【配套K12】[学习]2019高考数学二轮复习 专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计 第三讲

第三讲 概率一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4. 故选B. 答案：B2．(2018·云南模拟)在正方形ABCD 内随机生成n 个点，其中在正方形ABCD 内切圆内的点共有m 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为( )A.m nB.2mnC.4m nD.6mn解析：依题意，设正方形的边长为2a ， 则该正方形的内切圆半径为a ，于是有πa 24a 2≈mn ，即π≈4m n ，即可估计圆周率π的近似值为4mn.答案：C3．(2018·沧州联考)已知函数f (x )＝x 2e x ，在区间(－1,4)上任取一点，则使f ′(x )＞0的概率是( )A.12B.25C.13D.16解析：f ′(x )＝2x －x 2e x ，由f ′(x )＞0可得f ′(x )＝2x －x2e x ＞0，解得0＜x ＜2，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率P ＝2－04－－＝25. 答案：B4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为( )A.π2B.π4C.π3D.π5解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x 2＋y 2≤1成立的平面区域为以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆的14与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P ＝π41＝π4.答案：B5．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(1，－2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x ，y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b ＞0的概率是( )A.112B.34C.15D.16解析：设(x ，y )表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个，a·b ＞0，即x －2y ＞0，满足x －2y ＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P ＝636＝16. 答案：D6．(2018·湖南五校联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率是()A.22B.32C.2－1D.3－1解析：分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，则当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，易得P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB 的概率是3－1. 答案：D7．(2018·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(－1,1)的夹角θ＞90˚的概率是( )A.512B.712C.13D.12解析：连掷两次骰子得到的点数(m ，n )的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n ＜0，∴m ＞n .符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴所求概率P ＝1536＝512.答案：A8．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18 B.14 C.34D.78解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×12×1＝74，则所求的概率P ＝742＝78.答案：D 二、填空题9．(2018·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，在正方体中与点O 距离等于1的是个半球面，V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 半球V 正＝2π8×3＝π12，∴所求概率P ＝1－π12.答案：1－π1210．如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．解析：当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，∠ACM ＝180˚－45˚2＝67.5˚.当∠ACM ＜67.5˚时，AM ＜AC ， 所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5˚90˚＝34.答案：3411．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，则中奖的概率是________．解析：由题意，所有可能的结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}，共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为P ＝412＝13.答案：1312．一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形ABCD )的草原上飞，其中AD ＝3，CD ＝2，BC ＝5，它可能随机落在该草原上任何一处(点)，若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分)CDE 以外候鸟能生还，则该候鸟生还的概率为________．解析：直角梯形ABCD 的面积S 1＝12×(3＋5)×2＝8，扇形CDE 的面积S 2＝14π×22＝π，根据几何概型的概率公式，得候鸟生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝8－π8＝1－π8. 答案：1－π8三、解答题13．(2018·宝鸡模拟)为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：(1)(2)用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解析：(1)6条道路的平均得分为16×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，∴该市的总体交通状况等级为合格．(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件．事件A 包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个基本事件． ∴P (A )＝715.故该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为715.14．(2018·西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45,65)内的概率．解析：(1)设质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x ，则质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x,2x .依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x ＋2x ＋x ＝1，解得x ＝0.05. 所以质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，质量指标值落在区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率分别为0.3,0.2,0.1.用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55)内应抽取6×0.30.3＋0.2＋0.1＝3件，记为A 1，A 2，A 3；在区间[55,65)内应抽取6×0.20.3＋0.2＋0.1＝2件，记为B 1，B 2；在区间[65,75)内应抽取6×0.10.3＋0.2＋0.1＝1件，记为C .设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[45,65)内”为事件M ，则所有的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C )，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C )，(B 1，B 2)，(B 1，C )，(B 2，C )，共15种，事件M 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种，所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率P ＝1015＝23.15．(2018·长沙模拟)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.(1)列出2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？(2)为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少？附：K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解析：(1)根据统计数据得2×2列联表如下：由于K2的观测值k＝19×26×25×20≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒状与玉米矮茎有关．(2)由题意得，抽到的高茎玉米有2株，设为A，B，抽到的矮茎玉米有3株，设为a，b，c，从这5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，其中均为矮茎的选取方法有ab，ac，bc，共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310.。