微专题----函数单调性常见题型及解题方法总结-教师版
则有g（0）＝0；
又由对任意0≤x1＜x2时，有 1，
则 1，
∵ 1，
∴ 1＜0，
即g（x）在[0，+∞）上为减函数，
∵g（x）是奇函数，
∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，
∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；
g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，
7．已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数 ，原不等式等价于 两次求导可证明 在 上递减，从而可得结论.
【详解】
由题意， ， ，
设 ，
，
设 ，
，
在 单调递减，且 ，
,
所以 在 递减，
，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出 ；（2）令 求出 的范围，可得增区间；（3）令 求出 的范围，可得减区间.
16．下列命题：①集合 的子集个数有 个；②定义在 上的奇函数 必满足 ；③ 既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与 轴相交；⑤ 在 上是减函数，其中真命题的序号是______________（把你认为正确的命题的序号都填上）.
【答案】①②
【解析】
①集合 的子集个数有 个，①正确；②定义在 上的奇函数 其图象关于原点对称，故必满足 ，②正确；③ ，其图象关于 轴对称，是偶函数，③错误；④ 的图象与 轴没有交点，但它是偶函数，④错误；⑤取 ，虽然 ，但 ，不符合减函数定义，⑤错误，故答案为①②.
A．（-∞，-2）∪（2，+∞）B．（-∞，2）∪（0，2）
C．（-2，0）∪（2，+∞）D．（-2，0）∪（0，2）
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性与单调性，结合函数图象求解即可.
【详解】
为奇函数，且在 内是减函数，
所以函数在 上单调递减．
，
故函数 的图象如图所示：
则由 ，可得 ，
即 和 异号，
【详解】
注意到 ， ，且 ，
据此可得： ，
函数为偶函数，则： ，
由偶函数的性质可知：函数在区间 上单调递减，
故 ，即 .
故选D.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．设 为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（2）=0，则 的解集为（ ）
6．已知 是定义在 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，记 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，则
所以函数 在 上单调递减，因为 是定义在 上的奇函数，所以 是定义在 上的偶函数，因此 ， ， ，即 ，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
3、函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数 分别在 和 内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即 内是单调递减的，只能说函数 的单调递减区间为 和 。即：多个单调区间之间用“和”或“，”，不能用“ ”。
【对勾函数】
一.对勾函数 的图像与性质：
1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）
3．已知函数 ,且 ,则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式求出函数的定义域，设g（x）＝f（x）﹣1，分析可得g（x）为奇函数且在（﹣1，1）上为增函数，据此f（a）+f（a+1）＞2⇒ ，解可得a的取值范围，即可得答案．
【详解】
根据题意，函数f（x）＝ln x+1，有 0，解可得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个
“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心
对称，即
4.图像在一、三象限, 当 时， 2√ab（当且仅当 取等号），即 在x= 时，取最小值
由奇函数性质知：当x<0时， 在x= 时，取最大值
5.单调性：增区间为（ ），（ ）,减区间是（0， ），（ ,0）
13．已知函数 是定义在R上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，实数 满足 ，则 的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意得 ，结合偶函数的单调性和对称性，可把不等式转化为 ，然后得到 ，解不等式可得所求最小值．
【详解】
依题意知 的图象关于 轴对称，且有 ．
因为偶函数 在 上是单调递增的，
【详解】
，
，
是奇函数，且 ，
又 ，
，
，
在 上递增题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题.解决抽象不等式 时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数 的单调性．若函数 为增函数，则 ；若函数 为减函数，则 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键构造新函数g（x）＝f（x）﹣1，属于中档题．
4．已知 是定义在R上的偶函数，且在 上是增函数，设 则 的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间 上的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小即可.
【答案】 ；
【解析】
因为函数 在 上是减函数，所以 ①，又因为 在 上是减函数，所以 ，解得 ②，综合①②得 ，故填 .
15．已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若 ，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为 求解即可.
微专题----函数单调性常见题型及解题方法总结
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【特别提醒】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.
2.“对勾函数”y＝x＋ (a>0)的单调增区间为(－∞，－ )，( ，＋∞)；单调减区间是[－ ，0)，(0， ].
当 ， 也是增函数，所以 即 （舍）
或 ，解得 且
因为 是 上的增函数，所以 即 ，解得 ，
综上
【点睛】
本题以分段函数为背景考查函数的奇偶性，解题的关键是既要在整个定义域上是增函数，也要在各段上是增函数且
12．已知函数 是奇函数，且 时，有 ， ，则不等式 的解集为____．
【答案】
【解析】
【分析】
则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），
∵g（x）是减函数，
∴0≤x≤2，
即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；
故答案为：[0，2]．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．
【判断函数单调性方法技巧】
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．（在区间 内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则 ，
【详解】
令 ，求得 ，
故函数的定义域为 ，且 递增，
只需求函数 在定义域内的减区间．
由二次函数的性质求得 在定义域内的减区间为 ，
所以函数 的减区间是 ，故选B．
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.
