三角函数习题课
三角函数的诱导公式习题课
• 例2 已知 cos100o = m，则tan 80o = __________ ． • 分析 注意到两个角互补，因此可以根据诱导 公式先求出80 o 角的正弦值与余弦值，再求tan 80 o • 解析 因为 cos100o = m ， • 所以cos 80o = cos(180o − 100o ) = − cos100o = −m ， 又 80 o 角为锐角，所以 sin 80 = 1 − m ，
sin A = 2 sin B 3 cos A = 2 cos B
• 例4
1 已知 cos(75 + α ) = 3
o
算它们的余弦值．
，
• 解析 ， 1 o o o = − cos(75 + α ) = − ； • 所以cos(105 −α) = cos[180 −(75 +α)] 3 由于(75o + α ) − (α − 15o ) = 90o 所以cos(α − 15 ) = cos[(75 + α ) − 90 ] = cos[90o − (75o + α )] = sin(75o + α )，又因为 α 为第三象 1 o cos(75 + α ) = > 0 ，所以 (75 + α ) 为第四象 限角且 3 限角，因此 sin(75 + α ) = − 2 2 ，所以 cos(α − 15 ) = − 2 3 2 3 因此原式 cos(105 − α ) + cos(α − 15 ) = − 1 − 2 2 ．
(n + 12) nπ nπ π sin = sin( + 2π ) = sin 6 6 6
同角三角函数的基本关系习题课
化弦为切
类型五-------化简 例4：化简下列各式
1cos tan
2 cos 1 2 2 1 2 sin 2 2 3(1 tan ) cos
2
练习：化简下列各式：
(1) 1 sin 4
2
cos 4
(2) 1 sin 440
2
cos80
0
(3) 1 2 sin 2 cos2
(4) 1 2 sin 10 cos10 sin 10 1 sin 10
2
sin 2 cos 2
1
1 sin 1 sin 其中为第二象限角 (5) 1 sin 1 sin
, 化简
1 练习2： 练习、已知0 ,sin cos , 求 : 5 (1) sin cos
(2) sin cos
sin 类型三， cos 1, tan sin 综合应用 cos
2 2
类型四-------证明三角恒等式
cos x 1 sin x 例1：求证： 1 sin x cos x
证明三角恒等式的基本思路：由繁到简 一般方法： （1）左边 右边 （2）右边 左边 （3）左边 中间式 右边 （4）转化①A=B A – B = 0 ②A B A 1(B 0)
B
tan 例4 : 例2： 求证 : sin cos 1 tan 2 sin tan 证 法1 : cos sin2 1 tan2 1 cos2
1 2 ( ) 1 (sin cos ) 2 1 12 5 sin cos 2 2 25 (2)(sin cos )2 sin2 2sin cos cos2
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第5章三角函数 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换课后训练巩固提升1.要得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)],所以只需将函数y=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度.2.将函数y=12sin x 图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=4sin x B.y=2sin x C.y=sin xD.y=14sin x解析:y=12sinx 的图象y=4×12sinx=2sinx 的图象.3.将函数y=sin xcos x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,再将横坐标缩短为原来的一半,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=sin 4xB.y=cos 4xC.y=12sin 4x D.y=12cos 4xy=sinxcosx=12sin2x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得到函数y=12sin2(x+π4) =12sin(2x+π2)=12cos2x 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半,得到函数图象的解析式为y=12cos4x.4.(多选题)下列四种变换,能使y=sin x 的图象变为y=sin (2x +π4)的图象的是( )A.向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12B.向左平移π8个单位长度,再将各点的横坐标扩大为原来的2倍 C.将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度D.将各点横坐标缩短为原来的12,再向右平移π8个单位长度y=sinx 的图象变为y=sin(2x+π4)的图象有两种图象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12;第二种:先伸缩,后平移,将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度.故选AC.5.要得到函数y=cos (2x +π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向左平移5π12个单位长度B.向右平移5π12个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度(2x +π3)=sin [π2+(2x +π3)]=sin(2x+5π6)=sin [2(x +5π12)].由题意知,要得到y=sin (2x +5π6)的图象,只要将y=sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度.6.函数y=12sin (2x -π4)的图象可以看作把函数y=12sin 2x 的图象向平移 个单位长度得到的.π87.把函数f(x)=cos (2x -π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是 .g(x)=cos (4x -π6),故最小正周期T=2π4=π2.8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x 的图象,则f (π6)= .y=sinx 的图象向左平移π6个单位长度,得到y=sin (x +π6)的图象,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(12x+π6)的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=sin (12x +π6),故f (π6)=√22.9.