5第四章 弹塑性断裂力学
弹塑性断裂理论简介
弹塑性断裂理论简介线弹性断裂力学是建立在线弹性力学基础上的，传统断裂力学理论认为，它没能考虑裂纹尖端附近塑性性区的影响，因而只适用于高强度（钢）脆性材料，对于工程中大量使用的中、低强度钢等具有较好塑性的材料是不适用的。
为了将应力强度因子推广到裂纹尖端有小范围塑性区的情况，人们推出了应力强度因子塑性区的修正方法，但适用性并不理想。
为了研究塑性材料的断裂问题，又产生了断裂力学的另一个分支——弹塑性断裂力学。
1. COD 原理及其判据Wells 根据裂纹尖端附近产生大范围屈服时，在裂纹尖端出现钝化，裂纹侧面随着外载增加逐渐张开的现象，提出来是否可用裂纹尖端的张开位移作为控制裂纹失稳扩展的参量。
裂纹的张开位移定义为承受外载情况下裂纹体的裂纹尖端沿垂直于裂纹方向产生的位移，一般用δ表示。
在裂纹失稳扩展的临界状态下，临界的COD 用c δ表示。
c δ也是材料的断裂韧性，是通过实验测定的材料常数。
COD 原理的基本思想是:把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移δ作为一个参量，而把裂纹失稳扩展时的临界张开位移c δ作为材料的断裂韧性指标，用c δδ=这个判据来确定材料在发生大范围屈服断裂时构件工作应力和裂纹尺寸间的关系。
2. J 积分理论1968年，Rice 提出了J 积分理论。
对于二维问题，J 积分的定义如下:⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-Γ=ds x v T x u T Wdy J y x （2-1） Γ--积分回路;ds --Γ上的弧元素;W --应变能密度;y x T T ,--应力分量;v u ,--位移分量;其中，积分回路的起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面，为逆时针回路，如图2-1所示。
J 积分的单位为MPa* mm 。
图2-1 裂纹尖端J 积分路径J 积分是围绕裂纹尖端的闭合曲线积分，在线弹性情况下有:E2I I K G J == （平面应力） （2-2） )1(E22I I v K G J -== （平面应变） （2-3） J 积分断裂准则可表述为:c J J = （2-4）其中，Jc 为裂纹扩展达到临界状态时的J 积分临界值。
弹塑性断裂力学概述及COD理论
指导老师： 王吉会教授
目录
弹塑性断裂力学的提出
弹塑性断裂力学的一种计算方法—— COD理论
对比COD和J积分理论
实际中弹塑性断裂力学的运用
第一章
弹塑性断裂力学的提出
线弹性 断裂力 学
小范围屈 服的金属 材料
脆性材料 高强度钢 大范围屈 服
弹塑性断 裂力学
全面屈服
COD理论与J积分对比
COD理论
计算简单，所得到的一些经 验公式能有效的解决工程实 际问题
在中、低强度钢焊接结构和 压力容器断裂分析中应用广 泛
第三章
J积分理论
计算复杂，但理论更严谨， 直接
已用于发电工业，特别是核 动力装置中材料的断裂准则
实际中的应用： 基于复合梁的钢桥面铺装断裂判 据及疲劳寿命的研究
研究方法
以复合梁为研究对象，从断裂力学的基本理论入手，
通过室内复合梁三点弯曲试验研究桥面铺装复合结构 的COD断裂参数，并建立COD断裂判据；（见论文中 第二章） 利用数值分析方法，选取三种不同复合梁尺寸研究桥 面铺装断裂参数的尺寸效应，并分析COD设计曲线在 铺装安全裕度评价中的应用；（见论文中第三章）
环氧青混凝土低温性能，
同时进行了SMA试件和AC改性沥青混合料试件的对比 试验，试验结果如图2.6
环氧沥青混凝土的塑性特征
根据环氧沥青混凝土的低温
性能可知，它不是一种完全 的弹性变形材料，其断裂特 性随着温度变化会有很大的 不同，并且以5℃为分界点。 因此文中采用弹塑性断裂力 学理论来研究钢桥面铺装的 断裂判据。
研究内容：
钢桥面铺装主要用于提高行车的舒适性和钢桥面 的耐久性，如何延长其使用寿命是钢桥面铺装设计的 重要内容。然而开裂却大大限制了其服役寿命。因此 钢桥面铺装层裂缝的萌生及扩展机理、铺装的剩余寿 命等断裂力学问题成为学术界和工程界关注的焦点。
弹塑性断裂力学
1)回路积分定义，围绕裂尖周围区域的应力、 应变和位移场所组成的围线积分(场强度)。
2)形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对 试样所作的形变功率(实验测定)。
4 J积分
二、J积分回路定义及守恒性
1．J积分回路定义
J Γwdx2Ti u x1i ds
B
G：围绕裂尖一条任意逆时针回 A
2)Paris位移公式
在裂纹面需求张开位移点虚加一对力F1，则
limV
F10 F1 在恒载荷作用下(单位厚度板)
G I V a F V ( F ， F 1 ， ) V 0 ( F ， F 1 ) 0 G I d a
V0(F， F1)为无裂纹体应变能，为裂纹扩展长度
2 基本假定和应用范围
承认结构中含有宏观裂缝，而远离裂缝缝端的广大区域仍假定为均匀连续体。既 均匀性假设仍成立，但仅在缺陷处不连续。断裂力学应用的前提是结构发生低应力脆 断，故其应用范围是，材料本身的微观结构对脆断敏感，且有拉（剪、扭）应力在起 用的带宏观裂缝的缺陷体。可见，断裂力学只处理和裂缝有关的问题，不可代替传统 的强度设计和校核，只是在出现宏观裂缝的条件下对传统理论的补充和发展。
