一、二阶及三阶行列式
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1.2 行列式的概念
a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
(1) 每一项都是位于不同行 、不同列的三个元素之 积，
共有3 ！项。 ( 2)当行标按自然顺序排列时， 每项的符号取决于列标 排列的奇偶性。上页
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a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 a 24 a 34 a 44 a 54
a15 a 25 a 35 a 45 a 55
a13a 25a 34a 41a 52 是D中一项， (35412) 7 ,该项取负号。 a 33a 54a12a 21a 45 a12a 21a 33a 45a 54 , 从而也是D中一项，
(21354) 2 ,该项取正号。 a 53a 25a 34a 43a12 不是D中的项。
(k 1,2,n 1)
即m1 m2 mn1 m
则在i1 i k i n中，i k 后比i k 大的数有n k m k 个 即在i n i k i1中，i k 前比i k 大的数有n k m k 个
( in i2 i1 ) ( n 1 m1 ) ( n 2 m 2 ) (1 m n1 ) n(n 1) m 2
a11 a21
a1n a2 n , ann
作出所有不同行、不同 n个元素的乘积a1 p1 a2 p2 a npn 列的
共有n!项， 每一项冠以符号1) ( p1 p2 pn ) ,所有这n!项的代数和 ( 称为n阶行列式， a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn
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由此可得: 定理2：n阶行列式
D aij
(1) 每一项都是位于不同行 、不同列的三个元素之 积，
共有3 ！项。 ( 2)当行标按自然顺序排列时， 每项的符号取决于列标 排列的奇偶性。上页
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a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 a 24 a 34 a 44 a 54
a15 a 25 a 35 a 45 a 55
a13a 25a 34a 41a 52 是D中一项， (35412) 7 ,该项取负号。 a 33a 54a12a 21a 45 a12a 21a 33a 45a 54 , 从而也是D中一项，
(21354) 2 ,该项取正号。 a 53a 25a 34a 43a12 不是D中的项。
(k 1,2,n 1)
即m1 m2 mn1 m
则在i1 i k i n中，i k 后比i k 大的数有n k m k 个 即在i n i k i1中，i k 前比i k 大的数有n k m k 个
( in i2 i1 ) ( n 1 m1 ) ( n 2 m 2 ) (1 m n1 ) n(n 1) m 2
a11 a21
a1n a2 n , ann
作出所有不同行、不同 n个元素的乘积a1 p1 a2 p2 a npn 列的
共有n!项， 每一项冠以符号1) ( p1 p2 pn ) ,所有这n!项的代数和 ( 称为n阶行列式， a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn
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由此可得: 定理2：n阶行列式
D aij
线性代数第一章15
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D a n1
a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a ni a nn a n1
i a1 n a1 a a2n 2i a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .
1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
2. 二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
对于二元线性方程组
若记
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
系数行列式
b1 D1 b2
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.
二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
a11 a 21 D a n1
a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a ni a nn a n1
i a1 n a1 a a2n 2i a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .
1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
2. 二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
对于二元线性方程组
若记
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
系数行列式
b1 D1 b2
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.
二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
一二阶与三阶行列式-PPT精品文档
引进记号
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13
a a a a a a a a a a 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a 33
a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a11a22a33 a12a23a31a13a21a32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
例：
2 1 1
0 4 8
1 1 3
118 0(1 ) (1 ) 4 )3 2(
a b b a 1 a 11 11 2 1 21 x 2 a a a a A a 21 11 22 12 21
a 12 a 22
b1 b2
2.
a11x1 a12x2 a13x3 b 1 类似地，为讨论三元线性方程组 a21x a22x2 a23x3 b 1 2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
a 13 a 23 a 33
a 14 a 24 a 34
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 a41 a43 a44
1 2 M A 1 M 12 12 12
a 43 aa444 4
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a 12 a 22
算出来是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积
A
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13
a a a a a a a a a a 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a 33
a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a11a22a33 a12a23a31a13a21a32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
例：
2 1 1
0 4 8
1 1 3
118 0(1 ) (1 ) 4 )3 2(
a b b a 1 a 11 11 2 1 21 x 2 a a a a A a 21 11 22 12 21
a 12 a 22
b1 b2
2.