将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数y=cos 2x 的图象. (1)求f(π)的值;(2)求f(x)的单调递增区间.将函数y=cos2x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=cos4x 的图象,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=cos4(x-π12)=cos (4x -π3)的图象,故f(x)=cos(4x-π3).因此f(π)=cos (4π-π3)=cos π3=12. (2)令2kπ-π≤4x -π3≤2kπ(k∈Z),解得12kπ-π6≤x≤12kπ+π12(k ∈Z),故f(x)的单调递增区间为[12kπ-π6,12kπ+π12](k ∈Z).1.将函数f(x)=cos (x +7π6)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是( ) A.x=π3B.x=-π3C.x=π12D.x=-π12y=cos (x +7π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=cos (12x +7π6)的图象.令12x+7π6=kπ(k∈Z),解得x=2kπ-7π3(k ∈Z).故可得当k=1时,所得函数的图象的一条对称轴方程为x=-π3.2.若将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( ) A.4B.6C.8D.12由题意可知π2=kT(k ∈Z). 因为f(x)=sin(ωx+φ)的周期为T=2π|ω|,所以π2=k·2π|ω|,即|ω|=4k(k∈Z).故ω的值不可能等于6.3.(多选题)为了得到函数y=2sin 2x 的图象,下列变换正确的是( ) A.将函数y=(sin x+cos x)2的图象向右平移π4个单位长度B.将函数y=1+cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度C.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度D.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向左平移π6个单位长度2x=1-cos2x.将函数y=(sinx+cosx)2=1+sin2x 的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=1+sin2(x -π4)=1+sin (2x -π2)=1-cos2x 的图象,故A 正确.将函数y=1+cos2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=1+cos (2x +π2)=1-sin2x 的图象,故B 不正确.将函数y=2sin 2(x +π6)=1-cos (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=1-cos[2(x-π6)+π3]=1-cos2x 的图象,故C 正确,D 不正确.4.将函数y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,所得函数图象的一个对称中心为( ) A.(7π48,0)B.(π3,0)C.(7π12,0)D.(5π8,0)y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得到y=3sin (2x +π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到y=3sin [2(x -π6)+π6]=3sin (2x -π6).令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).当k=1时,x=7π12.故函数图象的一个对称中心为(7π12,0),故选C.5.要得到y=sin (x2+π3)的图象,需将函数y=cos x2的图象上所有的点至少向左平移 个单位长度.:cos x2=sin (x2+π2),将y=sin(x2+π2)的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y=sin (x2+φ2+π2)的图象.令φ2+π2=2kπ+π3(k ∈Z),解得φ=4kπ-π3(k ∈Z),故当k=1时,φ=11π3,即为φ的最小正值.6.将函数f(x)=12sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π3对称,则|φ|的最小值为 .:f(x)=12sin(2x+φ)向左平移π6个单位长度后得到y=12sin (2x +π3+φ),再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=12sin (x +π3+φ),此函数图象关于直线x=π3对称.当x=π3时,sin (π3+π3+φ)=sin (2π3+φ)=±1,所以2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),得φ=-π6+kπ(k∈Z).故|φ|的最小值为π6.7.将函数y=lg x 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象.(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.函数y=lgx 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C 1;函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)=cos [2(x +π12)-π6]=cos2x 的图象,即图象C 2.画出图象C 1和C 2的图象如图所示.(2)由(1)中的图象可知,两个图象共有5个交点,即方程f(x)=g(x)解的个数为5.8.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在区间[-π4,2π3]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b ∈R 且a<b)满足:y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的区间[a,b]中,求b-a 的最小值.因为ω>0,所以根据题意有{-π4ω≥-π2,2π3ω≤π2,解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为(0,34].(2)由题意知f(x)=2sin2x,g(x)=2sin [2(x +π6)]+1=2sin (2x +π3)+1.由g(x)=0得,sin (2x +π3)=-12,解得x=kπ-π4或x=kπ-7π12,k ∈Z,即g(x)的相邻零点之间的间隔依次为π3和2π3.故若y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3.。
1.3三角函数的诱导公式-练习课(高中数学人教A版必修四)
7.若f (cosx) cos2 x, 求f (sin15).
