河南省洛阳市2016-2017学年高二数学上学期期中试题

精品：【全国市级联考】河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期中考试理数试题(原卷版)

河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期中考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，复数错误！未找到引用源。

对应的点为错误！未找到引用源。

，则复数错误！未找到引用源。

的共轭复数错误！未找到引用源。

的虚部为（）A. 1B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2. 曲线错误！未找到引用源。

在点错误！未找到引用源。

处的切线方程为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

3. 有一段演绎推理是这样的：“若函数错误！未找到引用源。

的图象在区间错误！未找到引用源。

上是一条连续不断的曲线，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

在点错误！未找到引用源。

处取得极值；已知函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是一条连续不断的曲线，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

在点错误！未找到引用源。

处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（）A. 大前提错误，结论错误B. 小前提错误，结论错误C. 推理形式错误，结论错误D. 该段演绎推理正确，结论正确4. 函数错误！未找到引用源。

的图象不可能是（）A. B. C. D.5. “错误！未找到引用源。

”是“函数错误！未找到引用源。

有极值”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 由曲线错误！未找到引用源。

，直线错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

所围成的平面图形的面积为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

7. 已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

河南省洛阳市高二数学上学期期中试题

洛阳市2016——2017学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1,3,5,7,9,11,---的一个通项公式为A ．()()1121n n a n +=-+ B ．()()1121n n a n +=--C ．()()121n n a n =-+D ．()()121nn a n =--2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2,45,75a A C ===，则b 等于A．2 BC．2 D3.已知公比为正数的等比数列{}n a 中，26428,2a a a a ==，则1a =A ．8B ． 4C ．1D ．124. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos a b A <，则ABC ∆为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5.数列中，()1112,1n n naa a n N a *+-==∈+,则2014a =A ．2B ．13 C ．12- D ．3-6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,18k k S S ==，则4k S =A ．24B ． 28C ． 32D ．547. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足下列条件的有两个的是A．1,30a b A === B．2,45b c B ===C ．1,2,3a b c ===D ．3,2,60a b A ===8.给出下列结论：①在ABC ∆中，sin sin ;A B a b >⇔> ②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(],2k ∈-∞；④ABC ∆的内角A,B,C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则ABC ∆为锐角三角形.其中正确结论的个数为A ．0B ．1C ． 2D ．39.定义12n np p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1n ，则12231011111a a a a a a +++= A ．910 B ．920 C ．2021 D ．102110.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a -+< 的解集为A ．()1,2-B ．()(),12,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞11.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为A ．2B ． 4C ． 6D ．812.已知函数()121x f x x +=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2017n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2017S = A ．1008 B ． 1010 C ．20192D ．2019第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

【解析】河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科) Word版含解析[ 高考]

