天津市南开中学2015届高三第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

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天津市南开中学2015年高考数学统练试卷(理科)(7)

2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 12．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜04．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（） A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质分别取x=1或﹣1，代入函数解析式列出方程组，求出a、b 的值，即可求出a+b的值．解答：解：∵y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，∴，解得，∴a+b=，故选：C．点评：本题考查函数奇偶性的性质，以及方程思想，属于基础题．2．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质分别进行判断即可．解答：解：a=（）＞（）＞（）＞0，即a＞b，c=log＜0，即a＞b＞c，故选：B点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数幂和对数的性质是解决本题的关键．3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜0考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；换元法．分析：为便于处理，不妨设t=（）x，于是可转化为求关于t的方程t2+2t+a=0的根的问题，明显地，原方程有正实数解，即可转化为关于t的方程在（0，1）上有解的问题，即可得解．解答：解：设t=（）x，则有：a=﹣[（）2x+2（）x]=﹣t2﹣2t=﹣（t+1）2+1．原方程有正数解x＞0，则0＜t=（）x＜（）0=1，即关于t的方程t2+2t+a=0在（0，1）上有实根．又因为a=﹣（t+1）2+1．所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2，即1＜（t+1）2＜4，即﹣4＜﹣（t+1）2＜﹣1，即﹣3＜﹣（t+1）2+1＜0，即得﹣3＜a＜0．故选：B．点评：本题考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查，属于中档题．4．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：由2＜a＜3，知M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．解答：解：∵2＜a＜3，∴M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．故选A．点评：本题考查比较不等式的大小，解题时要注意均值不等式的合理运用．5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数考点：全称命题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：考查函数f（x）的单调性，排除选项A、C；a=0时，f（x）是偶函数，无论a取何值，f（x）都不是奇函数，由此得出正确选项．解答：解：∵f（x）=x2+，∴f′（x）=2x﹣=，令2x3﹣a=0，解得x=，∴当x＞时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当x＜时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴选项A、C错误；又a=0时，f（x）=x2是偶函数，∴B正确；无论a取何值，f（x）都不是奇函数，∴D错误．故选：B．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，是综合性题目．6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式易得xy∈（0，]，换元可得z=t+，t∈（0，]，由“对勾函数”的单调性可得．解答：解：∵x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，∴﹣x，﹣y∈（0，+∞），且（﹣x）+（﹣y）=1，∴由基本不等式可得xy=（﹣x）（﹣y）≤=当且仅当﹣x=﹣y即x=y=﹣时，上式取最大值，即xy∈（0，]，令xy=t，则t∈（0，]，已知式子化为z=t+，由函数的单调性易得函数z=t+在t∈（0，]上单调递减，∴当t=时，xy+有最小值+4=，故选：B．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及“对勾函数”的单调性，属基础题．7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）考点：导数的加法与减法法则；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．解答：解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．点评：本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：常规题型．分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．解答：解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）=0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围解答：解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有＜2+，即，即有1＜a＜②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；综上分析可知a∈（0，）；故选A．点评：本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（1）==0∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或⇔0＜x＜1或x＜﹣1故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；压轴题．分析：首先应根据条件将问题转化成：在上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x﹣k在上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．解答：解：方法一：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x﹣k在上有两个不同交点．对于临界直线m，应有﹣k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，1），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴﹣k＜1，即k＞﹣1．综上，﹣1＜k≤．方法二：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．化简方程，得x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0．令g（x）=x2﹣（2k+2）x+k2﹣1，则由根的分布可得，即，解得k＞﹣1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，﹣1＜k≤，故选A．点评：本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为（﹣1，1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3等价于①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得﹣1＜x＜，解③求得≤x＜1，综合可得，原不等式的解集为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是（2，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：据对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则转化成x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，解方程即可．解答：解：由题得得x＞1．又∵2log2x﹣log2（x﹣1）=log2（）=m，∴可得=2m，即x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，可得：，解得所以实数m的取值范围是：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查对数的真数大于0、对数的运算法则、二次方程的解法，解题过程中要注意对数的定义域，属于中档题．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：将方程进行移项，然后再根据利用绝对值的几何意义进行求解．解答：解：x2+x+|a﹣|+|a|=0即|a﹣|+|a|=﹣（x2+x），令y=﹣（x2+x），分析可得，y≤，若方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则必有|a﹣|+|a|≤，而|a﹣|+|a|≥，当且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=，故且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=﹣（x2+x）成立，即x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，可得实数a的取值范围为，故答案为：．点评：此题考查绝对值不等式的解法及其几何意义，解题的关键是利用零点分段法进行求解，此类题目是高考常见的题型．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出解答：解：如图两个曲线的交点为（1.25，±0.5），所以由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为：2=2=2（y﹣）|=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的应用，正确求导积分变量以及变量范围，熟练掌握微积分基本定理定理是解题的关键．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ﹣3e ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f （x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．解答：解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3．令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故答案为：[﹣2，1）．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．…（4分）乙得分的分布列如下：X ﹣15 0 15 30P．…（6分）（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，…（8分）．…（10分）故甲乙两人至少有一人入选的概率．…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x ∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．（Ⅱ）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），因为x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0解得a=e或a=3e．经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e，或a=3e．（Ⅱ）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2，解得由（Ⅰ）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），令h（x）=2lnx+1﹣，则h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数．所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有有h（x0）=2lnx0+1﹣=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入得4x02ln3x0≤4e2又x0＞1，注意到函数4x2ln3x在（1，+∞）上是增函数故1＜x0≤e，再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，由f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2解得，所以得．综上，a的取值范围为．点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．。

天津市南开中学高考数学模拟试卷(理科)(含解析)

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y 的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a ﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c 的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。