10．设定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件构造函数F（x） ，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】
设F（x） ，
则F′（x） ，
∵ ，
∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．
∵
∴ ，即F（x）＜F（2x ）
∴ ，即x＞1
所以由 ，得 ，
即 ，解得 ，
所以 的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题时可把函数值的大小的问题转化为变量到对称轴的距离的问题求解，利用数形结合进行解题是解答本题的关键和突破口，属于基础题．
14．若 与 在区间 上都是减函数，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为 ，根据二次函数和分式的单调性可求得 在 上的最小值和最大值及 在 上的最大值；分别讨论 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.
【详解】
不等式 恒成立可转化为：
函数单调性在高考中的应用归纳总结教师版
函数单调性在高考中的应用归纳总结函数在高考的考查方式以图像和性质为主，而单调性作为核心考点，考查的方式多种多样，综合性比较强.研究单调性常用的四种方法：①定义法：做差比较；②复合法：同增异减；③利用导数判断的单调性；④图像法：作图研究单调性.题型一、求函数单调区间例1.试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性.【解析】f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，当a >0时，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增.例2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． 【解析】设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．例3.求下列函数的单调区间．(1) f (x )＝|x 2＋2x －3|； (2)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【考点】利用函数性质画绝对值函数图形 【解析】(1) 令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得： 函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(2)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．变式训练1、函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为【解析】由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∪⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)．则y ＝12log t ， ∪t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18，∪t ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∪函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．变式训练2、设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A .⎝⎛⎭⎫－π2，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，π3 C.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 D.⎝⎛⎭⎫π2，π 【解析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，f (x )的最小正周期T ＝2π|ω|＝π，又ω∈(－3，0)，所以ω＝－2，所以f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2<2x －π6<2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<x <k π＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－π6，π3.故选B . 题型二、参数取值范围例1、若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的取值范围是________ 【解析】由2k ＋1＜0，得12k ＜-，答案⎝⎛⎭⎫－∞，－12例2、如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是_____．【解析】当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.例3、函数1()2ax f x x +=+在(2)--∞，上为增函数，求实数a 的取值范围 【解析】1(2)1212()222ax a x a af x a x x x +++--===++++在(2)--∞，上为增函数 易知120a -＜，得12a ＞例4、若指数函数()21xy a =-在x R ∈上是减函数，则a 的取值范围是【解析】由0a 2＜-1＜1，得a ∈⋃（）（例5、（I ）函数212()log (23)f x x ax =-+在(,1]-∞为增函数，则实数a 取值范围(II)2a y log ax =-()在0,1[]上是减函数，求a 的取值范围 【解析】（I ）不妨令223t x ax =-+∪12log y t =在定义域上是减函数又∪212()log (23)f x x ax =-+在(,1]-∞为增函数∪223t x ax =-+在(,1]-∞内是减函数且0t ＞恒成立 ∪1min 111111200012302x a a a a a a t t t a a =≥≥≥≥≥⎧⎧⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⇒≤⎨⎨⎨⎨⎨-+⎩⎩⎩⎩⎩＜＞＞＞＞＜ （II ）不妨令2t ax =-，则log a y t =∪a 0a ≠＞且1∪2t ax =-在0,1⎡⎤⎣⎦上是减函数且0t ＞恒成立∪min1111(2)02020a a a a -ax -ax -a ⎧⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎩⎩＞＞＞＜＜2＞＞＞ 例6、若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) 【解析】∪f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∪当x －π4∪⎣⎡⎦⎤－π2，π2，即x ∪⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减， ∪⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a ]∪⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∪a ≤3π4，即a max ＝3π4.例7、已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∪该函数在(－∞，0]上单调递减， ∪x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∪－x 2－2x ＋3<3，∪f (x )在R 上单调递减， ∪由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∪2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∪2(a ＋1)<a ，∪a <－2，∪实数a 的取值范围是(－∞，－2)．例8、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．【解析】作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.