2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b32．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣37．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．3910．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】根据幂函数的单调性即可判断．【解答】解：∵b＜a＜0，且y=x2在（﹣∞，0）上单调递增减，故a2＞b2，C错误；故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意幂函数单调性的合理运用．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A，考虑0＜x＜1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx∈（0，1]，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0＜x≤2时，x﹣递增，当x=2时，取得最大值．综合可得C正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinA==，利用大边对大角可得范围A∈（0，45°），从而解得A的值．【解答】解：∵a=1，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a=1＜b=，由大边对大角可得：A∈（0，45°），∴解得：A=30°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集．【解答】解：∵lg（x2﹣3x）＜1，∴，解得﹣2＜x＜0或3＜x＜5，∴不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（﹣2，0）∪（3，5）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列【考点】等比数列；等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在A中，由，得到{a n}不为的等差数列；在B中，由a1=S1=2﹣2=0，得到{a n}不为等比数列；在C中，若，，构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而，，不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则=，，，一定成等比数列．【解答】解：在A中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，∴a1=S1=1+1+1=3，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n+1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，n=1时，a n=2≠a1，故{a n}不为的等差数列，故A错误；在B中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，∴a1=S1=2﹣2=0，∴{a n}不为等比数列，故B错误；在C中，若，，构成等差数列，则==，∴b2=ac，∴ac=（）2=，∴a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，∴，，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴=，∴，，一定成等比数列，故D正确．故选：D．【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质，公式的合理运用．6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．7．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】因为B⊆A，所以不等式x2﹣ax﹣4≤0的解集是集合A的子集，即函数f（x）=x2﹣ax ﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间，结合二次函数的图象性质只需f（﹣2）≥0，f（4）＞0，列不等式组即可得a的取值范围．【解答】解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，解得：0≤a＜3，故选：C．【点评】本题考查了集合之间的关系，一元二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，函数方程不等式的思想．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为1+cosA=+1，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．39【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质a m﹣1+a m+1=2a m，根据已知中a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列则a m﹣1+a m+1=2a m则a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0可化为2a m﹣a m2﹣1=0解得：a m=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=39则m=20故选C．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，是解答本题的关键．10．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，由数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），知，故2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，由此能求出通项公式．【解答】解：设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，∵数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），∴，∴2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，∴=，经验证，n=1时也成立，故．故选C．【点评】本题主要考查了数列递推式以及数列的求和，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】利用“放缩法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：a m﹣a n=++…+≤+…+=．故选：A．【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x=1，y=2时，2x+y取最大值4故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=n2﹣2n+2．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣3）+（2n﹣5）+…+1+1=+1=n2﹣2n+2．故答案为：n2﹣2n+2．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．【考点】解三角形．【专题】解三角形．【分析】由题意和两角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b为最短边，由正弦定理可得．【解答】解：由题意可得tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∴C=135°，c为最长边，故c=1，又∵0＜tanB=＜=tanA，∴B为最小角，b为最短边，∵tanB=，∴sinB=，由正弦定理可得b==，故答案为：．【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和的正切公式，属中档题．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把要求的式子化为，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：∵x2+≥xy，y2+z2≥yz，∴=≤=，当且仅当x=z=时，等号成立，故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）运用乘1法，可得+=（a+4b）（+）=（5++），再由基本不等式即可得到最小值；（2）令t=（t≥），则g（t）==，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）由a，b＞0，且a+4b=4，即有+=（a+4b）（+）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当a=2b=时取得最小值，则+的最小值为；（2）令t=（t≥），则g（t）==≤=，当且仅当t=2，即k=时，取得等号，即有f（k）的最大值为．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【专题】解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a2+c2=b2+ac．b=，即可解得a，c的值．（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a2+c2=b2+ac．解得ac≤4，利用三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得：c=2a，又∵a2+c2=b2+ac．b=，∴a2+4a2=3+2a2，解得：a=1，c=2…6分（2）由余弦定理可得：cosB==，∴sinB=，又∵b=2，a2+c2=b2+ac．∴4+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤4，∴S△ABC=，当且仅当a=c=2时等号成立．故△ABC面积的最大值为…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）当a=0时，有﹣2x＜0，∴x＞0．（2）a＞0时，∵△=4﹣4a2．①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax2﹣2x+a=0的两根为=，∴不等式的解集为{x|＜x＜}．②当△=0，即a=1时，有x2﹣2x+1＜0，∴x∈∅；③当△＜0，即a＞1时，方程ax2﹣2x+a=0无实数根，不等式ax2﹣2x+a＜0无解，∴x∈∅．（3）当﹣1＜a＜0时，△＞0，不等式ax2﹣2x+a＜0的解集为{x|x＜或x＞}．综上，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：当﹣1＜a＜0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＜或x＞}；当a=0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＞0}；当0＜a＜1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|＜x ＜}．当a≥1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：∅．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（I）由正弦定理，设，则，所以．…（4分）即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）又A+B+C=π，所以sinC=3sinA因此．…（8分）（II）由得c=3a．…（9分）由题意，…（12分）∴…（14分）【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（I）有数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列且成等差数列，可以先求出数列的首项即可；（II）有（I）和，求出数列b n的通项，有通项求出前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2，S3=a1+a2+a3=3a1+6，由成等差数列得，，即，解得a1=1，故a n=2n﹣1；（Ⅱ），Tn=1×+3×+5×+…+（2n﹣1）•（）n，①①×得，，②①﹣②得，=，∴．【点评】此题考查了等差数列的通项公式及等差中项，还考查了错位相减法求数列的前n项的和．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列，可得2S n=，利用递推关系化为：化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由于数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1﹣1=0，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．可得数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+，再利用“裂项求和”即可证明．【解答】（1）解：∵对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列，∴2S n=，∴当n≥时，，相减可得：2a n=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，当n=1时，，a1＞0，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（2）证明：b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．∴数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+=1++…+=2﹣＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

