精选2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整题(含答案)
最新版精编2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题考核题完整版(含答案)
2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，(2008陕西理)2．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是( )D A ．若//l m ，//m n ，则//l n . B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.（2005上海春季13)3．等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得面AMN 与面MNCB 所处的二面角为300，则四棱锥A －MNCB 的体积为（ ） （A ）23（B ）23 （C ）3 （D ）3(2004安徽春季理)（5）4．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 ( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或83 3 解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况二、填空题5．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是_________． 6．已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： （1）,,m n m n n ααα⊂⊄如果、是异面直线，那么与相交.A Ba bl αβ（2）m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β.（3）如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面有且只有一个.（4）若,//,////.m n m n n n n αβαβαβ⋂=⊄⊄，且，则且其中正确的命题是 .7．用6根长度相同的火柴搭成正三角形，最多可搭___________个三角形。
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2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（2013年高考北京卷（文））2．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 （ ）A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π（2012课标文）3．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，(2008陕西理)A Ba bl αβ4．若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①,;αγβγαβ⊥⊥⇒⊥ ②,;αγβγαβ⊥⇒⊥∥ ③.l αβαβ⊥⇒⊥∥,l其中正确的命题有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个(2006天津文)5．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ） A. S 1<S 2 B. S 1>S 2 C. S 1=S 2 D. S 1，S 2的大小关系不能确定(2006江西理)C6．过空间任一点和两条异面直线都平行的平面有-----------------------------------------------（ ） (A) 1个 (B) 无数个 (C)至多一个 (D)不存 二、填空题7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是 ▲ . (填序号)8．线段AB 、CD 所在直线是异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN __________1()2AC BD +．（>；<；=）9．已知βα,表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的______________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空.）10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 的中点．若截面1BC D ∆是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．(2010年南京调研)11．如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，060DAB ∠=，E 为AB 的中点．将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为________．12．侧棱长为cm 5、高为cm 4的正四棱锥的底面积为 2cm . 13．若棱台的体积为7632,6,18,cm cm cm 高为一个地面的面积为则另一个底面的面积为 14．已知矩形相邻两边的长分别为2(0),a a a >和用此矩形卷成圆柱，则所得的圆柱的体积为15．在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）.16．给出下列四种说法：①棱柱的侧棱都相互平行且相等，②用一个平面截一个圆锥得到的两个几何体一定是圆锥和圆台，③面数最少的多面体一定是三棱锥，④五面体一定是三棱柱或三棱台，其中正确的说法是 ▲ ．（填序号）17．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系为____ 18．直线a b 、不在平面α内，a b 、在平面α内的射影是两条平行直线，则a b 、的位置关系是________________________ 三、解答题19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中．（1）若1BB BC =，11B C A B ⊥，证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ； （2）设D 是BC 的中点，E 是11A C 上的点，且1//A B 平面1B DE ，求11A EEC 的值．20．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ； （2）平面BEF ⊥平面PAB ．21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上． (1)若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； (2)若二面角D -AP -C的余弦值为3，求PF 的长度．E ABCPFPFEDCAB22．如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1,AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长. （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））23． 如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形A DE F 和平面A B CD成直二面角，H G ,是BE DF ,的中点．（Ⅰ）求证：//GH 平面CDE ； （Ⅱ）求证：CDE BD 平面⊥； （Ⅲ）求三棱锥CEF D -的体积．24．已知四棱柱111A B C D A B C D -各棱长均为,a ABCD 为正方形，1160,A AD A AB E ∠=∠=︒ 为1C C 中点.