2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足，则复数A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为A. 3B. 5C. 10D. 154.若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C.D.5.已知的值为A. B. C. D.6.函数的值域为A. B. 且C. D.7.PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为A. B. C. D.8.已知平面上定点和，又P点为双曲线右支上的动点，则的最大值为A. 8B. 10C. 11D. 139.已知向量，向量与夹角为，且，则A. B. 2 C. D. 410.已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 411.设直线AB：与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点横坐标为2，则直线的斜率A. 2B.C.D. 或212.已知函数在无零点，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在点处的切线方程为______．14.柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为______．15.已知M，N为直线上两点，O为坐标原点，若，则面积的最小值为______．16.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．附：，，精确到三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，且满足：，．求数列的通项公式；记数列的前n项和为，求取得最大值时n的值．18.成绩人数105010025015040求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差同一组数据用该区间的中点值作代表；请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数．附：．19.如图，在三棱柱中，侧面是边长为4的菱形，且，面面ABC，，．求证：面；求到平面的距离．20.已知，为椭圆：的左右焦点，过的直线交椭圆于A ，B两点，的周长为8．求椭圆的标准方程；已知是直线l：上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点，，则是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．21.已知函数，．证明：不等式在恒成立；证明：在存在两个极值点．附：，，．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C的交点为P，Q两点，曲线C和x轴交点为A，若面积为，求的值．23.已知正数a，b，c满足求证：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：由，得，，故选：B．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．：40：：5：3，又共抽出20人，管理层抽取人数为人．故选：B．先计算业务人员、管理人员、后勤人员的人数的比例，再根据这个比例计算需抽取的人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据三视图还原成的几何体是如图所示的四棱柱，其中底面是长为2，宽为1的矩形，棱柱的高为2，四棱柱的体积．故选：B．先通过三视图对几何体进行还原，可得一个直四棱柱，然后利用棱柱体积的计算公式求解即可．本题考查三视图的还原及棱柱体积的计算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：，，，，故选A．利用两个角的正弦公式展开所给的三角函数式，两边同除以系数，得到一个角的正弦与余弦的差，两边平方整理出可以应用二倍角公式，得到结果．本题考查二倍角公式的逆用，是一个考查一个角的正弦与余弦的和，差与积三者之间的关系的题目，这三者可以做到知一求二．6.答案：C解析：解：因为．故选：C．由已知利用分离法，结合反比例函数的性质即可求解．本题主要考查了利用分离法求解函数的值域，属于基础试题．7.答案：C解析：解：过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．因为，所以点O在的平分线上，即．过点O作，，因为平面APB，则，．设，．在直角中，，，则．在直角中，，则．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．故选：C．过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角，说明点O在的平分线上，通过直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：由双曲线，可得，，，可知是双曲线的左焦点，设双曲线右焦点为，可得，则，则，当P，B，三点共线时有最大值，而，所以的最大值为，故选：D．设双曲线右焦点为，根据双曲线的定义可知，进而可知当P、、B三点共线时有最大值，根据双曲线方程可求的的坐标，利用两点间的距离公式求得答案．本题主要考查双曲线的定义、三点共线取得最值的性质，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．9.答案：A解析：解：由平面向量数量积的定义可知，，，．故选：A．先根据平面向量数量积的定义可知，代入已知条件后可求出，再由展开进行运算即可得解．本题考查平面向量数量积的运算，遇到求向量模长的问题时一般采取平方处理的方式，考查学生的运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：因为函数图象关于直线对称，，，由知，时，．故，令得，．因为，所以，1，2时，满足条件．故零点有三个．故选：C．根据余弦型函数的对称性知，在时取得最值，由此求出值，再令，解出x，即可判断在上零点个数．本题考查三角函数据图求式的基本思路，注意把握好正、余弦函数图象的对称性与函数的最值点、零点之间的关系．属于中档题．11.答案：A解析：解：设，，直线与抛物线联立整理可得：，，即，可得，由题意可得，整理可得解得：或，所以，故选：A．将直线AB的方程与抛物线方程联立求出两根之和，及判别式大于0的k的范围，再由线段AB的横坐标求出k的值本题考查直线与抛物线的综合，及中点坐标的求法，属于中档题．12.答案：B解析：解：函数在无零点，显然不是函数的零点．故问题可转化为无正实数根，令，，且，，令得，当时，，故在上递减；当时，，递增．又时，；时，；时，；，．作出函数与的图象：可知，当介于x轴包括x轴与点之间时，原函数在上无零点．故即为所求．故选：B．函数在无零点，可转化为无正实数根，研究函数的值域，a只要在值域之外取值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而通过函数的图象，研究函数的零点问题．属于中档题．13.答案：解析：解：，，所以切线为：，即：．故答案为：．先求出函数的导数，然后求出切点处的导数值，最后利用点斜式求出直线方程．本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，同时考查学生的运算能力．属于基础题．14.答案：解析：解：柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，基本事件总数，取出的2只鞋子刚好成对包含的基本事件个数，取出的2只鞋子刚好成对的概率．故答案为：．先求出基本事件总数，取出的2只鞋子刚好成对包含的基本事件个数，由此能求出取出的2只鞋子刚好成对的概率．本小题主要考查古典概率等基本知识，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：如图所示，圆的O到直线的距离．设，，中，由余弦定理可得：．面积．，，当且仅当时取等号．．面积．故答案为：．如图所示，利用点到直线的距离公式可得：圆的O到直线的距离设，，中，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：由面积进而得出结论．本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，依题意，可得整理，得，，，，解得：，应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药．故答案为：．先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．本题结合实际考查了指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系和换底公式等等，考查了分析和解决问题的能力．17.答案：解：设等差数列的公差为d，，．，，联立解得，．，可得：，解得．．取得最大值时．解析：设等差数列的公差为d，由，可得，，联立解得，即可得出．，可得：，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：平均成绩为：．方差，标准差为．由已知数据得前4组频率依次为：，由，，可知中位数位于区间，设中位数为x，则，解得，中位数为．解析：先求出平均成绩，由此能求出方差，进而能求出标准差．由已知数据求出前4组频率，由，，可知中位数位于区间，设中位数为x，列出方程能求出中位数．本题考查平均数、标准差、中位数的求法，考查频数分布表的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：证明：在菱形中，过作于点H，平面平面ABC，平面ABC，，而，由，则平面．解：平面，到面的距离与到面的距离相等，在菱形中，连结，设，则，平面，即为到面的距离，在菱形中，，，，到面的距离为．解析：过作于点H，平面ABC，，，由此能证明平面．平面，能求出到面的距离与到面的距离相等，连结，设，则，从而平面，即为到面的距离，由此能求出到面的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可得三角形中，三角形的周长为，解得，而，所以，所以椭圆的方程为：；由题意设，，，设直线AB的斜率为0时可得，，，则直线PA与x轴的交点M的横坐标，同理可得，所以，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为：，联立直线AB与椭圆的方程，整理可得，，，设直线PA的方程为：，令，可得，所以，同理可得，所以；综上所述为定值．解析：由椭圆的定义可得的周长为4a，由题意可得a的值，及c的值，再有a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，求出A，B的坐标，设P的坐标，求出直线PA的方程，令，求出M的坐标，进而求出的表达式，同理求出的表达式，进而求出为定值．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．21.答案：证明：，令，则在上单调递增，且，，故存在使得，当时，，单调递减，即单调递减，，时，，单调递，即单调递增，，故当时，总有，为减函数，所以，从而原不等式得证；，，令，，则在上单调递增，又，，故存在唯一的，使得，，，单调递减，即单调递减，当时，，单调递增，即单调递增，而，，，存在唯一的，使得，时，，单调递减，，，单调递增，故为的一个极小值点，另一方面，在时，由可知，由可知，所以在上恒成立，又在上恒成立所以是函数的极大值点．解析：由已知，要证原不等式成立，问题转化为求解函数在上的范围问题，结合导数与单调性的关系可求．先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系，结合函数的零点判定定理可证．本题综合考查了导数与函数的性质及函数的零点判定定理在求解函数极值中的应用，属于中档试题．22.答案：解：直线l的参数方程为参数，为常数，转换为直角坐标方程为．曲线C的极坐标方程为整理得，根据，转，换为直角坐标方程为．由于与x轴的交点坐标为，所以得到，记，所以，整理得．所以，解得，即，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：因为正数a，b，c满足，所以，由于，故．分析法：要证原式，只要证：，即证，只要证：，即证：，因为，将两式相乘即得要证的式子：，以上每步都成立，所以不等式成立．解析：由已知得，用均值不等式即可；用分析法把左式分离变量，再由变形配凑成3元均值不等式的形式即可证明．本题考查多项式的化简变形技巧，均值不等式的应用．属于中档题．。
