对策论管理运筹学李军

2020/4/9
3.对策行为的基本假设
对策行为总是假定每一个局中人都是“理智 的”决策者，不存在利用其他局中人的决策失 误来扩大自身利益的可能性或相反。
2020/4/9
4.对策行为的分类
静
态
对
对
策
策
策动 态 对
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结
联合对策
盟
对
策
合作对策
零和
二人 有
非零和
限
不 结
对 策
零和
盟
多人
对
策
6 5 7 5 5 0 1 -1 2 -1
Max 7 5 9 5
Min = 5
i = 1, 3 ，j = 2, 4，ai*j* = 5，四个局势均为矩 阵对策的解。
2020/4/9
3. 矩阵对策的混合策略
对矩阵对策G={S1，S2，A}来说，局中人甲 有把握的最小赢得是：
齐王：上、 中、 下 田忌：上、 中、 下
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2.对策行为的基本要素
1. 局中人（Player）：在一个对策行为中，有权 决定自己行动方案的参加者称为局中人。 2. 策略（Strategy）：一局对策中，可供局中人 选择的完整的行动方案称为策略。 3. 赢得函数（Score）：一局对策中，局中人使 用每一策略都会有所得失，这种得失是全体局 中人所采取的一组策略的函数，称为赢得函数。 4. 局势：一局对策中，各局中人选定的策略所 形成的策略组称为一个局势。
aij* ai*j* ai*j 定理1：设矩阵对策G={S1，S2，A}在策略意义下
有解的充分必要条件是存在着局势（ i* ，j* ）
使得对于一切i与j都有aij* ai*j* ai*j成立。
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2. 矩阵对策解的问题
例：设矩阵对策G={S1，S2，A}，赢得矩阵为：
Min
7 5 6 5 5 A= 2 -3 9 -4 -4 Max = 5
无
非零和
限
对 同有限对策
策
第二节：矩阵对策
1.矩阵对策的数学模型 2.矩阵对策解的问题 3.矩阵对策的混合策略 4.矩阵对策的基本定理 5.矩阵对策解的性质
2020/4/9
1.矩阵对策的数学模型
（1）矩阵对策的内涵：二人有限零和对策，即对策双方 的利益是激烈对抗的。
（2）矩阵对策的数学模型：
甲：有m个策略，表示为S1=（ 1, 2, 3,……, m) 乙：有n个策略，表示为S2=（ 1, 2, 3,……, n) 当甲选定策略i 、乙选定策略j 时，就形成了一个 局势（ i , j ）。可见这样的局势总共有m n个，对任 意局势（ i , j ）甲的赢得值为aij，即甲的赢得矩阵为
A= 4 3 5
3
8 -1 -10 -10
-3 0 6 -3
Max 3
局中人甲应选择2 ，此时不管局中人乙采取什么策略，甲的
赢得均不小于3。
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2. 矩阵对策解的问题
设矩阵对策G={S1，S2，A}，其中：
S1 ={1，2，3，4}， S2 = {1 ，2 ， 3}
Min
-4 2 -6 -6
A = {aij}mn ；若
Max min aij = Min max aij = ai*j*
i
j
j
i
则称ai*j*为对策G的值，局势（ i* ，j* ）为G的 解，i*和j*分别称为局中人的最优策略。
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2. 矩阵对策解的问题
由于ai*j*既是其所在行的最小值，又是其所在 列的最大值，于是有：
义；若抽到黑牌，甲的掷硬币已无意义，只与乙的猜红
或猜黑有关。所以，对于局势“掷硬币，猜红”甲的期 望赢得为：1/2（1/2p-1/2q）+1/2t = 1/4（p-q+2t ）
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1. 矩阵对策的示例2
抽到红牌1/2
掷硬币
让乙猜
抽到黑牌1/2 让乙猜
正面 1/2
反面 1/2
猜红
猜黑
猜红
第一节：引论
1. 内涵：对策论亦称博弈论（Game Theory），具有竞争或对抗性质的 行为称为对策行为。
2. 引例 3. 对策行为的基本要素 4. 对策行为的基本假设 5. 对策行为的分类
2020/4/9
1.引例：齐王赛马
齐王：上、 中、 下 田忌：上、 中、 下
2020/4/9
1.引例：齐王赛马
1 -1 3 1 1 1 A=
-1 1 1 3 1 1
2020/4/9
1 1 -1 1 3 1
1 1 1 -1 1 3
1. 矩阵对策的示例1
例1 ：甲的赢得矩阵
乙
甲
石头 剪子
布
石头
0
1
-1
剪子
-1
0
1
布
1
0
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1. 矩阵对策的示例2
例2 ：从一张红牌和一张黑牌中随机抽取一张，在对乙保密的情 况下拿给甲看。若甲看到的是红牌，他可以选择掷硬币或让乙猜； 若甲选择掷硬币，出现正面甲赢 p 元，出现反面甲输 q 元；若让 乙猜，当乙猜中是红牌时甲输 r 元，否则甲赢 s 元。若甲看到的 是黑牌，他只能让乙猜，当乙猜中是黑牌时甲输 u 元，否则甲赢 t 元。试确定甲、乙各自的策略并建立赢得矩阵。
A= 4 3 5
3
8 -1 -10 -10
-3 0 6 -3
Max 3
Max
8 36
Min 3
局中人甲应选择2 ，乙应采取2策略；结果甲赢得3，乙付
出3。
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2. 矩阵对策解的问题
定义1：设矩阵对策G={S1，S2，A}，其中：
S1 ={1，2，…，m}， S2 = {1 ，2 ， …， n}
Am×n={aij}。因为对策是零和的，所以乙的赢得矩阵为 -Am×n。
2020/4/9
1. 矩阵对策的数学模型
建立二人零和对策的模型就是要根据对实际问 题的叙述，确定甲、乙两个局中人的策略集合以 及相应的赢得矩阵。不难看出在“齐王赛马”的 例子中，齐王的赢得矩阵为：
3 1 1 1 1 -1
1 3 3 3 -1 1
猜黑
p
-q
-r
s
t
-u
乙 甲
掷硬币 让乙猜
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猜红
猜黑
1/4（p-q+2t） 1/4（p-q-2u） 1/2（-r+t） 1/2（s-u）
2. 矩阵对策解的问题
设矩阵对策G={S1，S2，A}，其中：
S1 ={1，2，3，4}， S2 = {1 ，2 ，3} ，
Min
-4 2 -6 -6
抽到红牌1/2
掷硬币
让乙猜
抽到黑牌1/2 让乙猜
正面
反面
1/2
1/2
p 2020/4/9 -q
猜红 -r
猜黑
猜红
s
t
猜黑
-u
1. 矩阵对策的示例2
抽到红牌1/2
掷硬币
让乙猜
抽到黑牌1/2 让乙猜
正面 1/2
反面 1/2
猜红
猜黑
猜红
猜黑
p
-q
-r
s
t
-u
若甲决定掷硬币这个策略，则乙的猜红或猜黑已无意