八年级下学期数学提高题训练

八年级下学期数学提高题训练

一．解答题（共7小题）

1．（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；

"

（2）已知a＞0，b＞0且（+）=3（+5）．求的值．

~

2．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．

（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；

（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．

,

"

3．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：AE=AF；

（2）求证：BE=（AB+AC）．

—

4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．—

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

）

5．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．

（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；

（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P 的纵坐标为n．

①用含n的代数式表示△ABP的面积；

;

②当S△ABP=8时，求点P的坐标；

③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．

*

6．某开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：

员工管理人员普通工作人员

人员结构[

总经理

部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工

员工数/名!

1

423223

每人月工资/元/

21000

84002025220018001600950

请你根据上述内容，解答下列问题：

（

（1）该公司“高级技工”有人；

（2）该公司的工资极差是元；

（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，咨询过程中得到两个答案，你认为用哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些

（4）去掉最高工资的前五名，再去掉最低工资的后五名，然后算一算余下的40人的平均工资，说说你的看法．

7．如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动，点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．

①点A坐标为，P、Q两点相遇时交点的坐标为；

#

②当t=2时，S△OPQ=；当t=3时，S△OPQ=；

③设△OPQ的面积为S，当0＜t≤3时试求S关于t的函数关系式；

④当t=2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．

参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）

:

1．【解答】解：（1）∵x﹣2013≥0，

∴x≥2013．

∴x﹣2012+=x．

∴=2012．

∴x﹣2013=20122．

∴x=20122+2013．

∴x﹣20132=20122﹣20132+2013

=﹣（2012+2013）+2013

)

=﹣2012．

（2）∵（+）=3（+5），

∴a+=3+15b，

∴a﹣2﹣15b=0，

∴（﹣5）（+3）=0，

∵a＞0，b＞0，

∴﹣5=0，

`

∴a=25b，

∴原式===2．

2【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，

∴AP=PE，

在Rt△ABP和Rt△EBP中，

，

!

∴Rt△ABP≌Rt△EBP，

∴AB=BE=4，

同理可得CE=CD=6，

∴BC=BE+CE=10，

易证四边形ABFD是矩形，

∴BF=AD，CF=6﹣4=2，

∴AD==4；

（2）延长CB和PA，记交点为点Q．

∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，

∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．

∵BA⊥MN，CD⊥MN，

∴AB∥CD，

∴△QAB∽△QDC，

∴，

∴CD=2AB=2×4=8．

！

3．【解答】证明：（1）∵DA平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD∥EM，

∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF．

·

（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．

∵EF∥CG，

∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，

∵∠AEF=∠AFE，

∴∠G=∠ACG，

∴AG=AC，

∵BM=CM．EM∥CG，

∴BE=EG，

-

∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．

4．【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=AC，

∵AC=AD，

》

∴MN=BM．

（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）可知，BM=AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

?

∴BN2=BM2+MN2，

由（1）可知MN=BM=AC=1，

∴BN=

5．【解答】解：（1）∵把A（0，4）代入y=﹣x+b得b=4

∴直线AB的函数表达式为：y=﹣x+4．

令y=0得：﹣x+4=0，解得：x=4

∴点B的坐标为（4，0）．

>

（2）①∵l垂直平分OB，

∴OE=BE=2．

∵将x=2代入y=﹣x+4得：y=﹣2+4=2．

∴点D的坐标为（2，2）．

∵点P的坐标为（2，n），

∴PD=n﹣2．

∵S△APB=S△APD+S△BPD，

∴S△ABP=PD?OE+PD?BE=（n﹣2）×2+（n﹣2）×2=2n﹣4．

|

②∵S△ABP=8，

∴2n﹣4=8，解得：n=6．

∴点P的坐标为（2，6）．

③如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．

∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，

∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．

|

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．

∴∠MPC=∠NCB．

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN．

∴CM=BN，PM=CN．

∴，解得．

>

∴点C的坐标为（6，4）．

如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．

∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，

∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．

^

∴∠MPC=∠NCB．

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN．

∴CM=BN，PM=CN．

∴，解得．

∴点C的坐标为（0，2）（不合题意）．

综上所述点C的坐标为（6，4）．

》

【解答】解：（1）50﹣1﹣4﹣2﹣3﹣22﹣3=15人（2分）

（2）21000﹣950=20050元（4分）

（3）员工的说法更合理些．

这组数据的平均数是2606元，中位数是1700元，众数是1600元

由于个别较大数据的影响，平均数不能准确地代表平近水平，此时中位数或众数可以较好的反映工资的平均水平，因此员工的说法更合理一些．（9分）

`

（4）（元）

这样计算更能代表员工的平均工资水平．（12分）

7．【解答】解：①过点A作AD⊥x轴于点D，过P、Q的交点作PC⊥x轴于点C，如图1所示．

∵△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，

∴AD=OA?sin60°=3，AD=OB=3，

∴点A的坐标为（3，3）；

当P、Q点相遇时点Q走过的路程为3×6÷（3+2）×2=，

/

PB=﹣OB=，

∴BC=PB?cos60°=，PC=PB?sin60°=，

∴OC=OB﹣BC=．

即P、Q相遇的坐标为（，）．

故答案为：（3，3）；（，）．

②依照题意画出图形，如图2所示．

当t=2时，点P运动到了A点处，OQ=4，

S△OPQ=OA?OQ?sin∠AOQ=×6×4×=6；

当t=3时，点Q运动到了B点处，AP=3×3﹣OA=3，

∵△OAB为等边三角形，且AB=6，

∴此时P点为线段AB的中点，

∴OP⊥AB，且∠POB=∠AOB=30°，

∴OP=OB?sin∠ABO=3，

S△OPQ=OP?OB?sin∠POB=×3×6×=．

故答案为：6；．

③由②知当t=2时，P点运动到A点，故分两种情况考虑：

当0＜t≤2时，OP=3t，OQ=2t，

S=OP?OQ?sin∠AOB=×3t×2t×=；

当2＜t≤3时，OP=3t，OQ=2t，AP=OP﹣OA=3t﹣6，BP=AB﹣AP=12﹣3t，

S=OQ?BP?sin∠ABO=×2t×（12﹣3t）×=﹣+6t．

综上可知：S关于t的函数关系式为S=．

④假设存在，当t=2时，点P坐标为（3，3），点Q的坐标为（4，0），设点M的坐标为（0，m）．根据两点间的距离公式可知：PQ==2，PM=，

QM=，

以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形分三种情况：

当PQ为斜边时，由勾股定理得PM2+QM2=PQ2，即9++16+m2=28，

方程无解；

当PM为斜边时，由勾股定理得PQ2+QM2=PM2，即28+16+m2=9+，

解得：m=﹣，此时点M的坐标为（0，﹣）；

当QM为斜边时，由勾股定理得PQ2+PM2=QM2，即28+9+=16+m2，

解得：m=，此时点M的坐标为（0，）．

故当t=2时，在y轴上能找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，点M的坐标为（0，﹣）或（0，）．

【点评】本题考查了解直角三角形、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是：①在直角三角形中借助特殊角的三角函数值求线段；②套用面积公式求面积；

③分段寻找S关于t的函数关系式；④由两点间的距离公式结合勾股定理列出关于m的一元二次方程．本题属于难题，①②难度不大；③巧妙的用边乘角的正弦值来代替，使得运算量大大较少；④用到了两点间的距离公式，在作图寻找中往往会落下一两种情况，虽说两点间的距离公式为高中内容，但在日常教学中，初中的老师们往往会将此方法求距离教给学生们．