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)(含解析)
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=lnx}，B={x∈N|x≤3}，则()A. B⊆AB. A∪B={x|x>0}C. A⊆BD. A∩B={1,2，3}2.双曲线的一个焦点为(−10,0)，离心率e=53，则此双曲线的标准方程为()A. x26−y24=1 B. x236−y264=1 C. x210−y220=1 D. x264−y236=13.在复平面内，复数z的对应点为(1,−1)，则z2=()A. √2B. −√2C. 2iD. −2i4.10.同学们研究制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则同学们()A. 不能作出这样的三角形B. 能作出一个锐角三角形C. 能作出一个直角三角形D. 能作出一个钝角三角形5.哈六中消防演练期间，安排6位学生志愿者到4个安全出口提供服务，要求甲、乙两个安全出口各安排一个同学，剩下两个安全出口各安排两个同学，其中的小李同学和小王同学不在一起，不同的安排方案共有()A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种6.已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象如图所示，则函数y=g[|f(x)|]的大致图象是()A. B.C. D.7. 已知数列{a n −n}的前n 项和为S n ，且∑[n i=1a i+1+(−1)i a i ]=n 2，S 2018=1，则a 1=( )A. 32B. 12C. 52D. 28. 三棱锥又称四面体，则在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，0E ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A. 310 B. 15 C. 25 D. 1210. 设点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线，则点P 到直线l 的距离为( )A. √2128B. 12C. 2√2D. 2411. 设x ，y 满足{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2，则z =x +y 的最小值为( )A. −8B. −7C. −6D. −512. 已知函数f(x)={2x+2+a,x ≤0f(x −1)+1,x >0，若对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根，则k 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等差数列{a n }中，a 15=33，a 25=66，则a 35= ______ ． 14. 若向量相互垂直，则点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值为 ．15. 函数f(x)满足：对任意的x ，均有f(x +3π2)=−1f(x)，当x ∈[−π,π]时，f(x)=xsinx ，则f(−8.5π)= ______ ． 16. 已知直线l ，m 和平面，下列命题中正确的命题的个数为 ．①若l//，，则l//m；②若l//m，，则l//；③若，则；④若，，则．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．(1)求f(x)的最大值和最小正周期T；)=3，且a=1，求△ABC面(2)在△ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，已知f(A2积的最大值．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，已知PA=AD=2AB=4，Q是线段PD上一点，PC⊥AQ．(1)求证AQ⊥面PCD；(2)求PC与平面ABQ所成角的正弦值大小．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点与双曲线x 22−y22=1的焦点重合，过椭圆C 的右顶点B 任作一条直线l ，交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， (1)试求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，M ，N 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的两点．若∠MPQ =∠NPQ ，求证：直线MN 的斜率k MN 为定值．20. 某校在2015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，…，第六组[130,140]，得到如图所示的频率分布直方图． (I)求a 的值；(II)这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分(含130分)以上的人数记为X ，求X 的分布列和期望．21.已知函数f(x)=xlnx(e为无理数，e=2.718)(I)求函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)若k为正整数，且f(k)>(k−1)x−k对任意x>l恒成立，求k的最大值．22.解析几何之父笛卡尔是近代法国哲学家、物理学家、数学家，笛卡尔与瑞典公主克里斯汀有着一段关于“心形曲线”的凄美爱情故事…如图所示的“心形曲线”的极坐标方程是ρ=a(1−sinθ)，当a=1，记该“心形曲线”为C1．(1)圆ρ=sinθ与C1相交于异于的A，B两点，求|AB|；(2)设P，Q是“心形曲线”C1上的两点，O为极点，求△POQ面积的最大值．a n，n∈N∗23.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，S n=a n2+12(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n；(2)设数列{b n}满足：b1=1，b n−b n−1=2a n(n≥2)，求数列{1b n≤λ(n+8)对任意的n(n≥2,n∈N∗)恒成立，求λ的取值范围．(3)在(2)的条件下，若T n−12【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|y=lnx}={x|x>0}，B={x∈N|x≤3}={0,1，2，3}，∴A∩B={1,2，3}．故选：D．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：本题以双曲线的简单性质为载体，考查双曲线的标准方程，是中档题．先确定双曲线为焦点在x轴上的双曲线，利用待定系数法，根据双曲线的一个焦点是(−10,0)，离心率e=53，即可求得．解：由题意，可设双曲线方程为x2a2−y2b2=1．由题设可知，c=10，ca =53，∴a=6，∵b2=c2−a2∴b2=64．故双曲线方程为：x236−y264=1．故选：B．3.答案：D解析：解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．则z2=(1−i)2=−2i．故选：D．复数z 的对应点为(1,−1)，可得z =1−i.再利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：5.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组， 将6人分成1、1、2、2的四组，有C 61C 51C 42C 22A 22A 22=45种分组方法，其中小李和小王在同一组的分法有C 42C 21C 11A 22=6种，则小李同学和小王同学不在同一组的分法有45−9=39种；②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 则有39×2×2=156种不同的安排方法， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组，②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．6.答案：D解析：解：由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =±1时，y =0，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=−1无解，但|f(x)|=1有三个解，故函数y =g[|f(x)|]有三个零点，可排除C ；由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =0时，y =−1，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=0有两个解−2和0，故函数y =g[|f(x)|]图象与y =−1有两个交点(−2,−1)和(0,−1)，可排除A ，B ； 故选：D结合已知中函数y =f(x)，y =g(x)的图象，分析函数y =g[|f(x)|]的零点个数及与直线y =−1的交点坐标，进而可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知函数图象分析复合函数的图象形状及关键点坐标是解答的关键．7.答案：A解析：解：依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1．当n 为奇数时，{a n+1−a n =2n −1a n+2+a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=2；当n 为偶数时，{a n+1+a n =2n −1a n+2−a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=4n ．∵S 2018=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018−(1+2+3+⋯+2018)=1，即a 1+a 2+⋯+a 2018=2018(1+2018)2+1=1009×2019+1，又a 1+a 2+⋯+a 2018=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 2018)=(a 1+2×504)+[1+a 1+252×(16+2016×4)]=1+2a 1+1008×2021=1009×2019+1，解得：a 1=32． 故选：A ．依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于a 1的方程，解方程即可得到答案． 本题考查数列递推关系式的运用，属于一道有难度的题．8.答案：D解析：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面，即可得出． 本题考查了对三棱锥底面的理解，属于基础题．解：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面． 因此在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有4个． 故选：D ．9.答案：A解析：解：由已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份 可得每个小扇形的面积为π16则图中共有面积为π16的扇形4个，面积为π8的扇形3个，面积为3π16的扇形2个，面积为π4的扇形1个，共10个故图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率P =310 故选A ．根据已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份，我们计算出图中所有的扇形的个数，及面积恰为π8的扇形的个数，代入古典概型概率计算公式即可得到答案．本题考查的知识点是古典概型，其中计算出满足条件的基本事件个数及基本事件的总个数是解答本题的关键．10.