专题10：数列的极限与函数的导数
极限与函数的导数
极限与函数的导数在微积分学中，极限和函数的导数是两个基础概念。
极限可以用来描述函数在某一点附近的行为，而导数则表示函数在某一点的变化率。
本文将探讨极限与函数的导数之间的关系以及它们在实际应用中的意义。
一、极限的概念极限是描述函数在某一点附近值的性质的概念。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值是否会趋近于某个确定的值。
数学上，我们用极限符号“lim”来表示某个函数在某一点附近的极限。
例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim(x→a)f(x)。
二、导数的定义函数的导数表示函数在某一点的变化率，也可以看作是函数图像的切线斜率。
数学上，我们用dy/dx或f'(x)来表示函数f(x)的导数。
导数的计算可以通过求出函数在某一点的极限来实现。
函数f(x)在x=a处的导数可以表示为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h或f'(a)。
三、极限与导数的关系极限与导数之间有着密切的关系。
实际上，函数在某一点处可导，意味着该点的极限存在。
换句话说，如果函数在某一点可以取导数，那么该点的极限也必然存在。
这一点可以通过导数定义中求极限的过程来理解。
四、导数的应用导数在实际应用中有着广泛的应用。
以下是导数在几个领域的具体应用：1. 科学和工程学中的模型建立：通过利用导数来描述变化率和曲线的斜率，我们可以建立各种科学和工程中的模型，例如物理学中的运动学模型、化学中的反应速率模型等。
2. 经济学中的边际效应：在经济学中，导数用于计算边际效应，即某一决策在单个单位变化时产生的额外效果。
例如，成本函数的导数可以用于计算每一单位产品的成本变化。
3. 优化问题：导数可以用于解决优化问题，例如在工程设计中最小化材料使用量的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的最小值或最大值点。
4. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要量。
通过求取位移函数的导数，我们可以得到速度和通过速度的导数得到加速度。
高中数学中的极限与函数的导数的关系
高中数学中的极限与函数的导数的关系在高中数学中，极限和函数的导数是两个非常重要且关联紧密的概念。
本文将探讨极限和函数的导数之间的关系，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、极限的定义及基本性质极限是数学中描述函数逐渐趋近于某一值的概念。
具体而言，设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
我们用lim┬(x→a)〖f(x)=L〗或f(x)→L(x→a)来表示极限的存在。
极限具有一些基本的性质，包括唯一性、局部性、有界性等。
其中，唯一性表示函数在某一点的极限是唯一确定的；局部性表示函数在某一点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内也存在；有界性表示如果函数在某一点存在极限，则函数在该点附近是有界的。
二、导数的定义及基本性质函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，是微积分中的重要概念之一。
设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
若极限lim┬{h→0}〖(f(a+h)-f(a))/h=A 〗存在，其中A为常数，则称函数f(x)在x=a处可导，并将此极限值A称为函数f(x)在x=a处的导数。
我们用f'(a)或 df(x)/dx|_(x=a)来表示函数f(x)在x=a处的导数。
导数具有一些基本的性质，包括可导的函数必定连续、导函数具有局部性、可加性和乘法常数性等。
这些性质使得导数成为了研究函数变化的有力工具。
三、极限与导数的关系极限和导数之间存在着紧密的联系，在某些情况下两者可以互相推导。
1. 极限与函数连续性的关系根据导数的定义，可知如果函数在某一点可导，则在该点必然连续。
而连续函数的定义也可以用极限来表达。
因此，对于某个区间上的函数，如果它的导数在该区间上存在，则该函数在该区间上一定连续。
2. 导数与函数的极值点的关系函数在某一点处的导数为零，被称为该点的导数为零点。
极限、导数与定积分
( f [ϕ ( x)])′ =
f ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) .
3. 导数的应用 （1）利用导数研究函数的单调性 ①在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) > 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递增.
②在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) < 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递减. （2）利用导数求函数的极值 ①极值的必要条件：若函数 f ( x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则
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数学竞赛与自主招生专题讲义
第 讲 极限、导数与定积分
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
（3）复合函数的导数 设函数 y = f (u ) ， u = ϕ ( x) ，已知 ϕ ( x) 在 x 处可导， f (u ) 对应的点 u （ u = ϕ ( x) ） 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y = f [ϕ ( x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且
第 讲 极限、导数与定积分
a
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
①若 f ( x) 是 [−a, a ] 上的奇函数（如下图左） ，则 ∫ f ( x)dx = 0 ；
x0 x y0 y − 2 =1； a2 b
④设 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px 上一点，则过 P( x0 , y0 ) 的抛物线切线方
程为 y0 y = p ( x + x0 ) .
