第五讲 时间序列平滑预测法.
时间序列的平滑预测法
时间序列的平滑预测平滑法：简单平均法，移动平均法、指数平滑法。
平滑法既可以用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势，也可对平稳时间序列进行短期预测。
1、 简单平均法根据过去已有的观测值通过简单平均来预测下一期的值；舍时间序列已有的t 期观测值为y1、y2………yt ，那么t+1期的预测值1t F +值为：112111111t+2111(.......),11,1t+2=,t+1tt t i i t t t t t i i F y y y y t t t t e F F y +=+++++==++=++=-∑∑当到了期时，有了期的实际值y 就可以计算误差y 那么期的预测值就为以此类推。
2、 移动平均法通过对时间序列逐期递移求得平均数作为趋势值或者预测值的一种平滑预测方法。
移动平均又包括简单移动平均和加权移动平均。
简单移动平均就是将最近K 期的观测值进行平均，作为下一期的预测值；1<K<t.1211231t+21........,........t k t k t tt t t k t k t t t y y y y F y ky y y y F y k-+-+-+-+-+++++++==++++==同理均方误差MSE 的计算公式为：MSE =误差平方和误差个数移动平均法只使用最近K 期的数据，每次计算都是使用最近K 期数据；这一方法比较适合较为平稳的时间序列数据。
实际中选取不同的K ，比较MSE 的大小来选择合适的步长。
3、 指数平滑法一次指数平滑就是以一段时期的预测值和观测值的线性组合作为t+1期的预测值，预测模型为：说明：通常将11F y =。
1(1)t t t F y F αα+=+-其中，0<<1t t y t t αα为期实际观测值，F 为期的预测值；为平滑系数（）。
211111322212433321=(1)(1)=(1)(1)=(1)1-+(1)F y F y y y F y F y y F y F y y F αααααααα∂+-=∂+-=∂+-=∂+-∂+-=∂+-第二期预测值：第三期预测值：第四期预测值：（）y 依此类推。
时间序列的指数平滑预测技术
第五章 时间序列的指数平滑预测技术本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。
5.1常用模型的指数平滑法5.1.1基本公式与预测方程利用时间序列前t 期的观察值x 1 , x 2 ,…, x t 预测第t ＋1期的值x t ＋1时，设赋予第i 期的权重为w t ＋1－I (i=1,2…t), w 1>w 2 >… >w t ,计算诸观察值的加权平均： 并取第t+1期预测值为 这就是所谓加权平均法。
加权平均法的缺点：(1)权重不易确定(2)要记忆的数据太多(3)计算较繁权重不易确定自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，即第t 期，第t-1期…的权重依次为由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于1。
我们使这一条件当t 趋近∞时成立，即使得各期权重依次为上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据多和计算繁两个缺点。
为此，我们考虑t 充分大时的情形，这时得到:将滞后一期拿出：得到即:上式称为指数平滑法的基本公式，这个公式是用递推公式给出的，α叫做平滑常数，0 <α<1，其值可由预测者任意指定。
T t 称为T 的(实际上也是x 的)第t 期的指数平滑值。
指数平滑法的预测方程是：即把第t 期的指数平滑值作为第t+1期的预测值。
指数平滑法的基本做法用公式的形式表述出来就是：新的估计值=平滑常数×利用当前期资料的估计值+(1－平滑常数) ×只利用历史资料的估t...t ...t t t x x x W ωωωωωω+++++-+=211121tt W x ˆ=+1)10,0,...(,,2<<>βααβαβα12=+++...αβαβα +-+-+=--221)1()1(t t t t x x x T ααααα...t t t t x )(x )(x T +-+-+=----3221111αααααttt x T T αα=---1)1(1)1(--+=tttT xT ααtt t x ˆ)(x x ˆαα-+=+11t t T x ˆ=+1计值指数平滑法优点：既继承加权平均法重视近期数据的思想，又能克服以上三个缺点。