答案：C解析：解：点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，则点P(4,0)， ∵直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线， ∴e 2=c 2a 2=b 2a 2+1=2， 解得b a =1，∴双曲线的一条渐近线方程为y =x ， ∴点P 到直线l 的距离为d =√12+12=2√2，故选：C根据抛物线的定义可求出焦点坐标，再根据双曲线的定义求出准线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出本题考查抛物线和双曲线的简单性质以及点到直线的距离，属于基础题．11.答案：B解析：解：由约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2得如图所示的三角形区域，令x +y =z ，y =−x +z ，显然当平行直线过点B 时，z 取得最小值；由{x −y =−1x =2y +2，可得B(−3,−4)， 此时z =−7． 故选：B ．先画出约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数x +y 的最小值． 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．12.答案：C解析：本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．本题综合性较强，难度较大，如果正面求解，一般无法寻找突破口．根据a 取值的任意性，利用特殊值法，结合数形结合即可得到结论．解：∵对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根， ∴不妨设a =0，则x ≤0时，f(x)=2x+2，若0<x ≤1，则−1<x −1≤0，则f(x)=f(x −1)+1=2x+1+1，若1<x ≤2，则0<x −1≤1，则f(x)=f(x −1)+1=2x +2，若2<x ≤3，则1<x −1≤2，则f(x)=f(x −1)+1=2+3，x−1+4，若3<x≤4，则2<x−1≤3，则f(x)=f(x−1)+1=2x−2…作出f(x)的图象如图：当k=1时，f(x)与y=x只有一个交点，不满足条件，当k=2时，f(x)与y=2x有四个交点，不满足条件，当k=3时，f(x)与y=3x有三个交点，满足条件，当k=4时，f(x)与y=4x只有两个交点，不满足条件，故k=3，故选C．13.答案：99解析：解：由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列∴2a25=a15+a35∵a15=33，a25=66，∴a35=2×66−33=99．故答案为：99由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列，结合已知可求本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题14.答案：解析：试题分析：由已知得：，所以点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值即为点到直线的距离：．考点：1、向量的数量积及向量的垂直关系；2、点到直线的距离．15.答案：π2解析：解：∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(−8.5π)=−1f(−7π)=f(−11π2)=−1f(−4π)=f(−52π)=−1f(−π)=f(π2)，或∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(x+3π)=f(x)，函数f(x)的周期是3π，∴f(−8.5π)=f(π2)，当x∈[−π,π]时，f(x)=xsinx，则f(−8.5π)=f(π2)=π2，故答案为：π2．根据f(x+3π2)=−1f(x)，求出f(−8.5π)=f(π2)，代入函数表达式，求出即可．本题考查了函数的周期性，考查求函数值问题，是一道基础题．16.答案：1解析：①若l//，，则l//m或者l，m异面，故错误；②若l//m，，则l//或者l在α内，故错误；③若，则或者l与α倾斜着相交，故错误；④由线面垂直的性质定理可知正确。
2024年高考数学模拟试题含答案(一)
2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。
又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。
要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。
2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。
根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。
当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。
当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。
4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(四)(含答案解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1z =，则2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A ．()6,2-B ．()3,2-C ．()()6,31,2--⋃D ．][()6,31,2--⋃3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A ．803πB ．703p C ．20πD ．563π4．已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A ．27B ．272C ．12D ．115．若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．34B ．12C ．13D ．146．已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）7．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．()1-B．⎛ ⎝⎭C．2⎫⎪⎪⎣⎭D．)1,1-二、多选题9．若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A ．π36B ．7π36C ．19π36D ．5π36-10．某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人都选择长跑的概率为127B ．三人都不选择长跑的概率为23C ．至少有两人选择跳绳的概率为427D ．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为5711．设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A ．点C 到平面PAB 的距离为2B ．直线AB 与PCC ．若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD ．直线PM 与平面ABC三、填空题13．函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.14．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.15．由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.16．已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.四、解答题17．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y （单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y （百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y 关于x 的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18．如图，四边形ABCD 中，150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证：BP ⊥平面11A EC ；(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.参考答案：1．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())2221122z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C 2．D【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D.3．D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4．B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B 5．D【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选：D.6．B【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7．B【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22Tπ=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8．D【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.9．BCD【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10．AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD 11．ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2ek G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠= ，AB AC ==6ABC π∴∠=，在Rt BCD 中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选：BCD.13．1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14．【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15．78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816．13≤3>讨论，得出()g x 在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ，()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a <≤时，则()0g x '>在()3,+∞上恒成立，则()g x 在[)3,+∞上单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==，解得1a =，3>时，即7a >时，当x ∈⎡⎣时，()0g x '<，()g x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===，舍去，综上所述：1a =，故答案为：1.17．ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18．(1)(2)π4【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【详解】（1）在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =，由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =（2）在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19．(1)2n n a =(2)7【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用分组求和法求解.