切换系统理论及其在飞行控制中的应用

切换系统理论及其在飞行控制中的应用赵佳 于志 申功璋（北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院 北京 100083）摘 要 本文对切换系统的概念及研究背景进行了概述；分析了切换系统的稳定性分析、系统镇定以及切换控制技术等领域的关键问题和重要结论；并介绍了切换系统理论在飞行控制中的相关应用。

最后对切换系统未来的研究方向以及在飞行控制中的应用前景做出了展望。

关键词 切换系统 切换控制技术 Lyapunov函数 飞行控制1 引言1986年，美国加州Santa Clara 大学举行的控制学科专题研讨会第一次正式提出了混合动态系统(Hybrid Dynamic System)的概念，引起了国际控制界、计算机界以及应用数学界的高度重视。

Antsaklis 在混合动态系统专刊的导引中[1]定义了混合动态系统的三种类型，其中之一就是切换系统。

切换系统是由若干子系统以及切换策略构成的一类特殊的混合动态系统，它通过各子系统之间的切换行为实现预定的性能指标。

切换系统可由下面的微分方程描述：()x f x σ= （1）{:}p f p P ∈表示切换系统包含的子系统函数；P 表示指标集，一般情况下集合P 为有限数集，记为：{1,2,}P N =⋅⋅⋅；映射:[,,]t x P σ⋅⋅⋅→表示切换策略，为右连续函数。

若切换系统的各子系统均是线性系统，则(1)式可表示为：x A x σ= （2）{:p A p P ∈}表示切换系统包含的线性子系统的状态阵。

若考虑控制作用，系统可描述如下：()()x f x g x u σσ=+ （3）相应的线性模型表示为：x A x B u σσ=+ （4）近年来，切换系统已成为控制界研究的热门问题之一。

切换系统理论之所以得到普遍的重视，主要有如下两方面原因:(1) 切换系统广泛的实际应用背景。

现实生活中许多实际系统往往表现出不同的模态特性，各模态间存在着明显或隐含的切换行为，都属于切换系统的范畴。

例如：大型的供电系统、现代高速交通系统、飞行器以及空中交通控制[2-4]等。

(2) 切换系统本身的复杂性。

“切换”行为的引入，使切换系统较之传统系统表现出了一定的复杂性和特殊性，并非简单子系统叠加。

由于人们对连续动态与离散动态之间相互作用理的认识尚不够清楚，很多问题亟待解决。

另一个由切换系统理论所派生出的概念是切换控制技术(Switching Control)。

这是一种基于在不同控制器之间进行切换的控制方法，是切换系统理论和其他控制理论相结合的产物。

切换控制技术在自适应镇定控制、智能控制等领域获得了成功的应用[5，6]。

由于一些复杂的非线性系统，仅依靠单一的连续控制器很难（有时甚至不可能）实现整个系统的渐近稳定，此时这种基于多种控制率的切换控制技术就更能体现出其应用价值。

下文将分别对切换系统的稳定性分析、系统镇定以及切换控制技术等领域的关键问题进行叙述；并介绍切换系统理论在飞行控制领域的应用。

2 切换系统稳定性分析切换系统有着与传统系统不同的特点。

其稳定性不仅与各子系统有关，还和切换策略的选取有着密切的关系。

稳定性分析是目前切换系统理论研究的热点之一。

根据切换策略σ的不同情况，切换系统稳定性问题可以划分为两类：2.1 任意切换策略下的系统稳定性任意切换策略下系统稳定的一个必要条件是：切换系统的各子系统均稳定[6]。

但该条件不是充分的，也就是说：即使各子系统稳定，在任意切换策略下切换系统也不一定稳定。

共同Lyapunov 函数(Common Lyapunov Function)是研究本问题的重要工具。

对于切换系统(1)，如果其子系统函数组{:存在一个共同Lyapunov 函数，即存在一个径向无界的光滑正定函数V 使得对所有}p f p P ∈0,x p P ≠∈，满足:(()/)()p V x x f x 0∂∂⋅≤ 则该函数称为切换系统的共同Lyapunov 函数，同时系统对任意的切换策略σ全局稳定(若上式改为严格不等式，则系统渐近稳定)。

1994年， Narenderaks 、Balakrishnan 等学者借助共同Lyapunov 函数，给出了线性切换系统(2)的稳定性结论[4]：若稳定矩阵组{:}（P 为有限集）满足可交换性：A A p A p P ∈,,p q q p A A p q P ⋅=⋅∀∈。

则系统(2)存在一个共同Lyapunov 函数。

同时文中给出了共同Lyapunov 函数的构造方法。

上面的结论由D.J.Noh 、H.Sen 等人于1998年推广到一般的非线性切换系统[7]： 若切换系统(1)满足，1.各子系统按指数稳定；2.向量场{:}p f p P ∈（P 为有限集时）满足可交换性：(()/)()(()/)(),,p q q p f x x f x f x x f x p q P ∂∂⋅=∂∂⋅∀∈。

则系统(1)存在一个共同Lyapunov 函数。

作者也给出了共同Lyapunov 函数的构造方法。

1995年，Gurvits 首次将切换系统的渐近稳定性问题和Lie 代数性质联系起来[8]，文中将切换系统用下面的离散化方程表示： ()(1)(k )x k A x σ+=k （5）其中σ为切换策略；:p L p A e =，p P ∈，p L 是李代数矩阵。