【数学】2016-2017年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，B={n∈N|﹣1≤n＜3}，则（∁Z A）∩B=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，则||=（）A．3 B． C．D．53．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=4．（5分）已知等比数列{a n}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A．数列{a n}的各项均为正数B．数列{a n}中必有小于的项C．数列{a n}的公比必是正数D．数列{a n}中的首项和公比中必有一个大于15．（5分）若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣ D．36．（5分）函数y=ln的图象大致是（）A． B．C．D．7．（5分）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）且在[5，6]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）9．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．C．D．10．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）11．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣212．（5分）设点P，Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．14．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a2016=．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．16．（5分）设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n⊂α，n∥β，α∩β=m，则n∥m；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确的命题序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，△ABC的面积为，求a+c的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）如果a1≠a5，求数列{}的前n项和．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（a+1）x2+x﹣（a∈R）．（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；（2）当a≤时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．20．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（1）若x∈（，），•+=﹣，求cos4x；（2）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根，求m的值．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，B={n∈N|﹣1≤n＜3}，则（∁Z A）∩B=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，全集为Z，∴∁Z A={m∈Z|﹣3＜m＜2}={﹣2，﹣1，0，1}，又∵B={n∈N|﹣1≤n＜3}={0，1，2}，则（∁Z A）∩B={0，1}．故选：C．2．（5分）在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，则||=（）A．3 B． C．D．5【解答】解：在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，可得A（﹣1，2），B（1，3），则||==．故选：C．3．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，可得y=sin （2x﹣）=﹣cos2x 的图象，再令2x=kπ，求得x=，k∈Z，函数所得函数图象的一条对称轴为x=0，故选：A．4．（5分）已知等比数列{a n}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A．数列{a n}的各项均为正数B．数列{a n}中必有小于的项C．数列{a n}的公比必是正数D．数列{a n}中的首项和公比中必有一个大于1【解答】解：由等比数列的性质，a1a2a3…a10==32．∴a5a6=2，设公比为q，则，故q必是正数，故选项C为真命题．对于选项A，由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题．故选：C．5．（5分）若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣ D．3【解答】解：∵==，∴tanα=3，则tan2α===﹣，故选：C．6．（5分）函数y=ln的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x ≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．7．（5分）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由题意画出草图：由于点M为△ABC中边BC的中点，∴，∴•（+）==﹣2||•||．∵O为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线，∴||=||+||=2≥2（当且仅当“”时取等号），得||•||≤1，又•2=﹣2||•||≥﹣2，则•（+）的最小值为﹣2．故选：A．8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）且在[5，6]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x）得，f（x+2）=f（x）；∴f（x）是以2为周期的周期函数；∵f（x）是R上的偶函数，且在[5，6]上是增函数；∴f（x）在[﹣6，﹣5]上为减函数；∴f（x）在[0，1]上为减函数；∵α，β是锐角三角形的两个锐角；∴α+β＞；∴α＞﹣β，α，﹣β∈（0，）∴s inα＞sin（﹣β）=cosβ且sinα，cosβ∈（0，1）；∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．9．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．C．D．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．10．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：由关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数解，可知函数y=a与函数y=f（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）．故选：D．11．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【解答】解：∵数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．12．（5分）设点P，Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P是曲线y=xe﹣x上的任意一点，和直线y=x+3上的动点Q，求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xe﹣x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离．由y′=（1﹣x）e﹣x ，令y′=（1﹣x）e﹣x =1，解得x=0，当x=0，y=0时，点P（0，0），P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y=x+3的距离，∴d min==．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=4．【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．14．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a2016=1．=f（a n），a1=3．【解答】解：a n+1∴a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1，…∴a n=，∴a2016=1．故答案为：1．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以：V==故答案为：16．（5分）设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n⊂α，n∥β，α∩β=m，则n∥m；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确的命题序号为①③．【解答】解：对于①，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故①正确；对于②，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行，在这个定理中“两条相交直线”这个条件必不可少．没有这个条件，两平面就不一定平行，也可以相交，故②不正确；对于③，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故③正确；对于④，n可能在平面β内，故④不正确．故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，△ABC的面积为，求a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），∴由正弦定理可得sinBcosA=2sinC（﹣cosB）+sinA（﹣cosB），∴sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosB，∴sin（A+B）=﹣2sinCcosB=sinC，∴，由0＜B＜π可得；（Ⅱ）∵，∴ac=4，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac+ac=21，∴（a+c）2=25，∴a+c=518．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）如果a1≠a5，求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）由题意：数列{a n}是等差数列，设公差d，首项为a1，S5=4a3+6，则：S5=4a3+6=5a1+，∴a1+2d=6…①又∵a2，a3，a9成等比数列∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+8d）∴da1=d2…②由①，②可得：a1=2，d=2或a1=6，d=0．故得数列{a n}的通项公式为a n=2n或a n=6．（2）∵a1≠a5∴a n=2nS n=na1+=n2+n；则：数列{}的通项公式：=；数列{}的前n项和为：===；故得数列{}的前n项和为．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（a+1）x2+x﹣（a∈R）．（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；（2）当a≤时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．【解答】解：（1）f′（x）=a（x﹣1）（x﹣），∵a＜0，∴＜1，令f′（x）＞0，解得：＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜，∴f（x）在（﹣∞，）递减，在（，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）极小值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=﹣（a﹣1）；（2）f（1）=﹣（a﹣1），f（2）=（2a﹣1），f（0）=﹣＜0，a≤时，f（x）在[0，1]递增，在[1，2]递减，故f（0）=﹣＜0，f（1）=﹣（a﹣1）＞0，f（2）=（2a﹣1）≤0，∴f（x）在[0，1]，（1，2]上各有1个零点，即在[0，2]上2个零点．20．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（1）若x∈（，），•+=﹣，求cos4x；（2）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴==又∵，∴；由于，可得，∴，由此可得：==；（Ⅱ）∵b2=ac，∴由余弦定理可得：，∵B是三角形的内角，∴，即由（I）可得=，∵由，可得，∴，当x∈（0，]时，y=为单调增函数；当x∈（，]时，y=为单调减函数．当时，y==1；当时，y==﹣，此时只有一个x与y=对应，即直线y=m和有一个公共点．∴若关于x的方程有且仅有一个实数根，实数m的值为1或﹣．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD=4，BD=8，，所以AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为．故．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，可知，函数定义域为{x|x＞0}，且f′（x）=2x﹣（a+2）+．由题意，f′（2）=4﹣（a+2）+=1，解得a=2．（Ⅱ）f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0）．令f′（x）=0，得x1=1，x2=．（1）当a≤0时，≤0，令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1．则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．（2）当0＜＜1，即0＜a＜2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞1．则函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）．令f′（x）＜0，得＜x＜1．则函数f（x）的单调递减区间为（，1）．（3）当=1，即a=2时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．（4）当＞1，即a＞2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞，则函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞）．令f′（x ）＜0，得1＜x ＜．则函数f （x ）的单调递减区间为（1，）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）。

河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文) (word版含答案)

洛阳市2016——2017学年第二学期期中考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限2.宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。