【详解】（1）因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.（2）令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20．(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA =，()2,2,4BP =-- ，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC.（2）解：由（1）可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=，故直线1B C 与平面11A EC 21．(1)2214x y -=(2)证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c ，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)14ln 2=+y (2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】（1）()()4e 122xf x x x =+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；（2）有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---x x x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（ ）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（ ）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（ ）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（5分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C ．D．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx 6．（5分）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx +）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A．17B．19C．21D．2310．（5分）设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．3211．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A ．B．3C ．D．212．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC ＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【附加15套高考模拟试卷】湖北省襄阳五中2020届高三年级五月模拟考试(二)理科数学试卷含答案
湖北省襄阳五中2020届高三年级五月模拟考试（二）理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2(1),0()43,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x 则1234x x x x ++的取值范围为（ ） A ．(]5,3+e B ．[4,4)e + C ．[)4+∞， D ．(4,4)e +2．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ） A ．2π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-3．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()1g x f x =-，则函数()y g x =的图象关于（ ）A ．直线1x =-对称B ．直线1x =对称C ．原点对称D ．y 轴对称4．若函数()()2ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )A ．[)1,+∞B ．1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是（ ） A ．216 B ．420 C ．720 D ．10806．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =-C ．y x x= D ．1y x -=7．(,0)F c -为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，圆222:O x y c +=与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于,A B 两a 点，若AF OB ⊥，则双曲线的离心率为（ ）AB ．12C ．2 D．38．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．189．已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia ==∑（ ）A ．20192020 B ．20182019 C ．20181010D ．2019101010．已知是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．直线l 交24y x =于A ，B 两点，若四边形OAMB （O 为原点）是矩形，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．14B ．24 C ．12 D ．2212．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ） A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学模拟试卷 (4)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷 (4)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知偶函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，其导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有2()()0f x xf x '+>成立，若(2)1f =，则不等式2()4x f x <的解集为( )A ．{}|0,2x x ≠±B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-⋃2．现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种.A ．1080B ．72C ．432D ．864 3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，(0)0f =若对任意x ∈R ，都有()'()1f x f x >+，即使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ B ．2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 5．数列1，3，5，7，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．31n a n =-D ．31n a n =+ 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．A ．115B ．215C ．15D ．4157．下列说法正确的是（ ）A ．“1x <-”是“()2lg 91x x ->”的必要不充分条件 B ．命题“00123x x ∃>>，”的否定是“123x x ∀><，”C ．若{}11|2302|::11x x p x q x x ⎧⎫∈-<∈>⎨⎬-⎩⎭，，则p q ∧是真命题 D ．若200020x x x m ∃∈-+<R ，，则实数m 的取值范围是(,1)-∞8．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ）A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.859．若k ∈R 则“k >5”是“方程22152x y k k -=-+ 表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设复数11i z i+=-（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z =（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1211．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x >恒成立，则不等式21()()0x f f x x->的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 12．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数f （x ）=x 2﹣4x+c 只有一个零点，且函数g （x ）=x （f （x ）+mx ﹣5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈的两个极值点分别为12,x x ，若()()12212221f x f x e a x x e ----恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 15．定积分()11x x e edx ---=⎰________.16．在二项式n +的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为______．三、解答题17．已知函数()21f x x x =+--.(1)求()f x 的值域;(2)设()233(0)ax x g x a x-+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.18．甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望．19．设函数321()32a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（1）求b ，c 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的极值；（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内为单调递减函数，求实数a 的取值范围.20．已知2:8200p x x -++≥，()22:2100q x x m m -+-≤>，若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 22．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是C 1上任意一点，点P在射线OM 上，且|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2的极坐标方程． 23．已知函数()ln 1ax f x x x =-+. （Ⅰ）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 有两个极值点（记为1x 和2x ）时，求证：121()()[()1]x f x f x f x x x++≥⋅-+．参考答案1．B【解析】【分析】构造新函数2()()g x x f x =，由已知可确定其导函数的正负，从而确定()g x 的单调性，同时确定()g x 的奇偶性，利用奇偶性和单调性可解不等式．【详解】当0x >时，由2()()0f x xf x '+>得，222()()()0xf x x f x x f x ''⎡⎤+=>⎣⎦， 令2()()g x x f x =，则()g x 在(,0)(0,)-∞+∞上也为偶函数，且当0x >时，()0g x '>总成立，()g x 在区间(0,)+∞上是增函数.2()4x f x <可化为(||)(2)g x g <，则||2x <，又(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，解得(2,0)(0,2)x ∈-⋃.