天津市南开中学高三第一次月考.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。

答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,5,6,8B =，则U A B I ð等于（A ）{}3,7,9（C ）{}2,6,8（B ）{}1,5（D ）{}4（2）集合{}|215A x x x =-++≥，16|B x x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则AB =（A ）()[),43,4-∞- （B ）(][)4,23,4-- （C ）(][),23,-∞-+∞（D ）(](),24,-∞-+∞（3）若“x a <”是“254x -≤”的必要条件，则实数a 的取值范围是（A ）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（C ）9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（D ）9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（4）如图，圆O 和圆'O 都经过点A 和点B ，PQ 切圆O 于点P ，交圆'O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ．若2PN =，1MN =，则MQ 等于（A ）72（B ）3 （C ）10（D ）23（5）已知，0.3log 0.2a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b <<（D ）c b a <<（6）已知函数()()2ln (2)2f x x a b x b a =--+--为偶函数，且在区间[),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（A ）()(),21,-∞-+∞（B ）()0,+∞ （C ）()1,+∞（D ）()2,+∞（7）已知函数()211,2log 1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩则满足不等式()()211f a f a ->+的实数a 的取值范围是（A ）(),2-∞（B ）()0,1（C ）()1,+∞（D ）()2,+∞（8）如图，已知45CAB ∠=︒，15ACB ∠=︒，6AC =，7CD =，则BD =（A ）1132-+（B ）1132+（C ）3或1（D ）3NB AQMO'O PDCAB2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考数学（理科）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市南开中学2015届高三数学(理)统练3

天津市南开中学2015届高三数学(理)统练3- 1 -一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 数3.0log ,3,3.033.03===c b a 的大小关系是（）A. c b aB. a b cC. a c bD. c a b2. 命题p ：1x ，命题q ：062-+x x ，则p ?是q ?成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设0x ，若1+xa x 恒成立，则a 的取值范围是（）A. ),41(+∞ B. ),21(+∞ C.（1，+∞）D.（2，+∞）4. 已知0a b ，且1=+b a ，那么（）A. b b a b a b a ab +--2244 B. b ba b a b a ab --+4422 C. b b a ab b a b a +--2244 D. ba b a b b a ab --+4422 5. 设0,0b a ，则以下不等式中不恒成立的是（）A.4)11)((≥++ba b a B. 2332ab b a ≥+ C. b a b a __+≥++ D.b a b a -≥- 6. 已知012+a ，关于x 的不等式05422--a ax x 的解集是（）A. a x x 5|{或}a x -B. a x x 5|{或}a x -C. }5|{a x a x -D. }5|{a x a x - 7. 设函数???≥+-+=)1(,3)1(,1)(x x x x x f 使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围是（）A. ]2,1[]2,(?--∞ B. )2,0()2,(?--∞C. ]2,0[]2,(?--∞D. ),2[]0,2[+∞?-8. 若0x ，则函数x x xx x f 11)(22--+=的最小值为（）A. 49- B. 0 C. 2 D. 4 9. 不等式311≥-+x x 的解集是（）A. }22|{≤≤-x x B. 12|{-≤-x x 或11-x 或}21≤xC. 2|{≤x x 且}1±≠xD. 12|{-≤-x x 或}21≤x10．已知集合212{|927},{|log (1)0},x x M x N x x MN ==-=则（）A ．)23,0( B ．)2,23( C ．)23,1( D ．(0,1) 11．对于__)21(,a x ax x R x +-∈不等式恒成立，则a 的取值范围（）- 2 - A ．(0,1) B ．),43(+∞ C ．)43,0( D ．)43,(-∞ 12．设01b a +,若关于x 的不等式()()22x b ax -的解集中的整数解恰有3个,则（）A ．10a - B ．01a C ．13aD ．36a二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13.不等式a xax -1的解集为M ，且M ?2，则a 的取值范围为 . 14.已知偶函数()f x 在(),0-∞上为减函数，则满足()()log 21x f f 的实数x 的取值范是 .15.若关于x 的不等式1x x x a +--对x R ?∈恒成立，则a 的取值范围是_____.16. 已知函数()254,022,0x x x f x x x ?++≤?=?-??,若函数()y f x a x =-恰有4个零点, 则a 的取值范围是___ _.17.若正数y x ,满足232x y+=，则xy 的最小值是 . 18.设,,x y z 为正数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值为 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 已知不等式0)32()(-++b a x b a 的解为43-x ，解不等式()222(1)(2)0a b x a b x a -+--+-.20.设不等式0222≤++-a ax x 的解集为M ，如果]4,1[?M ，求实数a 的取值范围.- 3 -21.已知函数bax x x f +=2)(（b a ,为常数），且方程012)(=+-x x f 有两个实根为4,321==x x .（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设1k ，解关于x 的不等式：xkx k x f --+2)1()(.22.已知函数()()2320,.3f x x ax a x R =-∈ (1)求()f x 的单调区间和极值;(2)若对于任意的()12,,x ∈+∞都存在()21,x ∈+∞,使得()()121f x f x ?=,求a 的取值范围.班级姓名学号成绩天津南开中学2022年届高三数学统练3（理科）答题纸一、选择题二、填空题13.__________ ___ 14.______________ 15._____________16.______________ 17._________ ____ 18.______________。