时间序列平滑预测法
= (1/5) ∑ yt =yM5 5
由于在此段， y5为数据平均值，所有数据应yˆ 6 在y 5 它y6的=上y下5。波y动6 。的因实此际推值出精还品，按课件可前以一用组于值预的测变y 5t化=规6律时在的值
第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为
y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 :
y6 = (1/5) ∑ yt = M6
80 = xt
xt+T = at+ bt T at= 2 Mt(1} －Mt(2)=
Mt(2)] = 3
bt =2/(N－1)[Mt(1)－
预测模型： xt+T= 80 + 3T 当T = 5精时品课件
移动平均法应用举例------期，股市
中的移动平均 线
日报创办人
一、道。琼斯的理论: 美华尔街
股价运动的三种趋势
精品课件
Mt(1}
由公式④ Mt(1} -Mt(2) = yt －
= (N－1)bt/2
代入
at= yt
得 Mt(2) ………….⑥
-Mt(2) ]/(N-1)…… ⑦
at= 2 Mt(1} － bt =2[Mt(1}
公式 ⑤,⑥,（7)构成二次移
动平均法预测公式。
注：1)预测公式精是品课以件 t时刻为基准的，这
另外，N的选取也起着较大的作用， N小一些,预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。 特别地当N=1，则与实际状况相同。
N大一些，平滑特性就好一些，但跟 踪能力差。
精品课件
二、二次移动平均法
1 、 二次移动平均数公式.
二次移动平均是在一次平均移动 的基础上再做一次移动平均。
1(1)…. N(1)]/N
Mt(2) =[Mt(1} + MtMt-n+1(1)]/N
时间序列平滑预测法
(一) 发展速度
报告期水平
1、发展速度 发展速度= 基期水平
2、发展速度类型： 对比的基期不同，发展速
度可以分为环比发展速度和定基发展速度。
定基 环比
* 关系：各期环比发展速度承积=定基发展速度
(二) 增长率 (growth rate)
1、增长率(也称增长速度)
报告期水平-基期水平
增长率=
=发展速度-1
末期水平
2、时间序列的类型
(1) 平稳序列(stationary series) 基本上不存在趋势的序列，各观察值基本 上在某个固定的水平上波动 或虽有波动，但并不存在某种规律，而其 波动可以看成是随机的
(2) 非平稳序列 (non-stationary series) ▪ 有趋势的序列 • 线性的，线性的 ▪ 有趋势、季节性和周期性的复合型序列
1999年一月到2000年一月所跨的月份总
数为12，所以 n = 12
即年度化增长率为20%， 这实际上就是年增长率， 因为所跨的时期总数为一 年。也就是该地区社会商 品零售总额的年增长率为 20%
2) m =12，n = 27 年度化增长率为
该地区财政收入的年增长率为10.43%
解：3) 由于是季度数据，所以 m = 4，从一
基期水平
2、增长率的类型： (1) 对比的基期不同源自增 长率可以分为环比增长率和定基增长率
(2) 由于计算方法的不同，有一般增长率、平 均增长率、年度化增长率
3、环比增长率和定基增长率的计算
(1) 环比增长率
Y0 ，Y1 , Y2 ,…, Yn
报告期水平与前一期水平之比减1
(2) 定基增长率 报告期水平与某一固定时期水平之比减1
2) 1998年3月份财政收入总额为240亿元， 2000年6月份的财政收入总额为为300亿元
时间序列预测分析方法
2005
48008.17
2006
62506.29
2008
84962.48
2009
96711.27
2.时间数列要素
一是研究对象所属的时间范围和采样单位； 二是与各个时间相匹配的、关于研究对象的观察数据。
第五讲 时间序列预测方法
二、时间数列基本理论
(二)时间数列的种类
1.绝对时间数列
定量分 析方法
构成时间数列的数据是总量指标的时间数列称绝对 时间数列。它反映的是研究对象的绝对水平和总规模以 及与之相应的变动趋势。
第五讲 时间序列预测方法
