导函数小于零得减区间；（2）根据()f x 单调性、极值画出函数()31443f x x x =-+的图像，结合图像，根据直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，可求得实数a 的范围.【详解】(1)因为()31443f x x x =-+，所以()24=(2)(2)f x x x x '=-+-，由()0f x '>，解得2x >或2x <-，所以()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞ 由()0f x '<，解得22x -<<，所以()f x 的减区间为(2,2)-， 综上，()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞，减区间为(2,2)-； (2)由（1）知，当2x =-，函数取得极大值28(2)3f -=，当2x =，函数取得极小值4(2)3f =-，根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，结合图像知42833a -<<. 20．在二项式12nx x ⎛ ⎝的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1)356316T x -=，326638T x -= (2)7212T =(3)7212T =【解析】（1）选择①：01246n n n C C C ++=，即()11462n n n -++=， 即2900n n +-=，即()()1090n n +-=，解得9n =或10n =-（舍去）.选择②：024...256n n n C C C +++=，即12256n -=，解得9n =.展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，5452359163216T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，45354226916328T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)展开式的通项为()93189922199122kk k k k k k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令31802k -=，得6k =，所以展开式中常数项为第7项，常数项为63792122T C -=⨯=； (3)由展开式的通项为()93189922199122kk k k kk k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，假设第1k +项系数最大，则910199981992222k k k k k k k k C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，解得172033k ≤≤，且0,1,,9k =，所以6k =，即系数最大项为7212T =. 21．第24届冬季奥林匹克运动会（ The XXIVO lympic WinterGames ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪之外的所有雪上项目.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表.(1)先完成22⨯列联表，并依据0.005α=的独立性检验，分析该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别是否有关；(2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②用样本估计总体，若再从该校全体学生中随机抽取40人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 【答案】(1)列联表答案见解析，该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关 (2)①910；②25【分析】（1）根据公式可求计算2χ的值，根据临界值表可得相应结论.（2）①根据古典概型的概率公式结合组合计数方法可求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②根据二项分布的期望公式可求X 的数学期望.【详解】(1)零假设0H ：该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别无关（独立），根据所给数据得220.005400(1409011060)9.67.879250150200200x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯， 并依据0.005α=的独立性检验，零假设0H 不成立，即该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. (2)①采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，由题可得不了解冬季奥运会项目的学生中男女比例为2:3，故这5人中包含3名女生，2名男生，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，则“男､女生至少各抽到一名”的概率为3335C 1911C 1010-=-=； ②由题意得学生了解冬季奥运会项目的概率为25054008=，可知540,8XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()540258E X =⨯=.22．已知函数()x 2e 24f x mx mx =--，其中R m ∈．(1)若函数()f x 在[)1,+∞单调递增，求m 的取值范围； (2)已知函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），当211351x x +≤≤+时，求12x x +的取值范围．【答案】(1)e 8m ≤;(2)3ln 52ln 32,2]2[--.【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可； （2）根据所给极值点得出21211e1x x x x -+=+，换元后可得12(1)ln 2,1t tx x t ++=--构造函数，利用导数研究函数单调性，由单调性求范围即可. 【详解】(1)()2e 24x f x mx mx =--，()e 44x f x mx m '∴=--，函数()f x 在[)1,+∞单调递增，()e 440x f x mx m '∴=--≥在[)1,+∞上恒成立， 即e 41xm x ≤+在[)1,+∞上恒成立，令e ()1x h x x =+，则[)1,x ∞∈+时，2e ()0(1)x x h x x '=>+， 所以e ()1xh x x =+在[)1,x ∞∈+时，单调递增，所以min e ()(1)2h x h ==，所以e42m ≤，即e 8m ≤.(2)因为函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），所以1212e 440e 440x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得21211e 1x x x x -+=+，令2111x t x +=+，则[]3,5t ∈，所以111e ,tx x t t -+-=取对数可得111ln ,tx x t t -+-=12ln ln 1,111t t t x x t t ∴+=+=--，12(1)ln 2,1t tx x t ++=-- 令(1)ln ()21t tm t t +=--，则212ln ()(1)t t t m t t --'=-， 令1()2ln n t t t t =--，则22221(1)()10t n t t t t -'=-+=>， 所以()n t 在[)1,t ∈+∞上单调递增，因为(1)0n =，所以()0n t >在[]3,5t ∈恒成立，所以()0m t '>在[]3,5t ∈恒成立，所以(1)ln ()21t tm t t +=--在[]3,5t ∈上单调递增， 所以(3)()(5)m m t m ≤≤，即3ln 52ln 32()22m t -≤≤-， 即 123ln 52ln 32,2]2[x x ∈-+- 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出21211e 1x x x x -+=+，进而换元2111x t x +=+，求出12(1)ln 2,1t t x x t ++=--构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出12x x +的范围.。
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2021年高二数学下学期第十四次周练试题1．使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是( )
A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0
C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝0
2．a<b，b<0的一个必要条件是( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C.a
b
>1 D.
a
b
<－1
3．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x<1 B．x>1
C．x>3 D．x<4
4．已知平面α和两条不同直线m，n，则m∥n的一个必要条件是( ) A．m∥α，n∥α
B．m⊥α，n⊥α
C．m∥α，n⊂α
D．m，n与α成等角
5．a>b的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2B．|a|>|b|
C.1
a
<
1
b
D．a－b>1
6．设a ，b ，c ∈R ，在下列命题中，真命题是( )
A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件
B ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件
C ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件
D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件
7．在“x 2＋(y －2)2
＝0是x (y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是__________________，结论是________________________________．
8．如果命题“若p ，则q ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p 是q 的________条件．
9．条件A ：1－x <0，条件B ：x >a ，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．
10．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充分条件？
(1)若x 2＋ax ＋b ＝0有解，则Δ≥0；
(2)若f (x )＝2x 2＋3x ＋1，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，＋∞上是增函数； (3)若a 是有理数，则a 是无理数．
11．指出下列条件中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形；
(2)p：A∩B＝A；q：A B.
12．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件是否是必要条件？证明你的结论．
答案：
1． A
2． A
3． B
4． D
5． D
6． C
7．x2＋(y－2)2＝0 x(y－2)＝0
8．必要不充分
9．(－∞，1)
10．∵命题(1)与(2)为真命题，而(3)为假命题，
∴命题(1)与(2)中的p是q的充分条件．
11. (1)∵∠C＝90°⇒△ABC为直角三角形，
∴p⇒q.
∵△ABC是直角三角形，也可能∠B＝90°，
∴qD⇒/p.
∵p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(2)∵A∩B＝A⇒A⊆B，
∴pD⇒/q.
又A B⇒A∩B＝A，∴q⇒p.
∴p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
12．若a2－b2＝1，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1.∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件，
证明如下：
若a4－b4－2b2＝1，
则a4－b4－2b2－1＝0，即
a4－(b2＋1)2＝0，
∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.
∵a2＋b2＋1≠0，
∴a2－b2＝1.
∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件．O ^ K37558 92B6 銶
26758 6886 梆"40153 9CD9 鳙)39260 995C 饜33986 84C2 蓂=。