26.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
y
2 3 … 4 9 …
y=x2
(x,y),再用平滑曲线顺 次连接各点,就得到 y=x2的图像.
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (2) 描点 (3) 连线
1 函数y=－2
1
y x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
当a>0时,抛物线的 开口向上,顶点是抛物线 的最低点, a越大,抛 物线的开口越小;
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. a>0
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
y
a>0
o
x
a<0
二次函数图象的知识归纳小结： 左侧 右侧
y=ax2 顶点 对称轴 开口
图象
x y x y
(0,0) 增 减 增增 大 小 大大
a＞0
最低点
y轴
向上
(0,0) a＜0 最高点
y轴
向下
增 增 增减 大 大 大小
P5
：
T4
y=x2的图像叫做抛物线y=x2. y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
y=x2 x 实际上,二次函数的图像 它们的开口向上或者向下. 都是抛物线. 一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图 像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴. 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点. o
(3) 连线
1 函数y= x2,y=2x2的图 2 像与函数y=x2(图中虚线图 形)的图像相比,有什么共同 点和不同点? 共同点: 开口向上; 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同;
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 解: (1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画 一个函数的图像?
画函数y=x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0 (2) 描点 (3) 连线
还记得如何用 根据表中x,y的数值 描点法画一个函数 在坐标平面中描点 的图像吗=－3x2的图象的开口 向下 ,对 y轴 (0,0) 称轴 ,顶点是 ;
3、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确 的是( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于 函数:
x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那 么就说x是自变量,y是x的函数.
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 y=－x2 -7 -8 -9 -10
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=x2的图 像.
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像 都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球 y y 在空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
当a<0时,抛物线的开 口向上,顶点是抛物线的最高 点, a越大,抛物线的开口越大;
在同一坐标系内,抛物线 y=ax2与抛物线y=－ax2是关于x 轴对称的.
a<0
y 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1、函数y=2x2的图象的开口 y轴 轴 ,顶点是 ;
1 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2x2和y=2x2的图像 解: (1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y= 2 x2
1
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
o x
m2+m 是二次函数且其图象开口 例2.已知 y =(m+1)x
向上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;（0，0） 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;（0，0） |a|越大,抛物线的开口越小;
(2) 描点
y=-
1 2 … x -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 2
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
(3) 连线 x2,y=－2x2的 图像与函数y=－x2(图中虚线图 形)的图像相比,有什么共同点和 不同点? 共同点: 开口向下; 除顶点外,图像都在x轴下方 不同点: 开口大小不同;
1 1
y
2 3 … 4 9 …
y=x2
(x,y),再用平滑曲线顺 次连接各点,就得到 y=x2的图像.
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (2) 描点 (3) 连线
1 函数y=－2
1
y x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
当a>0时,抛物线的 开口向上,顶点是抛物线 的最低点, a越大,抛 物线的开口越小;
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. a>0
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
y
a>0
o
x
a<0
二次函数图象的知识归纳小结： 左侧 右侧
y=ax2 顶点 对称轴 开口
图象
x y x y
(0,0) 增 减 增增 大 小 大大
a＞0
最低点
y轴
向上
(0,0) a＜0 最高点
y轴
向下
增 增 增减 大 大 大小
P5
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T4
y=x2的图像叫做抛物线y=x2. y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
y=x2 x 实际上,二次函数的图像 它们的开口向上或者向下. 都是抛物线. 一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图 像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴. 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点. o
(3) 连线
1 函数y= x2,y=2x2的图 2 像与函数y=x2(图中虚线图 形)的图像相比,有什么共同 点和不同点? 共同点: 开口向上; 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同;
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 解: (1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画 一个函数的图像?
画函数y=x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0 (2) 描点 (3) 连线
还记得如何用 根据表中x,y的数值 描点法画一个函数 在坐标平面中描点 的图像吗=－3x2的图象的开口 向下 ,对 y轴 (0,0) 称轴 ,顶点是 ;
3、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确 的是( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于 函数:
x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那 么就说x是自变量,y是x的函数.
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 y=－x2 -7 -8 -9 -10
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=x2的图 像.
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像 都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球 y y 在空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
当a<0时,抛物线的开 口向上,顶点是抛物线的最高 点, a越大,抛物线的开口越大;
在同一坐标系内,抛物线 y=ax2与抛物线y=－ax2是关于x 轴对称的.
a<0
y 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1、函数y=2x2的图象的开口 y轴 轴 ,顶点是 ;
1 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2x2和y=2x2的图像 解: (1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y= 2 x2
1
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
o x
m2+m 是二次函数且其图象开口 例2.已知 y =(m+1)x
向上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;（0，0） 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;（0，0） |a|越大,抛物线的开口越小;
(2) 描点
y=-
1 2 … x -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 2
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
(3) 连线 x2,y=－2x2的 图像与函数y=－x2(图中虚线图 形)的图像相比,有什么共同点和 不同点? 共同点: 开口向下; 除顶点外,图像都在x轴下方 不同点: 开口大小不同;
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26.1.2二次函数图像和性质00
演示
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
作业：练习册相关题目
再 见
知识剖析
1、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条直线 。 当 k>0 时，y随x的增大而增大； 当 k<0 时，y随x的增大而减小。
2、反比例函数的图像有何特征？
反比例函数的图像是 双曲线 ，共有 两 支， 且关于 原点 对称。 当 k>0 时，图像在 一、三 象限，在每个象 限内y随x的增大而减小； 当 k<0 时，图像在 二、四 象限，在每个象 限内y随x的增大而 增大 。
？
yx
2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做
描点,连线 2
-4 -3 -2 -1
y
-1
-2 -4 -6
?
