用平方法求算术平方根的近似值
用计算器计算算术平方根用有理数估算平方根的大小
练习
1.比较下列各组数的大小：
（1） 8 与 10
因为8 < 10 所以 8 & 65 > 8
（3） 5 1 与 0.5 （4） 5 1 与 1
2
2
5 1 4 1 0.5
2
2
5 1 9 1 1
2
2
基础巩固
随堂演练
1. 17 的整部分是__4____. 2. 若 2 ≤ x ≤ 5 ，x为整数，则x的值是__2__.
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开， 将所得的4个直角三角形拼在一起. 就得到一个面 积为2dm2的大正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为 x dm，则 x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x= 2 所以大正方形的边长是 2 dm
小正方形的对角
线是多长呢？
2
探究
2 有多大呢？
学习目标：
• 学习目标： 1、会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术
平方根的小数点移动规律. 2、会估计一个含有根号的数的大小.
• 学习重、难点： 重点：知道算术平方根的小数点移动规律. 难点：会估计一个含有根号的数的大小.
探究新知 知识点1 求一个数的算术平方根的近似值
探究
能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一 个面积为2dm2的大正方形？
v12 = gR , v22 = 2gR， 得 v1 gR , v2 2gR，其中g≈9.8，R≈6.4×106.
用计算器求v1和v2（用科学计数法把结果写成 a×10n的形式，其中a保留小数点后一位），得
v1 9.86.4106 7.9103
v2 2 9.86.4106 1.1104 因此，第一宇宙速度v1大约是7.9×103m/s， 第二宇宙速度v2大约是1.1×104m/s.
人教版七年级数学下册 (平方根)实数课件教学(第2课时)
(2)因为6>4，所以 6 > 2，所以
61 >
21 =1.5.
2
2
归纳 比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积 为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正 在发愁.你能帮小丽算出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的 大正方形？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角 三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设大正方形的边长为 x dm，则 x2 = 2.
由算术平方根的意义可知
直线平行.
3.互如相果平两行 条直线都与第三条直线平行,那么这两 条直线也
.
[检测]
1.在同一平面内,不是重合( 的两)条直线的位置关C系
A.平行或垂直
B.相交或垂直
C.平行或相交
D.不能确定
2.下列说法正确D的是 ( ) A.不相交的两条线段是平行线
B.不相交的两条直线是平行线
C.不相交的两条射线是平行线
按键顺序：
a=
注意：不同的计算器的按键方式可能有所差别
例4 用计算器求下列各式的值： 3136=
2=
利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你 发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… 0.062 5 0.625 6.25
62.5
… 0.25 0 6 2.5
7.906
625
第 五
相交线与平行线
求算术平方根的步骤
求算术平方根的步骤
计算算术平方根的一种方法是通过牛顿迭代法。
以下是计算算术平方根的步骤：
1. 选择一个初始猜测值作为答案的近似值。
这个初始猜测值可以是任意值，但最好选择一个接近于实际平方根的值。
2. 使用下面的公式进行迭代，直到达到所需的精度：
猜测值 =（猜测值 + （被开方数 / 猜测值））/ 2
这个公式的意思是，我们将被开方数除以当前的猜测值得到
一个新的猜测值。
然后将这个新的猜测值加上当前的猜测值，然后再除以2，得到一个新的猜测值。
这个过程将继续反复迭代，直到达到所需的精度。
3. 检查当前的猜测值是否足够接近实际的平方根。
如果是，则停止迭代，当前的猜测值就是我们所要找的平方根。
如果不是，则返回第2步，继续进行迭代，直到满足所需的精度。
需要注意的是，算术平方根只适用于非负实数。
如果要计算负数的平方根或复数的平方根，则需要使用复数的数学定义和运算规则。
完全掌握平方根与立方根的计算方法
完全掌握平方根与立方根的计算方法数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必不可少的。
在数学学习中，平方根与立方根是常见的概念和计算方法。
掌握平方根与立方根的计算方法，不仅有助于提高数学成绩，还能在实际生活中运用。
本文将详细介绍如何完全掌握平方根与立方根的计算方法。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于该数的算术根。
计算平方根的方法主要有两种：近似法和开方法。
1. 近似法近似法是一种简单快捷的计算平方根的方法。
例如，要求√10的近似值，我们可以先找出最接近10的完全平方数，即4和9。
4的平方根是2，9的平方根是3，显然10介于2和3之间，所以√10的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的平方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开方法开方法是一种精确计算平方根的方法。
它主要有两种形式：手算开方和使用计算器开方。
手算开方是一种基于数学原理的计算方法。
以求√16为例，我们可以将16分解为4×4，即(√4)×(√4)，结果是4。
同样地，我们可以通过分解数的因数，将其转化为完全平方数的乘积，然后再进行开方运算。
使用计算器开方则更加方便快捷。
现在的计算器都配有开方功能，只需输入要开方的数，按下开方键即可得到结果。
这种方法适用于计算复杂的平方根或需要高精度结果的情况。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于该数的算术根。
计算立方根的方法主要有两种：近似法和开立方法。
1. 近似法近似法和计算平方根的近似法类似。
例如，要求³√27的近似值，我们可以先找出最接近27的完全立方数，即8和27。
8的立方根是2，27的立方根是3，显然27介于2和3之间，所以³√27的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的立方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开立方法开立方法是一种精确计算立方根的方法。
它可以通过数学原理进行手算开立方，也可以使用计算器进行开立方运算。
平方根(2)课件 2022-2023学年人教版数学七年级下册
C. 6＜x＜7；
D. 7＜x＜8.
3、设 n 为正整数，且 n 23 n 1 ，则 n ＝ 4 .