天津市天津一中2015届高三上学期零月月考数学理试题 Word版含答案

天津一中2014---2015高三年级月考数学试卷（理科）一、选择题：（1）i 是虚数单位，211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是（）A.-1B.1C.-iD.i(2)在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数是（）A.30 B,20 C.15 D.10 (3)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A.16 B.2524 C.34 D.1112(4)若曲线()()a f x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a的值为（）A.-2B.2C.12 D.12- (5)数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是数列{}n a 为递增数列的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（） A.12 B,23 C. 34D.35(7)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若c o s C c c o s B a s i n A b +=，则ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定（8）函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（）A.{}|0x x > B.{}|0x x < C.{}|101x x x <-<<或D.{}|11x x x ><-或二、填空题：（9）以Rt A B C 的直角边AB 为径作圆O,圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC=3，AB=4，则OE=(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（11）在直角坐标系xoy 中，已知曲线11:()12x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与曲线2s i n :()3c os x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0有一个公式点在x 轴上，则a= (12)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生.(13)若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为(14)设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 . 三、解答题：（15）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且tan A =（I ）求角A 的大小：（II ）求cos cos B C +的取值范围.(16)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同 (I)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率:(II)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布列和数学期望()E X .(17)如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD PA ⊥底面.BC 2,4,3CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点，AF PB ⊥. (I)求PA 的长：（II ）求二面角B AF D --的正弦值.(18)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,S ,n n n a a 成等差数列(I)求数列{}n a 的通项公式： (II)设数列{}n b 前n 项和为n T ，且2ln n nxb a =，求证对任意的实数(1,]x e ∈和任意的正整数n ，总有2n T <(19)已知椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点(（I ）求椭圆的标准方程：（II ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BDb k k a⋅=-(i) 求OA OB ⋅的最值：(ii)求证：四边形ABCD 的面积为定值.(20)设函数()()2ln 1f x x a x =++(I)若函数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围：(II)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+15.解析：解：(1)tan tan sin 3A A A A π====(2)21cos cos cos cos cos cos 32B B B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos sin 226362B B B BC B ππππ⎛⎫=+=++=∴<< ⎪⎝⎭2,sin cos cos 633622B B B C ππππ⎤⎤⎡⎤⎛⎫∴+∈∴+∈∴+∈⎥⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦16.解：224329163153618C C P C ++++=== (2)X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()113991112663126P x ==--=()198784280201261269E x ++===17.解：2,3BC BD ACB ACD CA BD π==∠=∠=∴⊥∴如图建立空间坐标系()())()()0,0,0,0,,3,0,,0,0,0,3,0O C ∴()0,3,,,1,2z P z F ⎛⎫--⎪⎝⎭)2,00,2,3,3,062322z z AF PB AF PB z z ⎛⎫⊥∴⋅=∴⋅-=∴-=∴=⎪⎝⎭()0,3,23P ∴-(23PA ∴==（2）设面AFD 的法向量()()0,,3,3,20n AD n x y z n n AF ⎧⋅==∴∴=-⎨⋅=⎩，设面ABF 的法向量()()0137,,3,3,2cos sin 880m AB m x y z m m AF θθ⎧⋅==∴∴=-∴=∴=⎨⋅=⎩18.解：(1)2,s ,n n n a a 成等差数列()222*11111112,12,122n n n n n n a a S n a a a a a S n n N ---∴+==+=∴=∴+=≥∈当时，a 且22221111121n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------+-=∴-=+∴-={}n a ∴是等差数列11,d 1a n a n ==∴=（2）[]()222ln ln 11,1,0ln 121n n n x x b x e x n a n n n n ==∈∴<≤∴≥≤<-当时，b 11111111112212231n T n n n n n=-∴≤+-+-+-=-<--19.解：222222222842(1)11844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=∴∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩(2)设()()()22112222:,,,2828AB y kx m l y kx m A x y B x y x kx m x y =+⎧=+∴++=⎨+=⎩()2222121222428124280,1212km m k x kmx m x x x x k k --+++-=∴+==++()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭22222212222121812842212212OA OBy y b m k m k k m b a x x k k--⋅=-∴⋅=-∴=-⋅∴=+++ 222212122222288424212121212m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++，22OA OB=-2k AB x OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥，当k=0时，当不存在即轴max 1OA OB =2,S 42ABCD AOBAOBSS⋅==2224ABCD k m S =-==20.解：（1）()()2222,011a x x a f x x f x x x ++''=+=≥++在[1,)+∞上恒成立2222212,4a x x a a ≥--∴≥-⋅-≥-（2）()()()22220221,1x x af xg x x x a x ++'==∴=++-+∞+令在上有解()480910102a a ⎧⎪∆=->⎪∴->⎨⎪⎪<<⎩2211121222220,1,220x x a x x x x x x a ∴++=<+=-++=且1221110222x x x =-=-<<()()()()()()2222222221222ln 122ln 11,0112x x x x x x x x f x x x x x x -++-++⎛⎫∴==∈- ⎪----⎝⎭令k ()()()()()222326212ln 1,4211x x x k x x k x k x x ++⎛⎫'''''=++=∴-=- ⎪⎝⎭++()()0102,002k x k x ⎛⎫''''=∴∈-= ⎪⎝⎭存在使()()1100,12ln 20-022k k k x ⎛⎫⎛⎫''=-=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上递减()()()211100ln 222f x k k x k x ⎛⎫<<-∴<<-+ ⎪⎝⎭。

南开中学高2015级14-15学年(下)3月月考——数学理

重庆南开中学高2015级高三下（3月）月考数学试题（理科）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数2(2)1i z i+=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、已知命题p ：对任意x R ∈，有cos 1x ≤，则（）A 、p ⌝：存在x R ∈，使cos 1x ≥B 、p ⌝：对任意x R ∈，有cos 1x ≥C 、p ⌝：存在x R ∈，使cos 1x >D 、p ⌝：对任意x R ∈，有cos 1x >3、已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程（）A 、^1.234y x =+ B 、^1.235y x =+ C 、^1.230.08y x =+ D 、^0.08 1.23y x =+ 4、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ，且1si n c o s s i n c o s 2a B C c B A b +=，a b >，则B ∠=（）A 、6πB 、3πC 、23πD 、56π 5、已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A 、4B 、6C 、8D 、126、设x R +∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦，（其中e 是自然对数的底数），则(ln 2)f =（） A 、e B 、1 C 、2 D 、37、执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为20142015，则判断框内可填入的条件是（） A 、2013k > B 、2014k >C 、2015k >D 、2016k > 8、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线l 与坐标轴交于点M ，P 为抛物线第一象限上一点，F 为抛物线焦点，N 为x 轴上一点，若30PMF ∠=，0PM PN =，则||||PF PN =（）A 、2B 、32C 、2D 、439、已知△ABC 满足||3,||4AB AC ==，O 是△ABC 所在平面内一点，满足||||||AO BO CO ==，且1()2AO AB AC R λλλ-=+∈，则cos BAC ∠=（）A 、23B 、34C 、45D 10、设12min(,,,)n x x x 表示12,,,n x x x 中最小的一个，12max(,,,)n x x x 表示12,,,n x x x 中最大的一个，给出下列命题：①2min{,1}1x x x -=-； ②设,a b R ∈，0a ≠，||||a b ≠，有22||min{||||,}||||||a b a b a b a --=-； ③设,a b R +∈，有222min{,}b a a b +的最大值为1； ④,a b R ∈，max{||,||,|2014|}1007a b a b b +--≥其中所有正确命题的序号有（）A 、①②B 、①②③C 、①②④D 、①②③④第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