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性不等式，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =． 2．B【解析】【分析】根据排列组合的特点依照题意列式，即可得出结果.【详解】解：根据题意，第三件次品恰好在第4次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出.∴第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有11334372C C A ⋅⋅=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合的简单计数问题，属于基础题.3．D【解析】分析：构造函数()()1,x f x g x e -=由()()'1f x f x >+判断函数()g x 的单调性，根据单调性可得结果. 详解：构造函数：()()()0101,01x f x g x g e e--===-， 对任意x ∈R ，都有()()'1f x f x >+，()()()()()()2'1'1'0x x x x f x e f x ef x f xg x e e ⎡⎤--+-⎣⎦∴==<，∴函数()g x 在R 单调递减，()1x f x e +<化为()()()110,0x f x g x g x e -=-=∴，∴使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围是()0,∞+，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4．C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n k k k n P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5．A【解析】【分析】根据1，3，5，7，…，数列的规律采用验证的方法得到数列的通项公式..【详解】因为1234211,221,231,241,...a a a a =⨯-=⨯-=⨯-=⨯-所以21n a n =-.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数． 其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==， 所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7．D【解析】【分析】由充分不必要条件判断A ；直接写出命题的否定判断B ；由“且”命题真假判断C ；特称命。
2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第三部分 2020高考仿真模拟卷(五) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |(2x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －1)(x －4)≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．[1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．[3,4]D ．(－∞，3)∪(4，＋∞) 答案 C 解析 因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，B ＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，所以(∁U A )∩B ＝{x |3≤x ≤4}． 2．在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i13＝－1－2i ，所以z 的共轭复数z －＝－1＋2i 在复平面内对应的点(－1,2)位于第二象限．3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD→＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析 因为BD→＝12DA →，CB →＝a ，CA →＝b ，故CD →＝a ＋BD →＝a ＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．(2019·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线的距离为3的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 24＝1B.x 28－y 29＝1 C.x 212－y 29＝1 D.x 216－y 212＝1 答案 C解析 与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点在x 轴上，故λ>0.又焦点(7λ，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3，所以21λ7＝3，解得λ＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 212－y 29＝1.5．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－16 2 C ．2 D ．162 答案 D解析 因为a n a n ＋1＝22n(n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＋2＝22n ＋2(n ∈N *)，两式作比可得a n ＋2an＝4(n ∈N *)，即q 2＝4，又a n >0，所以q ＝2，因为a 1a 2＝22＝4，所以2a 21＝4，所以a 1＝2，a 2＝22，所以a 6－a 5＝(a 2－a 1)q 4＝16 2.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．4 3 B.1033 C ．2 3 D.833 答案 B解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H －EFG ，三角形ABC 的面积S ＝12×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V ＝3×4－13×3×2＝1033.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是( )A ．i <10?B ．i <9?C ．i >8?D ．i <8? 答案 B解析 由程序框图的功能可得S ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(i ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1i ＋1＝12×32×23×43×…×ii ＋1×i ＋2i ＋1＝i ＋22i ＋2＝59，所以i ＝8，i ＋1＝9，故判断框中可填入i <9？.8．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )A.16B.13C.56D.23 答案 C解析 设白球为A ，蓝球为B ，红球为C ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球都在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为212＝16，故中间两个小球不都是红球的概率为1－16＝56.9．(2019·东北三省三校一模)圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[－1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x ，y )，其中满足不等式y ＞ 1－x 2的数对(x ，y )共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.7825B.7225C.257D.227 答案 A解析 在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为2－π2，由几何概型概率公式可得2－π22×2≈11100，解得π≈7825.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.55C.56D.22 答案 B解析 解法一：(平行线法)如图1，取DB 1的中点O 和AB 的中点M ，连接OM ，DM ，则MO ∥AD 1，∠DOM 为异面直线AD 1与DB 1所成的角．依题意得DM 2＝DA 2＋AM 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝54.OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB 12＝14×(1＋1＋3)＝54，OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD 12＝14×(1＋3)＝1.∴cos ∠DOM ＝OD 2＋OM 2－DM 22·OD ·OM ＝54＋1－542×52×1＝15＝55.解法二：(割补法)如图2，在原长方体后面补一个全等的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.∵DE 1∥AD 1，∴∠B 1DE 1就是异面直线AD 1与DB 1所成的角．DE 21＝AD 21＝4，DB 21＝12＋12＋(3)2＝5. B 1E 21＝A 1B 21＋A 1E 21＝1＋4＝5.∴在△B 1DE 1中，由余弦定理得cos ∠B 1DE 1＝DE 21＋DB 21－B 1E 212·DE 1·DB 1＝4＋5－52×2×5＝445＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.11．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |＝()A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 答案 C解析 由椭圆的光学性质可知，直线l ′平分∠F 1PF 2， 因为S △PF 1M S △PF 2M ＝|F 1M ||F 2M |，又S △PF 1M S △PF 2M ＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，故|F 1M ||F 2M |＝|PF 1||PF 2|.由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4，得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.12．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案 D解析 令f (x )＝x －a －x ＝0，则1x ＝a x ，所以x 1是指数函数y ＝a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点A 的横坐标，且0<x 1<1，同理可知x 2是对数函数y ＝log a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点B 的横坐标．由于y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，从而有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1.由y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，可知x 1＋4x 2>1＋41＝5，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案 19解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．