(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
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2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
t
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )
和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
• 由此得出结论：拉姆齐模型表明，索洛模型中 关于经济增长的驱动力的中心含义并不依赖于 储蓄率为常数的假定。即使储蓄率内生，劳动 的有效性仍然是增长的唯一可能源泉。
4 平衡增长路径
• 2、索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的 平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在后 者不可能出现动态无效率(k<k黄金)。
k t f k t c t n g k t 5
当 k 0时 ,c f k n g k. 根 据
稻 田 条 件 lim f ' k , lim f ' k 0,
k 0
k
f k 与 n g k必 有 两 个 交 点 .
故 我 们 可 将 c和 k的 关 系 描 述 如 右 图 . 消费等于实际产量线与
AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬
不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润
均归家庭。
1 模型的假设
• 3、家庭： • ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； • ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； • ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； • ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； • ⑤不存在折旧； • ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以
以 最 大 化 一 生 效 用. 我 们 用 目 标 函 数 1 和
预算约束 2来构建拉格朗日函数:
L B e t c t 1 d t +
t0
1
k
0
t eRtw
t0
t
en g tdt
eRtc
t0
t
e
4 平衡增长路径
• 2、索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的 平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在后 者不可能出现动态无效率(k<k黄金)。
k t f k t c t n g k t 5
当 k 0时 ,c f k n g k. 根 据
稻 田 条 件 lim f ' k , lim f ' k 0,
k 0
k
f k 与 n g k必 有 两 个 交 点 .
故 我 们 可 将 c和 k的 关 系 描 述 如 右 图 . 消费等于实际产量线与
AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬
不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润
均归家庭。
1 模型的假设
• 3、家庭： • ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； • ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； • ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； • ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； • ⑤不存在折旧； • ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以
以 最 大 化 一 生 效 用. 我 们 用 目 标 函 数 1 和
预算约束 2来构建拉格朗日函数:
L B e t c t 1 d t +
t0
1
k
0
t eRtw
t0
t
en g tdt
eRtc
t0
t
e
拉姆齐-卡斯-库
1、假定
厂商的生产函数为Y=F(K,AL)，满足于索洛模型相同
的假定。 家庭 家庭规模以n速增长 家庭效用函数为
L (t ) U e u (C (t )) dt 0 H C (t )为t时期每一家庭成员的消 费，u ()为
t
即期效用函数， (t )为经济的总人口， L H为家庭数，L (t ) / H为家庭成员数，
当k大于k 时，f (k )小于 g (边际报酬递减规律，因而c 为 )
负。当k小于k 时，f (k )大于 g，因而c 为正。
c
c0
c0
c0
k*
k
c的动态学
k的动态学
k的增长等于实际投资减去持平投资，不
考虑折旧，则持平投资为（n+g）k，实 际投资为产量减去消费，f(k)-c。因此，
上述结论的含义在于，在最优消费增长