（1）求证：1A D ⊥平面1AD C ；（2）在棱11C B 上是否存在一点F ，使得1A F ∥平 面1D AE ？请证明你的结论.25．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90C ∠=︒，侧棱与底面所成的角为(090)αα︒<<︒，点1B 在底面上的射影D 落在BC 上． （1）求证：AC ⊥平面11BB C C ；（2）若点D 恰为BC 的中点,且11AB BC ⊥，求α的值．26．已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若,,m m αβαβ⊥⊥则∥；②若;αγβαγβ⊥⊥，，则∥③若,,,m n m n αβαβ⊂⊂∥则∥④若,m n 是异面直线，,,,m m n αβααβ⊂∥∥则∥其中所有真命题的序号是27．如图，,,M N K 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,,AB CD C D 的中点． （1）求证：AN //平面1A MK ； （2）求证：平面11A B C ⊥平面1A MK ．ABCDA 1B 1C 1D 1A1B1C1A BDC D 1A 1B 1C 1KNCBA M DNMPDCBA28．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点， （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥ （3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD29．如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上． (Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；(Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD .30．如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC DB =, DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点.(Ⅰ)求证：//11D B 面BD A 1；(5分) (Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分)BA(Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1DMC平面D D CC 11. (5分)。
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2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．若3sin (0)52x x π=--<<，则tan x =_____________.二、填空题3．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 ．4．把半径为3cm ,中心角为π32的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：__________．5．在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________（2013年高考上海卷（理））6．空间中可以确定一个平面的条件是 _．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．7．设，，a b g 为两两不重合的平面,l ,m ,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题： ①若,,//,//,m n m n ⊂⊂a a b b 则//a b ； ②//,,l ⊂a b a 若则//l b ； ③,,,//,l m n l m ===若ab bg ga 则 //m n ; ④若⊥⊥a gb g ，，则//a b ； 则其中所有正确命题的序号是 ▲ ．8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.9．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．10．如图，在边长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上一点，M 是棱D 1C 1上一点，则三棱锥M-DEC 的体积是 ▲11．给出下列命题：DABC1C1D 1A1BD C1A 1B 1C 1D .EBAM.（第6题图）（1）若直线a 在平面α外，则直线a 与平面α没有公共点；（2）两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； （3）设a 、b 、c 是同一平面内三条不同的直线，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ; （4）垂直于同一平面的两个平面平行；（5）若,a b 为异面直线，则过不在,a b 上的任一点，可作一个平面与,a b 都平行． 上面命题中，真命题．．．的序号是 ．12．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 . (2011年高考全国卷理科16)13．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,AB BC PA AB BC ⊥==，则PB 与平面ABC 所成的角为_______，PC 与平面PAB 所成的角的正切值等于____________ CBAP14．在长方体1111ABCD A B C D -中，若13,4AB BC AA ===，求1A B 和1B C 所成角的余弦值。
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2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若点E F G H 、、、顺次为空间四边形ABCD 四边AB BC CD DA 、、、的中点，且3,4EG FH ==，则22AC BD +等于---------------------------------------------------------------（ ）(A) 25 (B) 50 (C) 100 (D) 20 二、填空题2．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．3． 设m 、n 是异面直线，则(1)一定存在平面α，使α⊂m 且n ∥α；(2)一定存在平面α，使α⊂m 且α⊥n ；(3)一定存在平面γ，使m ，n 到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α与β，使α⊂m ，β⊂n ，且α∥β；上述4个命题中正确命题的序号为 .4．已知两条直线n m ,和两个平面βα,;给出下列四个命题①αα⊥⇒⊥n m n m ,//,②n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα,③βαβα⊥⇒⊥n m n m ,//,//,④αα////,//n m n m ⇒,其中正确命题的序号是______▲______。