2 裂尖塑性区的形成
➢ 上述塑性区尺寸按Irwin弹性应力 场公式得到， y 0 曲线如右图虚 线ABC所示。实际上，由于材料
y A
塑性变形，导致塑性区内应力重 新分布，产生应力松弛。考虑静
ys D B E
力平衡，应力松弛必然引起塑性
区扩大。对于理想塑性材料
， ymax
ys
如图中实线所示
➢ 根据力平衡，曲线AB下的面积
ys x
塑性区尺寸
R c a a s2 π es c 1 a 2 2 π s 2 π 8 K s I 2
混凝土弹塑性断裂力学概述
混凝土弹塑性断裂力学概述与线弹性体不同的是，当含裂缝的弹塑性体受到外荷载作用时，裂缝尖端附近会出现较大范围的塑性区，线弹性断裂力学将不再适用，而需要采用弹塑性断裂力学的方法。
弹塑性断裂力学的主要任务，就是在考虑裂缝尖端屈服的条件下，确定能够定量描述裂缝尖端场强度的参量，进而建立适合工程应用的断裂判据。
目前应用最广泛的包括裂缝尖端张开位移（Crack Opening Displacement，COD）（Wells，1962）理论和J积分理论（Rice，1968a，b）。
一、Orowan对Griffith理论的改进试验证实，Griffith理论只适用于理想脆性材料的断裂问题，实际上绝大多数金属材料在裂缝尖端处存在屈服区，裂缝尖端也因屈服而钝化，使得Griffith 理论失效。
在Griffith理论提出二十多年之后，Orowan（1948）和Irwin（1955）通过对金属材料裂缝扩展过程的研究指出：弹塑性材料在其尖端附近会产生一个塑性区，该区域的塑性变形对裂缝的扩展将产生很大的影响，为使裂缝扩展，系统释放的能量不仅要供给裂缝形成新自由表面所需的断裂表面能，更重要的是需要提供裂缝尖端塑性流变所需的塑性应变能（通常称为“塑性功”）。
所以，“塑性功”有阻止裂缝扩展的作用。
裂缝扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的“塑性功”称为“塑性功率”，假设用Γ表示，则对金属材料应用Griffith理论时，式（2.4b）和式（2.5）应修正为对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因而γ可以忽略不计，则式（2.33）和式（2.34）可改写为以上即为Orowan把Griffith理论推广到金属材料情况的修正公式。
以上是针对平面应力状态讨论的，当平板很厚时，应视为平面应变状态，只要把上述公式中的E用代替即得平面应变状态下相应的解。
二、裂缝尖端的塑性区金属材料裂缝尖端会形成塑性区，裂缝扩展所需要克服的塑性功在量级上可高达断裂表面能的三个数量级。
弹塑性断裂力学
思考题
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
线弹性的适用范围
测试工作的要求
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
实际材料的应力应变关系-低碳钢
应 力
塑性 应变
载荷增大
线弹性断裂力学的局限性
线弹性的适用范围
线弹性力学是建立在小范围屈服的基础上的
当裂纹尖端的塑性区尺寸比裂 纹尺寸或其它特征几何尺寸小 K主导区
E E 2 平面应变 1
c 8 s a c ln sec 2 E s
D-B模型塑性区宽度：
适用情况：
(1) 无限大板穿透裂纹体； (2) 材料被认为是理想弹塑性材料
R a(sec 1) 2 s
(3) =s, ,不适用于整体屈服 (4) (σ/σs)≤0.6的小范围到大范围屈服。
线弹性断裂力学的局限性
测试工作的要求
在测试材料的KIC时,为保证平面应变和小范围 屈服,要求试样厚度
B ≥ 2.5 K I s
如：中等强度钢 要求B=99mm
2
试样太大，浪费材料 一般试验机很难做到
线弹性断裂力学的局限性
弹塑性断裂力学的提出
对于塑性变形占很 大比重的弹塑性断 裂体的断裂问题 用小试样测试 KIC的问题
a
a*
2V
O O’
ry
原裂尖点处的张开位移就是COD(或）
COD参量及其计算
平面应变 沿y方向的位移 o点的坐标为：
KI V E
2r
sin
2 1 cos 2 2
2
1 r ry 2
KI s
弹塑性断裂力学
A
A
x
R
2a R
2c
COD参量及其计算
利用弹性化理论分析方法证明：
原裂纹尖端的张开位移（COD）
8a s ln sec( )
E
2 s
裂纹开始扩展的临界张开位移：
E E 平面应力
E
1
E
2
平面应变
c
8 sa E
ln
s
ec
2
c s
D-B模型塑性区宽度：
R a(sec 1) 2 s
适用情况：
弹塑性断裂力学
COD方法
J积分方法
阻力曲线等方法
主要内容
线弹性断裂力学的局限性 COD参量及其计算 J积分原理及全塑性解 各断裂参量之间的关系 断裂分析在有限元软件中处理方法 思考题
COD参量及其计算
COD的定义和基本思想 小范围屈服条件下的COD D-B带状屈服模型的COD 全屈服条件下的COD判据
极好的量度。
•英国、日本焊接验收标准 •我国压力容器缺陷验收标准
y R
o
O
a 2 v
COD参量及其计算
COD的基本思想
把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移作为一个参量， 建立这个参量与外加应力（或应变e）和裂纹长度a的 关系，计算弹塑性加载时裂纹尖端的张开位移，然后 把材料起裂时的c值作为材料的弹塑性断裂韧性指标。 利用＝c作为判据判断是够是否发生破坏。