(2019·湖南师范大学附中模拟三)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题意得2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝ 3.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案 22解析 由题设得抛物线方程为y 2＝8x ， 设P 点坐标为P (x ，y )， 则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为 d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|(y －4)2＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·南宁摸底考试)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4－13 解析 由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13＜0，b 2＝23＞0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ≠π2，且3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C .(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C ，得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可)6分 (2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝34(b ＋c )2，所以34(b ＋c )2≤9，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·黑龙江齐齐哈尔市二模)(本小题满分12分)某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比为13.8%，百岁及以上老人15人．现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？(2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；(3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴． (a)百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；(b)90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴； (c)80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴． 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．解 (1)样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以应抽取的21人中，80岁及以上老人应抽30×21105＝6人.3分(2)在(1)中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A ，其余5人分别记为B ，C ，D ，E ，F ，从中任取2人，基本事件共15个：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，这15个基本事件发生的可能性相等.6分记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， 所以P (M )＝515＝13.8分(3)样本中230人的月预算为230×55＋25×100＋5×200＝16150(元)，10分 用样本估计总体，年预算为⎝ ⎛⎭⎪⎫16150×6×105×13.8%230＋400×15×12＝6984×104(元)．所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．解 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，2分∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2， ∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB .5分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，7分∴h PO ＝23，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3， ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，9分 又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3.12分20．(本小题满分12分)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若点T (－1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值； (2)设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR ∥FQ .证明 (1)设直线AB ：my ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎨⎧ my ＝x －1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，3分 k 1＋k 2＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1x 2＋y 2x 1＋(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1(my 2＋1)＋y 2(my 1＋1)＋(y 1＋y 2)(my 1＋1＋1)(my 2＋1＋1)＝2my 1y 2＋2(y 1＋y 2)(my 1＋2)(my 2＋2)＝2m (－4)＋2×4m(my 1＋2)(my 2＋2)＝0.6分(2)A (x 1，y 1)，P (－1，y 1)，Q (－1，y 2)，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 1＋y 22，F (1,0)， k AR ＝y 1＋y 22－y 1－1－x 1＝y 1－y 221＋x 1＝y 1－y 22(1＋x 1)，k QF ＝y 2－0－1－1＝－y 22，8分k AR －k QF ＝y 1－y 22(1＋x 1)＋y 22＝y 1－y 2＋y 2(1＋x 1)2(1＋x 1)＝y 1－y 2＋y 2(my 1＋2)2(1＋x 1)＝(y 1＋y 2)＋my 1y 22(1＋x 1)＝4m ＋m ×(－4)2(1＋x 1)＝0，即k AR ＝k QF ，所以直线AR 与直线FQ 平行.12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －(a ＋1)x ，g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －1，a ∈R .(1)当x ＞1时，求f (x )的单调区间；(2)设F (x )＝e x ＋x 3＋x ，若x 1，x 2为函数g (x )的两个不同极值点，证明：F (x 1x 22)＞F (e 2)．解 (1)f ′(x )＝1＋ln x －a －1＝ln x －a ，若a ≤0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 若a ＞0，由ln x －a ＝0，解得x ＝e a ，2分 且x ∈(1，e a )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为()e a，＋∞，单调递减区间为(1，e a ).5分 (2)证明：F ′(x )＝e x ＋3x 2＋1＞0，故F (x )在R 上单调递增，即证x 1x 22＞e 2，也即证ln x 1＋2ln x 2＞2，又g (x )＝x ln x －ax －x －a 2x 2＋ax ＋a ＝x ln x －a2x 2－x ＋a ，g ′(x )＝1＋ln x －ax －1＝ln x －ax ，所以x 1，x 2为方程ln x ＝ax 的两根，即⎩⎨⎧ln x 1＝ax 1， ①ln x 2＝ax 2， ②即证ax 1＋2ax 2＞2，即a (x 1＋2x 2)＞2， 而①－②得a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，8分即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2·(x 1＋2x 2)＞2，则证ln x 1x 2·x 1＋2x 2x 1－x 2＞2，变形得ln x 1x 2·x 1x 2＋2x 1x 2－1＞2，不妨设x 1＞x 2，t ＝x 1x 2＞1，即证ln t ·t ＋2t －1＞2，整理得ln t －2(t －1)t ＋2＞0，设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋2，则h ′(t )＝1t －6(t ＋2)2＝t 2－2t ＋4t (t ＋2)2＝(t －1)2＋3t (t ＋2)2＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，h (t )＞h (1)＝0，即结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，2分由⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5分 (2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α，|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|－|x ＋3|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)记函数f (x )的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ·e 4b ＝e 2ab －m ，求ab 的最小值． 解 (1)当x ≤－3时，由5－x ＋x ＋3≥x ＋1，得x ≤7，所以x ≤－3；当－3<x <5时，由5－x －x －3≥x ＋1，得x ≤13，所以－3<x ≤13；当x ≥5时，由x －5－x －3≥x ＋1，得x ≤－9，无解.4分综上可知，x ≤13，即不等式f (x )≥x ＋1的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.5分(2)因为|x －5|－|x ＋3|≤|x －5－x －3|＝8，所以函数f (x )的最大值m ＝8.6分 因为e a ·e 4b ＝e 2ab －8，所以a ＋4b ＝2ab －8.又a >0，b >0，所以a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当a ＝4b 时，等号成立，7分所以2ab －8－4ab ≥0，即ab －4－2ab ≥0. 所以有(ab －1)2≥5.8分又ab >0，所以ab ≥1＋5或ab ≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。
2020年新高考模拟数学试卷（含答案）2020年5月8日-20001