2. 导数的运算 （1）常见函数的导数公式
① ( kx + b )′ = k ② C′ = 0 ③ ( xα )′ = α xα −1 ④ ( a x )′ = a x ln a ⑤ (log a x)′ = （ k , b 为常数） （ C 为常数） （ α 为常数） ⑥ ( e x )′ = e x
高中数学-极限与导数
1、数列的极限：设有数列12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与常数a ，如果n 无限增大时，n x 无限接近于a ，则称常数a 是数列的{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或 ()n x a n →→∞.例如：1n a n=，则lim 0n n a →∞=；90.99n n a =⋅⋅⋅个，则lim 1n n a →∞=.2、数列的收敛与发散：若一个数列有极限，则称该数列是收敛的；否则称该数列是发散的. 定理：单调有界的数列必有极限. 例如：1n a n =收敛；()11n n a n=-⋅收敛；()1nn a =-发散；n a n =发散.3、函数的极限：设有函数()f x 和常数0,x A ，如果当x 无限接近于0x 时，()f x 无限接近于A ，则称常数A 是函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→. 注：（1）可以用+∞或-∞代替0x ，表示x 无限增大或无限减小时()f x 的极限， （2）函数的极限不一定都存在，例如()11x Qf x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩.4、极限的运算：若()()00lim ,lim xx x x f x A g x B →→==，则 （1）()()()0lim xx f x g x A B →±=±； （2）()()0lim x x f x g x A B →⋅=⋅； （3）()()()0lim 0x xf x AB g x B→=≠. 推论：①()0lim x x cf x cA →=; ②()()0lim nn x xf x A →=.5、夹逼定理（1）数列中的夹逼定理：设*,n n n a b c n N ≤≤∈，且lim lim n n n n a c a →∞→∞==，那么lim n n b a →∞=. （2）函数中的夹逼定理：设函数,f g 与h 在点0x 的近旁（不包含0x ）满足不等式()()()f x h x g x ≤≤如果()()00lim lim x x x x f x g x A →→==，则()0lim x x h x A →=.6、两个重要极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【例1】（1）证明：数列{}n x ：22221111123n x n =+++⋅⋅⋅+是收敛的. （2）证明：数列{}n x ：1111123n x n=+++⋅⋅⋅+是发散的.（1）22022lim 232n n n n n →++++；（2）2222lim 232n n n n n →∞++++；（3）n ；（4）lim n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅；（5）()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.（1）3031lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（2）322lim 2121x x x x x →+∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；（3）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（4）1lim 12xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.一.定义1.函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，01,x x 是其定义域内不同的两点，记()()101000,x x x y y y f x x f x =-=-=+-，则当0x ≠时，商()()00f x x f x yxx+-=称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +或[]00,x x x +的平均变化率.2.设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变()()00y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率()()00f x x f x yx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作()()000lim x f x x f x l x ∆→+∆-=∆或当0x ∆→时，()()00f x x f x l x+∆-→∆.3.函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在点0x 处的导数，并记作()0f x '．这时又称()f x 在点0x 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.如果()f x 在开区间(),a b 内每一点x 都是可导的，则称()f x 在区间(),a b 可导．这样，对开区间(),a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(),a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数． 注：①x 可正可负.②不是所有函数在每一点都有导数，例如：()f x x =，()11x Qf x x Q∈⎧=⎨-∉⎩.【例4】用定义求下列函数的导函数：（1）()f x c =（c 为常数）；（2）()f x kx b =+（,k b 为常数）；（3）()sin f x x =；（4）()cos f x x =；（5）()ln f x x =.【例5】若函数()f x 在R 上可导，且()'21f =，则()()222lim2h f h f h h→+--=__________.【例6】己知()f x 在0x 处可导，则()()220003limh f x h f x h h→+--=____________．二.导数的运算法则1.()'''f g f g +=+.例如：()2sin '2cos x x x x +=+.2.()'''f g f g fg ⋅=+.