3 2
2 1 ）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
1.求下列三角函数值 （1） sin 390 （2） cos
5 6
（3） tan(
5 ) 4
(4) sin(
5 ) 6
(6) tan(240)
1 2.已知 sin( ) ,求下列各式的值 2 3 （1） sin( 5 ) （2） cos( ) 2
（3） tan( )
2
1 (3)已知 cos(75 ) , 其中75 为第四象限角 . 3 求 : cos(105 ) sin( 105 )的值.
口诀：奇变偶不变，符号看象限
2
y
2
2k
3 2
o
2
x
3 2
1.六组诱导公式
角 正弦
2kπ +α
-α
π +α
π -α
2 -α
sinα -sinα
-sinα sinα
cosα sinα
3 +α 2 cosα -cosα -cosα
分析: 利用 180 (75 ). 105
2 2 1 3
注意: (整体代换) k (k Z ) 若+,-为
2
,
则可用诱导公式进行整体代换.
能力训练题
分析 : f (sin 15) f [cos(90 75)] cos[ 2(90 15)] cos(150)
高考三角函数习题
三角函数习题课（一）一、学习目标：1、熟悉三角函数的计算公式；2、熟练应用三角函数的公式进行恒等变换；3、通过强化训练、讲解加深对三角函数公式的理解与应用。
二、上节课典型误点（错题）讲解：三、课前小测：1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.已知命题 :p 对任意x R ∈，总有20x >； :"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝3、若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R ð A 、2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B 、2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C 、2(,0][,)2-∞+∞D 、2[,)2+∞ 4. 已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是A. R m ∈B. 1>mC. 0>mD. 10<<m5.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c6、已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ ） A ．2524- B ．2512- C ．2512 D ．2524 6、设函数32()f x x ax bx =++(0)x >的图象与直线4y =相切于(1,4)M ．求32()f x x ax bx =++在区间(0,4]上的最大值与最小值；四、本节知识分析及经典例题、练习巩固：（一）三角函数概念及诱导公式计算1、已知角α的终边过点(39,2)P a a -+，且cos α≤0，0sin >α，求a 的取值范围。
三角函数的应用习题课 课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
变式训练
3.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度 (单位:米)可看作是时间
0 ⩽ ⩽ 24, 单位: 时 的函数，记作 = ，经过长期观测 = 的曲线可近
似地看成是函数 = cos + ( > 0, > 0) 的图象, 下表是某日各时的浪高数据,
曲线 , 该曲线段为函数 = sin ( > 0, > 0), ∈ [0,4]的图象,且图象的最高
点 为 (3,2 3) ; 赛 道 的 后 一 部 分 为 折 线 段 , 为 保 证 参 赛 运 动 员 的 安 全 , 限 定
∠ = 120∘ . 求 的值和 , 两点间的距离.
典例讲解
思路解析
由图得到 及函数的周期,利用三角函数的周期公式求得 , 将 的横坐标代入求
出 的纵坐标,再利用两点间距离公式, 即可求解 , 两点间的距离.