二、时间数列基本理论
定量分 析方法
●时间序列分析不研究事物的因果关系，不 考虑事物发展变化的原因，只是从事物过去和 现在的变化规律去推断事物的未来变化。 ●时间序列中的时间概念是一种广泛意义下 的时间概念，除表示通常意义下的时间外也可 以用其他变量代替。
●时间序列分析法
时域分析法 频域分析法
k
k 1
xk xk 1
2k 1
x2k 1
l 1 l
xl 1 xl
( 2) M2 k 1 2) M l( 1 M l( 2)
第五讲 时间序列预测方法
三、移动平均数预测法
(二)移动平均数预测法的具体做法
1.一次移动平均值的计算公式
定量分 析方法
M
(1) i
1 ( xi xi 1 xi N 1 ) N
x1 , x2 ,, xl ，列表如下：
第五讲 时间序列预测方法
三、移动平均数预测法
(一)移动平均数预测法的基本思想
时间序号 原始数据
定量分 析方法
时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法是一种通过对时间序列数据进行平滑处理来预测未来趋势的方法。
该方法基于以下假设：过去的数据可以反映未来的趋势，而将过去的数据进行平滑处理可以消除噪声和随机波动，并揭示出数据背后的潜在规律。
时间序列平滑预测法可以应用于各种领域，比如经济学、金融学、工程学等。
在经济学中，时间序列平滑预测法可以用于预测经济指标的未来趋势，如国内生产总值（GDP）、消费者物价指数（CPI）等。
在金融学中，该方法可以用于预测股票价格、利率、汇率等金融指标的未来走势。
在工程学中，时间序列平滑预测法可以用于预测能源消耗、交通流量等工程指标的未来变化。
时间序列平滑预测法的基本思想是通过对时间序列数据进行平滑处理，得到一个平滑的曲线，然后根据这个曲线来预测未来的值。
平滑处理的方法有很多种，常见的方法有移动平均法、指数平滑法和季节性指数平滑法等。
移动平均法是最简单、最常用的一种平滑处理方法。
它的原理是在一定时间窗口内计算数据的平均值，然后将平均值作为平滑后的值。
移动平均法适用于数据变化较为缓慢、无明显趋势和季节性的情况。
移动平均法的优点是计算简单，缺点是不能很好地处理有趋势的数据。
指数平滑法是另一种常用的平滑处理方法。
它的原理是将过去的数据赋予不同的权重，较近期的数据权重较大，较远期的数据权重较小。
指数平滑法适用于数据变化较为快速、有明显趋势和季节性的情况。
指数平滑法的优点是对趋势有较好的适应性，缺点是计算复杂度较高。
季节性指数平滑法是指在指数平滑法的基础上考虑季节性因素进行预测。
它的原理是在指数平滑法的基础上引入季节性指数，用于对季节性因素进行处理。
季节性指数平滑法适用于数据具有季节性变化的情况，如每月销售额、每周客流量等。
季节性指数平滑法的优点是对季节性变化有较好的适应性，缺点是需要进行较复杂的计算。
时间序列平滑预测法的步骤一般包括以下几步：数据预处理、平滑处理、预测和评估。
数据预处理包括对原始数据进行清洗、处理缺失值和异常值等。
预测时间序列平滑预测法
由上表可见： α =0.3，α =0.5，α =0.7时，均方误差分别为：
1 2 2 MSE 214.1 203.8 259.5 240.1 287.1 11
MSE=297.43 MSE=233.36
最小
因此可选α =0.7作为预测时的平滑常数。
1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为：
Yt a I t
2、线性趋势型 时间序列的长期趋势值是时间t的一次函数，无季节影响。
Yt a bt It
Yt a bt It
a b 常数 b≠0
3、二次曲线趋势型 时间序列的长期趋势值是时间t的二次函数，无季节影响
Yt a bt ct I t
Ft 1 为下一期预测值；
x t x tN Ft 1 Ft →新预测值是对前一预测值的修正 N N
• 在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数，必须一开始就明确规定。
每出现一个新观察值，就要从移动平均中
减去一个最早观察值，再加上一个最新观
察值，计算移动平均值，
这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。
, (1 ), (1 )2 ,
第 t+1、t期的预测值可表示为：
Ft 1 x t (1)x t 1 (1)2 x t 2