Gurvits 指出，如果李代数{}:p L p P ∈LA 是幂零的，那么在任意切换策略下系统（5）将是渐近稳定的；并在P={1，2}且三阶李括号为零的特殊情况下证明了该结论。

文献[9]在Gurvits 的基础上进一步证明了：如果李代数{}:p A p P ∈LA 可解，则切换系统（4）存在二次共同Lyapunov 函数。

Margaliot 、Liberzon 等人则针对切换系统（1）给出了李代数形式的稳定性结论，该结论不再用到子系统向量场的可交换性条件[10]。

2.2 特定切换策略下的系统稳定性研究由于切换系统（即使其子系统均稳定），在某些等定的切换策略作用下还是可能造成整个系统的不稳定，因此有必要对使系统稳定的切换策略类型进行研究。

“慢切换”是研究该问题的常用思路。

该方法很大程度上简化了切换系统的稳定性分析，是许多国内外相关文献进行切换系统稳定性研究的重要前提条件。

多Lyapunov 函数(Multiple Lyapunov Functions)是分析慢切换系统稳定问题的有力工具，它是Michael S.、 Branicky 等人从切换系统的特点出发而提出的。

P. Peleties 和R.A. Decarlo 利用多Lyapunov 函数对慢切换系统进行了研究，并给出了系统稳定的充分条件[11]：假定切换系统的各子系统为渐近稳定，对于每一个稳定子系统均存在一个Lyapunov 函数。

如果每个Lyapunov 函数在本次切换动作发生时的函数值，大于该函数下次作用时对应的切换动作发生时函数值，则系统全局渐近稳定。

类似的结论在文献[12]也有讨论。

对于多Lyapunov 函数的计算，可考虑利用线性矩阵不等式(LMI)的方法来进行有效计算[13]。

此外，延迟时间(dwell time)也是描述慢切换行为的重要工具。

对于切换系统(1)的切换时间序列{,，若存在正常数，使得12}t t ⋅⋅⋅0h >1inf()k k t t +h −≥成立。

则称(1)的切换策略σ具有延迟时间特性。

文献[14]等人通过引入延迟时间和扩展LaSalle 不变集原理，给出了切换系统(1)关于零点渐近稳定的充分条件。

3 切换系统的镇定问题切换系统的镇定器设计是系统控制的一个基本任务，目前国内外相关文献中采用了许多不同的方法来分析该问题。

包括：状态反馈镇定、基于观测器的镇定法、共同Lyapunov 函数法、基于状态反馈切换策略镇定、微分包含法等方法。

切换策略的不当选取可能导致系统的不稳定。

反过来，若能够找到出合适的切换策略，也能镇定不稳定的切换系统。

从这一思路出发引出了切换系统的一种镇定手段：构造基于状态反馈切换策略（切换律σ=σ( x)）。

目前该方法取得的成果主要集中在线性系统，对非线性系统的切换策略构造方法研究甚少。

许多文献中通过引入稳定“凸矩阵束”(Convex Matrix Pencil)的概念，对线性切换系统的切换策略构造进行研究。

1998年，P.Peleties, R.A.DeCarlo 利用凸矩阵束对P={1，2}的线性切换系统(2)进行了研究，其结论是：若矩阵束包含至少一个稳定的矩阵，则存在分段的常值切换策略使得原切换系统二次型镇定（V x 1,2(A A αγ)0,Tx εε<−> ），该切换策略的取值决定于系统状态量()x t [15]。

文献[16]证明了上述问题的逆命题：如果存在系统状态反馈形式的切换策略使得上述切换系统二次型镇定，那么包含至少一个稳定的矩阵。

上面的结论适当加以改动，即可应用到子系统个数不小于3的线性切换系统。

采用状态反馈切换策略来进行切换系统的镇定研究是一个很复杂的问题，需要小心对待1,2()A A αγ[17]。

状态反馈镇定作为传统控制系统镇定的常用方法，也是研究切换系统镇定问题的有效方法。

文献[18]中利用线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality)研究了切换系统的状态反馈镇定问题，给出了切换系统在任意切换信号下镇定的线性矩阵不等式条件。

但是文中没有进一步讨论这类不等式的可行性。

文献[19]利用LMI 技术，通过构造一个分段的二次型Lyapunov 函数，对离散化的切换系统在任意切换策略下进行了状态/输出反馈镇定器的设计。

我国的谢广明教授利用了凸矩阵束的概念，针对一类具有周期性切换策略的线性切换系统设计了状态反馈控制器，并给出了该控制器存在的充分条件[20]。

另一种从经典控制理论中借鉴而来的方法是基于观测器的镇定方法。

由于切换系统的可观性分析比较复杂，因此基于观测器的镇定方法要运用到切换系统中具有较大难度[22]。

共同Lyapunov 函数也是研究切换系统镇定问题的有效工具。

中科院研究员程代展通过构造共同二次型Lyapunov 函数，给出了单输入的平面线性切换控制系统二次型镇定的充分必要条件，其结论是以一组简单的线性不等式组的形式给出的，具有良好的可操作性[23]。

但是，这种方法也存在着缺陷：1.共同Lyapunov函数的存在性尚未彻底解决；2.共同Lyapunov函数仅是系统稳定的充分条件，得到的控制器存在保守性。

4 切换控制技术的研究作为切换系统理论和其他控制方法相结合的产物，切换控制技术将带有切换行为的系统对象转化为一组相对简单的子模型组，针对每个子模型采用各种控制方法设计之，同时配合相应的切换策略实现整个系统的控制。