天津市南开中学2015届高三数学(理)统练

天津市南开中学2015届高三数学统练6一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为（） A.p q > B. p q ≥ C. p q < D. p q ≤ 2. 已知a b c >>，则114a b b c c a++---的值是 ( ) A .非负数 B .非正数 C .正数 D . 不确定 3. 关于函数()ln 2f x x =-下列描述正确的有（）个①函数()f x 在区间()12，上单调递增； ②函数()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x +=； ④函数()f x 有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 已知函数()()11x xx a f x a -=+（0,1a a >≠），则A. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数B. 函数()f x 在()0,+∞上是减函数C. 函数()f x 是奇函数D.函数()f x 是偶函数5. 设0a >，()2f x ax bx c =++，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的倾斜角的范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（） A ．10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,2ba⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦6. 若(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则a 的取值范围是（）A.(0,1) B ．(1,2) C. (1,2] D. [1,2]7. 221log 1log x x +>-的解集为（）A ．[2,)+∞B ．(1,8)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞8. 若1927x ≤≤，则33()log log (3)27xf x x =⋅（） A ．有最小值329-，最大值3- B. 有最小值4-，最大值12C. 有最小值329-，无最大值 D. 无最小值，有最大值129. 已知：a ，b ，c ，d 满足：12log 3a a =，12log 2b b =，21log 3c c =，21log 2d d =. 则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A. a b c d >>>B. a b c d <<<C. a b d c >>>D. b a c d >>>10. 设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2- ()Bln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+11. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭U B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭UC ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U 12. 设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（）（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 函数()2ln 6y x x =+-的单调递增区间是 .14. 计算定积分(sin cos )x x dx π+⎰_______________=15. 已知函数()()2ln f x ax x x x =+-在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.16. 设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______.17. 已知函数()133+-=x x x f ,()m x g x-=)21(,若对1[1,3]x ∀∈-,2[0,2]x ∃∈,12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围是______.18. 若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；③每位参加者按,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.20. 设函数2()1x f x e x ax =---．若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．21. 已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L ．22. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．班级姓名学号成绩天津南开中学2015届高三数学统练6（理科）答题纸一、选择题二、填空题13._____________ 14.______________ 15._____________16.______________ 17.__ ___________ 18.______________ 三、解答题 19.20.21.22.天津南开中学2015届高三数学统练6（理科）答案二、填空题13.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭14. 215.1,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16. 21(,]ee-∞+17.45≥m18.2[,)3e+∞(Ⅱ)由题意可知随机变量ξ可能的取值为2,3,4,.由于每题的答题结构都是相对独立的，所以121(2)()8P P N N ξ===, 1231233113123(3)()()4234238P P M M M P M N N ξ==+=⋅⋅+⋅⋅=131(3)1(1)(2)1882P P P ξξξ==-=-==--=因此随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3P18 38 12所以2348828E ξ=⨯+⨯+⨯=.20. 解：（1）0a =时，()1xf x e x =--，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12xf x e ax =--由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.21.解: （Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，．（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．'依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x xF x f x f x -=+-=+Q ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，1(2)(1)e 2n F F n +->+1()(1)e 2.n F n F +>+L L由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+L L故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N L ，．22. 解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

