第四章 时间序列平滑预测法
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时间序列平滑预测法1
j t j =0 t −1 (1) 0
=0
S t(1 ) = α ∑ (1 − α ) j y t − j
j=0
n
ˆ y t +1 = S ˆ ˆ y t +1 = α y t + (1 − α ) y t
(1 ) t
有关α的讨论
1 2 3 α值越大修匀的作用越大,反之越小 如果时间序列波动不大,比较平稳,则 α应取小一点(0.1~0.3) 如果时间序列具有明显快速的变动趋势,则α值应取得大一点 (0.6~0.8) 4 实践中.可多取几个α值进行试算,看一下那个误差比较小,就用 哪个α值
二次指数平滑法
1) S t(1 ) = α y t + (1 − α ) S t(−1
S
(2) t
= αS
(1 ) t
+ (1 − α ) S
(2) t −1
ˆ y t + T = a t + btT a t = 2 S t( 1 ) − S t( 2 ) bt =
α
1−α
( S t( 1 ) − S t( 2 ) )
yt − M
(1 ) t
( n − 1) = bt 2
yt − M
(1 ) t
( n − 1) = bt 2 ( n − 1) = bt 2
(1) t
y t −1 − M
(1 ) t −1
yt − yt −1 = M
M t( 2 )
−M
(1) t −1
= bt
1) 1 M t(1) + M t(−1 + ... + M t(−)n +1 = n
α
2
[(6 − 5α )S
=0
S t(1 ) = α ∑ (1 − α ) j y t − j
j=0
n
ˆ y t +1 = S ˆ ˆ y t +1 = α y t + (1 − α ) y t
(1 ) t
有关α的讨论
1 2 3 α值越大修匀的作用越大,反之越小 如果时间序列波动不大,比较平稳,则 α应取小一点(0.1~0.3) 如果时间序列具有明显快速的变动趋势,则α值应取得大一点 (0.6~0.8) 4 实践中.可多取几个α值进行试算,看一下那个误差比较小,就用 哪个α值
二次指数平滑法
1) S t(1 ) = α y t + (1 − α ) S t(−1
S
(2) t
= αS
(1 ) t
+ (1 − α ) S
(2) t −1
ˆ y t + T = a t + btT a t = 2 S t( 1 ) − S t( 2 ) bt =
α
1−α
( S t( 1 ) − S t( 2 ) )
yt − M
(1 ) t
( n − 1) = bt 2
yt − M
(1 ) t
( n − 1) = bt 2 ( n − 1) = bt 2
(1) t
y t −1 − M
(1 ) t −1
yt − yt −1 = M
M t( 2 )
−M
(1) t −1
= bt
1) 1 M t(1) + M t(−1 + ... + M t(−)n +1 = n
α
2
[(6 − 5α )S
时间序列的平滑预测法
时间序列的平滑预测平滑法：简单平均法，移动平均法、指数平滑法。
平滑法既可以用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势，也可对平稳时间序列进行短期预测。
1、 简单平均法根据过去已有的观测值通过简单平均来预测下一期的值；舍时间序列已有的t 期观测值为y1、y2………yt ，那么t+1期的预测值1t F +值为：112111111t+2111(.......),11,1t+2=,t+1tt t i i t t t t t i i F y y y y t t t t e F F y +=+++++==++=++=-∑∑当到了期时，有了期的实际值y 就可以计算误差y 那么期的预测值就为以此类推。
2、 移动平均法通过对时间序列逐期递移求得平均数作为趋势值或者预测值的一种平滑预测方法。
移动平均又包括简单移动平均和加权移动平均。
简单移动平均就是将最近K 期的观测值进行平均，作为下一期的预测值；1<K<t.1211231t+21........,........t k t k t tt t t k t k t t t y y y y F y ky y y y F y k-+-+-+-+-+++++++==++++==同理均方误差MSE 的计算公式为：MSE =误差平方和误差个数移动平均法只使用最近K 期的数据，每次计算都是使用最近K 期数据；这一方法比较适合较为平稳的时间序列数据。
实际中选取不同的K ，比较MSE 的大小来选择合适的步长。
3、 指数平滑法一次指数平滑就是以一段时期的预测值和观测值的线性组合作为t+1期的预测值，预测模型为：说明：通常将11F y =。
1(1)t t t F y F αα+=+-其中，0<<1t t y t t αα为期实际观测值，F 为期的预测值；为平滑系数（）。