解析
依题意,有 = 2
6
3,
4
= 3, 又 =
2
,∴
=
∴ = 2 3sin ,当 = 4 时, ∴ = 2 3sin
,
30
∴ ℎ = 4.8sin
−
+ 5.6, ∈ [0, +∞)
30
2
2
60
=
30
，
变式训练
5.如图所示, 某幼儿园有一个矩形游乐场, 其中 = 50米， = 40米，由于
幼儿园招生规模增大,需将该游乐场扩大成矩形区域, 要求 、、、 四个
点分别在矩形 的四条边(不含顶点) 上.设∠ = (弧度), 的长为 米
人教B版高中数学必修第三册课后习题 第7章 三角函数 7.3.2 正弦型函数的性质与图象
7.3.2 正弦型函数的性质与图象课后训练巩固提升1.若函数y=sin x 图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到的图象的解析式为y=sin ωx,则ω的值为( ) A.2 B.12C.4D.142.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-π3B.2,-π6C.4,-π6 D.4,π3由题中图象易知34T=5π12−(-π3)=3π4,得T=π,则ω=2πT =2ππ=2.易知x=5π12为“五点法”中第二点,即2×5π12+φ=π2,解得φ=-π3,故A 正确.3.已知函数f(x)=sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )A.关于直线x=π8对称B.关于点(π4,0)对称C.关于直线x=π4对称D.关于点(π8,0)对称T=π,ω=2πT =2,f(x)=sin (2x +π4).当x=π8时,sin (2×π8+π4)=sin π2=1.所以A 正确,D 错误;当x=π4时,sin 2×π4+π4不等于0,±1,所以B,C 错误.4.将函数y=sin 2x 的图象向左平移π4个单位,再向上平移1个单位所得的图象的函数解析式是( ) A.y=cos 2xB.y=1+cos 2xC.y=1+sin (2x +π4)D.y=cos 2x-1的图象向左平移π4个单位,得y=sin [2(x +π4)]=sin (2x +π2)=cos2x 的图象,再向上平移1个单位,得y=cos2x+1的图象,故选B.5.把函数y=sin (2x -π4)的图象向右平移π8个单位,所得的图象对应的函数是( ) A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数f(x)=sin[2(x-π8)-π4]=sin(2x-π2)=-sin(π2-2x)=-cos2x,而f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),所以f(x)为偶函数,故D 正确.6.(多选题)要得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只要将y=sin 2x 的图象( )A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移5π6个单位D.向右平移π6个单位[2(x -π6)],要得到y=sin(2x-π3)的图象,只要将y=sin2x 的图象向右平移π6个单位,也可以向左平移π-π6=5π6个单位.故CD 正确.7.将函数y=3sin (3x +π4)的图象向右平移π3个单位后所得的图象的函数解析式为 .解析 平移所得图象的函数解析式为y=3sin 3x-π3+π4=3sin 3x-3π4.(3x -3π4)8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图,则f(0)的值是 ;f(x)的单调递增区间为 .A=√2,T4=7π12−π3=π4,∴T=π,ω=2ππ=2.∵函数图象过点(π3,0),∴2×π3+φ=2kπ+π(k∈Z),∴φ=2kπ+π3(k ∈Z).令k=0,得φ=π3. ∴函数的解析式为f(x)=√2sin (2x +π3),∴f(0)=√2sin π3=√62. 由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k ∈Z,得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k ∈Z. ∴函数的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k ∈Z.[kπ-5π12,kπ+π12](k ∈Z)9.用五点法作出函数y=2sin (x -π3)+3的图象.y=2sin (x -π3)+3在一个周期内的图象.(1)列表:(2)描点、连线.(3)作图.再将上述一个周期内的图象向左、向右两边延展,即得y=2sin x-π3+3的图象,如图所示.10.下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象.(1)写出函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)与f(x)的图象关于直线x=2对称,求函数g(x)的解析式,并写出函数g(x)的最小正周期、频率、振幅;(3)不作图象,试说明函数g(x)的图象怎样由函数y=sin x的图象变换得到.由题图可知,A=2,T=2×[3-(-1)]=8,ω=2πT =2π8=π4,∴f(x)=2sin(π4x+φ).将点(-1,0)的坐标代入得0=2sin (-π4+φ),观察题图可知-π4+φ=2kπ(k∈Z),∴φ=2kπ+π4(k ∈Z).∵|φ|<π2,∴φ=π4,∴f(x)=2sin (π4x +π4).(2)设g(x)的图象上任意一点的坐标为(x 0,y 0),则其关于直线x=2对称的点的坐标为(4-x 0,y 0).由题意知(4-x 0,y 0)在f(x)的图象上,故y 0=2sin[π4(4-x 0)+π4]=2sin (π4x 0-π4),故函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(π4x-π4),且g(x)的最小正周期T=2ππ4=8,频率f=1T=18,振幅A=2.(3)(方法一)先平移再伸缩.y=sinx 的图象y=sin (x -π4)的图象y=sin (π4x -π4)的图象y=2sin (π4x -π4)的图象.(方法二)先伸缩再平移.y=sinx 的图象y=sin π4x 的图象y=sin [π4(x -1)]=sin(π4x-π4)的图象y=2sin(π4x-π4)的图象.。
三角函数图像和性质习题课(含答案)
三角函数的图像和性质习题课例1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)是偶函数，则φ满足的条件是______． 解析 y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数，即关于y 轴对称 ∴sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．例2．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值为________．解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得y ＝sin(2x －2φ)x ＝π6是一条对称轴， 则2×π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z ∴φ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴φ的最小值为5π12.例3．将函数y ＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象，则θ的值为________． 