例9、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨⎩＞是R 上的减函数，求实数a 的取值范围 【解析】∪(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+≤⎧=⎨⎩＞是R 上的减函数 ∪1log a y x =在1x ＞上单调递减，即01a ＜＜ ∪2(31)4y a x a =-+1x ≤上单调递减，即310a -＜，13a ＜∪ 且211()()31417min maxa y y a a log a ≥⇒-+≥⇒≥ ∪综合∪∪∪知，1173a ≤＜ 例10、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的范围是【考点】绝对值与一次函数相结合的单调性 【解析】2,()22,ax ab x b f x a x b ax ab x b-+≥⎧=-+=⎨-++⎩＜∪函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，∪00a b ≤＞且例11、已知函数()(0a f x x x x=+≠，)a ∈R ,若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围 【考点】对勾函数的单调性 【解析】（i ）0a=，()f x x =，在R 上递增，符合（ii ）0a ＜，根据性质：增+增=增，易知()f x 在)+∞（0，递增，符合（iii ）0a ＞24a ≤⇒≤∪04a ≤＜综上知4a ∈（－∞,）例12、已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ，若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围【解析】设122x x ＜＜2212121212121212()()[()]a a x x f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=+-∪函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∪12()()0f x f x -≤，又∪12x x -＜0，124x x ＞即1212()a x x x x +＜，又∪124x x +＞∪1212()16x x x x +＞ ∪16a ≤题型三、利用单调性解不等式例1、函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的范围是【考点】抽象函数的单调性在解不等式方面的应用【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.例2、已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________． 【解析】由题意知，f (－x )＋f (x )＝2， ∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )， 又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 例3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是____【解析】∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0， ∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， ∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1例4、已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为 【解析】依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立， 等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立， 等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)， 当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )m ax ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a >134 例5、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1，若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立． 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性质。
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1$、＄x_2$，当$x_1 ＜x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就称函数在这个区间上是增函数（或减函数）。
例如，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$（＼infty, 0)＄上是减函数，在区间$（0, ＋＼infty)＄上是增函数。
二、判断函数单调性的方法1、定义法设$x_1$、＄x_2$是给定区间上的任意两个自变量的值，且$x_1 ＜x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＄，若$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上是增函数；若$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上是减函数。
例 1：判断函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的单调性。
解：设$x_1$，＄x_2$是区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的任意两个实数，且$x_1 ＜ x_2$。
则$f(x_2) f(x_1) ＝（2x_2 1) （2x_1 1) ＝ 2(x_2 x_1)＄因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 x_1 ＞ 0$，＄2(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$。
所以函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上是增函数。
2、导数法对于可导函数，如果其导数$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上是增函数；如果$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上是减函数。
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性1判断函数y=x-x 1在其定义域上的单调性。
2讨论并证明y=x+x 1在定义域上的单调性。
3定义在R 上的函数f （x ）对任意不相等实数a ，b 总有()()ba b f a f -->0成立，则必有 A 、函数f （x ）是先增加后减小B 、函数f （x ）是先减小后增加C 、f （x ）在R 上是增函数D 、f （x ）在R 上是减函数4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ）5已知函数),0(,)(2+∞∈++=x c bx x x f 是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,<b D 6已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
题型二 抽象函数的单调性1、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x), 求x 的取值范围.2 、f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f （8（x —2））的解集是A 、（2，716）B 、（—∞，716）C 、（2，+∞）D 、（2，716）题型四 用图形讨论函数单调性1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。
2画出函数223.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间3画出函数y=|x|的图像，并判断其单调性。
4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。
题型五 基本初等函数的单调性问题1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，02．函数f （x ）=—x 2+2（a —1）x+2在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是A 、a ≥5B 、a ≥3C 、a ≤3D 、a ≤—53.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ）A.25a ≤ B.25a ≥ C.25a ≥或0a = D.0a ≤3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，则m 的取值范围是（）A 、(]4,0B 、[]4,2C 、(]2,0D 、()4,24.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ） A 、00<>a b 且 B 、02<=a b C 、02>=a b D 、的符号不确定b a ,5.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞7.已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =_____________8.函数]1,1[)20(32-<<++=在a ax x y 上的最大值是 ，最小值是 . 9.函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-<≤=⎨+-≤≤⎩的值域为_______________________ 10.函数212+=x y 的值域为______________________. 11．已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值是类型四 解答题1.已知函数y =(0)a <在区间(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围.2.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .（1）求)(x f 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围.3.已知函数2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4.已知函数2()(2)f x x a x b =+++满足2)1(-=-f ；（1）若方程()=2f x x 有唯一的解；求实数b a ,的值；（2）若函数()f x 在区间[]-22，上不是单调函数，求实数a 的取值范围5.已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==。