y R
o
O
a 2 v
是裂纹开始扩展的判据,不是 裂纹失稳扩展的断裂判据
应力松弛引起的裂纹体刚度下降与裂纹 长度增加的效果是一样的
COD参量及其计算
小范围屈服条件下的COD
等效裂纹长度 a*=a+ry
断裂力学 弹塑性断裂力学
和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c
c arccos
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
弹塑性断裂力学
《弹塑性断裂力学》一、断裂力学研究现状与进展断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，也是固体力学的新分支，是二十世纪六十年代发展起来的一门边缘学科。
它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。
断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。
它不仅是材料力学的发展与充实，而且它还涉及金属物理学、冶金学、材料科学、计算数学等等学科内容。
断裂力学的创立对航天航空、军工等现代科学技术部门都产生了重大影响。
随着科学技术的发展，断裂力学这门新的学科在生产实践中得到越来越广泛的应用。
断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。
断裂力学的发展主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。
1921年,Griffith用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。
1955年，Irwin用弹性力学理论分析了裂纹尖端应力应变场后提出了对于三种类型裂纹尖端领域的应力场与位移场公式。
弹塑性断裂与脆性断裂不同，在裂纹开裂以后出现明显的亚临界裂纹扩展(稳态扩展),达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏.而脆性断裂无明显的临界裂纹扩展，裂纹开裂与扩展几乎同时发生。
弹塑性断裂准则分为两类，第一类准则以裂纹开裂为根据，如COD准则，J积分准则；第二类准则以裂纹失效为根据，如R阻力曲线法，非线性断裂韧度G法。
1965年Wells在大量实验的基础上，提出以裂纹尖端的张开位移描述其应力、应变场。
1968年,Rice提出了J积分理论.以J积分为参数并建立断裂准则。
弹塑性断裂力学的重要成就是HRR解。
硬化材料I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析是由Hutchinson，Rice与Rosengren(1968)解决的,故称为HRR理论。
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针对平面问题，不计体力，平衡微分方程为
{ 11
A
11 21 12 22 0 0 12 21 x1 x2 x1 x2
ui 2u1 2 u2 2u1 2u2 C Ti x1 dS A [( 11 x12 12 x12 21 x1x2 22 x1x2 )]dx1dx2 1 u1 u1 1 u2 u1 1 u1 u1 [ ( )] 12 [ ( )] 21 [ ( )] x1 2 x1 x1 x1 2 x1 x2 x1 2 x2 x1 1 u2 u2 1 u1 u1 1 u2 u2 [ ( )]}dx1dx2 21 [ ( )] 22 [ ( )]}dx1dx2 x1 2 x2 x2 x1 2 x2 x1 x1 2 x2 x2
(M ) ] 2 f
19
§4.5 J积分的定义和特性
COD准则的优点： 测定方法简单 经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力 容器断裂分析问题 缺点： 不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征 参量. Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电 工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。
Wells e e 2 １ ( ) es es e 1 e １ ( 1) es 2 es
16
§4.4 COD准则的工程应用
实验测定结果：平板穿透裂纹 实际工程构件：压力容器、管道等,必须加以修正 1.鼓胀效应修正 压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外
鼓胀,而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加 应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时， 应在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ.