211111322212433321=(1)(1)=(1)(1)=(1)1-+(1)F y F y y y F y F y y F y F y y F αααααααα∂+-=∂+-=∂+-=∂+-∂+-=∂+-第二期预测值：第三期预测值：第四期预测值：（）y 依此类推。
公共经济预测和决策 第四章 时间序列平滑预测法PPT精品文档37页
• 这里，a, b, c 均为常数，且 c 0。
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4.水平趋势季节型
• 这时时间序列无上升或下降趋势，但受 季节影响，可表示为：
yt Tt St It
yt Tt St It
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14
5.线性趋势季节型
• 这时时间序列的长期趋势值是时间t的线 性函数，且受季节影响，可表示为： yt(ab)tStIt yt (ab)tStIt
• 一般情况下，如果时间序列没有明显的周期 变化和趋势变化，可用第t期的一次移动平 均值作为第t+1期的预测值，其预测模型为：
yˆt1 Mt(1)
• 注意：一次移动平均法的预测能力只有一期。
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19
例3.1 某商场2019年1~12月份儿童服装销售额的 数据如表3.1所示，试用一次移动平均法预测2009 年1月份的销售额。
• 设时间序列为 y1,y2, ,yt, ,yn；n为样 本容量。
• 一次移动平均计算公式为：
M t(1 )y t y t 1 N y t N 1
(t N )
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18
• 移动平均的作用在于修匀数据，消除一些随 机干扰，使时间序列的长期趋势显露出来， 从而可用于趋势分析及预测。
2019年 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
t
1
2 34 5
6
7
8
9 10 11 12
销售额 25.5 28.1 25.0 27.5 23.5 21.9 23.8 24.5 26.0 25.0 28.1 25.0
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4.水平趋势季节型
• 这时时间序列无上升或下降趋势，但受 季节影响，可表示为：
yt Tt St It
yt Tt St It
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5.线性趋势季节型
• 这时时间序列的长期趋势值是时间t的线 性函数，且受季节影响，可表示为： yt(ab)tStIt yt (ab)tStIt
• 一般情况下，如果时间序列没有明显的周期 变化和趋势变化，可用第t期的一次移动平 均值作为第t+1期的预测值，其预测模型为：
yˆt1 Mt(1)
• 注意：一次移动平均法的预测能力只有一期。
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例3.1 某商场2019年1~12月份儿童服装销售额的 数据如表3.1所示，试用一次移动平均法预测2009 年1月份的销售额。
• 设时间序列为 y1,y2, ,yt, ,yn；n为样 本容量。
• 一次移动平均计算公式为：
M t(1 )y t y t 1 N y t N 1
(t N )
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• 移动平均的作用在于修匀数据，消除一些随 机干扰，使时间序列的长期趋势显露出来， 从而可用于趋势分析及预测。
2019年 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
t
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2 34 5
6
7
8
9 10 11 12
销售额 25.5 28.1 25.0 27.5 23.5 21.9 23.8 24.5 26.0 25.0 28.1 25.0
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时序平滑预测教材
布朗二次多项式（三次）指数平滑法
指数平滑预测不断修正误差: ˆ t 1 = St(1) = αyt+(1－α) St-1(1) y = St-1(1)+ α[yt －St-1(1) ] 即 下期预测值=本期预测值+α· 本期预测误差
× 系统
ˆ t T y
为负反馈自动控制系统,有一定的自适应能力。
指数平滑法SPSS求解
选择Analyze→Time series→Exponential Smoothing→选择 预测变量为变量→Models选Simple→Parameters按钮→给 定α→给定初始值和趋势值 (根据最后一个值确定，但似乎 没有影响)。