模型中，无效率的过度储蓄不会出现， 这一点与索洛模型不同，原因在于典型 的无限存续家庭一旦储蓄过度，马上会 意识到这不是它的最优消费路径。寻求 最优消费路径的家庭储蓄总是不足以使 资本达到黄金分割率水平，这种缺乏耐 性的消费行为反映了有效贴现率ρ+θg 的影响，减少当前消费以实现最大化的 消费路径，即实现黄金分割率的消费水 平是不值得的。
c
c0
A
鞍点路径
E
k 0
B C F D K(0)
k* c的不同初始值下c和k的变动
k
假定k(0)小于k*，上页图中给出了c的初
始值c(0)处于不同位置时，c和k的轨迹。
如果c(0)高于 k 0曲线，如图形中的 点，那么 A c 是正的，而k 为负，因此经济持续向 上向左移动。 如果c(0)处于B点，此时k 最初为0，经济开始时 在(k , c)空间中向上直移，随后 出现 c 为正，为负，因而 k 经济又是向上向左移动 。如果经济开始时稍微 低于 k 0线，比如在C点，那么初始时的k 为正但较小 且 c 仍为正，因此经济开始 时向上、稍偏右的方向 移动，
高级宏观经济学精品课件 (7)
在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本 报酬率等于其边际产品： 劳动的真实工资等于其边际产品：
r (t ) f (k (t ))
W (t ) A(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t )) A(t ) w(t )
每单位有效劳动的真实工资：
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
27
28
k的动态
t f k t c t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k
19
2、家庭的预算约束
家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财 富与其终身劳动收入的现值之和。
消费支出的现值:
t 0
e
R t
R t L t A t L t C t dt e c t dt t 0 H H
初始禀赋：
K 0 A0 L 0 k 0 H H
nt
C t c t At
A(t ) A(0)e
gt
C t 1
1
A t c t 1
gt 1 1
1
A 0 e c t 1 A 0
1
e
1 gt
c t 1
c*
稳态
0 k
非稳定臂 k* kG
c与k的动态学：系统是鞍点路径稳定
k 32
c的初始值
33
• 当c高于F点时，c会上升，这样导致k的 变化率小于0，最终使k变为0并为负数， 但是当k=0时，产出也为0，c应该迅速变 为0，这与最有条件不相符。 • 当c低于F点时，k会上升最终超过黄金分 割律的资本存量，资本收益率会小于n+g， e e k (s ) lim 这样 趋于发散，这样就不存 在效用最大化的解 • 理性的消费者都会选择F点为初始点，然 后经济收于E
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型PPT精选文档
• 满足以上条件的所有的（ k(0) ， c(0) ）构 成了“鞍点路径”。从鞍点路径上的任意初 始点出发，（ k,c）将沿鞍点路径最终收敛 于E点。
28
4、福利 • 所考察的模型满足“完全竞争市场”的所
有假设，因此“福利经济学第一定理”必 然成立。
29
5、平衡增长路径
（1）平衡增长路径的特性 ➢ 与索洛模型相同；
limtk t 0: limeRtengtk t 0
t
t
( n1 g)
16
3、经济的动态学 （1）c的动态学 （2）k的动态学 （3）c的初始值与鞍点路径
17
• c的动态学
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k * 满 足 ： c & t 0 ， 即 f k * g
（2）平衡增长路径与黄金律资本存量 ➢ 拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量是
不可能的； ➢ 拉姆齐模型中，经济并不收敛于产生最大的可持
续c的平衡增长路径； ➢ 修正的黄金律资本存量。
30
6、贴现率下降的影响 （1）定性影响 （2）调整速度与鞍点路径的斜率
31
• 贴现率下降的定性影响
➢贴现率下降影响的相图分析
20
21
22
• 稳态条件：
c& t 0 k& t 0
或
fk*g c*f k* ngk*
23
• 由稳态条件可知，在拉姆齐模型中，稳态 资本存量小于黄金率资本存量。
24
• c的初始值与鞍点路径
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k & t f k t c t n g k t ( 2 . 2 3 )
28
4、福利 • 所考察的模型满足“完全竞争市场”的所
有假设，因此“福利经济学第一定理”必 然成立。
29
5、平衡增长路径
（1）平衡增长路径的特性 ➢ 与索洛模型相同；
limtk t 0: limeRtengtk t 0
t
t
( n1 g)
16
3、经济的动态学 （1）c的动态学 （2）k的动态学 （3）c的初始值与鞍点路径
17
• c的动态学
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k * 满 足 ： c & t 0 ， 即 f k * g
