二三阶行列式2n阶行列式内20190831-文档资料
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
二阶三阶行列式
列标排列的逆序数为
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1) ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
a31 a32 a33
三、n阶行列式的定义
定义1.4
由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
i1 j1 i2 j2
ijn是取定的某一固定排列
A
1 α α α τ(i1i2 in ) τ( j1 j2 jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1i2 in
特别 j1 j2
j
n
取定标准排列
2.14 2.15
A
1 α α α τ(i1i2in )
i11 i2 2
inn
2.16
其中不为零的项只有 α1 1α2 2 αnn .
a11 a12 a22
a1n
a2n 1 12na a 11 22 ann
ann a11a22 ann .
行列式的不同表示方法
设i1 i 2
i
是取定的某一固定排列
n
A
1 α α α τ(i1i2 in ) τ( j1 j2 jn )
取 自 不 同 行 不 同 列 的n 个 元 素 的 乘 积
的代数和
(1) a a τ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn .
记作
a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n
2.8
an1 an2 ann
其中 j1 j2 jn 为自然数 1，2， ，n 的一个排列， τ( j1 j2 jn ) 为这个排列的逆序数．
第一讲 二阶、三阶、N阶行列式
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
二阶与三阶行列式
综合性质3.2有
n
D
aki Akj Dij
k 1
0
当i = j , 当i≠ j;
或
n
D 当i = j ,
aik Ajk
k =1
= Dij
=
0
当i≠ j。
其中
1,当i j,
ij 0,当i j.
例 计算
1 1 1 0 1 2 1 0 0 1 D 0 1 0 2 0 ． 0 0 0 1 1 1 000 2
4 行列式具有分行（列）可加性.即
a11 L b1 j c1 j L a1n
D= a21 L b2 j c2 j L a2n
M
M
M
an1 L
a11 a21 =
bnj cnj L ann
b1 j a1n a11 L b2 j a2n a21 L L L
an1 bnj ann an1 L
xn x1
xnxn x1
xnn2 xn x1
1 1 1
x2 x1x3 x1 xn x1
x2
x3
xn
x2n2 x3n2 xnn2
(x2 x1)(x3 x1)L (xn x1) (xi xj )
ab
c
d
0 a ab abc
0 a 2a b 3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
同理，可得
ab c
d
0 a ab abc
00 a
2a b
00 a
3a b
ab c
d
0
a
ab
一、二阶及三阶行列式
a1 (b2c3 b3c2 ) b1 (c2a3 c3a2 )
c1 (a2b3 a3b2 )
b2 c2 a2 c2 a 2 b2 a1 b1 c1 . b3 c3 a3 c3 a 3 b3
例如，例 2 中的行列式可按如下方法计算
7 0 9 1 2 1 3 2 3 9 0 1 2 3 7 4 5 4 0 5 0 4 5 0
由两点间距离公式可得
A B ( 3 0 ) ( 2 2 ) ( 1 5 ) 5 ,
由两点间距离公式 可得
A O ( 3 )2 22 12 14 ,
2
2
2
BO 02 22 52 29 .
所以，△AOB 的周长
l AB AO BO 5
R z M O x P Q
y
2.两点之间的距离 设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 求 它们之间的距离 d = |M1M2|. 过点 M1 M2 各作三张平 面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体. 易知
z
d M1 M2
2
2
2
2
z2 z1 P x1 x2 O y1 M1 M2 Q y2 y
所以
d ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) .
2 2 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
d OM x 2 y 2 z 2
两点间距离
例4
的周长. 解
已知 A (－3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). △AOB
7 ( 15 ) 9 ( 3 )
二阶、三阶行列式
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
记
即
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 程组引入的 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12 a21 .
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
若记 系数行列式
D=
a11
a12
a21 a22
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
二阶、三阶、n阶行列式
三,二阶行列式
a11 x1 + a12 x2 = b1 (1) 1,用消元法解二元线性 一次 方程组 一次)方程组 ,用消元法解二元线性(一次 a21 x1 + a22 x2 = b2 (2)
( a11 a 22 a12 a 21 ) x1 = b1a 22 b2 a12 ( a11 a 22 a12 a 21 ) x2 = b2 a11 b1a 21
b1 b2
a 12 a 22
a 12 a 22
主对角线 副对角线
主对角线的乘积- 主对角线的乘积-副对角线的乘积
行,列
两行两列故为二阶行列式
D1 = b1a 22 b2 a12 =
D2 = b2 a11 b1a 21 =
系数行列式
a 11 a 21
b1 b2
∵ D ≠ 0 ∴ 二元一次方程组有唯一解 x1 =
a11
-
a12 a22 a32
a13 a23 a33
+
a21 a31
对角线法则
沙路法则: 沙路法则:
a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33
a11 a21 a31
- -
a12 a22 a32
2,几种特殊的行列式 , (1),对角行列式—非主对角线上元素全为 的行列式. ,对角行列式 非主对角线上元素全为0的行列式 非主对角线上元素全为 的行列式.