【名师解析】天津市天津一中2015届高三上学期零月月考数学理试题 Word版含解析

天津一中2014---2015高三年级月考数学试卷（理科）一、选择题：【题文】（1）i 是虚数单位，211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是（）A.-1B.1C.-iD.i 【知识点】复数的概念.L4【答案解析】A 解析：解：由题意可知()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，所以正确选项为A. 【思路点拨】根据复数的化简可分母实数化，然后根据虚数的概念直接求解. 【题文】(2)在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数是（）A.30 B,20 C.15 D.10【知识点】二项式定理.J3【答案解析】C 解析：解：由题意可知()61x x +的展开式中，含3x 项的系数，即为()61x +的展开式中的2x 项的系数，()61x +的展开式中的2x 项为44261C x ，所以它的系数为446115C =.【思路点拨】根据二项式展开式，可以求出与所求项有关的特定项的系数. 【题文】(3)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A.16 B.2524 C.34 D.1112【知识点】程序框图；算法.L1【题文】(4)若曲线()()a f x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a 的值为（） A.-2 B.2 C.12 D.12- 【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】A 解析：解：根据题意可知()f x 在()1,1P 处的导数为()()1211122f x x f -''=∴=，()g x 在()1,1P 处的导数为()()11a g x ax g a-''=∴=，121122l l a a ⊥∴⨯=-∴=-，所以正确选项为A.【思路点拨】根据函数的导数可以求出切线的斜率，再根据函数的几何关系可求出字母的值. 【题文】(5)数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是数列{}n a 为递增数列的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件.A2【答案解析】解析：解:若a 1＜0，q ＞1时，{a n }递减，∴数列{a n }单调递增不成立．若数列{a n }单调递增，当a 1＜0，0＜q ＜1时，满足{a n }递增，但q ＞1不成立． ∴“公比q ＞1”是“数列{a n }单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D【思路点拨】根据命题的关系可知结果. 【题文】（6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（） A.12 B,23 C. 34 D.35【知识点】概率,K1【思路点拨】甲队获冠军分为两种情况，概率是每种概率的和.【题文】(7)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若cosC ccosB asinA b +=，则ABC 的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点】正弦定理；两角和与差的公式.C5,C8 【答案解析】A 解析：解：由正弦定理可知22sin ,2sin ,2sin sin sin sin a b cR a R A b R B c R C A B C===∴===，cos cos sin sin cos sinCcosB sinAsinAb Cc B a A B C ∴+=∴+=()22sin sin sin sin sin 190B C A A A A A ∴+=⇒=∴=∴∠=︒所以三角形为直角三角形，A 正确.【思路点拨】根据正弦定理把边转化成角，然后根据两角和的展开式进行化简.【题文】（8）函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1xxe f x e ⋅>+的解集为（）A.{}|0x x > B.{}|0x x < C.{}|101x x x <-<<或D.{}|11x x x ><-或【知识点】导数，导数与函数的单调性.B11,B12【答案解析】解析：解：设h （x ）=e x f （x ）-e x-1，则不等式e x f （x ）＞e x+1的解集就是 h （x ）＞0 的解集． h （0）=1×2-1-1=0，h′（x ）=e x [f （x ）+f′（x ）]-e x， ∵[f （x ）+f′（x ）]＞1， ∴对于任意 x ∈R ， e x [f （x ）+f′（x ）]＞e x，∴h'（x ）=e x [f （x ）+f'（x ）]-e x＞0 即h （x ）在实数域内单调递增． ∵h （0）=0，∴当 x ＜0 时，f （x ）＜0；当 x ＞0 时，f （x ）＞0．∴不等式e x •f（x ）＞e x+1的解集为：{x|x ＞0}．故答案为：{x|x ＞0}．【思路点拨】构造函数，利用导数研究分析函数的单调性.二、填空题：【题文】（9）以Rt ABC的直角边AB为径作圆O,圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=【知识点】直线与圆的关系；全等三角形的判定.H4【答案解析】解析：解：由题意，连接【思路点拨】根据已知条件可求出O点为AB的中点，然后根据中位线的条件求出OE的长. 【题文】(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【知识点】三视图；柱体体积公式.G2【答案解析】解析：解：由题意可知几何体为底面为等腰梯形的四棱柱，根据体积公式可知它的体积为()1284105002V Sh ==+⨯⨯= 【思路点拨】根据三视图得到几何体的图形，再利用体积公式可求出体积. 【题文】（11）在直角坐标系x o y 中，已知曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0有一个公式点在x 轴上，则a=【知识点】椭圆的参数方程；直线的参数方程.N3 【答案解析】32a =解析：解：曲线11:()12x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数化为普通方程为：230x y +-=令30,2y x ==，曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0化为普通方程为：22219x y a +=∵两曲线有一个公共点在x 轴上293412a a =∴= 【思路点拨】化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x 轴上，可得方程，即可求得结论.【题文】(12)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生.【知识点】抽样方法；分层抽样的概念.I1∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取3501510⨯= 故答案为：15【思路点拨】根据分层抽样的概念，满足按比例分配的关系，可按比例求解.【题文】(13)若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为【知识点】向量的数量积；二次函数求最值问题.F3【答案解析】解析：解：解：设P （x ，y ），则()()22,1,OP FP x y x y x x y ⋅=⋅+=++4OP OF ⋅的最大值为【思路点拨】设在椭圆上可把OP OF ⋅ 表示为【题文】(14)设函数()f x m=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 .【知识点】函数的最大最小值.B3 【答案解析】解析：解：由题意可得()0021,22x k f x k k z m m πππ+==+∈=且，即x ，再由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦可得当m 2最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为222113,4,24m m m m ∴>+∴>求得m>2或m<-2【思路点拨】根据导数与函数的关系，找到函数的最值，再由题意可求解.三、解答题：【题文】（15）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且222tan A b c a =+-（I ）求角A 的大小：（II ）求cos cos B C +的取值范围.【知识点】余弦定理；两角和与差的展开式.C5,C8【答案解析】解析：解：(1)tan tan sin 3A A A A π====(2)21cos cos cos cos cos cos 32B B B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos sin 26362B B B BC B ππππ⎛⎫==++=∴<< ⎪⎝⎭2,sin cos cos 633622B B B C ππππ⎤⎤⎡⎤⎛⎫∴+∈∴+∈∴+∈⎥⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦【思路点拨】根据余弦定理，找出角之间的关系，再利用两角和与差的公式确定三角函数值的范围.【题文】(16)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(I)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率:(II)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布列和数学期望()E X . 【知识点】概率；离散型随机变量的分布列与数学期望.K1,K8【答案解析】解析：解：224329163153618C C P C ++++=== (2)X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()113991112663126P x ==--=()198784280201261269E x ++===【思路点拨】由题意找出所求事件的概率，根据变量的取值求出分布列与数学期望.【题文】(17)如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD PA ⊥底面.BC 2,4,3CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点，AF PB ⊥. (I)求PA 的长：（II ）求二面角B AF D --的正弦值.【知识点】空间坐标系；空间向量；空间距离公式；法向量.F3,G9【答案解析】解析：解：2,3BC BD ACB ACD CA BD π==∠=∠=∴⊥∴如图建立空间坐标系()())()()0,0,0,0,1,0,,,O C BD A ∴()0,3,,0,1,2z P z F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)2,00,2,06022z z AF PB AF PB z z ⎛⎫⊥∴⋅=∴⋅-=∴-=∴= ⎪⎝⎭()0,3,23P ∴-(2PA ∴==（2）设面AFD 的法向量()()0,,3,3,20n AD n x y z n n AF ⎧⋅==∴∴=-⎨⋅=⎩，设面ABF 的法向量()()0137,,3,3,2cos sin 880m AB m x y z m m AF θθ⎧⋅==∴∴=-∴=∴=⎨⋅=⎩ 【思路点拨】由题意可建立空间坐标系，再根据坐标求出距离；设定法向量，利用法向量的关系求出夹角的正弦值.【题文】(18)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,S ,n n na a 成等差数列 (I)求数列{}n a 的通项公式： (II)设数列{}nb 前n 项和为n T ，且2ln n nxb a =，求证对任意的实数(1,]x e ∈和任意的正整数n ，总有2n T <【知识点】数列的通项公式；特殊数列求和.D2,D3, D4【答案解析】解析：解：(1)2,s ,n n n a a 成等差数列()222*11111112,12,122n n n n n n a a S n a a a a a S n n N ---∴+==+=∴=∴+=≥∈当时，a 且22221111121n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------+-=∴-=+∴-={}n a ∴是等差数列11,d 1a n a n ==∴=（2）[]()222ln ln 11,1,0ln 121n n n x x b x e x n a n n n n ==∈∴<≤∴≥≤<-当时，b 11111111112212231n T n n n n n=-∴≤+-+-+-=-<-- 【思路点拨】(1)根据已知条件求出数列的通项公式；(2)根据通项之间的关系列出不等关系式，再利用裂项求和的方法求解.【题文】(19)已知椭圆()22221,0x y a b a b +=>>(（I ）求椭圆的标准方程：（II ）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BDbk k a⋅=-(i) 求OA OB ⋅的最值：(ii)求证：四边形ABCD 的面积为定值.【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.H5,H8【答案解析】解析：解：222222222842(1)11844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=∴∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩(2)设()()()22112222:,,,2828AB y kx m l y kx m A x y B x y x kx m x y =+⎧=+∴++=⎨+=⎩()2222121222428124280,1212km m k x kmx m x x x x k k --+++-=∴+==++()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭22222212222121812842212212OA OBy y b m k m k k m b a x x k k--⋅=-∴⋅=-∴=-⋅∴=+++ 222212122222288424212121212m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++，22OA OB=-2k AB x OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥，当k=0时，当不存在即轴max 1OA OB =2,S 42ABCD AOBAOBSS⋅==2224ABCD k m S =-==【思路点拨】根据已知条件可直接求出椭圆的标准方程，由直线与椭圆的位置关系进行运算，找出所求项与已知条件联系.【题文】(20)设函数()()2ln 1f x x a x =++(I)若函数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围： (II)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+ 【知识点】导数；利用导数证明不等式.B12【答案解析】解析：解：（1）()()2222,011a x x af x x f x x x ++''=+=≥++在[1,)+∞上恒成立2222212,4a x x a a ≥--∴≥-⋅-≥-（2）()()()22220221,1x x af xg x x x a x ++'==∴=++-+∞+令在上有解()480910102a a ⎧⎪∆=->⎪∴->⎨⎪⎪<<⎩2211121222220,1,220x x a x x x x x x a ∴++=<+=-++=且1221110222x x x =-=-<<()()()()()()2222222221222ln 122ln 11,0112x x x x x x x x f x x x x x x -++-++⎛⎫∴==∈- ⎪----⎝⎭令k ()()()()()222326212ln 1,4211x x x k x x k x k x x ++⎛⎫'''''=++=∴-=- ⎪⎝⎭++()()0102,002k x k x ⎛⎫''''=∴∈-= ⎪⎝⎭存在使()()1100,12ln 20-022k k k x ⎛⎫⎛⎫''=-=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上递减()()()211100ln 222f x k k x k x ⎛⎫<<-∴<<-+ ⎪⎝⎭【思路点拨】根据条件求出函数的导数，再确定参数的取值范围；利用导数分析函数的单调性，结合条件证明不等式成立.。