a11x1 a12x2 a13x3 b 1 类似地，为讨论三元线性方程组 a21x a22x2 a23x3 b 1 2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
a 13 a 23 a 33
a 14 a 24 a 34
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 a41 a43 a44
1 2 M A 1 M 12 12 12
a 43 aa444 4
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a 12 a 22
算出来是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积
A
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
高等代数课件
a21 a31 a22 a32 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
常见行列式
常见行列式常见行列式是指在线性代数中常出现的一些具有特定形式的行列式。
行列式是一个矩阵的一个重要性质，它代表了该矩阵的某些特征。
接下来我将介绍一些常见的行列式，并解释它们的特点和应用。
首先，最常见的行列式就是二阶和三阶行列式。
二阶行列式是一个2×2的矩阵，记作|A|=ad-bc。
其中，a、b、c和d为矩阵A的元素。
二阶行列式的求解方法是将对角线上的乘积相加，并减去非对角线上的乘积。
二阶行列式常用于计算平面上两个向量的行列式，从而判断它们的线性相关性。
三阶行列式是一个3×3的矩阵，记作|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
三阶行列式的求解方法是将每个元素与与其对应的代数余子式相乘，然后按正负号相加。
三阶行列式广泛应用于三维几何体的体积计算和解线性方程组等问题。
其次，特殊的行列式包括单位矩阵和零矩阵的行列式。
单位矩阵是一个n×n的矩阵，主对角线上的元素均为1，其他元素均为0。
单位矩阵的行列式为1，它表示了一个矩阵在相似变换下的不变性。
零矩阵是一个所有元素都为0的矩阵，它的行列式为0。
此外，对角矩阵和上三角矩阵的行列式也具有一定的特殊性质。
对角矩阵是一个所有非对角元素都为0的矩阵，对角元素可以相同也可以不同。
对角矩阵的行列式等于对角元素的乘积。
上三角矩阵是一个除了主对角线以下的元素都为0的矩阵，它的行列式等于主对角线上的元素的乘积。
对角矩阵和上三角矩阵的行列式的计算相对简单，这使得它们在实际问题中的应用更加方便。
另外，行列式的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是一个矩阵的一个标量，特征向量是对应于特征值的一个向量。
行列式的特征值和特征向量有着丰富的几何意义和应用。
特征值和特征向量可以用于求解线性方程组、矩阵的对角化和求取矩阵的幂等等问题。
最后，通过行列式的定义和性质，我们可以推导出一些行列式的重要公式，如拉普拉斯展开公式和克拉默法则等。
线代1-1
线性代数 第一章Βιβλιοθήκη 行列式12a11 D
a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an 2 ann
分析： (1) 展开式为 n！项的代数和。
(2)每项为位于不同行、不同列的n个元素的乘积；
a (3)行标自然排列，各项的正负号与列标的排列对照：1 j a2 j anj
an1 an 2 ann
3）
D
1
N ( i1i2 in ) N ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
an1 an 2 ann
线性代数 第一章 行列式
16
例10 若 1 N ( i 432 k ) N ( 52 j14)ai 5a42a3 j a21ak 4 是五阶行列式 （ ）
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
记
a21 a22 a2 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
例8 证明
a21 a22 0 D
an1 an 2 ann
下三角行列式
a11
上三角行列式
N ( j1 j2 jn )
证
a21 D
0 a22
1
a1 j1 a2 j2 anjn
an1 an 2 ann
所以D中可能不为0的项只有一项 1 其中N(12…n) = 0，
线性代数1-3n阶行列式的定义
响其值。
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
THANKS
感谢观看
线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
THANKS
感谢观看
线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
1-2三阶行列式
行列式的定义——三阶行列式三阶行列式 类似地，对于三元一次方程组a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2a 21x 1+a 22x 2+a 33x 3=b 3 为简单地表示它的解，引进三阶行列式的概念，称算式a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33为三阶行列式三阶行列式：a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33思考：1、三阶行列式有（）行（）列。
2、三阶行列式中第2行列1列的元素是（）。
3、三阶行列式中元素a32在第（）行第（）列三阶行列式练习：已知三阶行列式：32−11052−341、上面三阶行列式中第2行列1列的元素是（）。
2、上面三阶行列式中第1行列3列的元素是（）。
3、上面三阶行列式中元素0在第（）行第（）列。
4、上面三阶行列式中a23=（），a32=。
三阶行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32三阶行列式例：求下列行列式1、32−1 105 2−34三阶行列式例：求下列行列式2、1x x x2x x x3三阶行列式例：求下列行列式3、010 001 100三阶行列式练习：1、求下列行列式12503100200x02xx−13三阶行列式练习：2、求解方程11123x49x2=0三阶行列式。
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右手法则
让右手的四指从 x 轴的正向，以 2 的角度转向 y 轴的
正向， 这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向. 法则叫做右手法则.