(simple moving average)
SPSS操作： 打开SPSS,选择Transform→Creat Time Series；在 Function下拉列表框中选择Prior moving average,将 Span的值改为n的值；选择要预测的变量为进入 New variable(s)中；Name文本框中的变量名可以修 改或不改；按OK键完成。
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4.2.3 双重移动平均法
（趋势移动平均法）
用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现 滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移 动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的 预测模型。这就是趋势移动平均法。 一次移动平均数为Mt(1)=(Yt+yt-1+...+yt-N+1)/N 在一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均就是二次 移动平均，公式为： Mt(2)=(Mt(1)+Mt-1(1)+...+Mt-N+1(1))/N 其递推公式为： Mt(2)=Mt-1(2)+(Mt(1)-Mt-N(1))/N
时间序列平滑预测法
= (1/5) ∑ yt =yM5 5
由于在此段， y5为数据平均值，所有数据应yˆ 6 在y 5 它y6的=上y下5。波y动6 。的因实此际推值出精还品，按课件可前以一用组于值预的测变y 5t化=规6律时在的值
第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为
y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 :
y6 = (1/5) ∑ yt = M6
80 = xt
xt+T = at+ bt T at= 2 Mt(1} －Mt(2)=
Mt(2)] = 3
bt =2/(N－1)[Mt(1)－
预测模型： xt+T= 80 + 3T 当T = 5精时品课件
移动平均法应用举例------期，股市
中的移动平均 线
日报创办人
一、道。琼斯的理论: 美华尔街
股价运动的三种趋势
精品课件
Mt(1}
由公式④ Mt(1} -Mt(2) = yt －
= (N－1)bt/2
代入
at= yt
得 Mt(2) ………….⑥
-Mt(2) ]/(N-1)…… ⑦
at= 2 Mt(1} － bt =2[Mt(1}
公式 ⑤,⑥,（7)构成二次移
动平均法预测公式。
注：1)预测公式精是品课以件 t时刻为基准的，这
另外，N的选取也起着较大的作用， N小一些,预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。 特别地当N=1，则与实际状况相同。
N大一些，平滑特性就好一些，但跟 踪能力差。
精品课件
二、二次移动平均法
1 、 二次移动平均数公式.
二次移动平均是在一次平均移动 的基础上再做一次移动平均。
1(1)…. N(1)]/N
Mt(2) =[Mt(1} + MtMt-n+1(1)]/N
4时序平滑预测法
4 时序平滑预测法
• • • • • 4.1时间序列概述 4.2移动平均法 4.3指数平滑法 4.4差分指数平滑法 4.5自适应过滤法
4 时序平滑预测法
预测方法有四种基本的类型：定性预测、因 果联系法、时间序列分析和模拟。 1.定性预测:属于主观判断，它基于估计和评 价。常见方法包括：一般预测、市场调研 法、小组讨论法、历史类比、德尔菲法等。 2.因果联系:假定需求与某些内在因素或周围 环境的外部因素有关。主要有：回归分析、 经济模型、投入产出模型、先行指标等。
4 时序平滑预测法
4.3指数平滑法 4.3.3二次指数平滑预测法
4 时序平滑预测法
4.3指数平滑法 4.3.3二次指数平滑预测法
4 时序平滑预测法
4.3指数平滑法 4.3.3二次指数平滑预测法
4 时序平滑预测法
4.3指数平滑法 4.3.3二次指数平滑预测法
4 时序平滑预测法
4.3指数平滑法 4.3.3二次指数平滑预测法
4.2移动平均法 4.2.2加权移动平均法
4 时序平滑预测法
4.2移动平均法 4.2.2加权移动平均法
4 时序平滑预测法
4.2移动平均法 4.2.2加权移动平均法
4 时序平滑预测法
4.2移动平均法 4.2.2加权移动平均法
4 时序平滑预测法
4.2移动平均法 4.2.2加权移动平均.3指数平滑法 4.3.3二次指数平滑预测法
4 时序平滑预测法
4.3指数平滑法 4.3.3二次指数平滑预测法 • 指数平滑方法的选用，一般可根据原数列 散点图呈现的趋势来确定。 • 如呈现直线趋势，选用二次指数平滑法； 如呈现抛物线趋势，选用三次指数平滑法。 或者，当时间序列的数据经二次指数平滑 处理后，仍有曲率时，应用三次指数平滑 法。