（2）平衡增长路径与黄金律资本存量 ➢ 拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量是
不可能的； ➢ 拉姆齐模型中，经济并不收敛于产生最大的可持
续c的平衡增长路径； ➢ 修正的黄金律资本存量。
30
6、贴现率下降的影响 （1）定性影响 （2）调整速度与鞍点路径的斜率
31
• 贴现率下降的定性影响
➢贴现率下降影响的相图分析
20
21
22
• 稳态条件：
c& t 0 k& t 0
或
fk*g c*f k* ngk*
23
• 由稳态条件可知，在拉姆齐模型中，稳态 资本存量小于黄金率资本存量。
24
• c的初始值与鞍点路径
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k & t f k t c t n g k t ( 2 . 2 3 )
拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型(高级宏观经济学)
欧拉方程
• 欧拉方程还说明了r与ρ之间的关系与区别 （思考：是怎样的关系和含义？
• 如果真实利率超过了家庭用于贴现未来消 费的速率，每个家庭的消费将上升。
五、稳态均衡 1、c的动态学（c的微分方程
• 实际上，欧拉方程已经说明了单个家庭的
消费进化情况。由于我们假定了所有家庭
都一样，欧拉方程也就不只是说明家庭消
⎤⎦
1−θ
1−θ
C (t )1−θ
=
⎡⎣
A
(
t
)
c
(
t
) 1−θ
⎤⎦
1−θ
1−θ
=
⎡⎣ A(0) egt
1−θ
⎤⎦
c (t )1−θ
1−θ
( ) ( ) = A 0 1−θ e(1−θ )gt c t 1−θ
1−θ
4．家庭面临的预算约束
• 家庭面临的预算约束为：
• 定义： k=K/AL.因此
一、问题的提出
• 通过对索洛模型的讨论可以看到，实物资本积累说明不了人均 产出增长的原因，也说明不了国家之间人均收入差异的原因。 然而，索洛把造成实际收入差异的其他潜在因素(比如储蓄率、 技术进步增长率、资本的外在性等)都作为外在因素，以常数看 待。为了研究经济增长的核心问题，必须超出索洛模型的范 围，或者说必须对索洛模型加以改进。
e −R(s)e(n+g )s上升
• 由于无限生命假设偏离现实，于1965年便 出现了戴蒙德的进一步修正——世代交替 增长模型，把无限生命假设改进为假定经 济中不断有新家庭加入。这样，经济就表 现为一个世代交替的经济，从而使理论模 型向现实更靠近一步。关于世代交替理 论，将在下一讲中介绍
二、模型假定
拉姆齐模型(第一部分)
储蓄的价值 从t期到s期 如何变化
t期的储蓄 （它可能为负）
51
52
非蓬齐博弈：将任意时刻s的财富 贴现到当前，应为非负。
limeR(s) K(s) 0
s
H
K kAL kA(0)L(0)e(ng)t
lim lim eR(s) K(s) 0
eR(s)e(ng)tk(s) 0
s
H
s
53
储蓄
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
作出储蓄—消费决策
当期收入
消费
每将 人全
提部
产品市场
（完全竞争）
购提 买供 产产 品品
供 资 要素市场
1 单
本 （完全竞争） 租
位给
劳厂 动商
付出工资，一个家庭获得：
Lt At f kt kt f kt
H
付资本报酬，一个家庭获得：
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
第八讲 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
但无法确定 s 的变动趋势，须从另一角度着手。由于：
( z − γz = f ′′(k )k
现在假定 s >
*
θ −1 ( z − θ −1) + f ′(k )γ z = f ′′(k )k ) + f ′(k ) z z θ θ
， 则对所有的 t 有 z <
1
θ
θ −1 ， 此时可能出现 γ z > 0 ， 也可能出现 γ z < 0 。 θ
3
吉林财经大学高级宏观经济学课件
对应的 c 则必须下跳为 0，这与一阶条件
f ′(k ) − ρ − θg c = 是矛盾的，因此这样的路径是 c θ
不可能的；如果低于 A 点，假设为 C 点，系统的动态将使得 k 不断增加，出现
r = f ′(k ) < n + g 。这与已知的横截条件（即非蓬齐对策条件）相矛盾。因此该系统呈现
出鞍点路径稳定性。 （2）修正的黄金律资本存量。在拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型中，资本高于黄金律水平 的平衡增长路径是不可能的。因为，根据索洛模型的分析结果有：
f ′(kGR ) = n + g + δ = n + g
这里用到了前面的折旧率为 0 的假设。而另一方面在稳态时有：
f ′(k * ) = ρ + θ g
*
z > 0 ，这也与稳态趋势是矛盾的。因此，如果 s > 但如果对某些 t 满足 γ z > 0 ，则有 γ
1
θ
，
(t ) = − z = − zγ z > 0 。对于 s < 必有 γ z < 0 ，则 s
*
1
θ
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2.2
1 定义R t
t
家庭的最大化问题
先看家庭的预算约束
0
r t d ,
Rt
含义 : 在0期投资的1单位产品在t期产生e 反之, t期1单位产品在0期的价值为:e 家庭的预算约束为 :
Rt Rt
单位的产品,
.