这个
这样就组成了空间直角坐标系. O 称为坐标原 每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面， 简称为 点， 坐标面. x 轴与 y 轴所确定的坐标面称为 x y 坐表 面， 类似地有 y z 坐标面，z x 坐标面. Ⅲ 这些坐标面把空间分成 八个部分，每一个称为一个
8 x 24 0
解之，得
x3
根据行列式的定义，三阶行列式也可以用二阶
行列式表示. 其具体表达式如下:
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 a b c b c a c a b 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c 3 a 3 b2 c1 b3 c2 a1 c3 a 2 b1
a1 (b2c3 b3c2 ) b1 (c2a3 c3a2 )
c1 (a2b3 a3b2 )
b2 c2 a2 c2 a 2 b2 a1 b1 c1 . b3 c3 a3 c3 a 3 b3
例如，例 2 中的行列式可按如下方法计算
7 0 9 1 2 1 3 2 3 9 0 1 2 3 7 4 5 4 0 5 0 4 5 0
a2
换成方程组右端的常数项 c1，c2 而成的
行列式，记为 Dx .
a1 行列式 a2
c1 是把系数行列式中 y 的系数 c2
b1，b2 换成常数项 c1，c2 而成的行列式 ，记为 Dy .
所以，二元一次方程组的解又可表示为:
Dy Dx x ,y (其 中D 0) D D
例1
解方程组
2 x 3 y 7 0 5 x 4 y 6 0
a1 b1 c1 其中 D a 2 b2 c 2 称为方程组的系数行列式， a 3 b3 c 3
D x , D y 和 Dz 是系数行列式中x 、 y 和 z 的系数
依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式.
7
0 2 5
9 3 的值 0
例2
计算行列式 1
4
解
7 1 4 0 2 5 9 3 0
c1b2 c 2 b1 x , a1b2 a 2 b1
a 1 c 2 a 2 c1 y a1 b2 a 2 b1
为了便于记忆， 我们把 a1b2 a2b1 记作
a1 a2 b1 b2 ,
即
a1 a2
b1 a1b2 a 2 b1 , b2
这就叫二阶行列式，a1, b1 , a2, b2 叫做行列式的元 素， 行列式中横排叫做行， 纵排叫做列， 二阶行
7 ( 15 ) 9 ( 3 )
132
二、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系
过空间定点 O 作三条互相
垂直的数轴， 它们都以 O 为原点， 并且通常取相同的长度单位. 这 三条数轴分别称为 x 轴，y 轴，
图8–1
z 轴. 各轴正向之间的顺序通常 按下述法则确定:以右手握住 z 轴，
( ) ( ) ( )
70 12 45
( ) ( ) ( )
7 2 0 0 34 9 1 5 4 2 9 5 3 7 0 1 0 132
2 x 例 3 解方程 1 x5
解
3 1 5 3 0 4 2
2 x 1
3 1 5 3
解
原方程组即为
2 x 3 y 7, 5 x 4 y 6.