时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，通过对历史数据进行平滑处理，找出数据中的趋势和周期性变化，并基于这些特征进行未来值的预测。
时间序列平滑预测法适用于各种领域的预测问题，如销售量、股票价格、气温等。
其中，最常见的时间序列平滑预测法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是一种基于数据的滚动平均值进行预测的方法。
它通过将数据序列中的每个值与其前一段时间内的几个值进行平均，来得到一个平滑的预测值。
这种方法适用于数据变化比较平稳的情况，能够较好地捕捉到数据的趋势。
指数平滑法是一种基于加权平均进行预测的方法。
它通过对数据序列中的每个值加权，更加重视较近期的值，来得到一个平滑的预测值。
这种方法适用于数据变化比较有规律的情况，能够较好地捕捉到数据的周期性变化。
在进行时间序列平滑预测时，我们首先需要对历史数据进行平滑处理，以消除可能存在的噪声和异常值。
然后，根据数据的趋势和周期性变化，选择合适的平滑方法进行预测。
最后，通过比较预测结果和实际值，评估模型的准确性，并对模型进行调整和优化。
时间序列平滑预测法具有较好的稳定性和可解释性，能够较好地预测未来值。
但是，它也存在一些限制，如对数据的假设性要求较高，对异常值的敏感性较大等。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的模型，并结合其他方法进行预测。
总之，时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，通过对历史数据进行平滑处理，能够较好地预测未来值。
它具有较好的稳定性和可解释性，并在各个领域得到广泛应用。
通过不断改进和优化，时间序列平滑预测法有望在未来的预测中发挥更大的作用。
时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，它通过对历史数据进行平滑处理来预测未来值。
在实际应用中，时间序列平滑预测法可以帮助企业和个人做出更准确的决策，并规划未来的发展方向。
一种常见的时间序列平滑预测方法是移动平均法。
移动平均法通过计算一定时间段内数据的平均值来平滑数据。
这种方法可以消除短期内的噪声和波动，从而更好地揭示出数据的趋势和长期变化。
时间序列平滑预测法PPT教学课件
第四章 时间序列平滑预测法
§1.时间序列概述 时间序列——指将预测对象的历史数据按照时 间顺序排列的序列，就称为时间序列。
时间序列的因素分解：
Yt f (Tt , St ,Ct , It )
不规则变动 周期变动 季节变动 长期趋势
时间序列的组合形式
加法形式： Yt Tt St Ct It 乘法形式： Yt Tt • St • Ct • It 混合形式： Yt Tt • St Ct • It
Yt St Tt • Ct • It
时间序列平滑预测法
一、一次移动平均法
1、移动平均值
设时间序列为 x1, x2,, xn
M t
1 N
( xt
xt1 xtN 1)
1 N
t
xi
it N 1
2、逆推公式
Mt
xt N
1 N
( xt 1
xt 2
xtN )
1 N
xt N
( xt
xtN N
)
M t1
Ftm St bt m
bt (St St1) (1 )bt1
六、布朗二次多项式指数平滑法Leabharlann Ftm at btm ctm2
at 3St 3St St
bt
2(1 )2
(6
5 )St
(10
8 )St
(4
3 )St
ct
2 (1 )2
(St 2St
St
)
差分——指数平滑法
较大
．
3．萃取 (1)分类 萃取包括液—液萃取和固—液萃取． (2)原理 ①液—液萃取原理：利用有机物在两种互不相溶的溶剂 中的 溶解性 的不同，将有机物从一种溶剂转移到另一 种溶剂中的过程．常用玻璃仪器是分液漏斗 ． ②固—液萃取原理：用有机溶剂 从固体物质中溶解 出有机物的过程．
§1.时间序列概述 时间序列——指将预测对象的历史数据按照时 间顺序排列的序列，就称为时间序列。
时间序列的因素分解：
Yt f (Tt , St ,Ct , It )
不规则变动 周期变动 季节变动 长期趋势
时间序列的组合形式
加法形式： Yt Tt St Ct It 乘法形式： Yt Tt • St • Ct • It 混合形式： Yt Tt • St Ct • It
Yt St Tt • Ct • It
时间序列平滑预测法
一、一次移动平均法
1、移动平均值
设时间序列为 x1, x2,, xn
M t
1 N
( xt
xt1 xtN 1)
1 N
t
xi
it N 1
2、逆推公式
Mt
xt N
1 N
( xt 1
xt 2
xtN )
1 N
xt N
( xt
xtN N
)
M t1
Ftm St bt m
bt (St St1) (1 )bt1