L t K 0 t Rt L t t 0 e C t H dt H t 0 e A t w t H dt 对上式用有效劳动进行正规化,并化简 :
e dt
nt
2.2
家庭的最大化问题
1
U A 0 B 其中 : B A 0
1
L 0 n 1 g t c t e dt H t 0 1 c t dt 1
1
t 0
e
t
2
1
L 0 , n 1 g 0 H
家庭的问题是, 在预算约束下选择c t 的路径 以最大化一生效用.
1
2.3
家庭行为
我们用目标函数 1 和
预算约束 2 来构建拉格朗日函数: L B e
t 0 t
c t dt + 1
t R t R t n g t n g t k 0 e w t e dt e c t e dt t 0 t 0 家庭选择每一时点上的c,对单个c t 的一阶条件是 :
第三章
拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 模型的假设； 家庭与厂商的行为； 经济动态学； 平衡增长路径； 贴现率下降的影响； 调整速度与鞍点路径的斜率。
1
模型的假设
• 1、哲学基础假设：代际利他主义。 • 2、厂商： • ①有大量的厂商，每一厂商的生产函数为Y=F(K, AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬 不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润 均归家庭。
t 0
e
Rt
c t e
n g t
dt k 0 e
t 0
t
Rt
w t e
n g t
dt
1
2.2
家庭的最大化问题
以极限形式重写预算约束 初始资本+储蓄现值 :
s L t K 0 Rt lim e w t c t A t dt 0 t 0 s H H s期家庭的资本持有量为 : s K s L t R s K 0 R s R t e e w t c t A t dt t 0 H H H R s K s 于是, 预算约束可简写为 : lim e 0 s H 含义 : 家庭资产持有量的现值极限不能为负.
n 1 g 0可保证一生效用不发散.
2
家庭与厂商的行为
2.1 厂商的行为
F K , AL 资本的边际产品为 : ,即 : f ' k . K t时的真实利率为 : r t f ' k (t ) . 有效劳动的边际产品为: F K , AL AL t时的每单位有效劳动的真实工资为 : w t f k (t ) k t f ' k (t ) . 一个工人在t时的劳动收入为:A t w t . ,即 : f k kf ' k .
1
• • • • • • •
模型的假设
3、家庭： ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； ⑤不存在折旧； ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以 最大化一生效用。
1
t
t 0
e e
t
C t 1 A 0
1
L t dt H e c t 1
1 gt
1
1
t
t 0
L 0 e dt H
nt 1
A 0
1
L 0 t e e H t 0
1 gt
c t 1
1
模型的假设
Cu '' C 定义为u 的相对风险回避系数, 与C无关. u 'C
反映了家庭在不同时期转换消费的愿望. 越小, 随
着消费上升, 边际效用下降越慢, u ' 0, u '' 0, u ''' 0 . 家庭越愿意消费随时间变动. 可以证明, 任意两时点之间消费的替代弹性为为1 . 即期效用函数的另三个特点 : 不管的值为何,消费的边际效用恒为正 u ' 0 ; 当 1时,该效用函数可简化为lnC;
模型的假设
⑦家庭效用函数的形式为 : L t U e u C t dt t 0 H C t 为t时每一家庭的消费, u 为即期效用函数, u C t L t H 即期效用函数的形式为:
1
为t时家庭即期总效用,为贴现率.
C t u C t , 0, n 1 g 0 1
即 : lim e
s
R s
e
n g s
k s 0
2.2
2
1
家庭的最大化问题
1 1
再看目标函数t A 0 e c t 1 1 1 nt 将上式和L t =L 0 e 代入家庭目标函数: U