5．两条异面直线在一个平面内的射影可能是____________________6．已知两条直线n m ,和两个平面βα,；给出下列四个命题 ①αα⊥⇒⊥n m n m ,//； ②n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα； ③βαβα⊥⇒⊥n m n m ,//,//；④αα////,//n m n m ⇒,其中正确命题的序号是_____________；7．已知m 、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：① 若//,m n n α⊂，则m ∥α； ② 若,,m n m n αα⊥⊥⊄，则//n α； ③ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥；④ 若m n 、是异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α. 其中正确的命题序号是8．将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________.9．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是10．已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为300，过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)． 解析：①的逆命题不正确，如平行四边形，②的逆命题显然是正确的，故逆命题是真命 题的是②.12．已知α，β是不重合的两个平面，则下列条件中，可推出α∥β的是_______(填序号) .①,l m 是α内的两条直线且∥β，m ∥β； ②α内有不共线的三点到β的距离相等； ③α，β都与直线成等角； ④,l m 是异面直线且∥α，m ∥α，∥β，m ∥β. 13．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11A B DC 和所成角的大小为 ▲ ． 14．已知n m ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若βαβ//,⊂m ，则α//m ； ②若βαβ//,//m ，则α//m ；③若n m m //,,αβα⊥⊥，则β//n ； ④若βαβα//,,⊥⊥n m ，则n m //。
精选最新2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整考试题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设有直线m 、n 和平面α、β。
下列四个命题中，正确的是 A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α(2008湖南理)（D ）2．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h = （ ）.2:22:23．的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为(2011年高考重庆卷理科9)（A ）4 （B ）2（C ）1 （D4．线a 、b 和平面α，下面推论错误的是 A.b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥ααb a B αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b // a aCααα⊆⇒⎭⎬⎫⊥⊥a //a b b a 或 D b //a b //a ⇒⎭⎬⎫⊆αα二、填空题5．若正三棱锥的底面边长为1，则此三棱锥的体积为 ．6．正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是异面直线1,AC A D 的公垂线，则1,EF BD 的关系为7． 已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 ▲ 2cm ． 8． 用长、宽分别是12与8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为 ． 9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥，点D 是AB 的中点．（1）求证：11CD A ABB ⊥平面； （2）求证：11//AC CDB 平面； （3）线段AB 上是否存在点M ，使得1A M ⊥平面1CDB ？10．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，则二面角B DE C --的平面角为 ．11．设b a ,是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若,,a b a α⊥⊥b α⊄，则//b α； ②若//,a ααβ⊥，则a β⊥； ③若,a βαβ⊥⊥，则//a α或a α⊂； ④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥．其中正确的命题是 ▲ （请把所有正确命题的序号都填上）．12．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为________． 解析：如右图所示，正棱锥S －ABCD 中高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，则 SO ⊥OE .在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.13．已知在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直 角梯形，且满足AD ⊥AB ，BC ∥AD ，AD ＝16，AB ＝8， BB 1＝8．E ，F 分别是线段A 1A ，BC 上的点． （1）若A 1E ＝5，BF ＝10，求证：BE ∥平面A 1FD ．（2）若BD ⊥A 1F ，求三棱锥A1－AB 1F 的体积．14．如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于___________.15．在长方体1111D C B A ABCD -中，经过其对角线1BD 的平面分别与棱1AA 、1CC 相交于F E ,两点，则四边形1EBFD 的形状为 ．16．一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为 ．17．设,αβ为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β；③若（第16题图）ABCDA 1B 1C 1D 1F E ABCD,,,,m n n m n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则，其中所有正确命题的序号是 ．18．一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图阴影 所示．第六个正方形在编号1到5的位置，则所有可能位 置的编号是 ．三、解答题19． （本小题16分）如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD , 90=∠=∠ADC BAD ,12AB AD CD a ===，PD =.(1)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (2)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点． 求证：（1）AE ∥平面PBC ； （2）PD ⊥平面ACE ．ABCEPDM21．（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）． （1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求q 的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．22．如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．(1) EF ∥平面ACD ；(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；(3)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ，求三棱锥ADC B -的体积．DCBA E P （第16题θD CBAO（第1711111233BCD B ACD A BCD BCD S V V s AD ∆--∆=⨯===⨯∙==考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、面面垂直的判定和性质定理；3、几何体的体积.23．如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 24．设,,αβγ表示不同的平面，,a b 表示不同的直线，给出下列四个命题：（1）若,,αβαγ⊥⊥则β∥γ；（2）若α∥β，且β与γ无公共点，则α与γ无公共点；（3）若,,αβγ两两相交，则有三条交线；（4）,,,a b αγβαβγ⊥⋂=⋂=则a b ⊥。
