世代交叠模型
世代交叠模型
彼得·戴蒙德(Peter Diamond，1940-):世代交叠模型的提出者，美国经济学家彼得·戴蒙德彼得•戴蒙德生于1940年，1960年毕业于耶鲁大学，获数学学士学位；1963年，年仅23岁就获得了麻省理工学院经济学博士学位，之后在加州大学伯克利分校开始教学生涯。
自1966年起至今，戴蒙德一直在麻省理工学院任教。
2002至2003年，戴蒙德被推选为美国经济协会主席。
彼得·戴蒙德(Peter A .Diamond)是一位相当活跃、举足轻重的潜在诺贝尔奖得主。
他在四十多年的学术生涯中，引领了宏观经济学研究潮流，不断开辟新的研究领域，为其他经济学家建立了研究标准和方向。
编辑本段学术研究与贡献世代交叠模型以世代交叠模型奠定学界标杆地位1965年，年仅25岁的戴蒙德就在《美国经济评论》上发表了他的第一篇经典论文“新古典增长模型中的国家债务”。
文中，他在拉姆齐研究的基础上，建立了著名的世代交叠模型(Overlapping-generations model，OLG)。
正是这个模型所采用的世代交叠研究方法，一举奠定了他在宏观经济学、公共财政问题研究中的标杆地位。
彼得·戴蒙德依据拉姆齐模型，经济中的个体都是彼此毫无差别的标准个体，他们具有无限的寿命，拥有完全相同的理性行为，在永恒的无限生命期界中，依照相同的经济决策方式追求跨期效用最大化，不考虑年龄对人们经济行为的影响，即所有人的经济决策都被视为无差别。
作为对照，在世代交叠模型中，每个社会成员都仅具有有限的生命，随着年老一代的逝去，新的人口在不断进入经济生活，在相同的时点上，不同代际的人共同生活，不仅同一代人存在经济联系，而且不同代际的人之间还存在着广泛的经济交往。
他们的消费、储蓄、投资等所有经济选择，由于身处不同代际(即处于不同的年龄段)，必然表现出不同的行为方式，即不同代际的人之间的交往规律不尽相同，因此，整个经济就构成了一个复杂的有机体。
OLG模型
kt +1
kt
61
62
13
二、家庭行为
14
15
跨期消费 的关系
16
17
该式表明：利率决定了第一时期的单个 该式表明： 消费者的收入份额。 消费者的收入份额。
18
储蓄率=储蓄 收入 储蓄率 储蓄/收入 储蓄
19
对于储蓄率与利率r之间的关系： 对于储蓄率与利率 之间的关系： 之间的关系
s(rt +1 )与r之间的关系，关键取决于 （ + rt +1） 1
' '
最后，存在一些初始的资本存量K 0 , 他们由所有 老年个人均等地持有。
11
3.关于厂商 在0期内，由老人拥有的资本与由年轻人供给 的劳动被结合起来生产产品。老年人消费其资 本收入与现存财富，然后他们死亡并在模型中 消失。年轻人则把他们的劳动收入wt At 分配在 消费与储蓄上。他们将储蓄代入下个时期，在 t + 1时期内，资本存量K t +1等于t时期年轻人的数 量Lt 乘以这些人的储蓄wt At C1t。这种资本与下 一代年轻人供给的劳动相结合，并且这个过程将 持续。
每个人在年轻时供给1单位劳动， 每个人在年轻时供给 单位劳动，并将所 单位劳动 得劳动收入用于第1期消费和储蓄 期消费和储蓄； 得劳动收入用于第 期消费和储蓄；在第 二期， 二期，个人仅消费上期储蓄和从储蓄中得 到的利息。 到的利息。
6
一、假设前提
2.个人的优化行动： 个人的优化行动： 个人的优化行动
10
3.关于厂商 和前边RCK模型相同。存在许多厂商，每个厂商 具有生产函数Yt = F ( K t , At Lt )，具有规模报酬不变 并满足稻田条件，并且A在此以外生速度g增长， 所以At = 1 + g）At 1 ]。市场是竞争性的，劳动与 （ 资本可获得其边际产出，厂商获得零利润。不 存在折旧。真是利率与每单位有效劳动工资依然 分别由rt = f (kt )与wt = f (kt ) kt f (kt )确定的。