(1) (2)
Ft x t 1 (1)x t 2 (1)2 x t 3
（1）－（1－α）（2）等于
权重不好确定；需要数据太多；计算繁琐
• 自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重 按指数规律下降，即第t期，第t-1期，…的权 重依次为：
, ,
t
1 1
经济预测与决策时间序列平滑预测法
二点法：设 n2m ，可分两部分求平均值，或分别抽取
一定量的项求加权平均值
分段方程相加法：
以 ( i ,y i)i ,1 ,2 , ,m ,m 1 , ,2 m 代入（1）式得 ln y1y2 ymma m (m 21)b ln ym 1ym 2 y2 mmm a(3 m 2 1 )b
由以上两式可解出 a 和 b
估计方法：1. 最小二乘法
2. 三点法 (t1,y1),(t2,y2),(t3,y3) 其中 y1, y2, y3 分别为初期、中期和近期的加权平均数，当 n15时，可各取5项加权平均，（ n15 时，可各取2
项或3项加权平均），权数由远及近一般地可分别取为1，2， 3，4，5。
设n为奇数，y d
M twYtrtY 1 rn1Ytn1 M (t1)wYt1rtY 2 rn1Ytn
从而 M twY trM (t 1 )wrn Y t n
当n很大时，上式尾项可以忽略不计，即
Mtw Yt (1 )M(t1)w M(t1)w (Yt M(t1)w)
为了便于同移动平均法区别，用St代替Mt·w，则有
的反应越敏感；相反， 越小，预测值越稳定，但对实际 数据的反应越迟缓，在实际中，若序列变化较平稳，则
值应小一些（0.05~0.2）；若序列存在或高或低的明显趋势，
则 值应大一些（0.3~0.7），常取使
|Yt Yˆt 最|
小的 值。
用一次指数平滑法进行预测，除了选择合适的 外，
还要确定初始值So，初始值是由预测者估计或指定的，当序 列的数据较多（如20以上）时，So对以后的影响很小，可取 So=Y1，当序列数据较小时，一般以最初n期的实际值的平均 值作为初始值
用Y表示时间序列的值，各因素对时间序列的综合作用方式
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2018/9/16
不论是经济领域中某一产品的年产量、月销 售量、工厂的月库存量、某一商品在某一市 场上的价格变动等，或是社会领域中某一地 区的人口数、某医院每日就诊的患者人数、 铁路客流量等，还是自然领域中某一地区的 温度、月降雨量等等，都形成了时间序列。 时序分析是一种根据动态数据揭示系统动态 结构和规律的统计方法，是统计学科的一个 分支。其基本思想是根据系统有限长度的运 行记录（观察数据），建立能够比较精确地 反映时间序列中所包含的动态依存关系的数 学模型，并借以对系统的未来行为进行预报。
11
例1 某市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油器销售量如 表所示。试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。 化油器销售量及移动平均预测值表 单位：只
5个月移动平均预测值
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2018/9/16 —
实际销售量 423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446 —
预测公式为：
ˆ t 1 M t y
（4-2）
9
（4-3）
即以第 2018/9/16 t 期移动平均数作为第t+1期的预测值。
预测的局限性
ˆ 作为第t+1期的实际值，于是就可 如果将 X t 1 同理计算出第t+2期的预测值，一般地，可相 应地求得以后各期的预测值。但由于误差的 积累，使得对越远时期的预测，误差越大， 因此一次移动平均法一般只应用于一个时期 后的预测（即预测第t+1期）。
2
2018/9/16
时间序列平滑预测法
时间序列预测技术可分为随机型和确定型两 大类，随机型时间序列预测技术使用了概率 的方法，而确定型时间序列预测技术则使用 非概率的方法。 包括：（1）时间序列与时序分析；（2）移 动平均法；（3）指数平滑法；（4）时间序 列分解法。
2018/9/16
3
时间序列与时序分析
时间序列平滑预测法