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。
函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。
客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。
题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。
一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。
函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。
知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。
注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2.函数的单调区间必须是定义域的子集。
3.定义有两种变式。
问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2）函数的单调区间必须是定义域的子集。
3）定义有两种变式。
2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。
知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。
2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。
f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。
函数的单调性-知识点与题型归纳
1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么①1212()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法(1) 定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．(2) 导数法:设函数y ＝f (x )在某区间D 内可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．注意：(补充)（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 内为增函数； 如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0，则()1f x 为减(增)(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合函数f [g (x )]为增函数；若f (x )、g (x )的单调性相反，则其复合函数f [g (x )]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．二、例题分析：（一) 函数单调性的判断与证明判断下列说法是否正确(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．()(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．()(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．()答案：√×√例1.(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A.例2.判断函数f(x)＝axx＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．法一：定义法设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x1＋1－ax2x2＋1＝ax1x2＋－ax2x1＋x1＋x2＋＝a x1－x2x1＋x2＋∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1求函数y＝x－|1－x|的单调增区间y ＝x －|1－x |＝⎩⎨⎧1，x ≥1，2x －1，x <1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.求函数y ＝log13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解析:令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0.则x <1或x >3.∴函数y ＝log13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．注意：求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.（2）(补充)21122log4log⎛⎫=-⎪⎝⎭y x x答案：增区间：1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭；减区间：10,4⎛⎫⎪⎝⎭练习:()222log log y x x =-答案：增区间：)+∞；减区间：( （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0【规范解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.例1.（2）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)【规范解答】作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例 1.已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数x 1≠x 2，都有1212()()0-<-f x f x x x 成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2【规范解答】函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138.例2.(1) （补充）如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间 (－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－14，0] [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上所述－14≤a≤0.例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞)[答案] C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a 时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，则a的取值范围是？[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分． 本例亦可用x ＝±2是方程f ′(x )＝3x 2－6a ＝0的两根 解得a ＝2.例2.(3) （补充） 若函数)2,3()(log )(321---=在ax x x f 上单调递减， 则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27]答案：A温故知新P23 第9题若函数()()212log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是8、设函数()12+=+ax f x x a在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值范围是答案: [)1,+∞ 10、设函数()()=≠-x f x x a x a（2）若0>a 且()f x 在区间()1,+∞内单调递减, 求a 的取值范围.答案: [)1,+∞（五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f (x )为R 上的减函数，那么满足 f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：C解析：因为f (x )为减函数，f (|1x |)<f (1)，所以|1x|>1，则|x |<1且x ≠0，即x ∈(－1,0)∪(0,1)．练习：()y f x =是定义在[]1,1-上的增函数， 解不等式2(1)(1)f x f x -<-答案：()0,1注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解例2.函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y，当1>x 时，有()0>f x 。
