形函数的性质ppt课件

？？？
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Ni =1 i
j
i m
Nj =1 j
i m
j
Nmm =1
N
（I，j，m）
y
Ni =1
i
Nj =1 j
Nm =1 m
x
图1-4
也可利用行列式代数余子式与某行或列元素
乘积的性质（等于行列式值或0）证明。
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性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有
Ni (x,
y)
1
x xi x j xi
ij方程：y
bm cm
(x
xi
)
yi
N m ( m x
cm
y)
1 2A
(am
bm xi
cm
yi )
0
x xi
x j xi
6
(2) Ni (x, y) N j (x, y) Nm(x, y) 1
性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分
公式为
A Nidxdy
N j (x,
y)
x xi x j xi
Nm(x, y) 0
证
N
y
Ni(x、y)
j (xj，yj)
1 i(xi，yi)
m (xm，ym)
x
xj
（1）
Ni(x, y) x xj
xi
1
xj
Ni (x,
y)
x xj xi x j
x
xi
图1-5
x xi xi x j xi x j
1
(3)
n 0
Ni
(x,
y)
1
x xi x j xi
N j (x,
y)
x xi x j xi
Nk (x, y) 0 边界ij上位移： u Niui N ju j
v Nivi N jv j
k j
x
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形函数的性质
{δ(x, y)} [N(x, y)]{δe}
1
[N]为形函数矩阵，写成分块形式：
[N ] [[ Ni ] [N j ] [Nm ]]
其中子矩阵
(1-21）
[
Ni
]
Ni 0
0
Ni
Ni[I
]
[I]是2×2的单位矩阵。
(i, j, m) (1-22）
Ni (ai bix ciy) / 2△ (i, j, m) ai xjym xmyj;
（i、j、m）
3
利用Ni
1 2A
(ai
bi x
ci y)和ai、bi、ci公式证明
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m
N
（i，j，m）
y Ni =1
i
m
图1-3
j
x
性质2
在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对
于本单元，有
Ni (x, y) N j (x, y) Nm (x, y) 1
A 3
ij
Ni dl
1 2
ij
式中 ij 为 ij 边的长度。
(1-23）
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形函数的性质
1. 形函数 N（i xi , yi ) 1 N（i x j , y j ) 0 j i
2. 在单元任一点上三个形函数和为1 Ni N j Nk 1
3. 在三角形单元 ijk的一边ij上Nk 0
yi
bi yj ym;
ci (xj xm); △为三角形ijm 的面积
2
形函数性质 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具
有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点
上的值等于0。对于本单元，有
Ni (xi , yi ) 1 Ni (x j , y j ) 0 Ni (xm , ym ) 0