因为 D
2
3
5 4
23, D x
7
3
6 4
46,
Dy
2 5
7 6
23,
所以
Dx 46 x 2, D 23
23 y 1. D 23 Dy
2.三阶行列式
14 29 14.
M1Q QM 2
2 2
(△M1QM2 是直角三角形)
M1 P PQ QM 2
2
(△M1PQ 是直角三角形)
M1
x
图8-4
P
M2
P PM2 QM 2 M1
2
2
2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
由两点间距离公式可得
A B ( 3 0 ) ( 2 2 ) ( 1 5 ) 5 ,
由两点间距离公式 可得
A O ( 3 )2 22 12 14 ,
2
2
2
BO 02 22 52 29 .
所以，△AOB 的周长
l AB AO BO 5
所以
d ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) .
2 2 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
d OM x 2 y 2 z 2
两点间距离
例4
的周长. 解
已知 A (－3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). △AOB
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3
这就是三阶行列式. 其中ai , bi , ci (i = 1 , 2 , 3) 称为
行列式的元素，横排称为行，纵排称为列.
三阶行列式的计算可依下表进行: 实线上三
c1 c2 b1 b2
.
c1b2 c 2 b1 x , a1b2 a 2 b1 a1c 2 a 2 c1 y . a1b2 a 方程组 ① 中 x、
y 的系数按原来次序排列成的，称为方程组的系 数行列式，记为 D.
c1 行列式 c2 b2 是把系数行列式中 x 的系数 a1 ， b2
R z M O x P Q
y
2.两点之间的距离 设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 求 它们之间的距离 d = |M1M2|. 过点 M1 M2 各作三张平 面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体. 易知
z
d M1 M2
2
2
2
2
z2 z1 P x1 x2 O y1 M1 M2 Q y2 y
Ⅳ O Ⅶ x Ⅷ Ⅴ z Ⅱ Ⅰ
卦限. x、y、z 轴的正半轴 的卦限称为第 I 卦限，
八卦限
Ⅵ
y
从第 I 卦限开始，从 Oz 轴的正向向下看，按逆时 针的方向，先后出现的卦限依次称为第 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ 卦限; 第Ⅰ、Ⅱ 、 Ⅲ、 Ⅳ 卦限下面的空间部 分依次称为第 Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 卦限. 空间的点就与一组有序数组 x，y，z 之间建 立了一一对应关系. 有序数组 x，y，z 就称为点 M 的坐标，记为 M(x，y，z)，它们分别称为 x 坐标，y 坐标和 z 坐标.
个元素的连乘积取正号， 虚线上三个元素的连乘 积取负号. 即
( ) ( ) ( )
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1 a2 a3
( )
b1 b2 b3
( ) ( )
这样，三元一次方程组的解，可用三阶行列式表示，
当 D 0 时，
Dy Dz Dx x , y ,z . D D D
x5 4 2
( 2 x ) 5 2 ( 3 ) 3 ( x 5 ) 1 1 ( 4 ) ( x 5 ) 5 1 ( 4 ) 3 ( 2 x ) 2 1 ( 3 )
8 x 24,
所以原方程为
列式含有两行两列.
1 2
3 2
1 2 ( 2) 3 8,
2 13 0 ( 1) 26
2 1 0 13
a1 a2
b1 b2
( )
(+)
利用行列式， 二元一次方程组的解可以表示成：
c1 x c2 a1 a2
b1 b2 b1 b2 ,
y
a1 a2 a1 a2
第一模块 向量代数 空间解析几 何 第一节 二阶及三阶行列式 空间直角坐标系
一、二阶及三阶行列式 二、空间直角坐标系
一、二阶及三阶行列式
1.二阶行列式 我们从解二元一次方程组入手，设二元一次方 程为
a1 x b1 y c1 , a 2 x b2 y c 2 .
①
当 a1b2 a2b1 0 时， 方程组的解为