λ1
D= 0 0 D= 0
λ2
= (1) N (12n ) λ1λ2 λn = λ1λ2 λn
λn
λ1 λ2
= ( 1) N ( n ( n 1)21) λ1λ2 λn = ( 1)
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
二三阶行列式的计算公式
二三阶行列式的计算公式行列式是线性代数中的一种基本概念，它是一个方阵的一个标量值，用于表示线性变换对体积的影响。
在实际应用中，求解行列式是非常重要的，因此，对于二三阶行列式的计算公式的掌握显得尤为重要。
一、二阶行列式的计算公式二阶行列式是一种特殊的行列式，它由一个2×2的方阵构成。
其计算公式为：$$begin{vmatrix}a & bc & dend{vmatrix} = ad-bc$$其中，a、b、c、d均为实数。
二阶行列式的计算公式非常简单，只需要将主对角线上的元素乘起来，再将副对角线上的元素乘起来，最后将两个积相减即可。
例如，求解以下二阶行列式：$$begin{vmatrix}1 & 23 & 4end{vmatrix}$$根据公式可得：$$begin{vmatrix}1 & 23 & 4end{vmatrix} = (1times4)-(2times3)=-2$$因此，二阶行列式的计算非常简单，只需要掌握公式即可。
二、三阶行列式的计算公式三阶行列式是一种比较常见的行列式，它由一个3×3的方阵构成。
其计算公式为：$$begin{vmatrix}a &b & cd &e & fg & h & iend{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i均为实数。
三阶行列式的计算公式比较复杂，需要掌握一定的技巧。
一种常用的计算方法是“按行展开法”，即按照第一行的元素展开，将行列式转化为二阶行列式的形式，然后再利用二阶行列式的计算公式进行求解。
例如，求解以下三阶行列式：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix}$$按照第一行的元素展开，有：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} = 1begin{vmatrix}5 & 68 & 9end{vmatrix} - 2begin{vmatrix}4 & 67 & 9end{vmatrix} + 3begin{vmatrix}4 & 57 & 8end{vmatrix}$$利用二阶行列式的计算公式，可得：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} =1times(5times9-6times8)-2times(4times9-6times7)+3times(4tim es8-5times7)=-6$$因此，掌握了行列式的计算公式和计算方法，就可以轻松求解二三阶行列式了。
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a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a a a a a a a a a 12 23 31 11 22 33 13 21 32 a a a a a a a11a23a32 12 21 33 13 22 31
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
线性代数是高等代数的一大分支。
一次方程称为线性方程，
研究线性方程及系列相关问题的代数就称 做线性代数。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近 似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于 自然科学和社会科学中。 由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤 其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它 在数值分析与运筹学中占有重要地位。
随着科学技术的发展，特别是电子计算机 使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一， 线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社 会科学、工程技术、经济、管理等各个领域 。
线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于 十九世纪.
第一章
第一节
行列式(6个学时)
二阶、三阶行列式
第二节 n阶行列式 第三节 行列式的性质
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
aaa aaa aaa 1 12 23 3 1 22 33 1 1 32 13 2
aaa aaa aaa 1 12 33 2 1 22 13 3 1 32 23 1 ,
逆序
排列中某元素的逆序数---------
逆序
排列的逆序数 ----------此排列中所有逆序的总数
排列中此元素前面比它大的数码个数之和
ii i 逆序--- 在一个排列 12 i s t
i 中，若数 i s i t n
(前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.
排列的逆序数 ----------此排列中所有逆序的总数
排列中某元素的逆序数--排列中此元素前面比它大的数码个数之和
求排列的逆序数的方法
(1)求排列中每个元素的逆序数 (2)求每个元素的逆序数之总和 例1 解 求排列42315的逆序数
4 2 3 1 5 0 113 0 于是排列42315的逆序数(记为N(42315))为
N ( 4 2 3 1 5 )0 1 1 3 0 5
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!
或者：对角线法则 + + a 11 a 12
a 21 a 22
把第一，二两列抄在行列式右边 + a 13 a 11 a 12 a 13 a 23 a 21 a 22 a 23
（5）式称为数表（4）所确定的三阶行列式.
对角线法则
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 12 23 31 11 22 33 13 21 32
a a a a a a a a a . 12 21 33 13 22 31 11 23 32
求排列的逆序数的方法
(1)求排列中每个元素的逆序数 (2)求每个元素的逆序数之总和 例2: 求排列32514 的逆序数.
解:
0 1 0 31
3 2 5 1 4
故此排列的逆序数(记为N(32514))为: N(32514)=3+1+0+1+0=5.
i1 i 2
i n ,称为一个n级排列。
例：12345及其34215是五级排列，1194、 4567不是四级排列。
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. ii i i 逆序--- 在一个排列 中，若数 i s i t 12 i s t n (前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序. 逆序 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4
041 aa 0 1 1 1 a 1
a 1 0
2
当且仅当
a 1
第一章 行列式
第一节 二阶、三阶行列式
第二节 n阶行列式 第三节 行列式的性质
第四节 行列式按行(列)展开
第五节 克莱姆法则
第二节 n阶行列式
(一) 排列与逆序
由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组
三阶行列式的特点:
三阶行列式包括3!项,
每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积. 其中三项为正,三项为负.
1 2 -4
例1
计算三阶行列式 D -2 2 1 -3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
( 4 ) 2 ( 3 ) 4 1 1 ( 2 ) ( 2 ) 2
4 6 32 4 8 24
14 .
例3
a 1 4 1 a 1 0 0 0 1
的充分必要条件是什么？
解：
a 1 4 1 a 1 0 0 1
2
a a 1 1 0 4 1 1 0
设 有 9个 数 排 成 3 行列 3 的 数 表 a a a 11 12 13 a21 a22 a23 (4)
记 a 11
a31 a32 a33
列标
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
行标
a 21 a 31
a aa aaa aaa 5 ) 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 32 13 2 ( a aa aaa aaa 1 1 2 33 2 1 22 13 3 1 32 23 1 ,
第四节 行列式按行(列)展开
第五节 克莱姆法则
（一）二阶行列式
行标
主对角线 副对角线
列标
a11 a 21
a12 a 22
a a . a a 12 21 11 22
以上的行列式的计算方法常称为：
例1.
对角线法则
46 D 4 16 5 2 6 51
（二）三阶行列式
定义