2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
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拉姆齐-卡斯-库
1、假定
厂商的生产函数为Y=F(K,AL)，满足于索洛模型相同
的假定。 家庭 家庭规模以n速增长 家庭效用函数为
L (t ) U e u (C (t )) dt 0 H C (t )为t时期每一家庭成员的消 费，u ()为
t
即期效用函数， (t )为经济的总人口， L H为家庭数，L (t ) / H为家庭成员数，
当k大于k 时，f (k )小于 g (边际报酬递减规律，因而c 为 )
负。当k小于k 时，f (k )大于 g，因而c 为正。
c
c0
c0
c0
k*
k
c的动态学
k的动态学
k的增长等于实际投资减去持平投资，不
考虑折旧，则持平投资为（n+g）k，实 际投资为产量减去消费，f(k)-c。因此，
上述结论的含义在于，在最优消费增长
模型中，无效率的过度储蓄不会出现， 这一点与索洛模型不同，原因在于典型 的无限存续家庭一旦储蓄过度，马上会 意识到这不是它的最优消费路径。寻求 最优消费路径的家庭储蓄总是不足以使 资本达到黄金分割率水平，这种缺乏耐 性的消费行为反映了有效贴现率ρ+θg 的影响，减少当前消费以实现最大化的 消费路径，即实现黄金分割率的消费水 平是不值得的。
c
c0
A
鞍点路径
E
k 0
B C F D K(0)
k* c的不同初始值下c和k的变动
k
假定k(0)小于k*，上页图中给出了c的初
始值c(0)处于不同位置时，c和k的轨迹。
如果c(0)高于 k 0曲线，如图形中的 点，那么 A c 是正的，而k 为负，因此经济持续向 上向左移动。 如果c(0)处于B点，此时k 最初为0，经济开始时 在(k , c)空间中向上直移，随后 出现 c 为正，为负，因而 k 经济又是向上向左移动 。如果经济开始时稍微 低于 k 0线，比如在C点，那么初始时的k 为正但较小 且 c 仍为正，因此经济开始 时向上、稍偏右的方向 移动，
拉姆齐模型第一部分
5拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型几个重要关系：● 收入由生产函数决定：(),Y F K AL = ● 收入＝消费＋储蓄：YC S =+● 在均衡中，储蓄＝投资：SI =● 在没有折旧、人口增长和技术进步时，资本存量的增长＝投资：K I ∆=●()()0ntL t L e =，人口，资本，效用等都以指数形式增长。
Ramsey模型的基本思想：国民收入()Y F K AL=。
所以经济增长决定于资本存量K、人,口L和劳动有效性A的增长。
在Solow和Ramsey增长模型中，人口L和劳动有效性A的增长率外生给定。
因此，必须研究经济增长与资本存量增长之间的关系。
资本存量的变化源于投资，投资形成于储蓄，所以，储蓄率影响资本存量的变化并进而影响经济增长。
在Solow模型中，储蓄率为外生变量。
但是在Ramsey模型中为内生变量，我们必须分析决定储蓄率的机制。
国民产出（收入）分为消费和储蓄两部分。
所以，分析储蓄必须分析消费。
家庭的消费行为是在生命周期收入约束下使其效用最大。
最优储蓄规模＝投资经济增长分析步骤：1、确定家庭的效用函数2、确定家庭的预算约束 3、 确定最优消费数量 4、 确定最优投资 5、 6、5.1假定1、消费者的行为：在预算约束下（支出小于禀赋）最大化效用函数：()max ..u s t y≤x px离散时间下消费者的效用函数：消费者生存n 个时期，n →∞，在时期t ，消费t C ，获得效用()()u C t ，该效用贴现值为()()t e uC t ρ-。