六、布朗二次多项式指数平滑法Leabharlann Ftm at btm ctm2
at 3St 3St St
bt
2(1 )2
(6
5 )St
(10
8 )St
(4
3 )St
ct
2 (1 )2
(St 2St
St
)
差分——指数平滑法
较大
．
3．萃取 (1)分类 萃取包括液—液萃取和固—液萃取． (2)原理 ①液—液萃取原理：利用有机物在两种互不相溶的溶剂 中的 溶解性 的不同，将有机物从一种溶剂转移到另一 种溶剂中的过程．常用玻璃仪器是分液漏斗 ． ②固—液萃取原理：用有机溶剂 从固体物质中溶解 出有机物的过程．
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21
预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
初始值S0(1)的选取 （1）数据在20个以上时，对预测值影响小，取S0(1) = y0；
（2） 数据较少（20个以下），取几个最初期的实际值的平 均值。
适用场合
短期预测，预测对象发展趋势变化不大的情况。
22
预测与决策
4.3 指数平滑法—二次指数平滑法
若选取α=0，则
yt 1 yt
若选取α=1，则
yt 1 yt
(1)如果时间序列波动不大，比较平稳，则α应取小一点（如0.1-0.3） 。以减 少修正幅度，使预测模型能包含较长时间序列的信息。 （ 2 ）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则 α 应取大一点（如 0.6-0.8） 。使预测模型灵敏度高一些，以便迅速跟上数据的变化。
19
预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
将平滑公式依次展开，有：
2 1 S t1 yt 1 yt 1 1 S t1 2 yt 1 yt 1 1 S t 2
2 t 1 yt 1 yt 1 1 yt 2 1 S 0 t 1
简单移动平均法适用场合
只适合近期预测，而且预测目标的发展趋势变化不大的情况！
15
预测与决策
4.2 移动平均法
移动平均法缺陷 （1）存储数据量较大;
（2）对最近的N期数据等权看待，而对t-T期以前的数据
则完全不考虑，这往往不符合实际情况。 指数平滑法 可有效解决 此类问题
16
预测与决策
第
4
章
时间序列平滑预测法
3
预测与决策
4.1 时间序列概述
基本思想 根据系统有限的观测数据建立起能够比较精确地反映时 间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并根据该模型 对系统的未来行为进行预测。 数学模型 已知研究对象至t 时刻历史观测数据为y1, y2, „, yt，则 ˆ t h 模型如下: 计算t+h时刻的预测值 y
(1 )2 ，…，按几何级数衰减，愈近的数据，权数越大，越远的数据，权数越小，
且权数之和为1. 预测模型为：
yt 1 St1
即：
yt 1 yt 1 yt
20
预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
加权系数的选择
yt 1 yt yt yt
第
4
章
时间序列平滑预测法
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
1
经济预测与决策方法讲义
第
4
章
时间序列平滑预测法
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
2
经济预测与决策方法讲义
递推公式为
M
2 t
M
2 t 1
1 M t1 M t N N
13
预测与决策
4.2 移动平均法—趋势移动平均法
设时间序列{yt}从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按 此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为 T=1,2，„„ yt T at bt T 其中：T为由t至预测期的时期数；at为截距；bt为斜率。
化油器销售量 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 月份
8
销售量
系列1
8
9
10
11
12
预测与决策
4.2 移动平均法
简单移动平 均法
移动平均法是根 据时间序列资料 逐项推移，依次 计算包含一定项 数的时序平均数， 以反映长期趋势 的方法。
趋势移动平 均法
加权移动平 均法
二次移动平均， 利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势 的预测模型。这就是趋势移动平均法。 一次移动平均数为
M t1 yt yt 1 yt N 1 N
二次移动平均数为
Mt
2
1 1 M t1 M t 1 M t N 1 N
9
预测与决策
4.2 移动平均法—简单移动平均法
设时间序列为：y1, y2…,yt, …；简单移动平均公式为：
