(完整版)(重点)平面向量数量积公式的应用
平面向量的数量积与应用知识点总结
平面向量的数量积与应用知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，涉及到许多与力学、几何等学科相关的应用。
其中，数量积是平面向量运算中的一种重要操作，具有广泛的应用价值。
本文将对平面向量的数量积以及其应用知识点进行总结。
一、平面向量的数量积数量积，又称点积或内积，是平面向量运算中的一种形式。
对于平面内的两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2其中，a1 和 b1 是向量 a 和 b 在同一方向上的投影长度，a2 和 b2 是它们在另一方向上的投影长度。
数量积具有以下特性：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的判定：如果 a·b = 0，则两个向量 a 和 b 垂直。
4. 数量积为正负的判定：如果 a·b > 0，则两个向量 a 和 b 的夹角小于 90 度；如果 a·b < 0，则两个向量 a 和 b 的夹角大于 90 度。
二、数量积的应用知识点1. 向量的模长根据数量积的定义，可以得到两个向量 a 和 b 的数量积可以表示为：a·a = ||a||^2其中，||a|| 表示向量 a 的模长，也称为向量 a 的长度。
因此，根据以上公式可以计算向量的模长。
2. 向量夹角的计算利用数量积的特性，可以计算两个向量 a 和 b 之间的夹角θ，公式如下：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)利用这个公式，可以计算任意两个向量之间的夹角。
3. 向量投影考虑一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影，可以根据数量积得到投影的长度：proj_b(a) = (a·b) / ||b||这个投影长度表示了向量 a 在向量 b 上的投影长度，可以用于求解各种问题。
平面向量的数量积及平面向量的应用
三基能力强化
1．(2009年高考重庆卷改编)已知 |a|＝1，|b|＝6，(a＋2b)· (b－a)＝68， 则向量a与b的夹角是( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 答案：C
三基能力强化
2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝ (2,3)，则a· c)等于( (b· ) A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78 答案：A
规律方法总结
1．对数量积概念的理解 (1)两个向量的数量积是一个数 量，它的值为两个向量的模与两向量 夹角的余弦的乘积，结果可正、可 负、可为零，其符号由夹角的余弦值 确定．计算数量积的关键是正确确定 两向量的夹角，条件是两向量的始点 必须重合，否则要通过平移，使两向 量符合以上条件．
规律方法总结
课堂互动讲练
例1 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－ 3b)(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|.
课堂互动讲练
【思路点拨】
平面向量数 量积的定义
夹角公式
求模公式
课堂互动讲练
【解】 (1)∵(2a－3b)· (2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a· b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， ∴64－4a· b－27＝61， ∴a· b＝－6. －6 a· b 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝－ . 2 |a||b| 4×3 2π 又 0≤θ≤π，∴θ＝ . 3
课堂互动讲练
(2)|a ＋ b| ＝ (a＋b)2 ＝ |a|2＋2a· b＋|b|2 ＝ 16＋2×(－6)＋9＝ 13.
【点评】正确地进行数量积的运 算，避免错用公式，如a2＝|a|2是正确 的，而a· b＝|a||b|和|a· b|＝|a||b|都是错 误的．
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积及其应用
突破点(一) 平面向量的数量积1．向量的夹角；21.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且u u u r BE ＝23u u u r BC ，u u u r DF ＝16u u u r DC ，则u u u r AE ·u u u r AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. (2)取u u u r BA ，u u u r BC 为一组基底，则u u u r AE ＝u u u r BE －u u u r BA ＝23u u u r BC －u u u r BA ，u u u r AF ＝u u u r AB ＋u u u r BC ＋u u u r CF ＝－u u u r BA ＋u u u r BC ＋512u u u r BA ＝－712u u u r BA ＋u u u r BC ，∴u u u r AE ·u u u r AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 u u u r BC －u u u r BA ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712 u u u r BA ＋u u u r BC ＝712|u u u r BA |2－2518u u u r BA ·u u u r BC ＋23|u u u r BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918[易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足u u u r AB ＝2a ，u u u r AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥u u u r BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又u u u r AB ＝2a 且|u u u r AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·u u u r BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥u u u r BC ，D 正确，故选D.(2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0.∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C[易错提醒]x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a 2＝a ·a ＝|a |2； (2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2.[例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( ) A ．2 B ．6 C ．2 3 D ．12(2)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. [解析] (1)|4a －b |2＝16a 2＋b 2－8a ·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12.∴|4a －b |＝2 3. (2)∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°.由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.[答案] (1)C (2)233 [方法技巧] 求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步 分别求出这两个向量的模第三步 根据公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) D ．π(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8， a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.