第08讲 函数的单调性(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第8讲：函数的单调性一、课程标准1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.掌握求函数的单调性的方法·3.能处理函数的最值问题。
二、基础知识回顾1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数；f()x1－f()x2x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反；(4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 三、自主热身、归纳总结1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12.故选B. 3、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D ) A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.4、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．5、已知函数2()361f x x x =--，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13a =【答案】ACD ．【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=--⨯⨯-=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确；令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==--=--． 当1a >时，1t a a，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =--=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a ，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=--=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(－∞，1－2)，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别7、已知f(x)＝xx －a (x≠a)，若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(0，1]【解析】 任设1＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1） （x 1－a ）（x 2－a ）. ∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f(x 1)－f(x 2)＞0，只需(x 1－a)(x 2－a)＞0恒成立．∴a≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]．8、函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3]【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1<x <2. 如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．三、例题选讲考点一 函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间 (1)y ＝－x 2＋2|x|＋1； (2)f(x)＝x 2－2x －3； （3）212log (32)y x x =-+【解析】(1)由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]， [1，＋∞)．(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－2x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)． (3)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1)D.(－3，－1]212log (32)y x x =-+212log (32)y x x =-+【答案】C【解析】令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1).变式3、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12【解析】 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 考点二 复合函数的单调区间例2、（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)【答案】D【解析】函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．变式1、函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12C.(－2，3)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞【答案】 A【解析】 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
函数单调性方法和各种题型
函数单调性奇偶性方法和各种题型总结一、单调性总结：(一)判断函数单调性的基本方法Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。
例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数例3：y＝|x2＋2x－3|练习：(二)函数单调性的应用Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论：（1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。
（2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。
例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题：1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在[a,b]上的最小值是 ( )2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )3、()有函数13+--=x x y存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4-44-0044、](()()的值域为时，函数当1435,02+-=∈x x x f x()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、求函数y=-x-6+ 的值域x -1Ⅱ、利用函数单调性求单调区间1、()________..62是的单调区间函数-+=x x x f2、()的递增区间是函数245x x y --=](][][)[∞+∞∞、、、、、、、、11-2-2--2--D C B A3、函数的增区间是（ ）。
(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳
利用导数求函数单调性题型全归纳一.求单调区间二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2()2ln 0xg x a a '=+>所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()xf x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()xf x e a =-，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0xf x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0xf x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032f f <，又*a N ∈，解得：5542a <<，所以正整数a 的取值集合{2} 三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln xf x ax x，若函数()y f x 在1（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x在1（，）上是减函数所以'2ln 1()0(ln )x f x ax 在1（，）上恒成立，即2ln 1(ln )x ax 在1（，）上恒成立令ln ,(1)t x x ，则0t，21()(0)t h t t t ，则max ()ah t因为222111111()=()()24t h t t t tt，所以max 1()=(2)4h t h ，所以14a 变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x 在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)上为增函数，试求实数a 的取值范围.解：2'()=1f x x ax a因为函数()yf x 在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)上为增函数所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x，恒成立，即2210(1,4)10,(6,)x ax a x xaxa x，所以2211,(1,4)111,(6,)1x ax x x x ax xx ，所以4161a a，所以57a四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x且时，比较x e 与221x ax 的大小关系.解：令2()21(0)x f x e x axx，则'()=22xf x e x a令'()()g x f x则'()e 2xg x ，令'()0g x 得：ln 2x当ln 2x 时，'()0g x ；当ln 2x时，'()0g x所以ln2min ()()=(ln 2)2ln 2222ln 22g x g x g e aa极小值，因为ln 21a，所以'()()0g x f x ，所以()f x 在0（，）上单调递增 所以()(0)0f x f ，即2210xe x ax ，所以221xe x ax变式：对于R 上的可导函数()y f x ，若满足'(3)()0xf x ，比较(1)(11)f f 与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0xf x所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f > 当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kxG x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k 上单调递增当1()x k ∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >=即()()f x g x >，综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 变式：已知关于x 的方程2(1)xx e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+证明：因为2(1)xx e ax a --=，所以2(1)1x x e a x -=+，令2(1)()1x x e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减，当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增 因为关于x 的方程2(1)xx e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、 所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞，要证：120x x <+，只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x ，所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0xxx e x e---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x xx x e x e -=--+，0x ∈-∞（，），则g ()()xx x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，），所以0xx e e -->所以g ()()0xx x x ee -'=-<恒成立所以g()(1)(1)xxx x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减，所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()xf x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)xxxxf x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -=，所以：=3a a e令()3(2)ag a e a a =->，则'2()31310ag a e e =->-> 所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增，又2(2)320g e =-> 所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点，即方程=3aa e 无解 综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可 又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 变式：已知函数()ln()(0)x af x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值. 解：1()=x af x ex a -'-+，令()()g x f x '=，则21()=0(x ag x e x a -'+>+） 所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增，所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a -=-=+，即001=x a e x a -+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x af x f x ex a -==-+，由001=x aex a-+得：00=ln()x a x a --+所以0min 00001()()ln()=x af x f x ex a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件，所以12a = 八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e解：令()()xxg x e f x e =-，则()()()(()()1)xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+- 因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，所以()0g x '>， 所以()y g x =为R 上的单调递增函数，又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>xxe xf e 即()1xxe f x e ->，所以()(0)g x g >，所以0x > 即不等式：1)(+>xxe xf e 的解集为0+∞（，） 变式：已知定义在R 上的可导函数()yf x 满足'()1f x ，若(12)()13f m f m m ，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =-，则()()1g x f x ''=-，因为'()1f x所以()()10g x f x ''=-<，所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m ，得：(12)()f m m f m m （1-2)>即(12)()g m g m ->，所以12m m ->，即13m < 九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围. 解： '2()21f x x x a =--+，因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2(0)1=0f a=-，即2a =，检验知2a =符合题意. 令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln 3]--（， 变式：已知函数()y f x 是R 上的可导函数，当0x时，有'()()0f x f x x，判断函数13()()F x xf x x的零点个数 解：当0x时，有'()()f x f x x，即'()()xf x f x x令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >， 所以当0x >时，13()()0F x xf x x恒成立，函数()y F x 无零点当0x <时，'()()()0g x xf x f x ，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立所以13()()F x xf x x在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ，所以13()0F x x当x →-∞时，10x，所以()()0F x xf x所以13()()F x xf x x 在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合. 