Mt y t yt 1 yt N 1 N
t≥ N
Mt 为 t 期移动平均数；N 为移动平均的项数。 预测公式为：
yt 1 M t
即以第 t 期移动平均数作为第 t+1 期的预测值。
1
因此：
类似，可得 适用场合
பைடு நூலகம்
at 2M t1 M t2 2 1 2 b M M t t t N 1
短期预测，预测对象发展趋势呈二次曲线变化的情况。
14
预测与决策
4.2 移动平均法
移动平均数N的选择问题 一般采用试值法，N取不同值，取拟合误差小者所对应的N值。
季节变动
由于受自然条件和社会条件的影响，时间序列在一年内随着季 节的转变而引起的周期性变动。
循环变动
指周期不固定的波动变化，周期一般不完全相同。
不规则变动
由各种偶然性因素引起的无周期变动。
5
预测与决策
4.1 时间序列概述
时间序列组合形式
（1）加法型 yt = Tt + St + Ct + It （2）乘法型 yt = Tt· St· Ct· It
适用场合 短期预测，且预测对象发展趋势变化不大的情况。
10
预测与决策
4.2 移动平均法—简单移动平均法
例 4-1 某城市汽车配件销售公司某年 1-12月的化油器销售量如下 表所示，试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。 分别取N=3和N=5，按预测公式
y yt 1 yt 2 yt 1 t 3
t≥ N
Mtw为t期加权移动平均数；wi为yt-i+1的权数，它体现了相应的yt在加权平 均数中的重要性。 预测公式为：
yt 1 M tw
即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。 适用场合 短期预测，预测对象发展趋势呈直线上升或下降的情况。
12
预测与决策
4.2 移动平均法—趋势移动平均法
Mt
1
yt yt bt yt N 1bt N N Ny 1 2 N 1bt N 1 t yt bt N 2 yt yt 1 yt N 1
N 1 yt M t bt 2 N 1 M t1 M t2 bt 2
y yt 1 yt 2 yt 3 yt 4 yt 1 t 5
月份 实际值 3 个月平均 5 个月平均
1 423
2 358
3 434
4 445 405
5 527
6 429
7 426 467
8 502
9 480
10 384
11 427
12 446 419
412.3 468.7
（3）混合型
yt = Tt· St + Ct + It, yt = St + Tt· Ct· It 其中：Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It 为不规则变动。
6
预测与决策
第
4
章
时间序列平滑预测法
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
ˆt h f ( y1, y2 ,, yt ) et h y
其中, h为预测步骤，et+h为随机噪声项，f (.)为待估函数。
4
预测与决策
4.1 时间序列概述
按影响因素性质不同分类：
长期趋势
由于某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一 定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。
在一次指数平滑法再作二次指数平滑，有：
1 S t1 yt 1 S t 1 2 S t2 S t1 1 S t 1
式中：St(1)为一次平滑指数；St(2)为二次指数的平滑值。当时间 序列{yt}，从某时期开始具有直线趋势时，类似趋势移动平均法， 预测模型：
1 S t1 y t 1 S t 1 2 S t2 S t1 1 S t 1
3 S t3 S t2 1 S t 1
式中：St(3)为三次指数平滑值。 三次指数平滑法的预测模型为： yt T at bt T ct T 2
以Mt-1作为yt-N的最佳估计，则有
M t M t 1 yt M t 1 yt 1 1 M t 1 N N N
1 N
令
以St代替Mt，即得一次指数平滑公式为
1 St1 yt 1 St 1
式中： St1 为一次指数平滑值； 为加权系数，且 0< <1。
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
17
经济预测与决策方法讲义
4.3 指数平滑法
一次指数平 滑法
二次指数平 滑法
三次指数平 滑法
18
预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
由移动平均数的递推公式为：
M t M t 1 yt yt N N
y t 1 y t 2 y t N M t 1 N y y y t N 1 y t N y M t t t 1 tN N N N yt yt N M M t t 1 N