天津市南开中学2015届高三第一次月考数学(理)试题

天津市南开中学2015届高三第一次月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟Ⅰ卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡，每小题5分，共60分）1. 设集合{}419,A x x x R =-≥∈，0,3x B xx R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则AB =( ).A., (3,2)--B. 5(3,2][0,]2-- C. 5(,3][)2-∞-+∞， D . 5(,3)[)2-∞-+∞，2. 函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的一个区间是（）.A., (0,1) B . (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 3. 设奇函数()f x 在+∞（0，）上为增函数，且(1)=0f ，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）.A., (1,0)(1,)-+∞B. (,1)(0,1)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞ D . (1,0)(0,1)-4. 下面不等式成立的是（）.A ., 322log 2log 3log 5<< B. 322log 2log 5log 3<< C. 232log 3log 2log 5<< D. 223log 3log 5log 2<< 5. 已知实数,x y 满足，则下列关系式恒成立的是（）.A.,221111x y >++ B. 22ln(1)ln(1)x y +>+ C. sin sin x y > D. 33x y > 6. 若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的点值域是（）. A., 1[,3]2 B. 10[2,]3 C. 510[,]23 D. 10[3,]37. 函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（）.A., 5(,)2+∞ B. (3,)+∞ C. 5(-,)2∞ D . (-,2)∞8. 在R 上定义的函数()f x 是偶函数，满足()=(8)f x f x -，且对任意的12,[0,4]x x ∈，1212()()0f x f x x x ->-，则（）.A., (18)(35)(57)f f f -<<B. (35)(18)(57)f f f <-<C. (35)(57)(18)f f f <<-D. (57)(18)(35)f f f <-< 9. 直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）. A.,B.C. 2D. 410. 设32:()2p f x x x mx =++在内(1,)-+∞单调递增，:1q m ≥，则p 是q 的（）. A ., 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件11. 设函数121()log ()2x f x x =-，2121()log ()2x f x x =-的零点分别为12,x x ，则（）.A ., 1201x x << B. 12=1x x C. 1212x x << D. 122x x ≥ 12. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A.,)+∞ B. [2,)+∞ C. (0,2] D.[1][2,3]-Ⅱ卷（讲答案写在答题纸上，在试卷上作答无效）二、填空题：（每小题5分，共30分） 13. 曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________.210x y -+= 14. 不等式211x x --<的解集是__________.(0,2)15. 函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -的值为__________.0 16. 方程223x x -+=的实数解的个数为__________.217. 函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为__________.8 18. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为__________.(-,1]∞三、解答题（每小题15分，共60分）19. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。