[易错提醒](1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线．(2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.[例1] 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1. 又0<A <π，故π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②，可得b ＝3，c ＝2. [方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2)向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质|a |2＝a 2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．[例2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若u u u r AC ·u u u r BE ＝1, 则AB的长为________．(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若u u u r AE ·u u u r AF ＝1，则 λ的值为________． [解析] (1)设|u u u r AB |＝x ，x ＞0，则u u u r AB ·u u u r AD ＝12x .又u u u r AC ·u u u r BE ＝(u u u r AD ＋u u u r AB )·(u u u r AD －12u u u r AB )＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. (2)由题意可得u u u r AB ·u u u r AD ＝|u u u r AB |·|u u u r AD |cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2， 在菱形ABCD 中，易知u u u r AB ＝u u u r DC ，u u u r AD ＝u u u r BC ， 所以u u u r AE ＝u u u r AB ＋u u u r BE ＝u u u r AB ＋13u u u r AD ，u u u r AF ＝u u u r AD ＋u u u r DF ＝1λu u u r AB ＋u u u r AD ， u u u r AE ·u u u r AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u u u r AB ＋13 u u u r AD ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ u u u r AB ＋u u u r AD ＝4λ＋43－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ＝1，解得λ＝2.[答案](1)12 (2)2 [方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[检验高考能力]一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，u u u r AB ＝(1，－2)，u u u r AD ＝(2,1)，则u u u r AD ·u u u r AC ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：选A 由四边形ABCD 是平行四边形，知u u u r AC ＝u u u r AB ＋u u u r AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故u u u r AD ·u u u r AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94 解析：选B ∵n⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. 5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则u u u r AF ·u u u r BC 的值为( )A ．－58 解析：选B 如图所示，u u u r AF ＝u u u r AD ＋u u u r DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以u u u r AD ＝12u u u r AB ，u u u r DF ＝12u u u r AC ＋14u u u r AC ＝34u u u r AC ，所以u u u r AF ＝12u u u r AB ＋34u u u r AC .又u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ，则u u u r AF ·u u u r BC ＝12u u u r AB ＋34u u u r AC ·(u u u r AC －u u u r AB )＝12u u u r AB ·u u u r AC －12u u u r AB 2＋34u u u r AC 2－34u u u r AC ·u u u r AB ＝34u u u r AC 2－12u u u r AB 2－14u u u r AC ·u u u r AB .又|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝1，∠BAC ＝60°，故u u u r AF ·u u u r BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. 6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足u u u r AP ＝λu u u r AB ，uuu r AQ ＝(1－λ)u u u r AC ，λ∈R ，若uuu r BQ ·uuu r CP ＝－32，则λ＝( )解析：选 A ∵uuu r BQ ＝uuu r AQ －u u u r AB ＝(1－λ)u u u r AC －u u u r AB ，uuu r CP ＝u u u r AP －u u u r AC ＝λu u u r AB －u u u r AC ，又uuu r BQ ·uuu r CP ＝－32，|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝2，A ＝60°，u u u r AB ·u u u r AC ＝|u u u r AB |·|u u u r AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ)u u u r AC －u u u r AB ]·(λu u u r AB －u u u r AC )＝－32，即λ|u u u r AB |2＋(λ2－λ－1)u u u r AB ·u u u r AC ＋(1－λ)|u u u r AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12. 二、填空题7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：828．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π39．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则u u u u r AM ·u u u u r AN 的最大值为________． 解析：设u u u u r AN ＝λu u u r AB ＋μu u u r AD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.u u u u r AM ＝u u u r AD ＋12u u u r DC ＝12u u u r AB ＋u u u r AD .