变式：已知函数ln(2)()x f x x=，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围.解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2ex = 所以当02ex <<时，()0,()f x f x '>单调递增当2ex >时，()0,()f x f x '<单调递减由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（1） （2）（4）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解，所以()f x a >-有两个整数解，因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减 所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =，所以ln 6ln 23a ≤-<，所以ln 6ln 23a -<≤-。
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
单调性与最大(小)值要点一、函数的单调桂1.增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间r>⊂A:如果对于D内的任意两个自变量的值Xι^ Xz,当X1<X2时，都有f(X1) <f (x2),那么就说f(X) 在区间D上是增函数；如果对于D内的任意两个自变量的值Xi、X2,当X1<X2时,都有f(X1) >f (x2),那么就说f(X) 在区间D上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A内某个区间上；(2)任意两个自变量且XlVX2；(3)都有/(x l)<∕(x2)(W⅛)>∕⅛));2.单调性与单调区间(1)单调区间的定义如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性, D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：①单调区间与定义域的关系一--单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集;②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区问；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.3.函数的最大(小)值一般地，设函数y = /(χ)的定义域为/,如果存在实数M满足：⑴对于任意的工6,都有/(Λ)≤M (或/(x)≥M);(2)存在x0∈∕,使得f(x0) = M ,那么，我们称M是函数的最大值(或最小值).要点诠释：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量心，使/(x°)等于最值；②对于定义域内的任意元素兀，都有∕ω≤∕(⅞) (⅛∕(x)≥∕(x0)),α任意”两字不可省;③使函数/(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④函数/(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是图象上最髙点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4 .证明函数单调性的步骤(1)取值.设勺七是/(F定义域内一个区间上的任意两个量，且西 <召；(2)变形.作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.5.函数单调性的判断方法(1)定义法；(2)图象法；⑶对于复合函数y = ∕[g(x)],若f=g(x)在区间©巧上是单调函数，则y = f(f)在区间(g(d)，g(b))或者(g(b), g⑷)上是单调函数；若∕ = g(x)与y = f (/)单调性相同(同时为增或同时为减),则y = /[g(χ)]为增函数；若/ = g(χ)与y = _/(/)单调性相反，则y =/[g(χ)] 为减函数.要点二、基本初等函数的单调性1.正比例函数y = kx{k ≠ 0)当k>0时，函数y = kx在定义域R是增函数；当MO时，函数y = kx在定义域R是减函数.2.—次函数y = kx + b(k ≠ 0)当k>0时，函数y = kx+b在定义域R是增函数；当k〈0时，函数y = kx+h在定义域R是减函数.(2)反比例函数)，=£伙工0)Xb当£>0时，函数y = _在区间(P,0),(0,P)上是减函数；当k <0时，函数y =-在区间(YQ,0),(0,WQ)上是增函数.A4.二次函数y = ClX I+hx + c(a ≠ 0)若a>0,在区间(-co,-—],函数是减函数；在区间,+s),函数是增函数；2a 2a若以0,在区间(-oo,-A1.函数是增函数;在区间[-±, +8),函数是减函数.2a 2a要点三、一些常见结论(1)若/(X)是增函数，则-/(羽为减函数；若/(x)是减函数,则-/(X)为增函数；⑵若/(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(x)和g(x)的公共定义域上f(x) + g(x)为增(或减)函数;(3)若f(χ) > O且/(x)为增函数，则函数JT诃为增函数，丄为减函数；若/(Λ-) >O且/(X)为减函数，则函数J丽为减函数，H石为增函数.【典型例题】类型一、函数的单调性的证明例1・已知：函数/(x) = -1~x-1(1)讨论/(x)的单调性.(2)试作⅛/(x)的图象.举一反三：【变式1】已知函数f(x) =—(α>0).x-1(I)判断函数/(X)在(-1,1)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；(II)⅛G = I,求函数/(X)在［一丄,丄］上的值域._ 2 2_类型二、求函数的单调区间例2.判断下列函数的单调区间；(l)y=x2-3∣x∣+2;(2) y =I x-11 ÷√(x-2)2举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(Dy= x+l ; (2) y =—!—；⑶ y =丄；(4) y= x'-2χ-31.2x-l X-类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例3.已知函数/(x)是定义域为R的单调增函数.(1)比较/3+2)与/(2α)的大小;(2)若f(a2)> f(a +6) t求实数"的取值范围.例4.求下列函数的值域：2v-1(1) y =--- ; I)XWL5, 101: 2)x∈ (-3τ一2) U (-2, 1)；X+ 2(2) y= √-P+2x + 8 ；(3)y = 4x +√3x-1 - 2 ；(4) y = x +√1 - 2x .举一反三：【变式1】已知/Cv) = 3√-12x + 5,当/(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.(1) [0, 3]； (2) [-1, 1]； (3) [3, +8).例5. (2015西安周至县一模)已知函数f(x) = x2+2ax + 2t%∈[-5, 5],(1)当沪1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数$的取值范围，使y=f(x)在区问[一5, 5]上是单调函数.举一反三：【变式1】(2015秋江苏盐城期末)已知函数/(x) = x2+2(6/-l)x+ 2在[4, +∞)上是增函数，则实数$的取值范围是______________【巩固练习】1.左义域/?上的函数/(X)对任意两个不相等的实数C总有""TG)>o∙则必有()u_bA.函数/(x)先增后减B.函数/(x)先减后增C.函数/(X)是/?上的增函数D.函数/(x)是上的减函数2.在区间(-co50)±为增函数的是()A. y = 1B. y = —^―+ 2D・ y = l + x'3・函数/(X) = -XGV-2)的一个单调递减区间可以是( )A.[-2, 0]B.(0> 2]C.[h 3]D.[0, +∞)4.若函数fM = x2+2(a-∖)x + 2在(p,4]上是递减的，则“的取值范围是( )A ・"N ・ 3B ・a< - 3C ・<∕≤5D ・ ^/>36. 设α>0,函数f(x) = ax 2+bx + c 的图象关于直线X = I 对称，则/(1)√(√2)√(√3)之间的大 小关系是() A. /(1)<∕(√2)<∕(√3) B. /(√3)<∕(√2)<∕(1)C. /(1)<∕(√3)<∕(√2)D. /(√2)<∕(√3)<∕(1)7. 函数y = √5-4x-x 2的递增区间是( )A ・(-oc,-2)B ・[-5, -2]C ・[・2, 1]D ・[l,+<")8. 函数y = 2x + √x + l 的值域是 _____ •aχ~ — \9. (2016陕西安康三模)若函数f{x}=———在(2,3)上为增函数,则实数“的取值范用是 __ .10. 已知一次函数y =伙+ l)x + k 在R 上是在增函数，且英图象与X 轴的正半轴相交，则斤的取值范围是 _______ •11. 