第三章 时间序列平滑法分析
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
时间序列平滑方法
时间序列平滑方法【实用版3篇】《时间序列平滑方法》篇1时间序列平滑是指通过一定的数学方法对时间序列数据进行处理，以消除其波动性和随机性，揭示其长期趋势和周期性变化的过程。
常用的时间序列平滑方法包括：1. 移动平均法：通过计算一段时间内的平均值来平滑时间序列数据，常见的移动平均法包括简单移动平均法、指数移动平均法和加权移动平均法等。
2. 指数平滑法：通过加权平均的方法对时间序列数据进行平滑，权重值随着时间的推移而指数递减，常见的指数平滑法包括简单指数平滑法、双参数线性指数平滑法和线性和季节性指数平滑法等。
3. 时间序列分析模型：通过建立时间序列分析模型来预测未来数据，常见的时间序列分析模型包括AR(自回归模型)、MA(滑动平均模型)、ARMA(自回归滑动平均模型)、ARIMA(自回归积分滑动平均模型) 和季节性ARIMA 等。
4. 谐波分析法：通过傅里叶变换和最小二乘法拟合，将时间序列数据分解成多个正弦曲线和余弦曲线，并选取其中能够反映时间序列特征的曲线进行叠加，以达到时间序列数据的重建目的。
《时间序列平滑方法》篇2时间序列平滑是指通过一定的数学方法对时间序列数据进行处理，以消除其波动性和随机性，揭示其内在的趋势和规律。
常见的时间序列平滑方法包括：1. 移动平均法：通过计算一段时间内的平均值来平滑时间序列数据。
常见的移动平均法包括简单移动平均法、指数移动平均法和加权移动平均法等。
2. 指数平滑法：通过指数加权平均来平滑时间序列数据。
指数平滑法分为一次指数平滑法、双参数线性指数平滑法和线性和季节性指数平滑法等。
3. Holt 线性趋势法：通过线性回归方法来拟合时间序列数据中的趋势成分，从而进行平滑处理。
Holt 线性趋势法包括单季节趋势法和多季节趋势法等。
4. Holt-Winters 季节性方法：通过季节性回归方法来拟合时间序列数据中的季节成分，从而进行平滑处理。
Holt-Winters 季节性方法包括单季节方法和多季节方法等。
数据分析中的时间序列分析方法
数据分析中的时间序列分析方法时间序列分析是数据分析中常用的一种方法，通过对时间序列数据的分析，可以揭示出数据的趋势、周期性和随机变动等规律，从而为决策提供有力的支持。
本文将介绍几种常用的时间序列分析方法。
一、平滑法（Smoothing）平滑法是一种常见的时间序列分析方法，其主要目的是去除数据中的随机波动，揭示出数据的长期趋势。
平滑法最常用的方法包括简单移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法等。
简单移动平均法将一段时间内的数据取平均值，加权移动平均法则对不同时间的数据进行加权计算，而指数平滑法则是根据数据的权重递推计算平滑值。
二、分解法（Decomposition）分解法是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分三个部分的方法。
通过分析趋势部分，可以了解数据的长期变化趋势；分析季节性部分，可以揭示出数据中的周期性变动；而随机成分则代表了不可预测的波动。
常用的分解法有加法分解和乘法分解两种方式。
加法分解是将时间序列数据减去趋势和季节性成分，得到的剩余部分就是随机成分；乘法分解则是将时间序列数据除以趋势和季节性成分，得到的结果同样是随机成分。
三、自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，通过对时间序列数据的自相关和移动平均相关进行建模，可以预测未来时间点的值。
ARMA模型是AR模型和MA模型的结合，AR模型用于描述数据的自相关关系，而MA模型则用于描述数据的移动平均相关关系。
ARMA模型的具体建模过程包括模型的阶数选择、参数估计和模型检验等。
四、季节性ARIMA模型（SARIMA）季节性ARIMA模型是在ARIMA模型的基础上加入季节性成分的一种模型。
季节性ARIMA模型主要用于处理具有明显季节性规律的时间序列数据。
与ARIMA模型类似，季节性ARIMA模型也包括模型阶数选择、参数估计和模型检验等步骤，不同的是在建模时需要考虑季节性的影响。
五、灰色系统模型（Grey Model）灰色系统模型是一种特殊的时间序列预测方法，主要适用于数据样本较少或者数据质量较差等情况。
《时间序列分析》课程教学大纲
《时间序列分析》课程教学大纲课程编号：33330775课程名称：时间序列分析课程基本情况：1．学分：3 学时：51学时（课内学时：45 课内实验：6）2．课程性质：专业必修课3．适用专业：统计学适用对象：本科4.先修课程：概率论、数理统计、随机过程5．首选教材：王燕：《应用时间序列分析》，中国人民大学出版社，2008出版。
备选教材：王振龙等编著：《时间序列分析》，中国统计出版社，2000年。
6．考核形式：闭卷考试7．教学环境：多媒体教室及实验室一、教学目的与要求本课程是数理统计学的一个重要分支，先期需完成的课程有概率论、随机过程。
通过本课程的学习，使学生掌握时间序列数据的分析方法，包括时间序列简介、平稳时间序列分析、时间序列分解、非平稳序列的随机分析、多元时间序列分析。