所以u u u u r AM ·u u u u r AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 u u u r AB ＋u u u r AD ·(λu u u r AB ＋μu u u r AD )＝λ2u u u r AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2u u u r AB ·u u u r AD ＋μu u u r AD 2＝λ2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤u u u u r AM ·u u u u r AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，u u u u r AM ·u u u u r AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m ||n |cos π3＝1×1×12＝12，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小； (2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且u u u r CA ·(u u u r AB －u u u r AC )＝18，求边c 的长．解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π，∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵u u u r CA ·(u u u r AB －u u u r AC )＝18，∴u u u r CA ·uuu r CB ＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
1
2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
1
1
1
平面向量的数量积及平面向量的应用举例
3．求向量模的常用方法：利用公式 |a|2＝a2，将模的运算转化为向量数量 积的运算．
失误防范
1．零向量：(1)0 与实数 0 的区别，不可 写错：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·＝ 0 0≠0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方 向，0 与任何向量平行，我们只定义了非 零向量的垂直关系．
课前热身
1．若向量a，b，c满足a∥b 且a⊥c，则c· (a＋2b)＝( )
A．4
C．2
B．3
D．0
答案：D
2．已知向量 a，b 满足 a· b＝0，|a|＝1， |b|＝2，则|2a－b|＝( A．0 C．4 ) B．2 2 D．8
答案：B
3． (2011· 高考大纲全国卷)已知抛物线 C： y2＝4x 的焦点为 F，直线 y＝2x－4 与 C 交于 A，B 两点，则 cos∠AFB＝( 4 3 A. B. 5 5 3 4 C．－ D．－ 5 5 )
a· b 2 则 cosθ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1× 2 π 又 θ∈[0，π]，∴θ＝ . 4 π 即 a 与 b 的夹角为 . 4
1 2
(2)∵(a－b)2＝a2－2a· 2 b＋b 1 1 1 ＝1－2× ＋ ＝ ， 2 2 2 2 ∴|a－b|＝ ， 2 ∵(a＋b)2＝a2＋2a· 2 b＋b 1 1 5 ＝1＋2× ＋ ＝ ， 2 2 2
量积等于0说明两向量的夹角为直角,
数量积小于0且两向量不共线时两向量
的夹角是钝角．
考点3 两向量的平行与垂直关系
向量的平行、垂直都是两向量关系中 的特殊情况，判断两向量垂直可以借 助数量积公式．如果已知两向量平行 或垂直可以根据公式列方程(组)求解
例3
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角
平面向量的数量积及应用举例
(3)×.因为a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角;a·b<0, 则a与b的夹角为钝角或平角. (4)√.由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算 的定义可知,两个向量的数量积结果为一实数,两个向量 的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向量.
2.在△ABC中,若
uuur uuur BCgBA
uuur OA
|2,则点O为三角形的垂心.
4.|BuuCur|gOuuAur |AuuCur|gOuuBur |AuuBur|gOuuCur =0,则点O为三角形的内心.
【对点训练】
1.如图,AB是半圆O的直径,P是 A»B 上的点,M,N是直径AB
上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则
【典例】(1)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若
uuur BD
=
2
uuur DC
,
uuur AE
=λ
uuur AC
uuur AB
(λ∈R),且
AuuDur ·AuuEur
=-4,则λ的
值为________. 世纪金榜导学号
【解析】 Auu·Bur Au=uCur3×2×cos 60°=3,
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur
PAgPB PAgAM AMgPB|AM|2
uuur uuur uuur uur uuur
PAgAM AMgPB|AM|2
uuur uuur uuur
AMgAB|AM|2 1 6 1 5.
2.已知O为△ABC内一点,∠AOB=120°,OA=1,OB=2,过点
,所以(
uuur uur PA PC
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
添加 标题
定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
添加 标题
计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
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平面向量数量积公式的应用
向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思维方式。
下面谈谈数量积公式在解题中的应用。
一、解决平面几何问题： 1．长度问题
例1：设AC 是平行四边形ABCD 的长对角线，从C 引AB 、AD 的垂线CE 、CF ，垂足分别为E 、F ，如图所示，求证：2
AC AF AD AE AB =⋅+⋅。
2．垂直问题
例2：如图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上一点，PFCE 是矩形，证明： EF PA ⊥。
3．夹角问题
例3：求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。
二、解决三角问题： 1．证明一些公式： 例
4：对于任意实数α
，β
，求证：
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+。
F
E D C B
A P
F
y x
E D C
B
A
O
y x
E
D C
B A
O α
β
-a
b
A
B
X
O
Y
1
A 1
B
2．证明三角恒等式：
例5：已知α、β为锐角，且1sin 2sin 32
2
=+βα，
02sin 22sin 3=-βα，求证：2
2π
βα=
+。
3．求三角函数值： 例6：求值：7
6cos 74cos 72cos πππ++。
4．解与三角形有关的问题：
例7：在锐角△ABC 中，已知2
3
)cos(cos cos =+-+B A B A ，求角C 的值。
三、证明等式：
一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明了。
例8：设2
2
2
2
2
)())((by ax b a y x +=++（0≠ab ），求证：b
y a x =
A A A A A A A e
1
2
3
4
5
6
7
例9：已知11122=-+-a b b a ，求证：12
2
=+b a 。
四、解方程：
解决一些特殊的方程时，也可以适用向量的方法解决。
例10：解方程：x x x x 4414=-+-⨯。
五、求函数的最值或值域：
某些条件最值如果按常规方法求不易入手，但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地构造向量，则会使问题变得简单。
例11：求函数x x x f -+=65)(的最大值。
例12：已知92
2
=+y x ，42
2=+b a （x ，y ，a ，R b ∈），求by ax +的极值。