高中数学_【课堂实录】方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思

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五、教师导学过程
（一）新知探究
如图为函数()
f x在[]
4,4
-上的图象：
问题1：根据函数的图象，你能否得出方程()0
f x=的实根的个数？问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？
1、函数的零点
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

引申：三个等价问题：
函数f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点
练习1.下列图象表示的函数中没有零点的是：( A )该问题由学生自主探究完成.
体现数学中的转化思想
练习1考察函数零点等价于函数图象与x轴交点横坐标
练习2.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
2、函数零点存在性定理 （1）定理探究
思考1：
观察下列甲、乙两组画面，请你判断一下小王从A 地到B 地是否一定要渡过这条小河？
思考2：
练习2考察函数零点等价于对应方程的根.
()()()()()()()()2
331;224;323;41log .x
x f x f x x x x
f x f x x +==++=-=-()()0
f a f b ⋅<
将小河抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。

请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
A、B两点在x轴的两侧
思考3：A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？
()()0
f a f b<
思考4：
A，B间的函数图象连续不断,且()()0
f a f b<，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？
（2）定理生成
函数零点的存在性定理:
如果函数()
y f x
=在区间[],a b上是连续不断的一条曲线，并且有()()0
f a f b<，那么，函数()
y f x
=在区间(),a b内有零点，即存在(),
c a b
∈,使得()0
f c=，这个c 也就是方程的根。

思考：判断下列结论是否成立.
（3）例题解析结合思考问题引导学生给出定理
总结：定理使用中注意的问题
方法一：零点存在性定理
练习：
函数的零点所在的一个区间是（B ）．
A （-2，-1）B（-1，0) C ( 0,1 ) D (1,2)
变式训练：判断函数()23
x
f x x
=+的零点个数．
由于函数f(x)在R上单调递增，且f(-1)f(0)<0,故只有一个零点.方法二：图象法
()23
x
f x x
=+
通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。

对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。

通过学生练习完成情况来看，学生理解并掌握了方程的根与相应函数零点的关系，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在条件，并能确定具体函数存在零点的区间，能够将三个等价问题进行转换，但是还不够熟练。

本节课是选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质，基本初等函数知识后，学习方程的根与函数零点之间的关系，并结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个去件上存在零点的判定方法。

为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．
对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的
根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

1、函数 的零点所在的一个区间是（B ）． A （-2，-1）B （-1，0) C ( 0,1 ) D (1,2)
2、判断函数 ()23x f x x =+ 的零点个数．
由于函数f(x)在R 上单调递增，且f(-1)f(0)<0,故只有一个零点.
方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，我觉得本节课的教学还需要妥善处理好以下几个问题： 一、要更加充分的体现学生在课堂上的的主体地位，要舍得花时间给学生，使学生能够认真积极的思考问题。

二、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性
教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。

这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。

理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。

但在教学时，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。

教师所选择的例子，最好是学生用已学方法不能求解的方程，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。

三、怎样突出数形结合的思想方法
数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I ”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。

没有留给学生主动运用数形结合思想方法的空间。

在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。

但是，却没有留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x 轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x 轴的交点、函数的零点之间的关系。

这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。

在这种能够体现思
()23x f x x =+
想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。

根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：
（一）知识与技能目标：
理解方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。

（二）过程与方法目标：
经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

（三）能力与情感目标：
培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。