利用Eviews软件进行本课程的实验教学。
二、教学内容及学时分配课程内容及学时分配表三、教学内容安排第一章时间序列分析简介【教学目的】1、了解时间序列的定义及常用分析方法；2、掌握时间序列的几个基本概念：随机过程、平稳随机过程、非平稳随机过程、自相关、记忆性。
【教学重点】时间序列的相关概念。
【教学难点】随机过程、系统自相关性。
【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节时间序列的定义第二节时间序列分析方法第三节时间序列分析软件EVIEWS简介第二章时间序列的预处理【教学目的】1、掌握平稳性检验的原理和方法；2、掌握纯随机性检验的原理和方法。
【教学重点】平稳时间序列的定义及统计性质。
【教学难点】时间序列的相关统计量。
【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节平稳性检验一、特征统计量二、平稳时间序列的定义三、平稳时间序列的统计性质四、平稳时间序列的意义五、平稳时间序列的检验第二节纯随机性检验一、纯随机序列的定义二、白噪声序列的定义三、纯随机性检验第三章平稳时间序列序列分析【教学目的】1、理解ARMA模型的定义及性质。
2、掌握平稳序列建模方法。
3、掌握平稳时间序列的预测【教学重点】平稳时间序列建模【教学难点】模型识别，参数估计，序列预测【教学方法】课堂讲授与上机实验【教学内容】第一节方法性工具一、差分运算二、延迟算子三、线性差分方程第二节 ARMA模型的性质一、AR模型二、MA模型三、ARMA模型第三节平稳序列建模一、建模步骤二、样本自相关系数与偏相关系数三、模型识别四、参数估计五、模型检验六、模型优化第四节序列预测一、线性预测函数二、预测方差最小原则三、线性最小方差预测的性质四、修正预测第四章非平稳序列的确定性分析【教学目的】1、理解时间序列的分解原理。
第三章 时间序列平滑预测法
如果一个多年的数据序列，其相邻的两 年数据的一阶差近似为一个常数，就可 以配合一条直线： Yt a bt 应用最小平方法就可求出参数a,b。
直线趋势的拟合简介（续）
例：试对下列资料配合趋势曲线。
某企业1988-1994年某产品销售量
年份
1988
1989 13.8
1990 15.7
1991 17.6
1992 19.0
1993 20.8
1994 22.7
销售量（万件） 12.4
分析数据资料考虑配合直线方程：
Y a bt
直线趋势的拟合简介（续）
– 依据表格可计算得到： – t=28, t2=140, Y=122.0, tY=536.2 – 则：
b ntY tY nt 2 t
二次指数平滑法（续）
二次指数平滑法预测步骤：
– 1.确定加权系数a和初始值S0(1)和S0(2)。
– 2.对时间序列{yt}计算St(1)和St(2)。 ˆ – 3.用St(1)和St(2)估计线性趋势模型的截距 at 和 ˆ 斜率bt 。
at 2 S t(1) S t( 2 ) ˆ a ˆ (1) ( 2) bt 1 a ( S t S t )
二次指数平滑法（续）
– 4.建立线性趋势预测模型，并进行预测。
ˆ ˆ ˆ y t a t bt
– 例3-5（教材P51页） – 二次指数平滑法具有多期预测能力
2
7 536.2 28 122.0 1.72 2 7 140 28
a Y 10.55 7 7
– 得直线方程：Y=10.55+1.72t
直线趋势的拟合简介（续）
03时间序列平滑预测法
式中：yt —时间序列的全变动； Tt —长期趋势； St —季节变动： Ct —循环变动； I t —不规则变动。
对于一个具体的时间序列，要由哪几类变动组合。采取哪 种组合形式，应根据所掌握的资料、时间序列的特点及研 究目的来确定。 本章主要介绍长期趋势的平滑预测方法。
5
§3.2
移动平均法
22
一、一次指数平滑法
1．预测模型 – 一次指数平滑法是利用前一期的预测值 M t 1 作为 y t N 的 估计值而得到预测的通式，即 ：
y t yt N M t M t 1 N y M t 1 yt 1 M t 1 t (1 ) M t 1 N N N
于是，得t=17时直线趋势预测模型为：
ˆ y17T a17 b17 T 101164.56 6074.07 T
预测2003年和2004年的国内生产总值为 ：
ˆ ˆ ˆ y2003 y18 y17 1 101164.56 6074.07 1 107238.63( 亿元) ˆ ˆ ˆ y2004 y19 y17 2 101164.56 6074.07 2 113312.7( 亿元)
分别计算3年和4年移动平均预测值。其结果列于表3.2.1 中，其预测曲线如图3.2.1所示。
10
表3.2.1 某商店1991-2002年利润及移动平均预测值表
单位：万元
11
由图3.2.1可以看出，经过移动平均法计算后，随机波动 显著减少，且N越大，修匀的程度也越大，波动也越小。可见， N的选择甚为重要，应该根据具体情况做出选择。
一个N选取的有效方法是：取几个N值进行试算，比较它 们的预测误差，从中选择最优的。 12
指数平滑法时间序列分析