解析 设f (x )＝sin (2x ＋θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋θ.由已知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5.∴π2＋θ＝π5，∴θ＝－3π10.：例4．设ω>0为常数，函数y ＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，则实数ω的取值范围是__________． 答案 0<ω≤32例5．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； (2)y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；(3)y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； (4)y ＝f (x )图象关于x ＝－π6，对称．其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对； 对于③，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④， 函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错．\例6．(创新拓展)已知f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ， (1)当f (x )＝0有实数解时，求a 的取值范围； (2)当x ∈R ，有1≤f (x )≤174，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝0，有a ＝sin 2x －sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－14.当sin x ＝－1时，a max ＝2；当sin x ＝12时，a min ＝－14.∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.(2)由1≤f (x )≤174有1≤－sin 2x ＋sin x ＋a ≤174，即a ≤sin 2x －sin x ＋174和a ≥sin 2x －sin x ＋1对k ∈R恒成立．由sin 2x －sin x ＋174＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋4≥4，得a ≤4.由sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋34≤3，得a ≥3. 故3≤a ≤4.练习：1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的周期是________，振幅是________，当x ＝________时，y max ＝________；当x ＝________时，y min ＝________.答案 4π3 4k π＋32π (k ∈Z ) 3 4k π－π2(k ∈Z ) －3<2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向 __ __ ____，可以得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin （x －5π12＋π4），即将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4向右平移5π12个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.3．将正弦曲线y ＝sin x 上各点向左平移π3个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．解析 由y ＝sin x 向左平移π3得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再把横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.4．函数y ＝3－sin x 3＋sin x 的值域为____________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，25．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)！∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.6．函数y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，92，求a 的值，以及原函数的单调递增区间．解(1)当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－12a ＋b ＝92∴a ＝52，b ＝2，∴y ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.又∵－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z .∴－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z . ∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .(2)当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－12－a ＋b ＝92∴a ＝－52，b ＝2.∴y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.又∵π2＋2k π≤x ＋π6≤32π＋2k π，k ∈Z .∴π3＋2k π≤x ≤43π＋2k π，k ∈Z . ∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z . 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.！(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 —38π 58π 78π 2x ＋π4 0 π2 π 32π 2π y~2－28．(创新拓展)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解 (1)函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2∴T ＝2×π2＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)由(1)知f (x )＝2cos 2x ，向右平移π6个单位得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3由2k π≤12x －π3≤2k π＋π，k ∈Z 得4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3，k ∈Z即函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3，k ∈Z .。
三角函数的图像与性质习题课(学案)