天津市南开中学2015届高三数学统练15 理

天津市南开中学2015届高三数学统练15 理一、选择题（共8小题，每题5分）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（）．A.()227313x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B.()()22211x y -+-=C.()()22131x y -+-=D.()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）． A.αβ且lαB.α与β相交，且交线垂直于lC.αβ⊥且l β⊥D.α与β相交，且交线平行于l从点)2,3(-A 作直线与圆922=+y x 交于Q P ,两点，若要满足4=⋅AQ AP ，则这样的直线（）．A.有且仅有一条B.不超过两条C.有无数条D.不存在直线()():21210l k x k y k +--+-=与圆224x y +=的位置关系是（）．A.相交B.相切C.相离D.不确定，与k 有关若直线1x ya b +=通过点()cos sin M αα，，则（）．A.221a b +≤ B.221a b +≥C.22111a b +≤D.22111a b +≥已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （）． A.2- B.1- C.1 D. 4若曲线1y =(2)4y k x =-+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）．A.53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B.5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭过点) 0引直线l与曲线y A B ，两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）．A.B.C.D.二、填空题（共6个小题，每题5分）若直线1l ：(2)10m x y ---=与直线2l ：310x my -+=互相平行，则m 的值等于．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（0a >）的公共弦的长为则a = ．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是．在已知直线1l ：x y =与2l ：xy 33-=的上方有一点P ，P 到1l 、2l 的距离分别是22和32，则P 点的坐标为．设函数2()f x ax bx =+，且1(1)2,f ≤-≤2(1)4f ≤≤，则12b a +-的取值范围是．已知在圆:C 2225x y +=上有一点()4,3P .,E F 分别为y 轴上的两点，满足PE PF=，且直线,PE PF 与圆C 交于,M N 两点，则直线MN 的斜率为 .三、解答题（共6个小题）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；（2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B. (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程．已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知41=m ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥(O 为坐标原点) ，并求出该圆的方程；（3）已知41=m ，设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1，且l 与轨迹E 只有一个公共点B1，当R 为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值.天津南开中学2015届高三数学统练15（直线与圆）参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 BDCADCAB三、解答题：15. ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；（2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 解：（1）c b a ，，成等差数列 2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+.（2）c b a ，，成等比数列22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--====222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac +∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为12.16. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）17. 已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B. (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程．解：(1)设l 的方程为b y a x +=1，则A(a,0)，B(0,b)且a ＞0，b ＞0，又∵l 过P(3,2)∴b a 23+=1∵a ，b ＞0∴1=b a 23+≥2ab 6得ab≥24，∴S △AOB=21ab≥12当且仅当2123==b a 即a=6，b=4时取“=”．∴S △AOB 的最小值为12，此时，l 的方程为46yx +=1即2x ＋3y －12=0． (2)由(1)知，+a 3b 2=1，∴a ＋b=(b a 23+)(a ＋b)=b aa b 23+＋5≥2b a a b 23⋅＋5=5＋26 当b aa b 23=即a=3＋6，b=2＋6时取“=”.∴l 在两坐标轴上截距之和的最小值为5＋26，此时l 的方程为6263+++yx=1即2x ＋6y －26－6=0．或者设l 的方程为y －2=k(x －3)(k ＜0)，令x=0，则y=－3k ＋2令y=0，则x=－k 2＋3，∴a ＋b=－k 2－3k ＋5≥26＋5当且仅当k 2=3k ．即k=－36时取“=”.(3)由(2)知A(－k 2＋3,0)，B(0,－3k ＋2)∴|PA|·|PB|= )1(3672)99)(44(2222k k k k ++=++≥23672⨯+=12(当且仅当k2=21k 即k=－1时取“=”)此时l 的方程为y －2=－(x －3)即x ＋y －5=0． 18. 已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知条件得：331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1,a q =-⎧⎨=-⎩所以数列{}n a 的通项为253n n a -=⨯或()151n n a -=-⋅-()*n N ∈.（II ）若253n n a -=⨯，则113153n na -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1112311531119191111031013m m m a a a --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==⋅-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．若()151n n a -=-⋅-，则()11115n n a -=-⋅-，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而()()**121,21,11150,2,m m k k N a a a m k k N ⎧-=-∈⎪+++=⎨⎪=∈⎩，故121111ma a a +++<．综上，对任意整数m ，总有121111ma a a +++<．故不存在这样的正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立．19. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解：以D 为原点，射线1,,DD DC DA 分别为z y x ,,轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系xyz D -，由已知得),0,0(),0,0,1(),2,2,0(),0,2,2(1λP F C B ，所以)2,0,2(1-=BC ，),0,1(λ-=FP ，)0,1,1(=FE ，（I ）证明：当1=λ时，)1,0,1(-=FP ，因为)2,0,2(1-=BC ，所以FP BC 21=，即FP BC //1，而⊂FP 平面EFPQ ，且⊄1BC 平面EFPQ ，故直线//1BC 平面EFPQ .（II ）设平面EFPQ 的一个法向量),,(z y x =n ，由⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00n n FP FE 可得⎩⎨⎧=+-=+00z x y x λ，于是取)1,,(λλ-=n ，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为)1,2,2(λλ--=m ，若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角，则0)1,,()1,2,2(=-•--=•λλλλn m ，即01)2()2(=+---λλλλ，解得221±=λ，故存在221±=λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.20. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知41=m ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥(O 为坐标原点) ，并求出该圆的方程；（3）已知41=m ，设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1，且l 与轨迹E 只有一个公共点B1，当R 为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值.解:（1）因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-, 所以2210a b mx y ⋅=+-=, 即221mx y +=.当m=0时,方程表示两直线,方程为1±=y ；当1m =时, 方程表示的是圆；当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆；当0<m 时,方程表示的是双曲线.(2).当41=m 时, 轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=,即222(14)8440k x ktx t +++-=,要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,则使△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>, 即22410k t -+>,即2241t k <+, 且12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=+++,要使OA OB ⊥, 需使12120x x y y +=,即222222224445440141414t t k t k k k k ----+==+++,∴225440t k --=, 即22544t k =+且2241t k <+, 即2244205k k +<+恒成立. 所以又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =222224(1)45115k t r k k +===++, 所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时,切线为552±=x ,与2214x y +=交于点)552,552(±或)552,552(±-也满足OA OB ⊥.综上, 存在圆心在原点的圆2245x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.(3)当41=m 时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+,因为直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1, 由（2）知R =, 即222(1)t R k =+ ①,因为l 与轨迹E 只有一个公共点B1,由（2），2214y kx txy++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t++=,即222(14)8440k x ktx t+++-=有唯一解则△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t-+-=-+=, 即22410k t-+=,。