”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原。

关于“格物致知”的做法，及时“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处。

”上述推理用的是A. 类比推理B. 演绎推理C.归纳推理D.以上都不是 3.若复数z 满足方程132z i +-=，则z 在复平面上表示的图形是A. 椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线 4.下列关于结构图的说法不正确的是A.结构图中各要素之间通常表示概念上的从属关系或逻辑上的先后关系B. 结构图都是“树”形结构C. 简洁的结构图能更好的反映主体要素之间的关系和系统的整体特点D.复杂的结构图能更详细的反映系统中各细节要素及其关系5.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A. 假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D. 假设,,a b c 至多有两个是偶数6.为了判断两个分类变量X 与Y 是否有关系，应用2K 独立性检验法算得2K 的观测值为6,（所用数据可参考卷首公式列表），则下列说法正确的是A.在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 与Y 有关系”B. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 与Y 没有关系”C. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 与Y 有关系”D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 与Y 没有关系”7. 有一段“三段论”推理是这样的：“若函数()f x 在定义域内可以求导函数，如果()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点；因为函数()3f x x =在0x =处满足()00f '=，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”.对于以上推理，说法正确的是A. 大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确8.一位妈妈记录了孩子6到9岁的升高（单位：cm ）,所得数据如下表：由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归方程为ˆˆ8.8yx a =+，预测该孩子10岁时的身高为A. 154B. 153C. 152D. 1519.实数2a b c =，则,,a b c 的大小关系是 A.a b c >> B.a c b >> C. c b a >> D.c a b >> 10.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n =A. 2B. 3C.4D. 5 11.研究变量x,y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论： ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ②用相关系数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好③有样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+一定过样本点的中心(),x y ；④若变量y 与x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量和之间的负相关很强.其中正确的说法的个数是A. 1B. 2C. 3D. 412.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有d 12kx m kx m +<+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为的通道，给出下列函数：①()1f x x =；②()ln x f x x=；③()sin f x x =；④()f x =.其中在区间上通道宽度可以为1的函数的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.复数z 满足()21i z i -=-，那么z = .14.甲乙丙三人参加驾照科目二的考试，只有一人通过，当他们被问到谁通过考试时，回答如下：甲说：丙没有通过；乙说：我通过了；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一个人说的是假话，那么通过考试的是 .15.将全体正偶数排成一个三角形的数阵：根据以上排列规律，数阵中第()3n n ≥行的从左到右的第3个数是 . 16.有以下结论：①若,x y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2,1x y ==；②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若,,a b c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若为三个向量,,a b c，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅”其中正确的结论的序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知i 是虚数单位，若4z -是纯虚数，且z = （1）若复数z ；（2）若复数z 和复数()2z mi +在复平面上对应的点均在第四象限，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）在数列{}n a 中，当2n ≥时，112.2n n n a a a --=+（1）求234,,a a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明你的结论.19.（本题满分12分）证明：若,,a b c R +∈，则111,,a b c b c a+++中至少有一个不小于2.20.（本题满分12分）某高中文学社从高二文科学生中抽取男生60名，女生40名调查对100篇文学名篇的了解程度，统计结果如下：（1）试估计该校学生阅读文学名篇的平均数（同一组数据用该组区间中点值代表），从计算结果看，阅读量与性别是否有关；（2）阅读量不低于80篇的称为“非常了解”，否则为“一般了解”.根据题意完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为对文学名篇“非常了解”与性别有关？21.（本题满分12分）某饮料店为了了解一天的平均气温与奶茶销量之间的关系，记录了一周中周一到周五的平均气温()xC与奶茶销量y （杯），得到如下数据：（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）试根据（1）求出的线性回归方程，预测平均气温约为20C时该奶茶店的这种饮料的销量.()222229231126123010258211271,91112108510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=22.（本题满分12分）已知函数()1ln .f x x x=+（1）求函数()f x 的单调区间；（2）试证明：()111 2.718,.n e e n N n +*⎛⎫+>=∈ ⎪⎝⎭。