ρ为贴现率，总效用为()()ntt eu C t ρ-=∑或()()tt eu C t ρ∞-=∑ 连续时间下消费者的效用函数：()()0te u C t dt ρ∞-⎰teρ-：()()u C t ：()C t ：个人在时点t消费的数量人口数量：()0L ()L t ：()()0ntLt e L =家庭数量：()()0H H t H ==（有人口出生但是没有新的婚姻） 家庭的人口数量：()0L H()L t H ()()0ntL t L e H H=家庭效用函数：()()()()()()()()()()()()()00000,ttn t t e u C t dt e u C t dt L e u C t dt H L e u C t dt n H ρρρρρρ∞-∞-∞--∞'-=='==-⎰⎰⎰⎰nt L t H L 0e H瞬时效用函数的形式：()()()1,01C t u C t θθθ-=>-)1(>---g n θρ相对风险厌恶系数为()()u C Cu C ''-' 这里，相对风险厌恶系数固定为θ，因此称为“相对风险厌恶系数固定”的效用函数。
3 最优增长理论
R (v) v R (t ) t 0
K (0) v R(t ) L(t ) K (v) t 0 e [w(t ) c(t )]A(t ) dt e R(v) H H H
代入极限形式的预算约束得：
v
lim e
R(v)
K (v) 0 H
表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 另外，在模型的基本假设下，我们有
四、稳态均衡
1．k的动态学（消费既定时资本的进化）
与索洛模型一样，k的稳态条件是实际投资
等于持平投资。实际投资为
f (k ) c
，持平投
资为（n+g）k（没有考虑折旧）。
因此 k f (k ) c (n g )k
（思考：该式表明f(k)的用途是什么？）
• 当
k 0 时， c
y
(n g )k
f (k )
o
c
kG
k
k 0
k 0
k 0
有效人均资本不 变曲线
c f (k ) (n g )k
O
kG
k 图 3-2
2．c的动态学（资本既定时消费的进化）
将 r(t ) f ' (k (t )) 代入欧拉方程，得：
• 对于这种效用函数，家庭成员的相对风险规避倾向为 常数 ，它与各个时刻 t的消费量 C (t ) 无关。
• （2）任何两个时点之间（跨期）的消费替代弹性 不变，为1/ 。
du' C u' ' C dC u' u'
。
• （3）边际效用 u' (C ) 为正；当 1 时，边际效用随 C增加而增加，当 1 时，边际效用随C增加而减 少。 （4） n (1 ) g 0是为保证效用不发散（受到约束）。
K (0) v R(t ) L(t ) K (v) t 0 e [w(t ) c(t )]A(t ) dt e R(v) H H H
代入极限形式的预算约束得：
v
lim e
R(v)
K (v) 0 H
表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 另外，在模型的基本假设下，我们有
四、稳态均衡
1．k的动态学（消费既定时资本的进化）
与索洛模型一样，k的稳态条件是实际投资
等于持平投资。实际投资为
f (k ) c
，持平投
资为（n+g）k（没有考虑折旧）。
因此 k f (k ) c (n g )k
（思考：该式表明f(k)的用途是什么？）
• 当
k 0 时， c
y
(n g )k
f (k )
o
c
kG
k
k 0
k 0
k 0
有效人均资本不 变曲线
c f (k ) (n g )k
O
kG
k 图 3-2
2．c的动态学（资本既定时消费的进化）
将 r(t ) f ' (k (t )) 代入欧拉方程，得：
• 对于这种效用函数，家庭成员的相对风险规避倾向为 常数 ，它与各个时刻 t的消费量 C (t ) 无关。
• （2）任何两个时点之间（跨期）的消费替代弹性 不变，为1/ 。
du' C u' ' C dC u' u'
。
• （3）边际效用 u' (C ) 为正；当 1 时，边际效用随 C增加而增加，当 1 时，边际效用随C增加而减 少。 （4） n (1 ) g 0是为保证效用不发散（受到约束）。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
2.2
1 定义R t
t
家庭的最大化问题
先看家庭的预算约束
0
r t d ,
Rt
含义 : 在0期投资的1单位产品在t期产生e 反之, t期1单位产品在0期的价值为:e 家庭的预算约束为 :
Rt Rt
单位的产品,
.