例如：()()()22222'''213x x x x x x x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=.3.2'''f f g fg g g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例如：2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【例7】求下列函数的导函数：（1）cos ln y x x =+；（2）sin y x x =；（3）1y x x=+；（4）tan y x =；（5）21xy x =+；（6）sin ln y x x x =⋅⋅.4.若函数()u g x =与函数()y f u =均可导，则复合函数()()y f g x =可导，且xu x y y u '''=⋅，或记成dy dy dudx du dx=⋅．【例8】求下列函数的导函数：（1）()()221f x x =+；（2）()2sin f x x =；（3）()()2ln 23f x x x =++；（4）()()sin f x a bx c =+；（5）()()22cos 253f x x x =++；（6）()()2sin sin f x x =.【例9】已知函数()()()()12100f x x x x =--⋅⋅⋅-，则()'1f =__________.【例10】证明：若f 是一个恒取正值的可导函数，则()()()()'ln 'f x f x f x =.【例11】求下列函数的导函数：（1）()af x x =，()0x >；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()()g x y f x =，()f x 在它的定义域上恒有()0f x >；（4）()()cos sin xf x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（5）()xx f x x =，()0x >5.设()y f x =在包含0x 的区间I 上连续且严格单调，如果它在0x 处可导，且()0'0f x ≠，那么它的反函数()1x f y -=在()00y f x =处可导，且()()()11''fy f x -=.【例12】求下列函数的导函数：（1）()af x x =；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()arcsin f x x =；（4）()arctan f x x =；6.高阶导数设函数f 在区间I 上可导，那么()()'f x x I ∈在I 上定义了一个函数'f ，称之为f 的导函数.如果'f 在区间I 上可导，那么'f 的导函数()''f ，记为''f 称为f 的二阶导函数.一般的，对任何正整数n N +∈，可以定义f 的导函数()n f .（Leibniz ）设函数f 与g 在区间I 上都有n 阶导数，那么乘积fg 在区间I 上也有n 阶导数，并且()()()()0nn n k kk n k fg C f g -==∑，这里()()00,f f g g ==.【例13】求下列函数的n 阶导函数：（1）()xf x e λ=；（2）()2cos f x x x =（3）()n xf x x e =；【习题1】求下列函数的极限 （1）22251lim 1n n n n →∞+++；（2）220251lim 1n n n n →+++；（3）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（4）211lim 31x x x x→---+；（5）201cos lim x xx →-.【习题2】求下列函数的导数（1）5432()5432f x x x x x x =++++；（2）31()f x x =；（3）()ln f x x x =；（4）()3()2f x x =+；（5）1()f x x=；（6）()3()sin 2f x x =+；（7）()ax bf x cx d+=+；（8）()tan ln x f x a bx c dx =+；（9）sin ()xx xf x e =；（10）()f x【习题3】 求()()cos n x e x 和()()sin n x e x .【习题4】若()f x 是定义在R 上的偶函数，且()'0f 存在，则()'0f =___________.【习题5】设()02f x '=，则()()000limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【习题6】设函数()12sin sin2sin n f x a x a x a nx =++⋅⋅⋅+，其中12,,,,n a a a R n N +⋅⋅⋅∈∈. 已知对一切x R ∈，有()sin f x x ≤，证明：1221n a a na ++⋅⋅⋅+≤.。
数列和函数的导数
数列和函数的导数导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在数学中，我们经常使用导数来研究数列和函数的性质。
本文将深入探讨数列和函数的导数，并介绍一些相关的概念和方法。
一、数列的导数数列是由一系列有序的数按照规律排列而成的序列。
对于数列中的每一个元素，我们可以计算其相邻两项之差，称为差分。
差分表示了数列的递推关系和变化趋势。
对于数列{an}，如果其相邻两项之差始终趋近于一个常数，即存在一个常数k，使得an+1 - an = k，那么我们称数列{an}是等差数列。
等差数列的导数为常数k。
同样地，如果数列{an}的差分an+1 - an 的极限存在，那么我们称这个极限为数列{an}的导数，并用an'表示。
数列的导数表示了数列的变化率和变化趋势。
二、函数的导数函数是一种将自变量映射到因变量的关系。
对于函数f(x)，我们可以通过求取其导数来描述函数在某一点的变化率。
函数的导数可以用以下两种方式表示：一阶导数和高阶导数。
一阶导数表示了函数在某一点的切线斜率，表示为f'(x)或df/dx。
高阶导数表示了函数的变化率变化率，表示为f''(x)、f'''(x)等。
使用导数的定义来计算函数的导数是一种常见的方法。
根据导数的定义，函数f(x)在点x处的导数可以表示为极限lim(x->a)[f(x) - f(a)]/(x- a)，其中a为x的一个邻近点。
另一个常用的方法是使用导数的性质和求导法则来计算函数的导数。
一些常见的求导法则包括：常数规则、幂函数规则、和差规则、乘积规则和商规则等。
通过运用这些规则，我们可以更便捷地计算函数的导数。
函数的导数在数学中具有广泛的应用。
它可以用来求解函数的极值、判断函数的增减性、研究函数的曲线形状等。
导数在物理学、经济学等领域也有着重要的应用价值。
三、数列和函数的关系数列和函数之间存在着密切的联系。
实际上，数列可以看作是一种特殊的函数，即定义域为自然数集的函数。
极限和连续、导 数
