第2课时 直角三角形的两个锐角互余
第2课时直角三角形的两个锐角互余
01基础题
知识点1直角三角形的两个锐角互余
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)
A．120°B．90°C．60°D．30°
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(B)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．(宁波中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为(B) A．40°B．50°C．60°D．70°
4．(咸宁中考)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为(C) A．50°B．45°C．40°D．30°
5．如图所示的三角板中的两个锐角的和等于90度．
6．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝35°，则∠BCD的度数为35°．
知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形
7．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为直角三角形．
8．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形．
∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
02中档题
9．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为(A)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A－∠B＝∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；
④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则其中直角三角形的个数是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知在△ABC中，∠A＝45°＋α，∠B＝45°－α，则△ABC是直角三角形吗？是．
12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝1
2∠BEF，∠PFE＝
1
2∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝1
2(∠BEF＋∠DFE)＝90°.
∴△EPF为直角三角形．
03综合题
13．如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？
解：(1)∠1＝∠2.理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形．
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.
∴∠1＝∠2.
(2)结论仍然成立．理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.。
八年级数学人教版(上册)第2课时直角三角形的两个锐角互余
3.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则
∠1＋∠2＝( C )
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
第3题图
4.如图，CE，BF 是△ABC 的两条高.若∠A＝70°，∠BCE＝ 30°，则∠EBF＝ 20°，∠FBC＝ 40°.
(1)∠ACB＝ 90°.
(2)如图 2，如果 AE 是△ABC 的角平分线，AE 与 CD 相交于点 F，那么∠CFE 与∠CEF 相等吗？请说明理由.
解：∠CFE＝∠CEF， 理由：∵AE 平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE.
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°－(∠CDA＋∠BAE)， ∠CEA＝180°－(∠BCA＋∠CAE)，
易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解 8.如图，已知∠AOD＝30°，点 C 是射线 OD 上的一个动点.在 点 C 的运动过程中，△AOC 恰好是直角三角形，则此时∠A 所有可 能的度数为 60°或90° .
9.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；
③∠A＝90°－∠B；④3∠A＝2∠B＝∠C，其中能确定△ABC 是直
∴∠CEF＝∠DFA． ∵∠DFA＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF.
13.直线 EF，GH 之间有一个 Rt△ABC，其中∠BAC＝90°， ∠ABC＝α.
(1)如图 1，点 A 在直线 EF 上，B，C 在直线 GH 上.若∠α＝60°， ∠FAC＝30°.试说明：EF∥GH.
解：∵∠EAB＝180°－∠BAC－∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC ＝30°，∴∠EAB＝60°.
又∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝∠ABC． ∴EF∥GH.
11.2.1直角三角形的两个锐角互余(教案)2022秋八年级上册初二数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形相关的实际问题，如计算屋顶的倾斜角度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量直角三角形的两个锐角。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的定义、锐角互余的概念及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形的基本概念。直角三角形是一种有一个角为90°的三角形。锐角互余是指直角三角形中的两个锐角之和等于90°。这一性质在解决实际问题中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量一个直角三角形的两个锐角，并验证它们的和是否为90°，展示锐角互余在实际中的应用。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形的两个锐角互余》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”（如楼梯的倾斜部分、墙壁与地面形成的角等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形锐角互余的奥秘。
五、教学反思
在本次教学过程中，我尝试了多种方法来帮助学生理解直角三角形的两个锐角互余这一概念。首先，通过引入日常生活中的实例，我希望让学生感受到数学知识就在我们身边，提高他们对数学的兴趣。从课堂反馈来看，这个方法还是起到了一定的效果，同学们在讨论中积极参与，表现出较高的热情。
11.2.1三角形的内角2
D
B
2.如图，∠C=90°, ∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？
为什么？ A D
解：在Rt△ABC中，
∠A+ ∠2 =90°. ∵ ∠1=∠2, ∴ ∠A+∠1=90°, ∴△ADE是直角三角形. E C
