26.1.3 二次函数的图象(二)
26.1.3二次函数y=a(x-h)2图像
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
增减性
在同一坐标系中观察 y 3x 2 和 y 3 x 1 的函数图象， 回答问题。
2
(1)函数y=3(x-1)2的图象 与y=3x 2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x 2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
y 3x
2
y 3x 1
2
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
1. 抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同, 开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0). 4.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
26.1.3二次函数的图像(2)
1 2 y ( x 1 ) 画出二次函数 2
1 y、 ( x 1) 2 2
解: 先列表
点(－1,0)且与x轴垂直的直 线,我们把它记为x=－1, 顶点是(－1,0); 1 1 2 y ( x 1 ) y ( x 1) 抛物线 呢 ? 2 2
2
x=－1
-5 -6 -7 -8 -9 -10
x
向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
求抛物线y=-2x2+1与x轴、y 轴的交点坐标
的 图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 1 y ( x 1) 2 … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 2 1 y ( x 1) 2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 2 y 1 2 1 然后描点画图,得 y ( x 1) 2 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x 和 y 2 ( x 1) 的图象. -1 -2 1 2 可以看出,抛物线 y 1 ( x 1) 2 y ( x 1 ) -3 2 2 -4 的开口向下, 对称轴是经过 x
右 平移____ 1 物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____
单位而得到。
5、指出抛物线抛物线y= 2x2-4x+2的开口方向, 对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值? 是多少?
6.函数 y 4 x 4 x 1 的图象与坐标 2 轴有几个交点?可以由抛物线 y 4 x 平移得到吗？应怎样平移？
顶点是(－1, －1). 平移方法1:
x
平移方法2:
26.1 二次函数及其图像 课件3(数学人教版九年级下册)
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的
-1
O
y的最小值为f(-1) =4-a
1 x
图像分析
题型3：轴变区间定问题
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数 y =x2+ax+3的最小值：
y
a (2)当 1 0 2 即0≤ a<2时
-1 O
2
x
题型2：恒成立问题
例2（变）:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上恒 成立，求a的值。
体会最值与恒成立的关系
y
解:令f(x)=x2+2x+a它的 对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单调 递增， ∴f(x)的最小值为f(0)=a， 即 a≥ 4
-1 O
2
x
题型3：轴变区间定问题
5.当 x (1,2) 时，不等式 x mx 4 0 。 恒成立，则 m 的取值范围是
2
-1
O 1
x
a y的最小值为f( ) 2 2 a 3 4
题型3：轴变区间定问题
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最值：
a 1 即a<-2时 (3) 当 评注：例3属于“轴动区间定”的问题，看作 y 2
对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化, 函数在 [-1,1] 上是减函数 即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定 y 的最小值为 f(1) 区间上变化情况 , 要注意开口方向及端点情况。 O -1 1 x =4+a y的最大值为f(-1)
2.2二次函数性质与应用(1)
---区间上的最值
人教版初三数学上册二次函数y=ax2+k的图象与性质
请多多指教！！
• 作业：全品的课时
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
最值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解:先列表 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
向 下平移 |k|个单位得到，顶点是(0,k)，对称
轴是y轴，抛物线的开口方向由a的符号决定
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
-5
4
y y=-x2+3
当a<0时,抛物线 y=ax2+k的开口向下 ，
对称轴是 y轴，顶
2
点坐标是 (0,k) ，
y=-x2
O 5x
在对称轴的左侧，y
10
随x的增大而增大 ，
-2
在对称轴的右侧,y
y=-x2-2
-4
随x的增大而 减小， 当x=0 时，取得最
大值，这个最大值
-6
等于 k 。
-8
总结： 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的 图象形状 相同，只是位置不同；当k>0时，函数 y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向上平移k 个单位得
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
九年级数学下册 第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+
y 3x2
向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
与y=-3x²有关
y3x12 y3x122
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=1).
x=1
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池
y
中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱
在与池中心的水平距离为1m处达到最高，
高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水
管应多长？
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）
是顶点，设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），
∵点（3，0）在抛物线上，
系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）
的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
【解析】选A. 抛物线的
y (米)
顶点坐标为（2,4），
所以水喷出的最大高度
是4米.
x (米)
4.（温州·中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该 函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0 C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值 【解析】选C．因为图象顶点的纵 坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
26.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象
第2课时
1.会画y=a(x-h)2+k的图象； 2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图 象理解y=a(x-h)2+k的性质.
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
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26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2的图象（二）
九年级下册 编号04
【学习目标】
1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象；
2.知道二次函数
2)(h x a y -=与2ax y =的联系． 3.掌握二次函数2)(h x a y -=的性质，并会应用；
【学习过程】 一、知识链接： 1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线
142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
画出二次函数
2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：
x
…
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 (2)
)
1(+=x y …
…
2
)
1(-=x y
…
…
归纳：（1）2)1(+=x y
的开口向 ，对称轴是直
线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x = 时，y 有最 值
是 ；
在对称轴的左侧，即
x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y
随x 的增大而 。
2
)1(+=x y 可以看作由
2
x y =向 平移
个单位形成的。
（2）
2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直
线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y
随x 的增大而 。
x
y
y = x 2
1–1–2–3–4–5–6–712345678
–1–2
1
2345678910O
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理 （一）抛物线2)(h x a y -=特点：
1.当0a
>时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线
2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2
y a x
= 平移得到的。
（填上下或左右）
结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；
a
决定开口的 ，即
a
不变，则抛物线的形状 。
因为平移没
有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。
四、课堂训练 1．抛物线
()
2
23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
2. 抛物线
22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
3. 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线
25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5. 抛物线
24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线()2
123
y x =-
-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线
()
2
42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________．
8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线
22y x =-都相同的二次函数解析式_______________．。