最新精选2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（2013年高考北京卷（文））2．如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6π。
过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、',B 若AB=12,则''A B =( A )A'B'A B βα（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9(2006全国2文)3．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A （B ）（C ）（D (2005全国2理)4．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍(2005湖北文)5．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°(2010全国1文) 6．线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是A βα//n ,//m ,n m ⊥ Bαβα⊆=⊥n ,m ,n mC αβ⊆⊥m n n m ,,//D βα⊥⊥n m n m ,,//7．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 的长分别为6和4，它们所成的角为60，则这四边形两组对边中点的距离等于----------------------------------------------------------------------（ ）以上都不 二、填空题8．已知A,B,C,D 四点，其中任意三点不在一条直线上，从中取出两点作直线，共能作出 ______条直线9．设,αβ是互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中真命题的序号为 ．10． 长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，高为4，则顶点1A 到截面11D AB 的距离为 ▲ .11．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 ______.（2013年高考天津卷（文））12．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使体积为最大，则其高应为____________. 13．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断： ①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： . （1999全国18）14．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终呈棱柱形状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③当E ∈AA 1时，AE + BF 是定值．其中正确说法是 ．15．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //； （2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥； （3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //； （4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 .16．已知长方体的长，宽，高为5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大为 ▲17．角α和角β的两边分别平行，则当72α=时，β=_______________18．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。
精选2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11（2013年高考江西卷（理））2．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积是V ，P .Q 分别是侧棱AA 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）A.V 61 B.V 41 C.V 31 D.V 21 (2005全国3理)3．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （ ）C （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n （2006福建）4．若一条直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是__________；①直线上上所有点都在平面外；②直线上有无穷多个点在平面外； ③直线上有有限个点在平面外；④平面内至少有一个点在直线。
5．过空间任一点和两条异面直线都平行的平面有-----------------------------------------------（ ） (A) 1个 (B) 无数个 (C)至多一个 (D)不存 二、填空题6．已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题的个数为 _▲_.7．有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60，又侧棱与底面所成的角都是45，则这个棱锥的体积是48．角α和角β的两边分别平行，则当72α=时，β=_______________9．在长方体1111ABCD A B C D -中，若13,4AB BC AA ===，求1A B 和1B C 所成角的余弦值。
精编新版2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整版考核题(含答案)