时间序列1.时间序列理论时间系列：指同一现象在不同时间的相继观察值排序而成的系列，随时间变好的、具有随机性的且前后相互有关联的动态数据序列，是依特定时间间隔而记录的指定变量的一系列取值。
时间系列数据：在不同时间收集到的数据，按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变好的情况。
时间序列可以分为平稳系列和非平稳系列两大类：1.平稳系列：各个观测值基本在某个固定的水平上波动，且在不同时段波动程度不同，并不存在某种规律，波动是随机的。
2.非平稳系列：随机呈现趋势、季节性或者周期性的系列，可能有其中的一种，也可能是多种组成。
A.趋势：长期内呈现出的某种上升趋势或持续下降的变动（趋势可以是线性，也可以是非线性）。
B.季节性（季节变动）：受到季节因素或某些习俗的影响，而出现的有规则的变动规律，在特定时间内重复出现的周期性波动。
C.周期性（循环波动）：呈现出围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动。
D.随机性（不规则波动）：由于偶然因素的影响，使时间序列呈现出某种随机的波动。
指数平滑法2.指数平滑法理论移动平均：为了去除系列中的误差影响（不规则成分），使原始系列变得较为平滑，且使趋势成分和循环成分变得更加清晰，易于分析。
指数平滑法：是加权移动平均法的一种特殊情况，使用特定范围内记录的加权平均值进行预测。
由C.C.Hold在1958年左右提出，后由Brown、Winter等统计学家的研究和发展。
它使预测值和观测值之间的均方误差（MSE）达到最小。
简单模型（ARIMA（0，1，1）模型相似）：St =Ayt+（1-A）St-1。
其中A为平滑常数，St为平滑后的数据，yt为t时刻的观测值。
适用于不含趋势成分和季节成分的序列，A为介于0-1的实数，当A接近1，就只保留当前数据点；当A 接近0时，就只保留前面的平滑值(整个曲线都是平的)。
Holt线性趋势模型（ARIMA（0，2，2）模型相似）：Tt =αXt+（1-α）（Tt-1+bt-1）；bt =β（Tt-Tt-1）+（1-β）bt-1；^X t+τ=T t+b tτ，τ=1，2，....，其中α，β为平滑常数，满足0-1之间；t为当前期；τ为预测超前期数（预测步长）；Tt ，Tt-1：利用前期t期或t-1前期数据，预测第t或第t-1期趋势；bt ，bt-1：利用前期t期或t-1前期数据，趋势增量b的估计；xt为实际观测值，^X t+τ：为第t+τ的预测值，用于具有趋势成分、但不含季节成分时。
时间序列平滑预测法
S2(1) =α x2 +(1－α )S0(1) = 193.5
:
:
S11(1) = 205.6 = x12
填于表中α = 0.1时 200 193.5 193.7
191 193 α = 0.5时 200 167.5 181.3 156.8 188.4 α = 0.9时 200 141.5 189.7
=M5
由于在此段， yy55为数据平均值，所有数据应在它的 上下波动。因此推出，可以用于预测t = 6时的值yyˆ66 = y55。 y6 的实际值还按前一组值的变化规律在 y5 的上下波动。
第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为 y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 : y6 = (1/5) ∑ yt = M6
类推： Mt-2(1) = Mt-1(1) －bt = Mt(1} －2bt
:
:
:
Mt-n+1(1) = Mt(1} －(N－1)bt ∴ Mt(2) = [Mt(1} +Mt-1(1)+…… +Mt-n+1(1)]/N
= Mt(1} －(N－1)bt/2 移项 Mt(1} -Mt(2) = (N－1)bt/2 ………③ 有公式 (N－1)bt/2 = yt － Mt(1} 即得 Mt(1} -Mt(2) = yt － Mt(1} = (N－1)bt/2….. ④ 公式④说明：
第二节 指数平滑法
一、一次指数平滑法 1、一次指数平滑公式,由一次平滑公式的递推 公式 Mt(1} = Mt-1(1) + [yt－yt-1 ]/N 其中Mt(1} = yt =[yt + yt-1 +…… + yt-N+1]/N 假定 yt-N≈ Mt-1即用前一期的移动平均值代替 前期的初始值.有 Mt(1} = Mt-1(1) + [yt－Mt-1 ]/N
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2、计算t时期的单指数平滑值St(2) , St(2) St(1) (1 ) St(2) 1 ; 3、计算t时期的单指数平滑值St(3) , St(3) St(2) (1 ) St(3) 1 ; 4、计算t时期的水平值At , At 3St(1) 3St(2) St(3) ;
得到预测的通式，即 ：
• 一次指数平滑法是一种加权预测，权数为α。它既不需要