预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
初始值S0(1)的选取 （1）数据在20个以上时，对预测值影响小，取S0(1) = y0；
（2） 数据较少（20个以下），取几个最初期的实际值的平 均值。
适用场合
短期预测，预测对象发展趋势变化不大的情况。
22
预测与决策
4.3 指数平滑法—二次指数平滑法
若选取α=0，则
yt 1 yt
若选取α=1，则
yt 1 yt
(1)如果时间序列波动不大，比较平稳，则α应取小一点（如0.1-0.3） 。以减 少修正幅度，使预测模型能包含较长时间序列的信息。 （ 2 ）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则 α 应取大一点（如 0.6-0.8） 。使预测模型灵敏度高一些，以便迅速跟上数据的变化。
19
预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
将平滑公式依次展开，有：
2 1 S t1 yt 1 yt 1 1 S t1 2 yt 1 yt 1 1 S t 2
2 t 1 yt 1 yt 1 1 yt 2 1 S 0 t 1
简单移动平均法适用场合
只适合近期预测，而且预测目标的发展趋势变化不大的情况！
15
预测与决策
4.2 移动平均法
移动平均法缺陷 （1）存储数据量较大;
（2）对最近的N期数据等权看待，而对t-T期以前的数据
则完全不考虑，这往往不符合实际情况。 指数平滑法 可有效解决 此类问题
16
预测与决策
第
4
章
时间序列平滑预测法
3
预测与决策
4.1 时间序列概述
基本思想 根据系统有限的观测数据建立起能够比较精确地反映时 间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并根据该模型 对系统的未来行为进行预测。 数学模型 已知研究对象至t 时刻历史观测数据为y1, y2, „, yt，则 ˆ t h 模型如下: 计算t+h时刻的预测值 y
(1 )2 ，…，按几何级数衰减，愈近的数据，权数越大，越远的数据，权数越小，
且权数之和为1. 预测模型为：
yt 1 St1
即：
yt 1 yt 1 yt
20
预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
加权系数的选择
yt 1 yt yt yt
第
4
章
时间序列平滑预测法
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
1
经济预测与决策方法讲义
第
4
章
时间序列平滑预测法
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
2
经济预测与决策方法讲义
递推公式为
M
2 t
M
2 t 1
1 M t1 M t N N
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预测与决策
4.2 移动平均法—趋势移动平均法
设时间序列{yt}从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按 此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为 T=1,2，„„ yt T at bt T 其中：T为由t至预测期的时期数；at为截距；bt为斜率。
化油器销售量 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 月份
8
销售量
系列1
8
9
10
11
12
预测与决策
4.2 移动平均法
简单移动平 均法
移动平均法是根 据时间序列资料 逐项推移，依次 计算包含一定项 数的时序平均数， 以反映长期趋势 的方法。
趋势移动平 均法
加权移动平 均法
二次移动平均， 利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势 的预测模型。这就是趋势移动平均法。 一次移动平均数为
M t1 yt yt 1 yt N 1 N
二次移动平均数为
Mt
2
1 1 M t1 M t 1 M t N 1 N
9
预测与决策
4.2 移动平均法—简单移动平均法
设时间序列为：y1, y2…,yt, …；简单移动平均公式为：
Mt y t yt 1 yt N 1 N
t≥ N
Mt 为 t 期移动平均数；N 为移动平均的项数。 预测公式为：
yt 1 M t
即以第 t 期移动平均数作为第 t+1 期的预测值。
1
因此：
类似，可得 适用场合
பைடு நூலகம்
at 2M t1 M t2 2 1 2 b M M t t t N 1
短期预测，预测对象发展趋势呈二次曲线变化的情况。
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预测与决策
4.2 移动平均法