洛阳市16-17学年高二下学期期中考试数学(理)卷

洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试高二数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内，复数z 对应的点为2,1，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（）A.1B.1C.iD.i2.曲线3231y xx在点1,1处的切线方程为（）A.340x y B.320x y C.43xyD.45xy3.有一段演绎推理是这样的：“若函数f x 的图象在区间D 上是一条连续不断的曲线，且0'0f x ，则f x 在点0x 处取得极值；已知函数3f xx 在R 上是一条连续不断的曲线，且'00f ，则f x 在点0x处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（）A.大前提错误，结论错误B.小前提错误，结论错误C.推理形式错误，结论错误D.该段演绎推理正确，结论正确4.函数320f xaxbxcxd a的图象不可能是（）5.“14c”是“函数321132f xxxcx d 有极值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.由曲线1xy ，直线yx ，3y所围成的平面图形的面积为（）A.329B.2ln 3C.4ln 3D.4ln 37.已知17a ，35b ，4c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.abcB.cabC.cbaD.bc a8.一物体沿直线做运动，其速度v t 和时间t 的关系为22v ttt ，在1t到3t时间段内该物体行进的路程和位移分别是（）A.2，23B.2，23C.23，23D.23，239.函数f x的图象如图所示，设'f x是f x的导函数，若0a b，下列各式成立的是（）A.2'''2ab a bf f f aba bB.2'''2ab a bf f ab fa bC.2'''2a b abf f f aba bD.2'''2a b abf f ab fa b10.已知函数2ln2f x mx x x在定义域内存在单调递减区间，则实数m的取值范围是（）A.12m B.12m C.1m D.1m11.已知f x是定义在R上的函数，导函数'f x满足'f x f x对于x R恒成立，则（）A.220e f f，201720170f e f B.220e f f，201720170f e fC.220e f f，201720170f e f D.220e f f，201720170f e f12.对于函数sin xf xx，30,2x，下列说法错误的是（）A.函数f x在区间0,是单调函数B.函数f x只有1个极值点C.函数f x在区间0,2有极大值 D.函数f x有最小值，而无最大值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数21f x x在区间,a b上的平均变化率为．14.定积分4201162x x dx．15.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在平行四边形ABCD中（如图甲），有22222AC BD AB AD，利用类比推理，在平行六面体1111ABCD A B C D中（如图乙），22221111AC BD CA DB．16.已知a ，b 为正实数，直线y xa 与曲线ln y xb 相切，则21ab的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数21231z mm m i 是纯虚数（m R ）.（1）求m 的值；（2）若复数2142114i z z i，求2z .18.证明：若a ，b ，,0c ，则1ab，1bc，1ca至少有一个不大于2.19.如图，在海岸线由抛物线PEQ 和线段PQ 组成的小岛上建立一个矩形的直升机降落场，要求矩形降落场的边AD 与小岛海岸线PQ 重合，点B ，C 在抛物线PEQ 上，其中直线OE 是抛物线的对称轴，40OE米，海岸线410PQ米，求降落场面积最大值及此时降落场的边长.20.已知数列n a 的通项公式21n a n ，其前n 项和为n S .（1）求n S ；（2）若231111111nnb S S S …，试猜想数列n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.已知函数211ln 1122f x x x a x x .（1）若0a，求函数f x 的极值；（2）若函数f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围；22.已知函数xf xxea 有两个零点1x ，2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：122x x .洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题1-5:BBCAB 6-10:DCADB 11、12：CC二、填空题13.2 14.44 15.22214ABADAA16.0,1三、解答题17.解：（1）因为复数21231z mm m i 是纯虚数.∴223010mm m ，于是131m m m或，∴3m .（2）由（1）知，14z i ，∴21421424242131111114ii ii i z i i iiiiz i.∴210z .18.证明：假设1a b ，1b c，1ca都大于2，即12ab，12bc，12ca.所以1116abcabc，又因为a ，b ，,0c ，112aaaa，同理12bb，12c c ，三式相加1116a b c a bc，这与1116abc ab c 相矛盾，所以假设不成立，即1a b ，1bc ，1ca至少有一个不大于2.19.解：如图，以O 为坐标原点，PQ 为x 轴，OE 为y 轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为240y x .设2AD x ，则240ABx ，矩形面积22400210S x x xx ，所以2'806S x x ，令'0S x，解得2303x或2303x.当2300,3x，'0S x ；230,2103x ，'0S x ；所以当2303x时，max320309S x，此时矩形边长4303AD米，803AB米.20.解：（1）∵21n a n ，∴数列n a 是等差数列，且12111a ，于是21212nn n S n . （2）∵231111111nnb S S S …，∴134b ，22436b ，358b ，436510b ，于是猜想221n nb n .下证明猜想：①当1n时，134b ，猜想成立；②假设当n k 时，猜想成立，即231111211121kk k b S S S k…，那么，当1n k时，1231211111111kkkb S S S S (2)221211121212kk k kS kk2132212k k k k k 12322211k k kk所以，1n k时，猜想成立.由①②可知，221n nb n 对任意*nN 都成立.21.解：（1）若0a，则1ln 12f x x x x ，函数的定义域为1,，'1ln 12ln 11f xx x ，令'0f x ，即：ln 110x ，解得1x e .当1,1x e 时，'0f x，f x 单调递减；当1,xe 时，'0f x，f x 单调递增.所以，f x 在1x e 处取得极小值12f e e ，而无极大值.(2)若f x 在定义域内单调递减，则'1ln 1120f xx a x 在1,恒成立，即ln 111xax 对任意的1,x 恒成立. 令ln 111xg xx ，则221ln 112ln 1'11x x g xx x ，解'0g x ，得21xe，当21,1x e时，'0g x ，g x 单调递减；当21,xe，'0g x，g x 单调递减，所以，g x 在1,上有最大值2211g e e，于是，a 的取值范围为21,e.22.解：（1）函数xf x xea 的定义域为R ，因为xf xxea 有两个零点1x ，2x ，所以函数xx g x e与函数ya 有两个不同的交点，1'xx g xe，令1'0xxg xe，解得1x ，当,1x时，'0g x，g x 单调递增；当1,x 时，'0g x ，g x 单调递减，所以max11g x g e ，并且当1,x，0g x ，于是xx g xe的图象大致为：函数xx g xe与函数y a 有两个不同的交点时，a 的取值范围是10,e.（2）由已知12f x f x ，即1212x x x x ee ，∴2121x x x e x e，∴2121x x x ex ，两边同取以e 为底的对数，得2211lnx x x x ，要证明122x x ，则只需证明2122111ln2x x x x x x ，即21221111ln21x x x x x x ，不妨设12x x ，令21x t x ，则1,t ，即证11ln 12t t t 对1,t 恒成立，令11ln 21t g ttt ，则22222221411221'021212121t t t tt g ttt t tt t t t，∴g t 在区间1,单调递增，∴10g tg ，即11ln 021t tt ，11ln 12t t t ，从而122x x 成立.。

2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)

2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ，且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。