2020年新⾼考模拟数学试卷（含答案）2020年5⽉8⽇-200012020年新⾼考模拟数学试卷(含答案)2020年5⽉8⽇下午1.巳知全集U = 集今A = W + ■丹C V A =A.[0,1] (011) C*( —g,l] D. (—8,1)2.设复数富=⾈(其中i为虚数取位⽚则爱数⽦在复平⾯内对应的点所往的象限为上第⼀象限R第⼆魏駁C■第三酿限 D. ?四象隈3.加强体育锻炼⾧许少年⽜.活学习中⾮常議悪的组成梆分+某学冷做引体向上运动*处于如图所⽰的平衡状态时，若两只咯膊的夹谢为$0為毎⾙貉鱒的拉⼒⼤⼩均为400 N>Mm学⽣的体重(单位:kQ绡为(蠢考數据：取重⼒加遽厦⼤⼩为>f = 10 密壬1.732)A.63 B* 69C. 75 D* 814已划函数"I的部分图象如图，則的解析式可能星A* /B t /(x) = z+?in 2xG /(J)屯Jf—g&n 2jr5.⽅嵋医除的创设.在抗击卿冠肺炎疫悄中发挥了不可薔代的匿要作⽤?幕⽅枪医院医疗⼩级誓七名护⼟?悔名护⼠从周⼀到同⽇轮潦安排⼀个視5L若甲的夜廳⽐丙曖⼀天，丁的拽班⽐戊瞬期⼤，⼄的夜班⽐庚早三夭.⼰的救班在周四?且倚好在⼄和内的正中阖，则同五值厦班的护⼠为A.甲⽒丙 C.戊 D.庚6+已知抛物线贰=仏的焦点为F,直线IHF且与抛物线交于A初两点，过A作拋物线准线的垂线,垂⾜为M,/MAF的⾓平分线与抛物线的准线交于点P,线段AE的中点为Q. 若tAB|=8,((iJlPQ|-A. 2 B. 4 G6 D. 87?洛书，古称龟书?晁阴阳五⾏术数之源，蔽世界公认为组合数学的⿐祖*它是中华民姦对⼈类的伟⼤贡献之⼀*在古代传说中有神⿔出于浇⽔，其甲壳上有圏1严以五居中，五⽅⽩圈皆阳数,四隅鳩点为阴ST,这就是蛊早的三阶幻⽅.按麗上述说法，将1到9这九个数字*填在如图2所⽰的九官格⾥，九宫務的中间填5,四个⾓填偶数+基余位?i填奇数.则每⼀横⾏、每⼀竖列以及两条对⾓线上3久。
2020年湖北省武汉市部分学校高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年湖北省武汉市部分学校高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数3+2i i=( )A. −2+3iB. −2−3iC. 2+3iD. 2−3i2. 设集合A ={x|2−x >0}，B ={x|x 2−3x +2<0}，若全集U =A ，则∁U B =( )A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. (2,+∞)D. [2,+∞)3. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =( )A. −43B. −34C. √3D. 24. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S 1−2S 3=15，则a 3为( )A. 3B. −4C. −5D. 65. 如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积为( )A. 163 B.4 C. 83 D. 436. 已知sinα−cosα=13，则cos(π2−2α)=( )A. −89B. 23C. 89D. √1797. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，向量a⃗ ,c ⃗ 的夹角是π3，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，则|c ⃗ |等于( ) A. −2 B. 4 C. 2 D. −48. 从长度分别为2，3，4，5的线段中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A. 34B. 13C. 12D. 239. 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2−y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( )A. 34B. 14C. 45D. 3510. 已知函数f(x)=sin x −lg |x|，则函数f(x)的零点个数为( )A. 3B. 5C. 6D. 711. 设函数f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则A. f(x)在(0,π2)上单调递增 B. f(x)在(−π2,π2)上单调递减 C. f(x)在(0,π2)上单调递减D. f(x)在(−π2,π2)上单调递增12. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(−1)=0,当x >0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−∞,−1)∪(−1,0)D. (0,1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．14. 已知函数f(x)=kx +lnx 在点(1,k)处的切线平行于x 轴，则k = ______ ．15. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =1，AA 1=√6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角为______ ．16. △ABC 中，CA =1，CB =2，∠C =60°，则AB = ______ ，∠A = ______ ，S △ABC = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． (1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．=3n+1．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5.数列{b n}满足b1=−2，且b n+1−b na n(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，BA=BP=BD=AP=2，DA=DP=√2．(1)求证：PA⊥BD；(2)求点C到平面PBD的距离．20.已知函数g(x)=e x−2ax−b，a，b∈R．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．21.已知点M为直线l1：x=−1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线，交MN的中垂线于点P，记P点的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：y=kx+m与圆E：(x−3)2+y2=6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．22.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(2,β)，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为√3，求β的值及此时直线OM将曲线C分成的两段弧长之比．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x+2|，其中a∈R．(1)当a=−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x∈R，使得f(x)>3a恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【试题解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3+2ii，则答案可求．解：3+2ii =−i(3+2i)−i2=2−3i，故选D．2.答案：A解析：解不等式得出集合A、B，根据补集的定义写出∁U B.本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解：集合A={x|2−x>0}={x|x<2}，B={x|x2−3x+2<0}={x|1<x<2}，若全集U=A，则∁U B={x|x≤1}=(−∞,1]．故选：A．3.答案：A解析：本题考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，先根据圆的方程求出圆心坐标，在根据圆心到直线的距离为1列出方程，解方程求出a的值．解：圆x2+y2−2x−8y+13=0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax+y−1=0的距离d=√a2+1=1，解得a=−43．故选A．解析：解：设数列{a n}的公差为d，∵3S1−2S3=15，∴3a1−2(3a1+3d)=15，化为：a1+2d=−5，∴a3=−5．故选：C．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：D解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直角三角形为底面的三棱锥，底面面积S=12×2×2=2，高ℎ=2，故体积V=13Sℎ=43，故选：D．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直角三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，构造方程，解得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．6.答案：C解析：解：∵sinα−cosα=13，∴两边平方，可得：1−2sinαcosα=19，可得：1−sin2α=19，∴cos(π2−2α)=sin2α=89．故选：C．由已知，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而利用诱导公式即可化简求值得解．本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解析：本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．解：∵向量a⃗=(1,√3)，∴|a⃗|=√12+(√3)2=2；又向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，∴|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2|c⃗|⋅12=2，∴|c⃗|=2．故选：C．8.答案：A解析：解：从长度分别为2，3，4，5的线段中任取三条，基本事件总数n=C43=4，以这三条线段为边可以构成三角形包含的基本事件的个数为m=3，∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率p=mn =34．故选：A．从长度分别为2，3，4，5的线段中任取三条，由组合数公式求出基本事件总数，再求出以这三条线段为边可以构成三角形包含的基本事件的个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出以这三条线段为边可以构成三角形的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解：将双曲线方程x2−y2=2化为标准方程x22−y22=1，则a=√2，b=√2，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|−|PF2|=2a可得m=2√2，∴|PF1|=4√2，|PF2|=2√2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=2×4√2×2√2=2432=34．故选A．10.答案：C解析：本题考查函数的零点，根据题意画出函数y=lg|x|与y=sinx的图象，进而即可得到结果．解：函数f(x)=sinx−lg|x|的零点的个数，即函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数，如图所示：显然函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为6．故选C．11.答案：A解析：利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由函数为偶函数求得φ，求出函数解析式得答案．本题考查三角函数的图象和性质，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象变换，是中档题．解：f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ−π4)，依题意知T=2πω=π，∴ω=2，∵函数为偶函数，∴φ−π4=kπ+π2，φ=kπ+3π4，k ∈Z ，∵|φ|<π2， ∴φ=−π4， ∴f(x)=√2sin(2x −π4−π4)=−√2cos2x ， ∴f(x)在(0,π2)上单调递增． 故选A ．12.答案：A解析：因为f(x)是奇函数，所以f(1)=−f(−1)=0令F(x)=f(x)x，F ′(x)=xf ′(x)−f(x)x 2,当x >0时，xf′(x)−f(x)<0，所以F(x)=f(x)x在(0,+∞)上单调递减，故在(0,1)上F(x)>0,当x ∈(1,+∞)上，F(x)<0,.