【极限和连续】解决两个问题：○1如何求极限；○2如何解读、应用极限 （一）数列极限1、常用数列的极限：①lim n →∞C=C （常数列的极限就是这个常数）②1lim0n n→∞= ③设||1q <，则lim 0n n q →∞=；1,lim 1nn q q →∞==；,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。
其它不数列常常通过以下方式：○1分子分母同时除以n 的最高次项（最该次项系数比）；○2分子分母同时除以 |底数|大的，从而产生设||1q <，则lim 0n n q →∞=进行应用； ○3分子分母有理化 ○4若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为： 2、数列极限的运算法则：如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么见右上注意：数列极限运算法则运用的前提:(1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能直接运算，应该先华无 限为有限。
如：数列求和等。
【典型题目】1、求极限：○1n n n n 2312lim 22++∞→= ； ○2 22322lim n n n n n→∞+++= ○3135(21)lim 2462n n n →∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_____ ○4lim n →∞(3221n n --2)21n n =+ ○5 1123lim 23n n n n n --→∞-=- ○6)n n →∞= 2、s 表示(12)n x +展开式中各项系数和，t 表示(13)nx +的二项式系数之和，则._____lim =+-∞→ts ts n3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2lim nn S n →∞=4、n a 是(1)nx +展开式中含2x 的项的系数，则)111(lim 32nn a a a +⋅⋅⋅++∞→等于 【函数极限】：分清楚类型1、lim ()x f x →+∞、lim ()x f x →-∞、lim ()x f x →∞的理解；lim ()lim ()lim ()x x x f x a f x f x a →∞→+∞→∞=⇔==、（存在且相等）思考：“lim ()x f x →+∞存在且lim ()x f x →-∞存在”是“lim ()x f x →∞存在”的什么条件？（必要不充分）求法：数列极限是函数极限的特殊情况，所以数列极限求法相似可以类推到函数极限中，但是也得注意函数极限的一般性，如：lim 2xx →∞、1lim()2x x →∞、小心lim xx a →∞2、0lim ()x x f x →、0lim ()x x f x +→、0lim ()x x f x -→的理解；000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==、（存在相等）求法：代入求值，如果代入分母出现零因式，一般通过因式分解把零因式约掉，在从新代入；（洛比达法则）：00//()()lim lim ()()x x x x f x f x g x g x →→== 到无零因式为止，在代入求极限。
高中数学知识点归纳数列与函数的极限
高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。
本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。
1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。
简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。
1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。
换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。
二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。
函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将介绍函数的极限的概念。
2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。
2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。
导数与函数的数列极限与级数
导数与函数的数列极限与级数在微积分学中，导数与函数的数列极限与级数是两个核心概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而数列极限与级数则涉及了数列和无穷级数的性质与收敛性。
本文将深入探讨这两个概念以及它们之间的关联。
一、导数与函数导数是描述函数变化率的概念。
对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数用f'(x)或dy/dx表示，表示函数在该点的瞬时变化率。
具体地，导数可以通过函数的极限来定义。
对于函数f(x)，x的增量为Δx时，其相应的函数增量为Δy=f(x+Δx)-f(x)。
当Δx趋近于0时，如果这个极限存在，就称函数在x处可导。
此时，导数f'(x)等于这个极限值。
导数的存在保证了函数在某一点的光滑性，反映了函数在该点的局部变化情况。
导数在数学和物理中都有广泛的应用，例如曲线的切线斜率、速度和加速度等。
通过导数的计算，我们可以推导函数的最值、拐点和凹凸性等重要信息。
二、函数的数列极限与级数数列极限是数列中每一个项趋近于某个值（可以是实数、无穷大或无穷小）的过程。
如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，数列的项a_n与极限L的距离小于ε，则称该数列收敛于L，记作lim(a_n)=L。
数列极限的性质包括唯一性、有界性和保号性等。
此外，数列的收敛性还可以通过逐项比较判别法、夹逼准则和拉链定理等方法来判断。
级数是由数列的项所组成的无穷和。
设有数列a_n，级数S_n=a_1+a_2+...+a_n。
如果数列S_n的部分和有极限，即lim(S_n)=S存在，则称级数收敛于S。
否则，级数发散。
常见的级数包括等比级数和调和级数。
等比级数是由等比数列的项所组成的级数。
当公比|r|<1时，等比级数收敛于a_1/(1-r)；当|r|>=1时，等比级数发散。
调和级数是由倒数数列的项所构成的级数。
调和级数发散，即无穷大。
三、导数与数列极限和级数的关联导数与数列极限和级数之间存在着紧密的联系。
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1) 是常数）,2) ,3) .