《解析》河南省洛阳市2016-2017学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x≥﹣3且x≠﹣2}B．{x|x≥﹣3且x≠2}C．{x|x≥﹣3}D．{x|x≥﹣2且x≠3}2．已知集合M={1，2，m2﹣3m﹣1}，N={﹣1，3}，M∩N={3}，则m的值为（）A．4，﹣1 B．﹣1 C．1，﹣4 D．43．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，40]B．[160，+∞）C．（﹣∞，40）∪D．（﹣∞，40]∪[160，+∞）4．已知函数f（x）=，若f（x）=1，则x的值为（）A．1，﹣1 B．﹣1 C．1 D．5．函数f（x）=的图象一定（）A．关于y轴对称 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y=x轴对称6．设a=40.6，b=80.34，c=（）﹣0.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．8．要得到函数y=8•2﹣x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移3个单位长度 B．向左平移3个单位长度C．向右平移8个单位长度 D．向左平移8个单位长度9．函数y=x﹣的值域为（）A．B．C．D．10．若函数y=2+ln，x∈[﹣，]的最大值与最小值分别为M，m，则M+m=（）A．2 B．﹣4 C．0 D．411．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=0，当x≠1时，f（x）=|ln|x﹣1||，设函数g（x）=f（x）﹣m（m为常数）的零点个数为n，则n的所有可能值构成的集合为（）A．{0，4}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{0，1，3，4}12．已知函数F（x）=g（x）+h（x）=e x，且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若对任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B=A，则集合B有个．14．某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差元．15．已知函数f（x）=，则f（log23）=．16．已知函数f（x）=log a（x2﹣2ax）（a＞0且a≠1）满足对任意的x1，x2∈[3，4]，且x1≠x2时，都有＞0成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．计算下列各式的值：（1）0.0625+[（﹣3）4]﹣（﹣）0+；（2）（lg2）2+lg2•lg5++log45•log54．18．已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，B={x|﹣＜x≤2}．（1）当a=1时，判断集合B⊆A是否成立？（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（1）=1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性．20．某消费品专卖店的经营资料显示如下：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销售量Q（百件）与销售价格P（元）满足的函数关系式为Q=，点（14，22），（20，10），（26，1）在函数的图象上；③每月需各种开支4400元．（1）求月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系；（2）当商品的价格为每件多少元时，月利润最大？并求出最大值．21．已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣x，g（x）=log2a+log2（2x﹣）（a＞0，x＞1）．（1）证明函数f（x）为偶函数；（2）若函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=1+a•（）x+（）x．（1）当a=﹣2，x∈[1，2]时，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，求实数a的取值范围．2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x≥﹣3且x≠﹣2}B．{x|x≥﹣3且x≠2}C．{x|x≥﹣3}D．{x|x≥﹣2且x≠3}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≥﹣3且x≠﹣2．∴函数f（x）=+的定义域为{x|x≥﹣3且x≠﹣2}．故选：A．2．已知集合M={1，2，m2﹣3m﹣1}，N={﹣1，3}，M∩N={3}，则m的值为（）A．4，﹣1 B．﹣1 C．1，﹣4 D．4【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和集合中元素的性质求解．【解答】解：∵集合M={1，2，m2﹣3m﹣1}，N={﹣1，3}，M∩N={3}，∴，解得m=﹣1或m=4．故选：A．3．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，40]B．[160，+∞）C．（﹣∞，40）∪D．（﹣∞，40]∪[160，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴，要求f（x）在[5，20]上具有单调性，列出不等式，从而求出k的范围；【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x=，∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x=≤5，或x=≥20，解得：k≤40，或k≥160；∴k∈（﹣∞，40]∪[160，+∞），故选：D．4．已知函数f（x）=，若f（x）=1，则x的值为（）A．1，﹣1 B．﹣1 C．1 D．【考点】函数的值．【分析】当x≤﹣1时，f（x）=x+2=1；当﹣1＜x＜1时，f（x）=x2=1；当x≥1时，2x=1．由此能求出x的值．【解答】解：∵函数f（x）=，f（x）=1，∴当x≤﹣1时，f（x）=x+2=1，解得x=﹣1；当﹣1＜x＜1时，f（x）=x2=1，解得x=±1，不成立；当x≥1时，2x=1，解得x=，不成立．∴x的值为﹣1．故选：B．5．函数f（x）=的图象一定（）A．关于y轴对称 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y=x轴对称【考点】函数奇偶性的判断．【分析】求得函数f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）的关系，得到奇偶性，进而可得图象特点．【解答】解：函数f（x）=的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）为奇函数，它的图象关于原点对称．故选：B．6．设a=40.6，b=80.34，c=（）﹣0.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的图象与性质．【分析】化简a，b，c，根据指数函数的性质判断其大小即可．【解答】解：∵a=40.6=21.2，b=80.34=21.02，c=（）﹣0.9=20.9，且f（x）=2x在R递增，∴a＞b＞c，故选：A．7．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．8．要得到函数y=8•2﹣x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移3个单位长度 B．向左平移3个单位长度C．向右平移8个单位长度 D．向左平移8个单位长度【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据指数的运算性质，把函数y=8•2﹣x化为y=23﹣x，函数y=（）x的解析式化为y=2﹣x的形式，根据平移前后函数解析式的关系，利用平移方法判断结果即可．【解答】解：∵函数y=（）x=（2﹣1）x=2﹣x，函数y=8•2﹣x=23﹣x将以y=2﹣x向右平移3个单位长度后，得到函数y=2﹣（x﹣3）=23﹣x的图象，故将函数y=（）x的图象向右平移3个单位可以得到函数y=23﹣x的图象，故选：A．9．函数y=x﹣的值域为（）A．B．C．D．【考点】函数的值域．【分析】利用换元法转化为二次函数求值域．【解答】解：由题意：函数y=x﹣．设=t，（t≥0），则x=．那么函数y=x﹣转化为：f（t）=．开口向上，对称轴t=；∵t≥0，∴当t=时，函数f （t ）取得最小值为f （）min =，即函数y=x ﹣的最小值为．所以值域为[，+∞）．故选C ，10．若函数y=2+ln，x ∈[﹣，]的最大值与最小值分别为M ，m ，则M +m=（） A ．2 B ．﹣4 C ．0D ．4 【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】令g （x ）=ln，则g （x ）为奇函数，可得g （x ）max +g （x ）min =0，从而可求M +m 的值．【解答】解：令g （x ）=ln，x ∈[﹣，]，则g （﹣x ）=ln =﹣ln =﹣g （x ），即g （x ）为奇函数，∴g （x ）max +g （x ）min =0，∵2+ln ，x ∈[﹣，]的最大值与最小值分别为M ，m ，∴M +m=4．故选：D11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （1）=0，当x ≠1时，f （x ）=|ln |x ﹣1||，设函数g （x ）=f （x ）﹣m （m 为常数）的零点个数为n ，则n 的所有可能值构成的集合为（） A ．{0，4} B ．{3，4} C ．{0，3，4} D ．{0，1，3，4}【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】画出函数f （x ）的图象，数形结合，分析不同情况下n 的值，综合可得答案．【解答】解：∵f （1）=0，当x ≠1时，f （x ）=|ln |x ﹣1||，∴函数f （x ）的图象如下图所示：当m＜0时，函数g（x）=f（x）﹣m有0个零点；当m=0时，函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点；当m＞0时，函数g（x）=f（x）﹣m有4个零点；故n的所有可能值构成的集合为{0，3，4}，故选：C12．已知函数F（x）=g（x）+h（x）=e x，且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若对任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f（x）和g（x）的解析式；根据不等式恒成立进行转化，利用一元二次不等式的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=﹣h（x）∴e x =g（x）+h（x），e﹣x=g（x）﹣h（x），∴g（x）=，h（x）=．