L t K 0 t Rt L t t 0 e C t H dt H t 0 e A t w t H dt 对上式用有效劳动进行正规化,并化简 :
e dt
nt
2.2
家庭的最大化问题
1
U A 0 B 其中 : B A 0
1
L 0 n 1 g t c t e dt H t 0 1 c t dt 1
1
t 0
e
t
2
1
L 0 , n 1 g 0 H
家庭的问题是, 在预算约束下选择c t 的路径 以最大化一生效用.
1
2.3
家庭行为
我们用目标函数 1 和
预算约束 2 来构建拉格朗日函数: L B e
t 0 t
c t dt + 1
t R t R t n g t n g t k 0 e w t e dt e c t e dt t 0 t 0 家庭选择每一时点上的c,对单个c t 的一阶条件是 :
第三章
拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 模型的假设； 家庭与厂商的行为； 经济动态学； 平衡增长路径； 贴现率下降的影响； 调整速度与鞍点路径的斜率。
2-2拉姆赛模型-1
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
见上页倒数第二式
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
因为：
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.2 家庭
1. 模型的基本假定 1.2 家庭
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.5 鞍点路径
3.5 鞍点路径
3.5 鞍点路径
3.5 鞍点路径
4. 平衡增长路径 4.1 平衡增长路径的特性
4.1 平衡增长路径的特性
4.1 平衡增长路径的特性
4.1 平衡增长路径的特性
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 在这一框架中，存在一个消费路径，并且 储蓄率决定于在市场经济中相互作用的最优化 的家庭和厂商。即在一个跨期预算约束下，具 有无限生命的居民户选择消费和储蓄以极大化 其动态效用。因而，储蓄被内生化，并且会虽 时间而变化。
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 拉姆塞模型将储蓄内生化有许多优点： （1）它向我们显示了一个非常重要的结论：索洛模型关 于增长核心问题的结论并不依赖于储蓄率不变的假定。 （2）通过把行为人的最优化问题引入模型，可以借助这 些模型去分析很多规范性问题。如果一个模型就总量 之间的关系作出直接假设，那么就不能用它来判断一 些结果是否比另一些结果更好，因为如果没有个人， 我们就不能说不同的结果对个人是更好还是更糟。 • 但是，遗憾的是，这一增长模型仍然无法消除长期人 均增长率对外生技术进步的依赖。
第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
t 0
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
e R (t )C (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
e R (t )C (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
中级宏观经济学第章拉姆齐模型
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化
B
et c
t 1 dt
0
1
k 0
eRtengt w t dt-
0
0
eRt
en
g
t
c
t
dt
（ 5-16）
在每个时点家庭选择c，这样就会形成无限多个c(t)。对每一单 个c(t)，其一阶条件是对于任意的t：
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化（续）
方程(5-20)是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程(Euler equation)，也就是连续时间的随机形式(continuous-stochastic version)。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要 条件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则(Keynes Ramsey rule or condition)。直觉上，欧拉方程描述了结定c(0)时，c必须 随时间变化而变化。如果c不按照式(5-20)演化，那么家庭就会在不 改变终生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。 这样，c(0)的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消 费的现值等于初始财富与未来收入的现值之和。当c(0)被选择得太 低，沿满足式(5-20)路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因 此，较高的路径是可能的。当c(0)确定得太高，消费支出大于其可 用尽的终生财富，这种路径反而成为不可行。
Betc t eRtengt （ 5-17）
家庭行为的特征实际上就是由式(5-17)和预算约束式(5-14)来刻 画的。
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化（续）
为了理解式(5-17)对消费行为的含义，可以对这一公式展开进 一步的分析。首先给公式两边取对数：
拉姆齐模型(第一部分)
储蓄的价值 从t期到s期 如何变化