(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
）。（Ⅰ）用 和 表示 ；（Ⅱ）当 时，
求 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求 的取值范围。
【例５】过点（2，0），求与曲线 相切的直线方程。
【例６】（2004全国卷二，22）已知函数 ， 。
（Ⅰ）求函数 的最大值；
（Ⅱ）设 ，证明 。
【例７】（2004广东卷，21）设函数 = ，其中常数 为整数。
（Ⅰ）当 为何值时， ；
3，无穷等比数列的公比 ，当| | 1时，各项的和 及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列 （ ）的公比 ，且 = ，则
【分析】 数列 是首项为 ，公比是 的等比数列，∴ = = ，解得 =2。
4，当且仅当 时， ， 时 可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( )
（Ⅱ）定理：若函数 在[ ]上连续，且 与 异号，则至少存在一点 使 。试用上述定理证明：当整数 时，方程 =0，在[ ]内有两个实根。
【例８】溶液自深18 ，顶直径12 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10 的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12 时，其水平下落的速度为1 ∕ ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？
【经典题例】
【例１】求下列数列的极限：
（１） ；（２） （ ）；
（３） ；
（４）已知 ，数列{ }满足 ，若{ }的极限存在且大于零，求 的值。
【例２】求下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）
【例３】求下列函数的导函数：
（１） ＝ ； （２） ＝ ；
（３） ＝ ； （４）已知 ＝ ，求 。
【例４】设 （ ）， （ +
= = 。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
（2004年广东,4） …+ )的值为…（）
（ ）-1（ ）0（ ） （ ）1
【分析】这是求无穷项的和，应先求前 项的和再求极限 = ，∴原式= =-1，故选 。
（A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-19
9、 、 分别是定义 上的奇函数和偶函数。当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ）
（ ）（-3，0） （3， ）
（ ）
10、三次函数 = 在[1，2]内恒为正值的充要条件为…………（ ）
（ ） ；
二、填空题：
11、曲线 与 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答）；
（ ）0 1 -1；
6、设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
7、函数 有极值的充要条件是……………………………（ ）
（ ） （ ）
8、(2004江苏卷，10)函数 在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………（ ）
【分析】 ，
∴ 在（ ， ）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
12、 ，则 ；
13、已知 是 的一个三次多项式，若 = =1，
则 =
14、如图， 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得图形 ，然后剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形 ， ，……， ，……，记纸板 的面积为 ，则 =
三、解答题：
15、已知函数 在定义域 上可导，设点 是函数 的图象上距离原点0最近的点。
【热身冲刺】
一、选择题：
1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（ ） ； ；
； 。
2、已知 ，则常数 的值为…………………………………（ ）
（ ） ；
3、 ]的值是………………………………………………（ ）
不存在；
4、若 在点 处连续，则 （ ）
5、若 为偶函数，且 存在，则……………………（ ）
( )若 ,则 ， 若 ,则 ， 若 ,则 ，(D)若 ,则 。
【分析】 ( )中 无定义，（ ）中 无定义，而(D) ， ，故 是正确的。
5，函数 在 处连续是指 ，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如 在（ ， ）处的导数存在吗？为什么？
专题十：数列的极限与函数的导数
瓶窑中学 童国才
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对 、 、 、 型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14） =
【分析】这是 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故