因为函数f (x )是奇函数，则F(x)为偶函数，由图像知在(−∞,−1)∪(0,1)上f (x )>0．13.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72．故答案为：−72． 14.答案：−1解析：解：∵函数f(x)=kx +lnx 在点(1,k)处的切线平行于x 轴，∴f′(1)=0，函数的f(x)的导数f′(x)=k +1x ，即f′(1)=k +1=0，解得k =−1，故答案为：−1根据导数的几何意义以及直线平行的斜率关系进行求解即可．本题主要考查导数的几何意义，根据直线平行的关系求出切线斜率是解决本题的关键． 15.答案：π2解析：连接AC 1，利用三角函数计算结合题中数据证出∠AC1A1=∠A1MC1，从而矩形AA 1C 1C 中A1M ⊥AC1.再利用线面垂直的判定与性质，证出A1M ⊥平面AB 1C 1，从而可得AB1⊥A1M ，由此即可得到异面直线AB 1与A 1M 所成的角．本题在直三棱柱中求异面直线所成角的大小，着重考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化等知识，属于中档题．解：连接AC 1∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =1，AA 1=√6，∴A 1C 1=√3BC =√3，Rt △A 1C 1M 中，tan∠A 1MC 1=√2；Rt △AA 1C 1中，tan∠AC 1A 1=√2∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1即∠AC1A1=∠A1MC1可得矩形AA1C1C中，A1M⊥AC1∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1C1，∵A1M⊂面AA1C1，∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，∴A1M⊥平面AB1C1结合AB1⊂平面AB1C1，得到AB1⊥A1M，即异面直线AB1与A1M所成的角是π2．故答案为：π2．16.答案：√3；90°；√32解析：解：∵△ABC中，CA=1，CB=2，∠C=60°，∴AB=√AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos∠C=√12+22−2×1×2×12=√3，∴sinA=BCsinCAB =2×√32√3=1，由A∈(0°,180°)，可得：A=90°，∴S△ABC=12×AB×AC=12×√3×1=√32．故答案为：√3、90∘、√32．由已知利用余弦定理可求AB，利用正弦定理可求sinA=BCsinCAB=1，结合范围A∈(0°,180°)，可得A的值，进而利用三角形面积公式可求S△ABC的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.答案：解：记事件A为“进入商场的一位顾客购买甲种商品”；记事件B为“进入商场的一位顾客购买乙种商品”；记事件C为“进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记事件D为“进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．”(1)∵C=AB+AB，∴P(C)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)⋅P(B)+P(A)⋅P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5．(2)∵D=AB，∴P(D)=P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.5×0.4=0.2，P(D)=1−P(D)=0.8．解析：(1)记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．由C=AB+AB能求出进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率．(2)利用对立事件概率计算公式能求出进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率P(D)．18.答案：解：(Ⅰ)等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5．可得a3=1.所以d=2，a1=−3.∴数列{a n}的通项公式a n=−3+2(n−1)=2n−5-------------(5分) (Ⅱ)当n≥2时，b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯(b2−b1)+b1=−2+(−3)⋅32+(−1)⋅33+⋯(2n−7)⋅3n记t=(−3)⋅32+(−1)⋅33+⋯+(2n−7)⋅3n则3t=(−3)⋅33+(−1)⋅34+⋯+(2n−9)⋅3n+(2n−7)⋅3n+1−2t=(−3)⋅32+2[⋅33+34…+⋅3n]−(2n−7)⋅3n+1--------(10分)−(2n−7)⋅3n+1所以−2t=−27+2⋅33(1−3n−2)1−3=−54−(2n−8)⋅3n+1所以t=27+(n−4)⋅3n+1所以b n=25+(n−4)3n+1----------(14分)当n=1时也满足所以b n=25+(n−4)3n+1----------(15分)解析：(Ⅰ)求出数列的公差与首项，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用数列的递推关系式，结合累加法以及错位相减法，求数列{b n}的通项公式．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用没看出转化首项以及计算能力．19.答案：(1)证明：取AP中点O，连接OB，OD．由DA=DP，BA=BP知，OB⊥AP，OD⊥AP．又OB∩OD=O，OB，OD⊂平面OBD，平面OBD，又平面OBD，∴PA⊥BD;(2)解：∵DA=DP=√2，AP=2，∴DA2+DP2=AP2，∴DA⊥DP，∴OD=1．又BA=BP=AP=2，∴OB=√3．可得OD2+OB2=1+3=BD2，故OB⊥OD．又OD⊥AP,AP∩OB=O,AP,OB⊂平面APB，∴OD⊥平面APB．∵点C到平面PBD的距离等于点A到平面PBD的距离．∴只需求点A到平面PBD的距离h，∵V A−PBD=V D−APB,即13SΔPBD·ℎ=13SΔAPB·OD ,∴ℎ=SΔAPB·ODSΔPBD =√34×4×12×√2×√4−2=2√217，即点C到平面PBD的距离为2√217．解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．(1)取AP的中点O，连接OD，OB，证明AP⊥平面OBD，即可证明PA⊥BD；(2)利用等体积V A−PBD=V D−APB,即可求点C到平面PBD的距离．20.答案：解：因为g′(x)=e x−2a，x∈[0,1]，e x∈[1,e]，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)=e x−2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1−b．(2)若12<a<e2，则1<2a<e，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)=e x−2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)=e x−2a>0，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a),1]上单调递增，g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b．(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)=e x−2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=e−2a−b．综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1−b，当12<a<e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b；当a≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(1)=e−2a−b．解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)g(x)=f′(x)=e x−2ax−b，g′(x)=e x−2a.对a分类讨论，利用导数即可得出其单调性；(2)利用(1)的结论，对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．21.答案：解：(1)由已知可得，|PN|=|PM|，即点P到定点N的距离等于到直线l1的距离，故P点的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2=4x.…(4分)(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，直线l2斜率为k，显然k≠0，由{y =kx +m,y 2=4x得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0， x 1+x 2=4−2km k 2． 所以x 0=x 1+x 22=2−km k 2，y 0=kx 0+m =2k ，即D(2−km k 2,2k ).因为直线l 2与圆E ：(x −3)2+y 2=6相切于点D ，所以|DE|2=6；DE ⊥l 2，从而(2−kmk 2−3)2+(2k )2=6；2−kmk 2−3=−2，整理可得(2k )2=2，即k =±√2．所以m =0，故l 2的方程为y =√2x 或y =−√2x.…(12分)解析：(1)|PN|=|PM|，点P 到定点N 的距离等于到直线l 1的距离，说明P 点的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，求解抛物线方程即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 0,y 0)，直线l 2斜率为k ，显然k ≠0，由{y =kx +m,y 2=4x得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0，利用韦达定理结合，直线l 2与圆E ：(x −3)2+y 2=6相切于点D ，(2−km k 2−3)2+(2k )2=6；求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0．(2)过极点O 和点M 的直线与曲线C 相交所得弦长为√3，即：ρ=√3，故：ρ=2sinβ，解得：β=π3或2π3因为曲线C 的圆心的极坐标为(1,π2)，所以：∠MCO =2π3，所以：直线OM 将曲线C 分成的两段弧长之比2：1或1：2．同理：当β=2π3时，曲线C 分成的两段弧长之比2：1或1：2．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥6，即为|x +2|+|x −1|≥6，当x ≥1时，x +2+x −1≥6，可得x ≥52，即x ≥52；当x ≤−2时，−2−x −x +1≥6，解得x ≤−72，即x ≤−72；当−2<x <1时，2+x −x +1≥6，解得x ∈⌀．综上可得原不等式的解集为{x|x ≥52或x ≤−72}；(2)∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，即有f (x )min >3a ，由|x −a 2|+|x +2|≥|x −a 2−x −2|=a 2+2，当且仅当−2≤x ≤a 2时，等号成立， 可得a 2+2>3a ，解得a >2或a <1．即实数a 的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(1)讨论当x ≥1时，当x ≤−2时，当−2<x <1时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f (x )min >3a ，运用绝对值不等式的性质可得最小值，由二次不等式的解法可得a 的范围．。