t期的储蓄 （它可能为负）
51
52
非蓬齐博弈：将任意时刻s的财富 贴现到当前，应为非负。
limeR(s) K(s) 0
s
H
K kAL kA(0)L(0)e(ng)t
lim lim eR(s) K(s) 0
eR(s)e(ng)tk(s) 0
s
H
s
53
储蓄
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
作出储蓄—消费决策
当期收入
消费
每将 人全
提部
产品市场
（完全竞争）
购提 买供 产产 品品
供 资 要素市场
1 单
本 （完全竞争） 租
位给
劳厂 动商
付出工资，一个家庭获得：
Lt At f kt kt f kt
H
付资本报酬，一个家庭获得：
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
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高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
t
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )
和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 市场上存在着大量的家庭，这些家庭也彼此相同：相同 的家庭成员、相同的人口以及相同的资本持有量，并且 各个家庭成员也是完全相同的； 每个家庭的人口都以增长率n增长，家庭的每个成员在 任何时点上都向企业提供一个单位的劳动； 家庭把持有的任何资本都租给企业使用； 设经济在初始时刻的资本总额为 K(0)，时刻t的资本总 额为K(t)。用H表示经济中的家庭总数，则每个家庭的 初始持有资本量为K(0) /H。
r (t ) f (k (t ))
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
劳动的边际产出 F ( K , AL) L 不同于有效劳动的边际产出 F ( K , AL) ( AL) ， 二者之间的 注意： 关系为：F ( K , AL) L A F ( K , AL) ( AL) 。 因此， 每个工人(即每个家庭成员)在时刻 t 的劳动收入应该等于 A(t ) w(t ) 。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.2 关于厂商部门的假设 市场上有大量的企业存在，这些企业彼此相同，具有相 同的生产函数 Y=F(K,AL)，而且生产函数满足索洛模 型的假设(即与第一章提出的假设相同)。 企业在完全竞争的要素市场中雇用工人和租用资本； 知识要素A被企业视为既定，并假定以增长率g在增长， 这里g被当作外生变量看待； 家庭是企业的股东，企业的目标是实现利润最大化，并 把获得的利润全部分配给家庭。
（2）边际效用的消费弹性(相对风险回避系数）：θ ；
（3） n (1 ) g 0 保证了定义家庭终生效用的定积分 是收敛的。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.1 厂商的行为 企业按照边际产出向劳动和资本支付报酬，用r（t） 表示时刻t的实际利率，即向单位资本支付的报酬；用 w（t）表示时刻t的实际工资率，即向单位有效劳动支 付的报酬。可以表示成：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 定义家庭效用函数为：
U
t o
e
t
u[C (t )]
L(t ) dt H
其中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费； u( ▪)是瞬时效用函数，它给出每一家庭成员在给定时点的效用； L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家庭的人口； u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总即期效用； ρ是贴现率，ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来的消费评价 越低。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 即期效用函数的形式为：
C (t )1 其中 0 ， n (1 ) g 0 u[C (t )] 1 此即期效用函数有以下几个特点：
（1）边际效用为正（计算即期效用函数的边际效用）；
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
R(t )
r( ) d
0
t
这意味着时刻0的1单位资本，在到达时刻t时变成为 e R(t ) 个单位的资本。等价地说，未来t时刻的一元钱的价值(即 R (t ) 现值)是 e 。所以R(t)就是未来价值向当前的贴现率。
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
2.0 拉姆齐问题
本章模型由拉姆齐（Ramsey，1928）首先提 出，并由卡斯（Cass，1965）和库普曼 （Koopmans，1965）发展的。 拉姆齐模型的中心问题是跨时资源分配。 拉姆齐模型中储蓄率是内生的，解决了索洛模 型中储蓄率的“动态无效”问题。 拉姆齐模型提供了一个自然的参照系。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 这样家庭的预算约束可以写作：
0Leabharlann e R (t )L(t ) K (0) C(t ) dt H H
0
e R(t ) A(t )w(t )
L(t ) dt H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为