无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
推导二
进一步推导出资本积累的动态过程，以及资本 的边际生产率如何随时间变化。
推导三
分析不同生产率个体之间的财富积累和转移机制。
模型验证
验证一
将模型预测结果与实际数据对比，检验模型的适用性 和准确性。
验证二
通过模拟不同政策条件下的经济运行，评估模型的预 测能力和政策效应。
验证三
与其他经济模型进行比较，分析模型的优缺点和适用 范围。
在无限期界内，经济系统的状态变量和参数可以随时间变化，但这种变化 不会导致经济系统的终结。
无限期界模型通常用于研究长期经济增长和发展问题，以及与时间变化相 关的经济现象。
世代交叠定义
世代交叠是指不同年龄段的人群在时间 上重叠，即不同世代的人同时存在于经 济系统中。
在世代交叠模型中，不同世代的人具有不同 的偏好、生产能力和消费习惯，这些差异会 影响经济系统的运行和动态变化。
无限期界与世代交叠模型（Romer版本）是经济 增长理论中的重要模型之一，它揭示了技术进步 和创新对经济增长的长期影响。
该模型还指出，技术进步和创新具有外部性，即 一个企业的技术进步和创新不仅会提高自身的生 产效率，还会对其他企业产生正的外部性，从而 促进整个经济的增长。
该模型强调了技术进步和创新在经济增长中的核 心作用，认为技术进步和创新是推动经济增长的 持续动力，而这种动力来自于知识的积累和溢出 效应。
未来研究方向
拓展模型应用范围
进一步探索该模型在不同领域的应用， 如环境经济学、发展经济学等。
放松假设条件
结合其他理论
尝试放宽模型假设，使其更接近现实 世界的复杂性，提高模型的解释力和
预测能力。
将该模型与其他经济学理论相结合， 如信息经济学、行为经济学等，以提
交叠世代模型名词解释
交叠世代模型名词解释
交叠世代模型是一种用于衡量社会，经济，文化及社会关系的变化的模式。
它可以使研究者更好地理解不同年龄组之间的关系和影响。
该模型由三个主要部分组成：分层发展（分裂，合并，混合），
年龄结构，以及社会变化（改变交互模式）。
分层发展：该模型基于社会发展曲线，指的是社会关系的发展和改变，其中可以包括分裂、合并和混合等等，因此它可以从不同的角度去观察社会变化，从而更好地理解人口的构成和分布。
年龄结构：这一部分描述了社会的年龄构成，特别是在社会结构的不断变化中，世代之间的关系和影响。
换句话说，它分析了不同年龄段的人口构成，以及他们彼此之间的关系，例如每个世代是如何相互影响的。
社会变化：这一部分介绍了社会变化所带来的影响，特别是交互模式的改变。
社会变化可以是突发的，如社会运动，新技术的发展等等，也可以是长期的，如政治，经济，文化的变化等。
这一部分的目的是为了更好地理解社会变化对世代间各种关系的影响。
第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
e R (t )C (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
世代交叠模型的主要结论和优缺点
世代交叠模型的主要结论和优缺点引言世代交迭模型是国内外学者在研究社会不同世代之间关系时提出的一种分析框架。
这一模型试图通过对不同世代之间的交互、互动关系进行整体的认识和理解。
在接下来的文章中，我将深入探讨世代交迭模型的主要结论和优缺点，以便能更深入地理解这一理论框架。
一、世代交迭模型的主要结论在对世代交迭模型进行全面评估后，我们可以得出以下主要结论：1. 交互影响：世代之间不是孤立存在的，而是相互交织、相互影响的。
老一代对年轻一代的行为、态度有直接影响，年轻一代则影响着老一代的生活方式、消费观念等。