-8 -10
0 1 2 3 4 x
2 y=-x
画一画
在同一坐标系中画出函数x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
y x
2
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？ (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
26.1二次函数y=ax2+k的图象和性质(1)
① 抛物线 y ② 抛物线 y ③ 抛物线 y （0，1），顶点是最低点 轴 x 2的开口方向 向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
a正负→开口方向 a相同→
⑤ 观察抛物线有何异同？ |a|越大开口越小 |a|越小开口越大
a大小→开口大小→
b相同→ 对称轴相同 当c>0时，向上平移 c相同→ 顶点不同→ 当c<0时，向下平移
１
归 纳
推一推抛物线的一些性质？
① 抛物线 y ax 2 c 的对称轴是y轴 ，顶点是（0，c） ② 当a>0时，抛物线开口 向上，顶点是最低 点
2
y x2 x
y ax 2 bx(a 0, c 0)
是不是二次函数？
3、一般地，抛物线
y ax 是轴对称图形，对称轴是y
2
轴，顶点是(０，０)。当a>0时，开口向上，顶点是图像
的最低点；当a<0时，开口向下，顶点时图像的最高点。
4பைடு நூலகம்二次函数
yx
2
与y
x 的图像关于x轴对称。
当a<0时，抛物线开口向下，顶点是最 高点
③ |a|的值越大，抛物线开口越小 |a|的值越小，抛物线开口越大
2 ④ 当c>0时，抛物线 y ax c是由 y ax 2 向上 平移k 个单位得到的；
当c<0时，抛物线 y ax 2 c是由 y ax 2 向下平移k 个单位得到的；
2
归纳：
a的正负决定了函数图像的开口方向， a的大小决定了函数图像的开口大小，即a决定 了函数图像的形状。
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
a正负→开口方向 a相同→
⑤ 观察抛物线有何异同？ |a|越大开口越小 |a|越小开口越大
a大小→开口大小→
b相同→ 对称轴相同 当c>0时，向上平移 c相同→ 顶点不同→ 当c<0时，向下平移
１
归 纳
推一推抛物线的一些性质？
① 抛物线 y ax 2 c 的对称轴是y轴 ，顶点是（0，c） ② 当a>0时，抛物线开口 向上，顶点是最低 点
2
y x2 x
y ax 2 bx(a 0, c 0)
是不是二次函数？
3、一般地，抛物线
y ax 是轴对称图形，对称轴是y
2
轴，顶点是(０，０)。当a>0时，开口向上，顶点是图像
的最低点；当a<0时，开口向下，顶点时图像的最高点。
4பைடு நூலகம்二次函数
yx
2
与y
x 的图像关于x轴对称。
当a<0时，抛物线开口向下，顶点是最 高点
③ |a|的值越大，抛物线开口越小 |a|的值越小，抛物线开口越大
2 ④ 当c>0时，抛物线 y ax c是由 y ax 2 向上 平移k 个单位得到的；
当c<0时，抛物线 y ax 2 c是由 y ax 2 向下平移k 个单位得到的；
2
归纳：
a的正负决定了函数图像的开口方向， a的大小决定了函数图像的开口大小，即a决定 了函数图像的形状。
22.1.2二次函数y=ax2图像与性质
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
x y = x2 · · · · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · · · · ·
9
4
1
0
1
9
4
9
2. 根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点（x,y） 3.连线 如图，再用平 滑曲线顺次连接各点， －3 2 就得到y = x 的图象．
y = x2
6
3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线 开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向 上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c （a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c y = x2
m2+m
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
0
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何 值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
26.1.2二次函数图像与性质
的图象，并考虑这些抛物
x
· －4 · ·
－3
－4.5 －1.5
－2
－2 －1 －2
－1 －0.5
－0.5 －0.5
0 0
1
－0.5 0 0
2
3
4
－8 2
· · · · · ·
· · 1 2· －8 y x 2
x · －2 · ·
－2 －4.5 1 1.5
0.5
· · ·
· · ·
· · ·
－8 －4.5 －0.5 －2 －4.5 －8
(2 2 , 6)
3 y x 4
练一练:
1.若抛物线 y
(2m 1) x
）
2
的开口向下，则
m的取值范围为（B
( A)m 0
1 (C )m 2
1 ( B )m 2 1 ( D )m 2
练习三、已知抛物线y ax 2 a 0 与双曲线 2 y 交点的横坐标大于零。问a是大于零 x 还是小于零？
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a＞0 a＜0
O O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
|a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
y = x2
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
26.1.2 二次函数的图象和性质
2、二次函数的一般形式。
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．