八年级
上册
11.2.1 三角形的内角 （第2课时）
• 学习目标： 1．探索并掌握直角三角形的两个锐角互余． 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． • 学习重点： 探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
复习三角形的内角和
问题1 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？你用了什么知识解决的？ A
例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
分析：两个角的关系是 什么？这两个角分别在什么 三角形中？你如何验证自己 的想法？
A
C E
D
B
例题讲解
例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ 解：在Rt△AEC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠CAE +∠AEC =90° （直角三角形两锐角互余）． 在Rt△BDE 中， A ∵ ∠D =90°，
B
C
探索直角三角形的性质
问题2 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A， ∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？ 利用上面的结果，你能得出什么结论？ A
即∠A +∠B + 90° =180°
八年级数学上册11.2.2直角三角形两锐角互余教案(新版)新人教版
直角三角形的两个锐角互余教学目标：1.巩固上节课知识：“三角形内角和为180°”；“所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”；2.认识直角三角形，探索图形性质；3.得出结论：“直角三角形的两个锐角互余”；教学方法：此节课以探索直角三角形的内角性质为主，让同学们掌握“直角三角形的两个锐角互余”这点知识，课上可积极鼓励同学们发散思维，探索知识，利用作图工具尽量探索出直角三角形的特性。
课堂以小组实践探索为主，最后大家互相展示自己小组探索、找到的直角三角形性质。
最后老师归纳强调。
此节选用以学为主的教学模式中的启发式教学策略与方法，让学生养成自主探索、合作交流的学习方式，引导学生在已有知识的基础上通过观察来总结理论知识.教学过程：1.回顾上节课所学知识：师：（1）三角形内角和为180°；（2）所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（ ppt显示一张“知识回顾”的主题页，以提问的方式，让同学自己回忆上节课知识，学生回答上一点，ppt显示一条；）师：总结这一小节，做知识强调。
(鼓励同学们的积极参与，激发积极性；）随后ppt放映一张直角三角形的图片，师：今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么嚒？生：看到ppt，异口同声的说：直角三角形。
师：情绪很兴奋的表扬同学们说：对，今天我们学习探究的就是它——直角三角形。
（老师以此引入知识主题，进入学习）2.课程探究：随后ppt放映：关于“我们一起来动手”的动画提示。
师：（用激励提问的语气）：“那么老师说它非一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来”。
师：将全班分组（五组以内），让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，老师重点要求作出“直角等腰三角形”、“30°直角三角形”两个RT △，让后让同学利用量角尺量出各角的度数并记录（PPT显示数据记录表一），根据数据记录来发现、探究、总结直角三角形锐角之间的规律和联系。
11.2.2直角三角形的性质和判定教案-人教版八年级数学上册
∴ △ABC是直角三角形．
应用三角形内角和定理探究直角三角形的性质与判定，巩固提高学生的推理证明能力。通过过对问题的解决，体验成功的快乐
课堂练习
完成课本14页练习1题。
学生独立完成，教师巡视指导。学生板演，师生共同检查，规范书写解题过程。
通过练习检测学生对知识的掌握情况。
课堂小结
直角三角形的两个锐角互Байду номын сангаас。
（2）教师介绍直角三角形的表示方法和
直角三角形的性质的几何推理格式
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
2.例题讲解（课本14页例3）
例 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
教师引导学生进行思路分析，板书解答过程。
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些问题？
梳理知识，形成体系，提高学生语言概括能力。
练习与检测
习题11.2复习巩固4题
课本第14页练习2题
板书设计
11.2.2直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
推理格式：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°
学情分析
上节课已经学过三角形的内角和是180°，据此证明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和定理、直角三角形两内角互余定理解决一些简单的实际问题的能力。
教学目标
1．探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.经历推理证明得出直角三角形两内角互余定理的过程，巩固提高学生的推理证明能力。
2.6 直角三角形第2课时直角三角形的判定 浙教版数学八年级上册课件
（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
C
A
D
B
C
A
D
B
1. 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，
∠A=∠2. 求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∠A+∠2 +∠1+∠B=180°，
∵ ∠A=∠2 ，∠B=∠1，
C
∴2(∠ A+∠B)=180°， 即∠ A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. A
直角三角形的判定定理
A
①文字语言： 有两个角互余的三角形是直角三角形.
②几何语言：
∵在△ABC中， ∠A＋∠B＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形.
C
B
做一做：
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
（1）有一个外角为90°
（2）∠A=36°，∠B=54°
C
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
2
∴BC=EB，
∵ ∠1=∠2，∠2+∠DBE=90° ，
1
∴∠1+∠DBE=90°，
A
B
D
∴∠CBE=180°-（∠1+∠DBE）=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形.
这节课我们学到了什么？
判定一个三角形是直角三角形的方法： ① 有一个角是直角的三角形是直角三角形； ② 有两个角互余的三角形是直角三角形.
12
D
B
(有两个角互余的三角形是直角三角形).
2. 已知，如图，A、B、C、D同在一条直线上. ∠A=∠D= 90°，AC=BD，∠1=∠2. 求证：△BCE是等腰直角三角形.