2. 传统传承：世代交迭模型也强调了传统文化、价值观在不同世代之间的传承。
老一代的传统观念和理念会影响年轻一代的认知和行为，而年轻一代也在向老一代传递新的观念和理念。
3. 社会变迁：通过世代交迭模型，我们能够更清晰地观察和理解社会的变迁。
不同世代在不同的社会背景下成长，他们的生活方式、工作方式等也会受到相应的影响，世代之间的差异和变迁也呈现出来。
二、世代交迭模型的优缺点在深入探讨世代交迭模型的优缺点后，我们可以得出以下结论：优点：1. 全面性：世代交迭模型能够全面而深入地观察不同世代之间的关系，包括传承、交互等方面。
这有助于我们更好地理解社会变迁的规律。
2. 跨学科性：世代交迭模型涉及到社会学、心理学、人类学等多个学科领域，能够提供一个多维度、多角度的分析框架。
3. 实践意义：世代交迭模型不仅停留在理论层面，更有着强烈的实践意义。
它可以指导我们更好地处理社会中不同世代之间的关系，有助于社会和谐和稳定的发展。
缺点：1. 历史局限：世代交迭模型在某种程度上受到特定历史条件的限制，无法对每个社会、每个群体都适用。
在实际运用中需要结合实际情况进行灵活处理。
2. 个体差异：世代交迭模型存在着忽略个体差异的缺点。
它更多地强调了整体性和整体变迁，而对于不同个体之间的差异性没有给予足够的关注。
3. 研究方法：世代交迭模型目前的研究方法相对较为单一，更多地是从定性研究的角度出发，定量研究的方法还需要进一步完善和拓展。
个人生命分为三期的世代交叠模型研究
个人生命分为三期的世代交叠模型研究世代交叠模型是研究许多经济问题的优良工具，戴蒙德曾经提出了个人生命分为两时期的世代交叠模型。
在此基础上建立了将个人生命分为青少年、中年期、老年期三个时期的世代交叠模型。
标签：世代交叠模型；消费决策1 假论模型的变量按照t=0、1、2、3…..被定义，进一步假设个人生命分为三个时期：青少年时期、中年时期和老年时期。
青少年时期是学习知识的时期，中年时期是工作获得收入的时期，老年时期是退休休息的时期。
L t代表出生于t时期的人口，并且假设人口数目保持不变，每个人在青少年时期通过向银行申请助学贷款完成学业，并且在中年时期工作偿还银行贷款，并且储蓄以供老年退休后使用，假定他计划死后不留遗产，也不欠债。
假设C1t、C2(t+1)、C3(t+2)表示时期t出生的年轻人计划的生命三时期的消费，因此在t时期出生的一个个人的效用依存于C1t、C2(t+1)、C3(t+2)。
假设不变相对风险厌恶效用函数为：其中U(c)为即时效用函数，并且假设U(c)=C1-θ1-θ，即U’（C）=C-θ(2)ρ表示时间偏好率。
如果ρ＞0，则个人给三个时期的权数依次递减，如果ρ＜0，情况则逆转，假设ρ＞－1，则确保第二第三时期的权数为正。
因此，在0时期内，有老年人拥有的资本和由中年人供给的劳动被结合起来生产产出，老年人消费其现存财富，然后他们死亡并在模型中消失，中年人则把其劳动收入分配在消费和储蓄上，他们把其储蓄带入下一个时期，并且这种资本与下一期的中年人提供的劳动相合，并且这个过程将持续。
2 模型2.1 处于生命1期的人的消费决策假设K2(t+1)、K3(t+2)表示他第二、三期的期初资产，第一期的期初资产为0，Z e(t+1)表示他预期中年期的税后工资率，R(t)表示时期t的资产收益率,R e(t+1)R e(t+2)表示他预期未来两时期的资产收益率。
则他的消费计划由以下规划确定：MaxU显然处于生命3期的人的消费受利率的影响，其利率越高，其消费会越多。
OLG模型
基本的世代交叠模型：
个体存活两期，t 期出生的人的数量为t L ，且有1(1)t t L n L -=+。
瞬时（单期）
效用函数为对数型且没有贴现，即个体效用函数为：
121ln()ln()t t t U c c +=+