D 1 C 12019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是-------------------------------------------（ ）(A) 1或3个 (B) 1或4个 (C) 1个、3个或4个 (D) 1个、2个或4 二、填空题2．已知在正三棱锥P ABC -中，侧棱与底面边长相等，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，有下列四个结论：①//BC 平面PDF ；②DF ⊥平面PAE ；③平面PDF ⊥平面ABC ；④平面PAE ⊥平面ABC ，其中正确的结论有__________．3．在立体几何中，下列结论一定正确的是： ▲ （请填所有正确结论的序号） ①一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；②用一个平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台； ③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥； ④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台. 4．如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形， AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD =2AB ，E 为PC 中点．（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求证：BE //平面PAD ．5．已知直线,m n 与平面,αβ，给出下列四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ；②若//,m n αα⊥，则n m ⊥；③若n m m ⊥⊥,α，则α//n ；若,,//α⊥n n m 则α⊥m ，其中正确．．命题的个数．．是__________； 6．用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，正确的有 ． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .7．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均等于1，且1160A AB A AC ∠=∠=，则该三棱柱的体积是 ▲ ．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)A B CDEP8．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O为顶点的四面体的体积为39．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB MNP 平面的图形的序号是.10．边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，现将,AED BEC 沿,EC ED 折起，使,EA EB 重合，组成一个四面体，则此四面体的体积是____________三、解答题11．如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA == ABCA 1B 1C 1（第11题）1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积. （2013年高考陕西卷（文））12．如图,在四棱锥P ABCD-中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA PD⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中//BC AD,090BAD∠=,3AD BC=,O是AD上一点.(Ⅰ)若//CD PBO平面,试指出点O的位置；(Ⅱ)求证:PAB PCD⊥平面平面.13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．14．如图，P ,Q ,R 分别是三棱椎A —BCD 的棱AC ，BC ，BD 的中点，过三点P ，Q ，R 的平面交AD 于S ． 求证：四边形PQRS 是平行四边形．15．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =24B,E 、F 分别为PC 、CD 的中点.(Ⅰ）试证：CD ⊥平面BEF;(Ⅱ）设PA ＝k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于︒30,求k 的取值范围.21． 解法一：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB 且∠DAD 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD ⊥BF . 又PA ⊥底面ABCD,CD ⊥AD ，故由三垂线定理知CD ⊥PD .在△PDC 中，E 、F 分别PC 、CD 的中点，故EF ∥PD ,从而CD ⊥EF ,由此得CD ⊥面BEF . 第（41）图１ (Ⅱ）连结AC 交BF 于G .易知G 为AC 的中点.连接EG ,则在△PAC 中易知EC ∥PA .又因 PA ⊥底面ABCD ,故BC ⊥底面ABCD .在底面ABCD 中，过C 作GH ⊥BD ,垂足为H ,连接EH .由三垂线定理知EH ⊥BD .从而∠EHG 为二面角E -BD -C 的平面角. 设AB=a ,则在△PAC 中，有BG =21PA =21ka . 以下计算GH ，考察底面的平面图（如图）.连结GD .因S △CBD =21BD ·GH=21GB ·OF. 故GH =BDDF GB ∙.在△ABD中，因为AB ＝a ,AD =2A ,得BD =5a第（41）图２ 而GB =21FB =21AD -a .DF-AB ,从而得 GH =BD DF GB ∙= aaa 5∙＝.55a因此tan EHG=GH EG =.255521k a ka=由k ＞0知EHG ∠是锐角，故要使EHG ∠＞︒30，必须k 25＞tan ︒30=,33 解之得，k 的取值范围为k ＞.15152 解法二：(Ⅰ）如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a ,则易知点A,B,C,D,F 的坐标分别为 A (0,0,0),B (a ,0,0),C (2a ,2a ,0),D (0,2a ,0), F (a ,2a ,0).从而=(2a ,0,0), =(0,2a ,0),·=0,故⊥ .设PA=b,则P(0,0,b),而E 为PC 中点.故 E ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,b a a .从而=⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,0b a . DC ·BE =0,故DC ⊥BE .由此得CD ⊥面BEF .(Ⅱ）设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH ⊥BD 垂足为H,由三垂线定理知EH ⊥BD. 从而∠EHG 为二面角E-BD-C 的平面角. 由PA ＝k ·AB 得P(0,0,k a ),E ⎪⎭⎫⎝⎛2,,ka a a ,G(a ,a ,0). 设H(x,y,0)，则GH =(x-a ,y-a ,0), =(-a ,2a ,0), 由GH ·BD =0得=a (x-a)+2a (y-a )=0,即 x －2y =－a ①又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故a a x -＝ay2，即 2x+y=2a ②由①②解得x =53a ,y=54a ,从而GH ＝⎪⎭⎫⎝⎛--0,51,52a a ，｜GH ｜＝55a .tan EHG=a Ka552=k 25. 由k ＞0知，EHC 是锐角，由∠EHC ＞,30︒得tanEHG ＞tan ,30︒即k 25＞.33 故k 的取值范围为k ＞15152.16．如图，点P 为菱形ABCD 外一点，面PDC 是边长为2的正三角形，且与面ABCD 垂直，∠ADC=60,M 为PB 的中点，求证： （1）PA ⊥CD;(2)平面CDM ⊥平面PAB.MPDCBA17．斜四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 为正方形，平面11A D DA ⊥平面1111A B C D ，11AA D ∆为等边三角形。