已知函数f(x)=ax 2+bx + c(a≠0)是(―s,0)上的减函数，且/(x)的最小值为正数，则/⑴的 解析式可以为 ______________ •(只要写岀一个符合题意的解析式即可，不必考虑所有可能情形)12. (2016春山西怀仁县月考)试用定义讨论并证明函数/(χ) = ^l(CI ≠-)在(一◎ -2) ±的x + 2 2单调性.13. 已知函数/(X)的定义域为(-1,1),且同时满足下列条件：⑴/(—X)= —/3：⑵/⑴ 在泄义 域上单调递减:(3)/(l-d) + ∕(l -/)<0,求"的取值范用・5. (2016江西一模)设函数fW = ↑ 2-X-IGV≥0) 丄(XVo) 若/ (<∕) <t∕,则实数"的取值范用为(IXA. ( — 1, +∞)B. (—8. — 1)C. (3, +∞) D ・(0, Γ)14.已知函数/(x) = X2 + 2ax+ 2,X∈ [-5,5].①当“=—1时，求函数的最大值和最小值：②求实数α的取值范围，使y = /(x)在区间[-5,5]上是单调函数函数的奇偶性要点一、函数的奇偶性概念及判斷步骤1.函数奇偶性的概念偶函数：若对于定爻域内的任意一个X,都有f (-X)二f(x),那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个X,都有f (-χ) =-f(X),那么f(x)称为奇函数.要点诠释：(1)X在定爻域中，那么-X在定义域中吗？——具有奇偶性的函数，其定5C域必定是关于原点对称的；(2)由定狡不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定狡，则必有f (0)=0;(3)若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f (x)=0.2.奇偶函数的图象与性质(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形：反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤(1)求函数/(兀)的定义域，判斷函数的定艾域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(2)求f(-x),可根据f(-x)与/(x)之间的关系，判断函数/(x)的奇偶性.若/(-X)=-/(Λ-),则f(x)是奇函数；若/(-X)=fM,则f(x)是偶函数;若f(-x)≠±∕(x),则/(X)既不是奇函数，也不是偶函数；若f(-χ) = /(X)且f(-×) =-fM ,则fM既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判斷该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定艾域是关于原点对称的，再判断f(-x)与±∕(x)之一是否相等.(2)验证法：在判断/(-X)与/(x)的关系时，只需验证/(-%) ±∕(x)=0及上卫=±1是否成立/W即可.(3) 图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y 轴)对称.(4) 性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶 函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.(5) 分段函数奇偶性的判斷判斷分段函数的奇偶性时，通常利用定狡法判斷.在函数定狡域内，对自变量X 的不同取值范围， 有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判斷 方法也是先考查函数的定狡域是否关于原点对称，然后判斷/(-X)与/(x)的关系.首先要特别注意X 与-尤的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，/(X)与/(-x)对应不同的表达式，而它们的结 果按奇偶函数的定爻进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间［a, b ］和［-b,-a ］上具有相同的单调性，即已知/(X)是奇函数，它在区间［a, b ］上是增函数(减函数)，则/(x)在区间［-b, -a ］上也是增函数(减函数)；偶函数在其对称区间［a, b ］ 和［-b, -a ］上具有相反的单调性，即已知/(x)是偶函数且在区间［a,b ］上是增函数(减函数)，则/(X) 在区间［-b, -a ］上也是减函数(增函数).【典型例题】类型一、判斷函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性:【变式1】判断下列函数的奇偶性:⑴/d+1)启; ⑵f(x)=x z -4∣x∣+3 ;(3)f (X ) = ∣X +3∣-∣X -3∣ ;⑸“心篇 ⑷ /(x)= VI-X 2 lx +⑹ f(χ) = *[g(χ)・ g(-X)](X ∈ R) • ⑵ /(x) =I x + 11 + I x-11: ⑶∕ω= 2X 2 + Ixx + ∖x2 +2x-l (X < O)⑷ f(x) = {θ(x=O).-x2 +2x + l (X > O)【变式2】已知f(x), g(x)均为奇函数，且定Sl域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x) ∙g(x) 为偶函数.【变式3】设函数/(X)和g(xj分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ).A. /(Λ) + ∣g(x) I是偶函数B. /(x)-Ig(X) I是奇函数C. I f(x) I +g (x)是偶函数D. I f(x) I- g(x)是奇函数类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例2.已知f (x)=x5+ax3-bχ-8, JLf (-2)=10,求f ⑵.【变式1】已知/(x)为奇函数，g(x) = ∕(x)+9,g(-2) = 3,则/(2)为().例3. (2016春山东临沂期中)已知f (%)的定义域为{x∈∕?! xΨQ］t且f (%)是奇函数，当x>0 = 2+bx + c ,若f (1) =f (3), f (2) =2.(1)求6, C的值；(2)求f (%)在XVo时的表达式.【变式1】(1)已知偶函数/(x)的定狡域是R,当x<0时/(Λ)= X2-3X-1,求/(X)的解析式.(2)已知奇函数g(x)的定狡域是R,当x>0时，g(x) = F+2χ-l,求g(x)的解析式.例4.设定艾在［-2, 2］上的偶函数f(x)在［0, 2］上是单调递增，当/(d + l)v∕(α)时，求“的取值范【变式1】定爻在［1÷a, 2］上的偶函数/M = Cix2+bx-2在区间［1, 2］上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数类型三、函数奇偶性的综合问题例5.设a为实数，函数f(x)=x2+∣×-a∣+1, x∈R,试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 【变式1】(2016上海崇明模拟)已知函数f(x) =x∣ X-a ∖ +∂, χWR.当20时，判断f (%)的奇偶性，并说明理由.例6.已知y = f(x)是偶函数，且在［0, +oo)上是减函数,求函数/(l-x2)的单调递增区间.例7.已知f(X)的定义域为(0, +8),且满足f (2) =1, f (Xy) = f (χ) +f (y),又当χ2 > χl >0时，/(X2) >/(X1) •(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x) +f (x-2) W3成立，求X的取值范围•。
(精华)函数的单调性经典题型归纳总结讲义老师版(含答案)
课时一：函数的单调性一、单调性定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当___1x <2x 时____，都有_____1()f x <)(2x f ,______则说)(x f 在区间D 上是增函数；（2）若当____1x <2x 时_____，都有___)(1x f >)(2x f ,_______则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）____单调性____，这一区间叫做函数)(x f 的____单调区间____。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
二、常见函数的单调性 （1）一次函数：)0(,≠+=k b kx y{上单调递增时，函数在上单调递减时，函数在R k R k 00><（2）反比例函数：xk y ={）上单调递减，），（，时，函数在（）上单调递增，），（，时，函数在（∞+∞>∞+∞<00-000-0k k（3）一元二次函数：)0(,2≠++=a c bx ax y上单减，时，在（]2--0aba ∞>上单增在),2[+∞-ab上单增，时，在（]2--0aba ∞<上单减在),2[+∞-ab（4）对勾函数：xa x y +=上单增，时，在),[],a --(0+∞∞>a a上单减在),0(),0,(a a -三、证明函数单调性步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； ⑵作差：)()(21x f x f -； ⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。