经济的生产方面的假设为：每个人在出生时赋予A 单位的单一产品，该产品可被用于消费或贮存。
被贮存的每单位物品可在随后时期获得x 单位产品。
假设在初始时期即0时期，除了0L 个各自拥有A 单位产品的年轻人外，还有011L n
+个老年人只在0期生活。
这些老人每人被赋予数量为Z 的产品，他们的效用就是最初期的消费20c 。
（1）描述该经济的分散均衡。
（2）考虑如下情形：假设当事人的资源禀赋中用于贮存的比例为t f ，且它随时间不变，则在这样的路径上，作为f 的函数的人均总消费（总消费等于所有年轻人的消费加上所有老年人的消费）是什么？如果1x n <+，最大化人均（或劳均）消费的f 值是多少？此时分散经济是否是帕累托有效的？如果不是，计划者该如何改进才能提高福利？。
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彼得·戴蒙德(Peter Diamond，1940-):世代交叠模型的提出者，美国经济学家彼得·戴蒙德彼得•戴蒙德生于1940年，1960年毕业于耶鲁大学，获数学学士学位；1963年，年仅23岁就获得了麻省理工学院经济学博士学位，之后在加州大学伯克利分校开始教学生涯。
自1966年起至今，戴蒙德一直在麻省理工学院任教。
2002至2003年，戴蒙德被推选为美国经济协会主席。
彼得·戴蒙德(Peter A .Diamond)是一位相当活跃、举足轻重的潜在诺贝尔奖得主。
他在四十多年的学术生涯中，引领了宏观经济学研究潮流，不断开辟新的研究领域，为其他经济学家建立了研究标准和方向。
编辑本段学术研究与贡献世代交叠模型以世代交叠模型奠定学界标杆地位1965年，年仅25岁的戴蒙德就在《美国经济评论》上发表了他的第一篇经典论文“新古典增长模型中的国家债务”。
文中，他在拉姆齐研究的基础上，建立了著名的世代交叠模型(Overlapping-generations model，OLG)。
正是这个模型所采用的世代交叠研究方法，一举奠定了他在宏观经济学、公共财政问题研究中的标杆地位。
彼得·戴蒙德依据拉姆齐模型，经济中的个体都是彼此毫无差别的标准个体，他们具有无限的寿命，拥有完全相同的理性行为，在永恒的无限生命期界中，依照相同的经济决策方式追求跨期效用最大化，不考虑年龄对人们经济行为的影响，即所有人的经济决策都被视为无差别。
作为对照，在世代交叠模型中，每个社会成员都仅具有有限的生命，随着年老一代的逝去，新的人口在不断进入经济生活，在相同的时点上，不同代际的人共同生活，不仅同一代人存在经济联系，而且不同代际的人之间还存在着广泛的经济交往。
他们的消费、储蓄、投资等所有经济选择，由于身处不同代际(即处于不同的年龄段)，必然表现出不同的行为方式，即不同代际的人之间的交往规律不尽相同，因此，整个经济就构成了一个复杂的有机体。
由此可见，世代交叠模型考虑到了经济个体的差异性，将其划分成不同的群体纳人分析框架，其分析更加贴近现实生活，更容易解释和研究不同年龄段人群的经济行为差异对宏观经济运行产生的影响，真正实现了宏观经济层面与微观个体行为的融合。
模型可以很容易地被扩展应用于通货膨胀、收入分配、养老保险、公共财政、消费决策、帕累托效率等研究领域。
发表论文在“国家债务”一文发表之后，戴蒙德继续在公共财政领域发表了一系列论文。
1971年，戴蒙德与米尔利斯(1996年度诺奖得主)合作发表长文《最优税制与公共生产:(I)生产效率、(II)税收规则》，全面探讨了最优税收问题。
尽管对于最优税制问题的探讨始于拉姆齐1927年的经典论文，但是直到1971年戴蒙德、米尔利斯这篇论文发表之后，最优税制理论才真正形成了体系。
该文对最优税制理论研究具有开拓性作用。