14
§4.3 全面屈服条件下的COD
高应力集中区及残余应力集中区，使裂纹处于塑性区的 包围中全面屈服. 对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和COD 的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分析的依
据。而需要寻求裂尖张开位移与应变，即裂纹的几何和材料 性能之间的关系.
用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD 2e a 与标称应变 e 的关系曲线。 e s
12
—无限大板的COD利用D－B模型计算结果
D－B模型不适用于全面屈服（ s ）。有限元计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 0.6 时，上式的 s 预测是令人满意的.
D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型.当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间 有着一致性. 将 ln sec(
c
—COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
COD准则需解决的3个问题：
的计算公式; c 的测定; COD准则的工程应用
4
二.小范围屈服条件下的COD
平面应力下
K r 3 v I [( 2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
k
3 1
当＝
r ry 处时
s
经验设计曲线
15
Wells e e 2 １ ( ) es es e e １ es es
Burdekin e e 0.5 ( )2 es es e e 0.5 0.25 es es
JWES 2805 e 0.5( ) es
我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：
K 1 K Ｒ＝ ( I )2 0.318( I )2
s
s
8
Paris位移公式
(1) ( 2)
远场均匀拉应力产生
塑性区分界上的拉应力 s 产生
卡氏定理：物体受一对力作用,力作用点间沿力方向的相对 位移等于应变能对外力Ｐ的偏导数。
U P
引入虚力Ｆ，物体的应变能 U U (a, P, F )
20
J积分的两种定义：
回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所 组成的围线积分。 J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹 性，而且适用于弹塑性。但J积分为一平面积分，只能解决二维 问题。
形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的 形变功率给出。 根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。
又由
2 s 2 c 2 F 1 a [ cos ] [ ] d E 0 F ( 2 a 2 )
当 a 时 K IF 0
K IF
2 s
2a
c arccos( )
2 Fc
2 2
2a
a c
c(c a )
8 s a lnsec( ) E 2 s
) 按级数展开 2 s
8 s a 1 2 1 4 ( ( ) ( ) ......) E 2 2 s 12 2 s
13
远小于 s
8 s a 1 2 2 a ( ) E 2 2 s E s
K I2 K I a , GI ' E
23
C
Ti
ui u u dS (T1 1 T2 2 )dS C x1 x1 x1 u1 u dS ( 12 n1 22 n2 ) 2 dS] x1 x1
[( 11n1 21n2 )
C
[( 11
a* 2 a
18
3.材料加工硬化的修正
考虑材料加工硬化，当 s 200 ~ 400MPa 时，低 1 碳钢取 f ( s b ) 代替 s 。其中 f 为流变应力。
b 为材料的抗拉强度。
2
综合考虑上述3部分内容
D－B模型的计算公式
8 f a* E ln sec[
第四章 弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c
c arccos
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
与积分路径无关的常数。即具有守恒性。
22
闭合回路：ABDEC 在裂纹面上BD、AC上：Ti 0 dx2 0 设 n1 ，n2为弧元dS的外法线元的方向余弦
dx n1 cos 2 dS
dx1 n2 sin dS
微元dS上三角形体元的力的平衡条件
T1 11n1 21n2 T2 12 n1 22 n2 Ti ij ni (i, j 1,2)
Folias分析得到： M 1 a 2
Rt
17
取值如下：圆筒轴向裂纹时取1.61，圆筒环向裂纹 时取0.32，球形容器裂纹时取1.93.
2.裂纹长度修正 压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹. 非贯穿裂纹
K I a
K I a
无限大板中心穿透裂纹
令非贯穿裂纹 K I 与无限大板中心穿透裂纹的 K I 相等，则等效穿透裂纹的长度为
当无裂纹时,D1D2的相对位移为零
U 0 lim 0 F F 0
KIF 与F 正比 limK IF 0
F 0
2 K IF ' lim K IP da E F 0 0 F
—Paris位移公式
11
的计算
K IP K I K I s
其中K I c , K I s
便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之
间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。 主要包括COD理论和J积分理论.
3
§4.1 小范围屈服条件下的COD 一.COD
COD(Crack Opening Displacement) 裂纹张开位移。 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力
2a K I2 GI E E s s s
欧文小范围屈服时的结果 D－B模型的适用条件
4 K I2 4 GI E s s
平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹 引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于 0.6 s 塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）