移动平均数N的选择问题 一般采用试值法，N取不同值，取拟合误差小者所对应的N值。
季节变动
由于受自然条件和社会条件的影响，时间序列在一年内随着季 节的转变而引起的周期性变动。
循环变动
指周期不固定的波动变化，周期一般不完全相同。
不规则变动
由各种偶然性因素引起的无周期变动。
5
预测与决策
4.1 时间序列概述
时间序列组合形式
（1）加法型 yt = Tt + St + Ct + It （2）乘法型 yt = Tt· St· Ct· It
适用场合 短期预测，且预测对象发展趋势变化不大的情况。
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预测与决策
4.2 移动平均法—简单移动平均法
例 4-1 某城市汽车配件销售公司某年 1-12月的化油器销售量如下 表所示，试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。 分别取N=3和N=5，按预测公式
y yt 1 yt 2 yt 1 t 3
t≥ N
Mtw为t期加权移动平均数；wi为yt-i+1的权数，它体现了相应的yt在加权平 均数中的重要性。 预测公式为：
yt 1 M tw
即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。 适用场合 短期预测，预测对象发展趋势呈直线上升或下降的情况。
12
预测与决策
4.2 移动平均法—趋势移动平均法
Mt
1
yt yt bt yt N 1bt N N Ny 1 2 N 1bt N 1 t yt bt N 2 yt yt 1 yt N 1
N 1 yt M t bt 2 N 1 M t1 M t2 bt 2
y yt 1 yt 2 yt 3 yt 4 yt 1 t 5
月份 实际值 3 个月平均 5 个月平均
1 423
2 358
3 434
4 445 405
5 527
6 429
7 426 467
8 502
9 480
10 384
11 427
12 446 419
412.3 468.7
（3）混合型
yt = Tt· St + Ct + It, yt = St + Tt· Ct· It 其中：Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It 为不规则变动。
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预测与决策
第
4
章
时间序列平滑预测法
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
ˆt h f ( y1, y2 ,, yt ) et h y
其中, h为预测步骤，et+h为随机噪声项，f (.)为待估函数。
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预测与决策
4.1 时间序列概述
按影响因素性质不同分类：
长期趋势
由于某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一 定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。
在一次指数平滑法再作二次指数平滑，有：
1 S t1 yt 1 S t 1 2 S t2 S t1 1 S t 1
式中：St(1)为一次平滑指数；St(2)为二次指数的平滑值。当时间 序列{yt}，从某时期开始具有直线趋势时，类似趋势移动平均法， 预测模型：
1 S t1 y t 1 S t 1 2 S t2 S t1 1 S t 1
3 S t3 S t2 1 S t 1
式中：St(3)为三次指数平滑值。 三次指数平滑法的预测模型为： yt T at bt T ct T 2
以Mt-1作为yt-N的最佳估计，则有
M t M t 1 yt M t 1 yt 1 1 M t 1 N N N
1 N
令
以St代替Mt，即得一次指数平滑公式为
1 St1 yt 1 St 1
式中： St1 为一次指数平滑值； 为加权系数，且 0< <1。
4.1 时间序列概述 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 差分指数平滑法
4.5 自适应滤波法
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经济预测与决策方法讲义
4.3 指数平滑法
一次指数平 滑法
二次指数平 滑法
三次指数平 滑法
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预测与决策
4.3 指数平滑法—一次指数平滑法
由移动平均数的递推公式为：
M t M t 1 yt yt N N
y t 1 y t 2 y t N M t 1 N y y y t N 1 y t N y M t t t 1 tN N N N yt yt N M M t t 1 N