存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大 大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最 新预测值和α值，就可以进行预测。它提供的预测值是前 一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。
Ft 1 xt (1 ) Ft
二次指数平滑，而是对趋势直接进行平滑。
• 计算公式：
St xt 1 St 1 bt 1
bt St St 1 1 bt 1
Ft m St bt m
第五节 二次曲线指数平滑法
• 有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不一定是线性的，
第三章 时间序列平滑预测法
第一节 一次移动平均法
第二节 一次指数平滑法
第三节 线性二次移动平均法
第四节 线性二次指数平滑法
第五节 二次曲线指数平滑法
第六节 温特线性与季节指数平滑法
第一节 一次移动平均法
一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组观察值 的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。 • 设时间序列为
7月
8月 9月 10月 11月 12月
55.0
61.0 45.0 49.0 46.0 —
64.0
55.0 61.0 45.0 49.0 46.0
58.7
58.0 60.0 53.7 51.7 46.7
55.2
56.7 58.5 56.2 54.8 53.3
第二节 一次指数平滑法
• 一次指数平滑法是利用前一期的预测值Ft代替 xt n
It L bt St St 1 1 bt 1
It xt 1 I t L St
St
xt
1 St 1 bt 1
0 1
0 1
0 1
其中，L 为季节的长度；I 为季节修正系数。
x1, x2 ,..., 移动平均法可以表示为：
1 t Ft 1 xt xt 1 ... xt N 1 / N xi N t N 1
式中： xt 为最新观察值；Ft 1为下一期预测值。
第一节 一次移动平均法
• [例] 下表是某产品1～11月的月销售量，试选用N=3
7、预测m时期后，即t m时期的数值Ft m 1 Ft m At Bt m Ct m 2 ,其中m是正整数，m 1 2
第六节 温特线性与季节指数平滑法
• 温特线性与季节指数平滑法利用三个方程式，其中每一个
方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的 和季节性的），且都含有一个有关的参数。
2 (1) (2) 5、计算t时期的水平值Bt , Bt [(6 5 ) S (10 8 ) S t t (1 ) 2
（4 - 3）St(3) ];
2 6、计算t时期的水平值Ct , Ct ( St(1) 2St(2) St(3) ); 2 (1 )
Ft m at bt m
m为预测超前期数
第四节 线性二次指数平滑法
一、布朗单一参数线性指数平滑法 • 其基本原理与线性二次移动平均法相似 ，因为当趋势
存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次 和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进 行修正。
第四节 线性二次指数平滑法
二、霍尔特双参数线性指数平滑法 • 其基本原理与布朗线性指数平滑法相似，只是它不用
可能按二次曲线的形状增加而减少。对于这种非线性增长 的时间序列，采用二次曲线指数平滑法可能要比采用线性 指数平滑法更为有效。它的特点是不但考虑了线性增长的 因素，而且也考虑了二次抛物线的增长因素。
第五节 二次曲线指数平滑法
• 二次曲线指数平滑法的计算过程共分以下七个步骤： 1、计算t时期的单指数平滑值S , S x (1 ) S ;
和N=5，采用一次移动平均法对12月的销售量进行预 销售额（万元） 预测值（N=1） 预测值（N=3） 预测值（N=5） 测。 月份 — — — 1月 46.0
2月 3月 4月 5月 6月 50.0 59.0 57.0 55.0 64.0 46.0 50.0 59.0 57.0 55.0 — — 51.7 55.3 57.0 — — — —
该公司第17期销售量的预测值为：
F17 x16 (1 ) F16 0.1 95 0.9 96.21 96.09(万元)
第三节 线性二次移动平均法
• 线性二次移动平均法在对实际值进行一次移动平均的基础
上，再进行一次移动平均。
• 线性二次移动平均法的通式为：
xt xt 1 xt 2 ... xt N 1 St N St St1 St2 ... St N 1 St N at 2St St 2 bt St St N 1
第二节 一次指数平滑法
• [例] 运用一次指数平滑法对某公司第17期的销售额进
行预测（取α=0.1，0.3 ，0.9）。并计算均方误差， 选择使其最小的α进行预.9时，均方误差分别为：
MSE=3.93, MSE=3.98, MSE=4.2 因此，可选α=0.1作为预测时的平滑常数。