文中，戴蒙德和米尔利斯用精细的数学工具首先证明在税收和公共生产存在的情况下，考虑社会福利最大化时生产效率的存在性，即证明了最优效率点是存在的，并且最优点就在效率可行性边界上，接下来提出了使经济处于帕累托有效状态的“拉姆齐一戴蒙德一米尔利斯税收法则”。
编辑本段个人观点戴蒙德的大量文章不仅仅具有学术上的意义，而且还有着强烈的政策含义。
社会保障问题近一二十年来，全球有着某种公共养老保险体制的国家达到了166多个。
在人口老龄化趋势的压力下，绝大多数奉行现收现付养老体制的国家均面临着社会保障支出过大、社会保障负担过重、国家财政捉襟见肘的困境。
总体来讲，各国处理养老体系问题通常遵循着三种模式：一种是根本改革，即实行社会保障的完全积累制，基金管理实行完全的私有化，典型如智利；第二种是实行稳妥折中性质的改革，在保留部分现收现付制的基础上，引进基金制养老计划和补充养老计划，俗称“多支柱”改革方案。
采取这一方式的国家以转轨国家居多，如波兰和中国；第三种是推行“改良性质”的改革，不断利用税收优惠政策，引导人们为养老多储蓄，这是一种以公共税收给予补贴的方案，常为最富有的国家，如美国和欧盟等所采用。
寻求一条可以规避不足清偿风险和实现体制长期均衡的改革道路，是各个国家改革养老制度的共同目标。
为此，担任美国社会保障研究协会主席的戴蒙德相继以“社会保障分析的基本框架”等重量文章，全面提出了自己的观点：社会保障不可或缺自养老制度诞生直至如今，阐述它存在原因的理论不断推陈出新。
戴蒙德把这些理论假说划分为四类：扩大政府收入，收入再分配，纠正市场失灵和父爱主义。
戴蒙德强调：与理想状态下的市场相比，现实世界有三种市场失灵或称三种市场不完全，一种是安全投资机会的缺失，一种是实际年金的缺失，一种是工作年限不确定问题。
那些意图为退休积累资金的人有投资机会但却未见得能获得合理收益的组合和安全的投资回报，尤其对于那些无法进行多元化证券投资的弱小投资者。
市场的不完全或者说市场的缺失限制了为确保退休后消费水平相对不变而进行储蓄的能力。
即使是共同基金也会受制于短期内个人将财富转化为年金所带来的价值巨幅波动。
因此，社会保障必不可少。
反对社会保障制度私有化近年来，普通民众对于美国社会保障制度信心不足。
这一问题引起了美国公众、学术界、政界的激烈争彼得·戴蒙德论。
美国经济研究局局长费尔德斯坦等倡导社会保障制度私有化。
他们认为，社会保障制度的彻底改革既有助于解决社会保障制度未来的赤字问题，又可以提高国民储蓄率，并促进美国的经济增长。
戴蒙德则持相反的观点，认为美国的社会保障制度本身并无大的财政问题，只需将退休年龄与人口预期寿命指数化，并将社会保障信托基金的一部分投资于股票市场即可解决未来的财务问题。
他不赞成完全模仿智利模式，实行完全的个人账户。
设立NDC记账式个人账户养老金制度(NDC)戴蒙德和米尔利斯共同参与了“中国经济研究和咨询项目”的首期研究，他们认为记账式个人账户养老金制度适合中国社保体系发展的方向。
他们集中讨论了中国社会保障体制改革所面临的问题，并运用经济学原理，参考国际最新经验，提出了具有可操作性的政策建议：建立以全国统一的社会统筹为基础的、单一的全国强制性养老金体系，同时改革社会统筹和个人账户，以提高管理水平和经济效率；设立记账式个人账户(NDC)而非基金积累制的个人账户；提高从社会统筹领取全额养老金的年龄，等等。
编辑本段成绩及荣誉2010年诺贝尔经济学奖获得者瑞典皇家学院2010年10月11日宣布，美国经济学家彼得·戴蒙德(Peter A. Diamond)、戴尔·莫特森(Dale T. Mortensen)，英裔、塞浦路斯籍经济学家克里斯托弗·皮萨里德斯(Christopher A. Pissarides)三位学者共同获得2010年诺贝尔经济学奖。