直角三角形两锐角互余
(2) 在△ABC中，∠A =500, ∠B =800,则∠C =（ B ）
A. 400
B. 500
C. 100
D. 1100
（3）在△ABC中，∠A =800, ∠B =∠C，则∠B =（ A ） A. 500 二、填空 （1）∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠B = 600 600 750 B. 400 C. 100 D. 450
（2）∠C =900，∠A =300，则∠B =
（3）∠B =800，∠A =3∠C，则∠A =
三 （1） 如图，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D, ∠ACD与∠B有什么样的关系？为什么？
C
（2） 如图，∠C=90°,∠1=∠2,
A
D
B
△ACD是直角三角形吗？为什么？
E
C
A D B
4.如图：已知在△ABC中， EF与AC交于点G，与BC的延 长线交于点F，∠B=450 ， 0 ， 0 ∠F=30 ∠CGF=70 ， A 求∠A的度数.
如图在直角三角形ABC中∠C=90°由三角形 内角和定理，得∠A+∠B+ ∠C=180° 即 ∠A+∠B+ 90°=180°
A
所以 ∠A+∠B= 90° 结论；直角三角形的两锐角互余
C
B
“直角三角形”可用符号“Rt△” 来表示 如“直角三角形ABC”可以写成“Rt△ABC”
例题：如图∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点E， ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△CAE中
∠CAE+ ∠CEA=90°
在Rt△DBE中
C
E
D
∠DBE+ ∠DEB=90°
人教版八年级上册数学第2课时三角形的两个锐角互余课件
直角三角形的两个锐角互余.
A
几何语言 在Rt△ABC 中， ∵∠C ＝ 90°， ∴∠A +∠B ＝ 90°．
B
C
有两个直角三角形，它们有一组锐角对应相等，另一组锐角的 数量关系是什么？ 两个直角三角形可以组合成哪些图形？
D A
B
C
E
F
F (C)
C
B A
D
E
D (C)
A B(E)
A. ∠A＋∠B＝∠C
B. ∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶3∶4
1
1
C. ∠A ＝ 2∠B＝ 3 ∠C
D. ∠A ＝ 2∠B＝ 3∠C
2. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相 等的角有___∠_A__=_∠__B_C_D_，____∠_B__=_∠__A_C_D____，互余的角有： _∠_A_与__∠__B_，__∠__A_与__∠_A_C__D_，__∠_B__与_∠__B_C_D__，_∠__A_C__D_与__∠_B_C__D___.
Hale Waihona Puke AB∴∠CAE ＝∠DBE．
探究 1
1. 如图（1），∠B = ∠C = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？请说明理由.
方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴AB∥CD， ∴∠A = ∠D.
A
B
O
方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠D.
根据三角形内角和定理，
∠ACB＝180°－∠CAB －∠ABC
《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》第2课时参考课件
(由边的关系推知角的度数)
A
几何语言表示：
∵△ABC是直角三角形，AC= AB ,
30°
∴∠B=30°
B
C
（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那
么这条直角边所对的角等于30° ）
例2.如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西
向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距
A
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD= 1 AB=BD
2
∵BC= 1 AB
2
∴BC=BD=CD，即△BDC为等边三角形 C
∴∠B=60°，
D B
∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=30°
结论 直角三角形的性质定理4：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的
一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
C
∴∠A=90°-∠B=30°.
思考：若AB=5,则AD=?
D （2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
（3）三角形一边上的中线等于这条边的一半 的三角形是直角三角形.
议一议
在右图中，△ABC是直角三角形，CD是 A 斜边AB上的中线，
①AB=10cm,CD的长为多少cm?
②CD=2cm，则AB的长为多少？
C
③若∠A =40°，则其他角为多少度？
④若∠A=30°，你能得到什么结论？
C
AB 2BC 26 12m
（30°角所对的直角边等于斜边的一半）
2.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,且 DB= 1 BC,求∠A的度数。
2
A 解：∵CD⊥AB于点D,
D B
∟
∴△BDC为Rt△
人教版八年级数学上册直角三角形的性质和判定课件
11.2 与三角形有关的角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. （难点）
讲授新课
一 直角三角形的两个锐角互余
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角 形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD ∴∠CED=90° ∴△DCE是直角三角形 ∴∠C+∠D=90° ∵∠A=∠C ∴∠A+∠D=90° ∴△ABD是直角三角形
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
A．∠A+∠B=∠C
在Rt解△AB：C 中∵，∠CC=D90°⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴2 ∠与BE三A角=∠形B有∴DF关=的∠90角°，BEA=∠BDF=90°，
直角三角形的两个锐角互余
∴∠ABE+∠A=90°， A．40°
B．50°
证明：∵∠ACB=90°，
∠C有什么关∴系？∠请说A明理+由∠. BFC=180°.
二 有两个角互余的三角形是直角三角形 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，已知 ∠A +∠B=90° ，求证：△ABC 是直角三角形
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
几何语言：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，