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天津市南开中学2015届高三第一次月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟Ⅰ卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡，每小题5分，共60分）1. 设集合{}419,A x x x R =-≥∈，0,3x B xx R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则AB =( ).A., (3,2)--B. 5(3,2][0,]2-- C. 5(,3][)2-∞-+∞， D . 5(,3)[)2-∞-+∞，2. 函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的一个区间是（）.A., (0,1) B . (1,2) C. (2,3) D. (3,4)3. 设奇函数()f x 在+∞（0，）上为增函数，且(1)=0f ，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）.A., (1,0)(1,)-+∞B. (,1)(0,1)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞ D . (1,0)(0,1)-4. 下面不等式成立的是（）.A ., 322log 2log 3log 5<< B. 322log 2log 5log 3<< C. 232log 3log 2log 5<< D. 223log 3log 5log 2<< 5. 已知实数,x y 满足，则下列关系式恒成立的是（）.A.,221111x y >++ B. 22ln(1)ln(1)x y +>+ C. sin sin x y > D. 33x y > 6. 若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的点值域是（）. A., 1[,3]2 B. 10[2,]3 C. 510[,]23 D. 10[3,]37. 函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（）.A., 5(,)2+∞ B. (3,)+∞ C. 5(-,)2∞ D . (-,2)∞8. 在R 上定义的函数()f x 是偶函数，满足()=(8)f x f x -，且对任意的12,[0,4]x x ∈，1212()()0f x f x x x ->-，则（）.A., (18)(35)(57)f f f -<<B. (35)(18)(5f f f <-<C. (35)(57)(18)f f f <<-D. (57)(18)(3f f f<-<9. 直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）. A.,B.C. 2D. 410. 设32:()2p f x x x mx =++在内(1,)-+∞单调递增，:1q m ≥，则p 是q 的（）. A ., 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件11. 设函数121()log ()2x f x x =-，2121()log ()2x f x x =-的零点分别为12,x x ，则（）.A ., 1201x x << B. 12=1x x C. 1212x x << D. 122x x ≥ 12. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A.,)+∞ B. [2,)+∞ C. (0,2] D.[,1][2,3]-Ⅱ卷（讲答案写在答题纸上，在试卷上作答无效）二、填空题：（每小题5分，共30分）13. 曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________.210x y -+= 14. 不等式211x x --<的解集是__________.(0,2)15. 函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -的值为__________.0 16. 方程223xx -+=的实数解的个数为__________.217. 函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为__________.8 18. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为__________.(-,1]∞三、解答题（每小题15分，共60分）19. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。

现从该箱中任取3个球（无放回，且每球取到的机会均等），记随机变量X 为取出3球所得分数之和。

（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）求X 的数学期望()E X 。

解：（Ⅰ）由题可知X 的取值为：3、4、5、6.35395(3)42C P x C ∴===; 21543920(4)42C C P x C ===; 12543915(5)42C C P x C ===; 34392(6)42C P x C ===（Ⅱ）所求X 的数学期望()E X 为：()=3+4+5+6=422114213E X ⨯⨯⨯⨯20. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠。

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为8y =，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）3()3(0)f x x ax b a =-+≠ ∴2()33f x x a '=-。

曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切。

(2)03(4)04(2)086824f a a f a b b '=-==⎧⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎩⎩⎩（Ⅱ）22()333()(0)f x x a x a a '=-=-≠，当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点。

当0a >时，令()0f x '=，解得=x x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(,-∞，)+∞；单调递减区间是(此时()=(f x f b =最大值，()=f x f b =-最小值。

21. 已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（III ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

解：（Ⅰ）()2101a f x x x '=+-+，(3)61004af ∴'=+-=，因此16a =。

当16a =时，162(3)(1)()210=11x x f x x x x --'=+-++，由此可知，当(1,3)x ∈时，()f x 单调递减，当(3,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以当16a =时，3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()16ln(1)10,(1,)f x x x x x =++-∈-+∞，所以2(3)(1)()1x x f x x --'=+。

当-(3,)x ∈+∞（1，1）时，()0f x '>，当(1,3)x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调增区间是-,(3,)+∞（1，1），函数()f x 的单调减区间是(1,3)。

（III ）直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点；等价于()f x b =有3个实数根，即()0f x b -=有3个实数根；此时，函数()f x b -的图象与x 轴有3个不同的交点，令2()()16ln(1)10x f x b x x x b ϕ=-=++--，则2(3)(1)()(1)1x x x x x ϕ--'=>-+，令()0x ϕ'=，解得3x =或1x =，列表如下：(1)ϕ为极大值，(3)ϕ为极小值。

为使函数()y x ϕ=的图象与x 轴有3个不同的交点，必须()y x ϕ=的极大值大于零极小值小于零，即(1)0(3)0ϕϕ>⎧⎨<⎩，可化简为16ln 29032ln 2210b b -->⎧⎨--<⎩，解得16ln 2932ln 221b b <-⎧⎨>-⎩∴32ln 22116ln 29b -<<-22. 设()(1)x f x e a x =-+。

（Ⅰ）若0a >，()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值；（Ⅱ）设()()x ag x f x e=+，且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点。

若对任意的1a ≤-，直线AB 的斜率恒大于常熟m ，求m 的取值范围；（III ）是否存在正整数a，使得13(21))n n n n n an +++-<对一切正整数n 均成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由。

，解：（Ⅰ）0a >时，()x f x e a '=-，令()0f x '=，解得ln x a =。

因为ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增。

所以min ()(ln )f x f a =。

由(ln )0f a ≥，有ln (ln 1)0aea a -+≥，ln 0a ≤，01a <≤，即a 的最大值是1.（Ⅱ）设12,x x 是两个任意实数，且12x x <，则有21212121()()AB y y g x g x k m x x x x --==>--，2121()()g x g x mx mx ->-，即2211()()g x mx g x mx ->-。

设()()h x g x mx =-，则()h x 在R 上单调递增，故()()0h x g x m '='-≥，即对任意1a ≤-，对任意实数x ，()m g x ≤'恒成立。