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2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β（2013年高考浙江卷（文））2．若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（）A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）3．平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为（）A．6πB．43πC．46πD．63π（2012课标文）30角的直线有且只有：( D )4．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与,lα都成0（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条(2008四川理)5．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）（A）平行（B）相交（C）垂直（D）互为异面直线(2006年高考重庆理)6．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）A. 77cmB. 72cmC. 55cmD.102cm(2004北京春季理)（8）7．在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（ ）A ．43 B ．23C ．433D ．3(2005江苏)8．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h = （ ）.2:22:29．高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为(2011年高考重庆卷理科9)（A ）4 （B ）2（C ）1 （D10．把两半径为2的铁球熔化成一个球，则这个大球的半径应为 A 4 B 22 C 322 D 34二、填空题11． 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．12．一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm 和18cm ，侧棱长等于13cm ，则它的侧面积为______13．下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。
14．侧棱长为cm 5、高为cm 4的正四棱锥的底面积为 2cm .15．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号). （2013年高考安徽（文））①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S的面积为16． 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的体积为 ▲ ．17．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为___12π_______． 18．已知矩形相邻两边的长分别为2(0),a a a >和用此矩形卷成圆柱，则所得的圆柱的体积为19．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系为____ 20．右图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段,,,AB CD EF GH 在原正方体中相互异面的有_________对ABCDGFEH21．直观图的斜二测画法规则：（1）在已知图形中取水平平面，取________的轴O x O y、，再取Oz 轴，使xOz ∠=______,且yOz ∠=________.（2）画直观图时，把它们画成对应的轴''''''O x O y O z 、、，使'''x O y ∠=________或________,'''x O z ∠=________.'''x O y 所确定的平面表示水平平面。
（3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于_______轴、'y 轴，或_____轴的线段。
（4）已知图形中_______于x 轴和z 轴的线段，其长度在直观图中为____________;_________于y 轴的线段，长度为__________________ 三、解答题22．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）求证：//AP 平面MBD ；（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD.23．（本小题满分14分）在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．24．如图，四棱锥S ABCD -中，ABCD 为矩形,SD AD ⊥，且SD AB ⊥，AD a =（0a >），2AB AD =，SD =．E 为CD 上一点，且3CE DE =． （1）求证：AE ⊥平面SBD ； （2）求二面角A SB D --的余弦值．DBCE25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 【答案及解析】【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．26．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．PABCD 1A 1B 1C 1D （第22题27．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，AB=AC=1AA =2，D 为1AB 上的点，且BD ⊥平面111,,AB C BC B C 交于点E 。
（1）求证：AC ∥平面1BC D ; (2)求证：AC ⊥平面1;AB B (3)求三棱锥1B BDE -的体积。
28．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ．证明：(1) ∵M 、N 是AB 、BC 的中点，∴MN ∥AC ，MN ＝21AC ．∵P 、Q 是CD 、DA 的中点，∴PQ ∥CA ，PQ ＝21CA ．∴MN ∥QP ，MN ＝QP ，MNPQ 是平行四边形． ∴□MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．(2)由(1)，AC ∥MN ．记平面MNP (即平面MNPQ )为α．显然AC ⊄α． 否则，若AC ⊂α，由A ∈α，M ∈α，得B ∈α；由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α，则A 、B 、C 、D ∈α， 与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾． 又∵MN ⊂α，∴AC ∥α，又AC ⊄α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP ．BADC PNQM同理可证BD ∥平面MNP ．29．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点， 且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ， 使得MN ∥平面DAE .（第19题图）30．如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC DB =, DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点.(Ⅰ)求证：//11D B 面BD A 1；(5分) (Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分)(Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1DMC⊥平面D D CC 11. (5分)EDB FCA。