据介绍，彼得·戴蒙德生于1940年，1960年毕业于耶鲁大学，获数学学士学位；1963年，年仅23岁就获得了麻省理工学院经济学博士学位，之后在加州大学伯克利分校开始教学生涯。
自1966年起至今，戴蒙德一直在麻省理工学院任教。
2002至2003年，戴蒙德被推选为美国经济协会主席。
上月13日，美国总统奥巴马提名戴蒙德为美联储委员会理事。
据了解，彼得·戴蒙德(Peter Diamond)是世代交叠模型的提出者，社会保障、养老金和税收问题专家。
[1]编辑本段学术评价[2]2008年诺贝尔经济学奖获得者保罗-克鲁格曼在纽约时报博客发文，对彼得·戴蒙德获得诺贝尔奖表示祝贺。
以下是克鲁格曼博文原文：我曾经的同事彼得·戴蒙德，与戴尔·莫特森和克里斯托弗·皮萨里德斯一起，共同获得了2010年诺贝尔经济学奖。
这绝对是实至名归。
戴蒙德获奖的原因是对市场冲突的研究，这是极为重要的研究领域。
然而，作为深邃的思想家，戴蒙德的成就不仅局限于这一领域。
就是这个彼得·戴蒙德，共和党议员却曾阻止他进入美联储，因为共和党竟然怀疑他能力不够。
“世代交叠模型” (Over Lapping Generation Models ，简称 OLG 或 OG 模型 ) 由萨缪尔森所首创，它针对货币经济理论缺乏微观基础这一缺陷，从货币的价值储藏职能出发，研究人们为什么要持有货币 ( 没有内在价值的 ) 、货币在何种条件下具有正价值 ( 价格 ) ，并在此基础 ( 即所谓“微观基础” ) 上建立货币分析的理论模型。
该模型创立后，得到了很多人的响应，在原始模型的基础上作了大量修正工作，成为今天宏观经济学，尤其是货币经济学中最常用的模型之一。
在最简单的 OG 模型中，每个人只存活两期 (t 时刻出生的人到 t+1 时刻就成为老人 ) 。
经济中不存在生产，个人消费完全由天生的禀赋(endowment) 支持。
年轻人具有一个单位的禀赋，老人则没有禀赋。
设 t 时刻有个人出生，人口增长率为 n ，则通过适当的中心化，有。
先假定所有禀赋为易腐品 (perishable goods) ，随后再放宽这个限制。
在任意时期 t ，如全社会的商品都分配给年轻人，则每个年轻人可消费一个单位；如全部分配给老人，则每个老人可消费 1 十 n 个单位。
t 期的社会消费可能性由图 1 中的 AB 段表示，图中：表示 y(y=t ， t+1) 时刻老人 (x=2) 或年轻人 (x=1) 的消费。
相应地，个人在他整个生命期内的消费可能性由图 2 中的 AB 段表示世代交叠模型一、含义“世代交叠模型” (Over Lapping Generation Models ，简称 OLG 或 OG 模型 ) 由萨缪尔森所首创，它针对货币经济理论缺乏微观基础这一缺陷，从货币的价值储藏职能出发，研究人们为什么要持有货币 ( 没有内在价值的 ) 、货币在何种条件下具有正价值 ( 价格 ) ，并在此基础 ( 即所谓“微观基础” ) 上建立货币分析的理论模型。
该模型创立后，得到了很多人的响应，在原始模型的基础上作了大量修正工作，成为今天宏观经济学，尤其是货币经济学中最常用的模型之一。
在最简单的 OG 模型中，每个人只存活两期 (t 时刻出生的人到 t+1 时刻就成为老人 ) 。
经济中不存在生产，个人消费完全由天生的禀赋 (endowment) 支持。
年轻人具有一个单位的禀赋，老人则没有禀赋。
设 t 时刻有个人出生，人口增长率为 n ，则通过适当的中心化，有。
先假定所有禀赋为易腐品 (perishable goods) ，随后再放宽这个限制。
在任意时期 t ，如全社会的商品都分配给年轻人，则每个年轻人可消费一个单位；如全部分配给老人，则每个老人可消费 1 十n 个单位。
t 期的社会消费可能性由图 1 中的 AB 段表示，图中：表示 y(y=t ， t+1) 时刻老人 (x=2) 或年轻人 (x=1) 的消费。