移动平均法 指数平滑法
差分指数平滑法
2018/9/16
1
时间序列平滑预测法
时间序列预测方法，是将预测目标的历史数 据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后 分析它随时间的变化趋势，并建立数学模型 进行外推的定量预测方法。 时间序列预测技术在国外早已有应用，国内 在20世纪60年代就应用于水文预测研究。 到20世纪70年代，随着电子计算机技术的发 展，气象、地震等方面也已广泛应用时间序 列的预测方法。 目前，时间序列分析已成为世界各国进行经 济分析和经济预测的基本方法之一。
4时序分析特点 2018/9/16
第一，时序分析是根据预测目标过去至现在 的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假 设预测目标的发展过程规律性会继续延续到 未来，即以惯性原理为依据。 第二，时间序列数据的变化存在着规律性与 不规律性。 1.长期趋势（T） 2.季节变动（S） 3.循环变动（C） 4.不规则变动（I）
5
各类影响因素的共同作用，使时间序列数据发生变 化，有的具有规律性，如长期趋势变动和季节性变 动；有些就不具有规律性，如不规则变动以及循环 变动（从较长的时期观察也有一定的规律性，但短 时间的变动又是不规律的）。时间序列分析法，就 是要运用统计方法和数学方法，把时间序列数据分 解为T，S，C，I四类因素或其中的一部分，据此预 测时间序列的发展规律 第三，时间序列是一种简化。时间序列预测方法， 假设预测对象的变化仅仅与时间有关，根据它的变 化特征，以惯性原理推测其未来状态。
计算3个月和5个月移动平均预测值。
当N=3时
当N=5时
计算结果表明：N=5时，MSE较小，故选取
2018/9/16
1 12 11143 2 ˆt ) MSE ( yt y 1591 .86 7 t 6 7
1 12 28893 2 ˆt ) MSE ( yt y 3210 .33 9 t 9
y t 1 y t 2 y t N M t 1 由（4-1）式可知： Ny y y y y t t 1 t N 1 tN tN 因此
Mt Mt N N yt yt N M t 1 N N
y t y t 1 y t N 1 Mt tN （4-1） N 式中：Mt为t期移动平均数；N为移动平均的项数。
6
2018/9/16
移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料、逐项推移， 依次计算包含一定项数的时序平均数，以反 映长期趋势的方法。 移动平均预测法是对时间序列观察值由远及 近按一定跨越期计算出平均值来进行预测的 一种预测方法。 移动平均法有简单移动平均法，加权移动平 均法，趋势移动平均法等。
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3个月移动平均预测值
— — — 405 412 469 467 461 452 469 456 430 419
— — — — — 437 439 452 466 473 444 444 448
12
解：分别取N=3和N=5，按预测公式：
yt yt 1 yt 2 ˆ t 1 y 3 yt yt 1 yt 2 yt 3 yt 4 ˆ t 1 y 5
2018/9/16
一次移动平均法
一次移动平均法是在算术平均法的基础上加 以改进的。其基本思想是，每次取一定数量 周期的数据平均，按时间顺序逐次推进。每 推进一个周期时，舍去前一个周期的数据， 增加一个新周期的数据，再进行平均。
2018/9/16
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一、简单移动平均法
设时间序列为： y1 , y 2 ,, yt , ； 简单移动平均公式为：
2018/9/16
10
例题
某市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油 器销售量如表所示。试用一次移动平均法， 预测下一年一月的销售量。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
Xt
423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446
2018/9/16