∵∀x∈（0，+∞），使得不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，即≥a•恒成立，∴a≤=（e x﹣e﹣x）+，设t=e x﹣e﹣x，则函数t=e x﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴0＜t，此时不等式t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取等号，∴a≤2，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B=A，则集合B有4个．【考点】并集及其运算．【分析】由已知得B⊆A，从而B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．【解答】解：∵集合A={1，2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．∴满足条件的集合B有4个．故答案为：414．某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差10元．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】欲求两种方式电话费相差的数字，结合函数的图象可得，只须求出当x=150时，图中BD的长度即可，利用平面几何中的相似三角形的性质即可．【解答】解：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度，根据相似三角形的性质可得：，∴BD=10．故答案为：10元．15．已知函数f（x）=，则f（log23）=12．【考点】函数的值．【分析】由函数性质得f（log23）=f（log23+2）=×22，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log23）=f（log23+2）=×22=3×4=12．故答案为：12．16．已知函数f（x）=log a（x2﹣2ax）（a＞0且a≠1）满足对任意的x1，x2∈[3，4]，且x1≠x2时，都有＞0成立，则实数a的取值范围是（1，）．【考点】函数恒成立问题；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．【分析】由已知可得函数f（x）=log a（x2﹣2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上为增函数，进而可得t=x2﹣2ax，x∈[3，4]为增函数，且恒为正，解得答案．【解答】解：∵对任意的x1，x2∈[3，4]，且x1≠x2时，都有＞0成立，∴函数f（x）=log a（x2﹣2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上为增函数，当a∈（0，1）时，y=log a t为减函数，t=x2﹣2ax，x∈[3，4]为增函数，此时函数f（x）=log a（x2﹣2ax）（a＞0且a≠1）不可能为增函数，当a∈（1，+∞）时，y=log a t为增函数，若函数f（x）=log a（x2﹣2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上为增函数，则t=x2﹣2ax，x∈[3，4]为增函数，且恒为正，即，解得：a∈（1，），故答案为：（1，）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．计算下列各式的值：（1）0.0625+[（﹣3）4]﹣（﹣）0+；（2）（lg2）2+lg2•lg5++log45•log54．【考点】对数的运算性质．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式=+﹣0+=+3﹣1+=4，（2）原式=lg2（lg2+lg5）+（1﹣lg2）+1=218．已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，B={x|﹣＜x≤2}．（1）当a=1时，判断集合B⊆A是否成立？（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）当a=1时，集合A={x|0＜x+1≤5}={x|﹣1＜x+1≤4}，根据集合包含关系的定义，可得结论；（2）根据集合包含关系的定义，对a进行分类讨论，最后综合，可得满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，集合A={x|0＜x+1≤5}={x|﹣1＜x+1≤4}，B={x|﹣＜x≤2}．∴B⊆A成立；（2）当a=0时，A=R，A⊆B不成立；当a ＜0时，A={x |0＜ax +1≤5}={x |≤x ＜}，若A ⊆B ，则，解得：a ＜﹣8；当a ＞0时，A={x |0＜ax +1≤5}={x |＜x ≤}，若A ⊆B ，则，解得：a ≥2；综上可得：a ＜﹣8，或a ≥219．已知函数f （x ）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （1）=1．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）在（﹣1，1）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据奇函数的特性，可得f （0）=0，结合f （1）=1，构造方程组，解得函数f （x ）的解析式；（2）利用导数法，可证得f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f （0）=0，又∵f （1）=1．∴，解得：，∴函数f （x ）=，（2）f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，理由如下：∵f ′（x ）=，当x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）≥0恒成立，故f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．20．某消费品专卖店的经营资料显示如下：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销售量Q（百件）与销售价格P（元）满足的函数关系式为Q=，点（14，22），（20，10），（26，1）在函数的图象上；③每月需各种开支4400元．（1）求月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系；（2）当商品的价格为每件多少元时，月利润最大？并求出最大值．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）利用带待定系数法即可求出函数的解析式，再根据销售量Q（百件）与销售价格P（元）满足的函数关系式，即可月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系，（2）设该店月利润为L元，则由题设得L=Q（P﹣14）×100﹣100，得到函数的解析式，分段求出函数的最值，比较即可．【解答】解：（1）∵点（14，22），（20，10），（26，1）在函数的图象上，∴，解得．同理可得，∴Q=，（2）设该店月利润为L元，则由题设得L=Q（P﹣14）×100﹣100，由（1）得L=，=，当14≤p≤20时，Lmax=1650元，此时P=元，当20＜p≤26时，Lmax=元，此时P=元，故当P=时，月利润最大，为1650元．21．已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣x，g（x）=log2a+log2（2x﹣）（a＞0，x＞1）．（1）证明函数f（x）为偶函数；（2）若函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．【分析】（1）求解定义域，利用定义进行判断即可．（2）函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，即f（x）=g（x）只有一个零点，化简计算，转化成二次方程问题求解．【解答】解：（1）证明：f（x）的定义域是R，f（﹣x）=log2（4﹣x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）﹣log222x+x=log2（4x+1）﹣2x+x=f（x），故f（x）在R是偶函数；（2）由题意：函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，即f（x）=g（x）只有一个零点，可得：log2（4x+1）﹣x=log2a+log2（2x﹣）（a＞0）整理得：．即：令2x=t∵x＞1，∴t＞2转化为f（t）=（t＞2）与x轴的交点问题．当a﹣1=0，即a=1时，f（t）=∵t＞2，∴f（t）恒小于0，与x轴没有交点．当a﹣1＞0，即a＞1时，f（t）与x轴有一个交点，需那么f（2）＜0．解得：，所以：．当a﹣1＜0，即0＜a＜1时，f（t）与x轴有一个交点，需那么f（2）＞0，此时无解．综上所得：函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围是（1，）．22．已知函数f（x）=1+a•（）x+（）x．（1）当a=﹣2，x∈[1，2]时，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】令t=（）x，则y=f（x）=1+at+t2，（1）当a=﹣2，x∈[1，2]时，y=f（x）=1﹣2t+t2，t∈[，]，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的最大值与最小值；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，y=1+at+t2，在（0，]上都有﹣2≤y≤3，结合二次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．【解答】解：令t=（）x，则y=f（x）=1+at+t2，（1）当a=﹣2，x∈[1，2]时，y=f（x）=1﹣2t+t2，t∈[，]，当t=，即x=2时，函数f（x）的最大值为，当t=，即x=1时，函数f（x）的最小值为，（2）若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，则y=1+at+t2，在（0，]上都有﹣2≤y≤3，由函数y=1+at+t2的图象是开口朝上，且以直线t=为对称轴的直线，故当≤0，即a≥0时，1+a+≤3，解得：a∈[0，]当0＜＜，即＜a＜0时，，解得：a∈（，0），当≥，即a≤时，1+a+≥﹣2，解得：a∈[﹣，]综相可得a∈[﹣，]．2016年12月3日。