三角函数的图象与性质特训庖丁解题一：利用三角函数的单调性求参数1.已知函数()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是．2.已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是.庖丁解题二：与函数零点或方程的根有关的参数问题1.已知函数2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．()2,4B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]2,42.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为T ，63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[]0,1内恰有10个零点则ω的取值范围是．庖丁解题三：利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数1.已知函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[]0,2π内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．715,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．59,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,88⎛⎤ ⎝⎦D ．91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,2.已知函数()cos f x x x ωω=-（ω＞0），若f （x ）在区间[]0,2π上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1319,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．419,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．134,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭庖丁解题四：与图象平移有关的参数范围问题锦囊：1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x .2、平移后与新图象重合：平移后的函数()f x =新的函数()g x .3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数()f x =平移后的函数-()g x ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
任意角的三角函数习题课
新课讲授
1.下面利用平面直角坐标系，研究任意角的三角函数。
y P(x,y) r
a的终边上任意一点P的坐标为(x,y), 它与原点的距离是
x
α o
r x y 0
2 2
y y (1)比值 叫做 的正弦，记作 sin , 即sin ; r r x x (2)比值 叫做 的余弦，记作 cos ,即 cos ; r r
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1
1
0
tanα
3 2 3 3
0
1
3 不存在
0 1 0 1 1 0 0 不存在 0
3 2
2
3.终边相同的角的三角函数值
与终边相同的角可以表示为：
α
y
k 360，k Z (角度制表示 )
0
x
2k，k Z (弧度制表示 )
终边相同 点的坐标相同
P(x,y)
同一函数值相同 （角度制）
公式一（弧度制）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan (k z )
变式训练
如果角 α 的终边过点 P(2sin30° ，－2cos30° )， 则 cosα 的值等于( 1 A. 2 3 C．－ 2 )
1 B．－ 2 3 D．－ 3
类型三 三角函数值的符号问题 例2：若sin2α>0，且cosα<0，试确定 角α终边所在的象限．
变式训练
(1)已知点P(tanα，cosα)在第三象限， 则角α的终边在第几象限； (2)判断sin3·cos4·tan5的符号．
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4 4 例1 已知函数y sin x 2 3 sin x cos x cos x Байду номын сангаас1)函数的单调减区间和对 称轴。 （2 ）求函数的振幅、频率 、初相。 （ 3 ）由该函数的图像如何 变换到 y cos x的图像 （4 ）求函数的值域（其中 x [ ， ] ） 4 4
例2已知函数y a b cos x的 3 1 最大值是 ，最小值是 ； 2 2 求函数y 4a sin 3bx值域
例3已知函数y A sin(x ) b图像 求解析式。
y
6
2
3
5 6
x
4
1 例4求函数y cos x cos 2 x（x R）的值域。 2
作业：练习册P 58
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英。陆婉娉心底华丽丽的崩溃了，做为镇花的黄月英，这很丢太平镇所有女同胞的脸，有木有？第011章 丑女如云无奈的摇了 一下头，回头捧上一个笑脸，“瞧我这记性，人老了就是记性差，竟然把这么重要的事情给忘记了，那啥，月英啊，速给公孙 公子沏茶，左右今天没什么重要的事，我这就出去买点东西回头烧些好菜大家一起聚聚。”说着话就朝门口走去，经公孙公子 身边的时候，被突如其来的折扇挡了一下，抬头对上公孙公子那张笑的贱兮兮的俊脸——对，贱兮兮，陆婉娉一定确定没有看 错，而且是百分之一百二十的没有看错。虽然这是征求意见的句式，可不管陆婉娉愿不愿意，公孙公子义无返顾的转身就跟在 了女鬼大人的身后当起了小跟班。哦，确切来说一米八几的个子无论从身高还是体形都能将女鬼大人娇小的身躯给盖个严严实 实，所以说应该是个巨型跟班才恰当。陆婉娉不说话，没说同意也没说不同意，直接无视公孙公子存在的走出大门。今天的太 平镇太阳照样从东边升起，只是，也不知道是不是女鬼大人最近升了官的原因，总之，今天太平镇的居民对她都是格外的热情。 一点儿不夸张的说，都是排着队争着抢着的跟她打招呼。上从没牙的老太太，下到刚长齐牙的小姑娘，就连镇上唯一的女哑巴， 都跑过来“呜呜啊啊”的向她表示着自己前所未来的热情与敬仰。可今天太平镇的居民好好像都患了眼疾一般，嘴上跟陆婉娉 说着话，那眼睛如同长了钩子一般，直勾勾的盯住她身后的公孙公子，哪八百年没吃过肉的饿狼似的。“那个啥，那个啥，女 鬼大人，我刚才说到哪了？”没牙的老太太说话时嘴里漏着风，眼睛直盯盯的剜住公孙公子，连话都不会说了。“大娘，你别 着急，有话慢慢说啊，你还什么都没说呢！”陆婉娉拍拍老太太的手背，真的是很无语。“哦哦哦，我老太太就是想说啊，自 从女鬼大人上任副镇长以来，连连„„”“奶奶，轮到我说话了。”老太太话还没说完，就被她身后缺一只眼的孙女儿给扯后 边去了，至于说老太太想连什么，陆婉娉一直也没顾得上猜测。总而言之，言而总之，在大家极其热情的招呼声中，他们两个 是举步维艰。女人们，尤其是太平镇没有出嫁的丑女们，跟陆婉娉打招呼的时候，眼睛都如同勾子般直往公孙公子的肉里钻， 那样子真恨不得把他给连皮吃了，好像这位公孙公子是个外来物种。那公孙公子也是个极有意思的人，也不觉得难堪，任劳任 怨的跟在陆婉娉的身后做着大跟班的角色，时不时的还要傻呵呵地冲那些来来往往打招呼的人们露出一个迷死人不偿命的微笑。 “哇！姐姐，这是女鬼大人家的亲戚吗？没听说过也。”“哇！好帅哟，多看几眼我看连午饭也都省了也。”无一例外，大家 都在私底下窃窃私语着„„太平镇的菜市