2017年-2018年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)

2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ，且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。

(必考题)数学高二上期中经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13000]“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<4．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12971]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（） A ．111B ．211C ．355D ．4557．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）A ．35B ．1180C ．119D ．568．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.319．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中ˆ 2.4b=，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2012．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（） A ．78B ．58C ．38D ．1813．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15814．(0分)[ID ：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A ．13B ．14C ．15D ．1615．(0分)[ID ：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13112]某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ .19．(0分)[ID ：13107]连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．20．(0分)[ID ：13081]执行如图所示的算法流程图，则输出x 的值为__________．21．(0分)[ID ：13073]某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．22．(0分)[ID ：13051]执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．23．(0分)[ID ：13049]执行如图所示的程序框图，如果输出1320s =，则正整数M 为__________．24．(0分)[ID ：13048]计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．25．(0分)[ID ：13046]某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．三、解答题26．(0分)[ID ：13220]为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+；（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.27．(0分)[ID：13207]如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）79.589.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?28．(0分)[ID：13185]现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应x .的考试成绩预计为4（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y的平均值.29．(0分)[ID：13155]从某校期中考试数学试卷中，抽取样本，考察成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2，第一组的频数是4.（1）求样本容量及各组对应的频率；（2）根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数（结果保留两位小数）.30．(0分)[ID：13135]某校举行书法比赛，下图为甲乙两人近期8次参加比赛的成绩的茎叶图。

河南省洛阳市2016-2017学年高二数学上学期期中试题

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【解析】河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科) Word版含解析[ 高考]

【数学】2016-2017年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期中考试 数学(文) (word版含答案)

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