例题讲解
课本 第43页 例3
例1 小丽想用一块面积为400 cm²为的长方形纸片，沿着边
的方向剪出一块面积为300 cm²的长方形纸片，使它的长宽 之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：
根据边长与面积的关系得 3x•2x=300 6x2=300 x2=50
形纸片的长应该大于21 cm. 因为 400 =20. 所以正方形纸 片的边长只有20 cm. 这样， 长方形纸片的长将大于正方形 纸片的边长.
x= 50 .
答：不能同意小明的说法. 小
所以长方形纸片的长为 3 50
丽不能用这块正方形纸片裁出
2
例题讲解 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的 算术平方根(或其近似值). 例2 用计算器求下列各式 的值． （1） 3136；
（2） 2 （精确到0.001）．
用计算器计算算术平方根 下面我们来看引言中提出的问题： 宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第 一宇宙速度v1而小于第二宇宙速度 v2．
“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸
片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要 求的纸片吗？
400 cm² 够长吗？ 够宽吗？
300 cm²
例题讲解
课本 第43页 例3
解：设长方形纸片的长为3x cm， 因为50＞49，所以 50＞7.
宽为2x cm.
由上可知3 50 ＞21，即长方
算术平方根的规律 （2）利用计算器计算 3 1.732 ，并利用（1）中
发现的规律说出 0.03， 300 ， 30000 的近似值，你能根据 3 的值说出 30 是多少吗?
平方根的运算与应用
平方根的运算与应用平方根是数学中常见的一种运算，表示一个数的平方根，即平方根运算。
它在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨平方根的运算方法以及它在实际应用中的重要性。
一、平方根的定义与基本运算平方根是指一个数的算术平方根，可以用符号√表示。
例如，√25表示25的平方根，它的值为5。
平方根运算是指找出一个数的平方根的过程。
平方根运算可以用不同的方法进行，包括传统的算术方法和近似计算方法。
传统的算术方法是通过计算数的因数分解来找出平方根，但对于较大的数来说，这个方法不太实用。
近似计算方法则是通过数值逼近的方式，不断逼近平方根的值。
二、平方根在几何中的应用平方根在几何中有着重要的应用。
以正方形为例，对于一个正方形的边长为a，它的面积可以表示为a的平方。
那么，如果已知正方形的面积S，我们可以通过求S的平方根来得到正方形的边长a。
同样地，在三角形中，平方根也有着重要的应用。
以直角三角形为例，已知两个直角边的长度a和b，我们可以通过求a和b的平方和的平方根，得到斜边的长度c。
这一关系被著名的勾股定理所描述。
三、平方根在科学计算中的应用平方根在科学计算中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，使用平方根来计算速度、加速度等物理量。
在化学中，平方根可用于计算离子浓度、反应速率等。
同时，在计算机科学和工程领域中，平方根也被广泛应用。
例如，在图像处理中，平方根可用于计算像素的亮度值。
在信号处理中，平方根可用于计算信号的功率谱密度。
四、平方根的应用举例平方根的应用不限于上述领域，下面举几个实际例子来说明平方根的应用。
1. 财务分析：在财务分析中，平方根可用来计算风险指标，如标准差和波动率，从而评估投资的风险水平。
2. 地理测量：平方根可以用于计算两个地点之间的距离，例如求解两个坐标点之间的直线距离。
3. 生物医学：平方根在生物医学中的应用十分广泛，包括计算心率、脉搏、血压等生理参数。
总结：平方根是一种广泛应用的数学运算，用于计算一个数的平方根。
平方根的几种近似计算方法
· ４４ ·
其堋 ＝
（
，
与 抓
由于（１＋ （ 为任何实数）在 ：０处的泰勒展开式为
（１＋ ａ＝ｌ＋ａｘ４一ａ（ａ－ １） ＋ …
＋
二
２ １
从而得到一个计算平方根的近似公式 （Ｉ ＜１）：
为得到更精确的近似值，可再设√ ＝４．８＋ （ 是纯小数，可正可负）。两边平方有
２３＝（４．８＋ ，整 理 得 ２３＝２３．０４＋９．６ｙ＋ ， 将 忽 略 不 计 得 ２３≈２３．０４＋９．６ｙ ， 解 得
≈一０．００４。于是 ≈４．８＋（一０．００４）＝４．７９６，与√ 的真值４．７９５８３…已经比较接近了。如果
２０１３年 第 ４期
第 ３１卷 （总 第 １５３期 ）
毕 节 学 院 学 报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢｌＪＩＥ ＵＮＩＶＥＲＳⅡ
ＮＯ．４，２０１３ Ｖｏ１．３１ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｎｏ．１５３
平方根 的几种近似计算方法
赖 志 柱 ，吴 德 宝
（１．毕 节 学院数 学与 计 算机 科 学 学院 ，贵 州 毕 节 ５５１７００；２．江 西省石城 二 中，江西 石城 ３４２７００）
≈乃＋∞ ／２乃（ｈ＞ＣＯ）；印度著名的巴克沙里手稿瞳 里取√ ＝√ ＋ ≈ ＋厂／２ 。
２ 求平 方根 近似 值 的几 种算 法 在 中学 时期 我们 求一 个 正数 的算 术平 方根 ，往 往是 通过 查平 方根 表 。然而 ，平 方根 表并 不是万 能 的 ，例如 含很 多 小数位 的正数 的平 方根 就不 能直 接从 平方 根表 查 出 ，因此 很有 必要 掌握 和 了解 一 些近 似 计算 平方 根 的方法 已备 不 时之 需 。 ２．１笔 算法 为简约 ，下 面举 例说 明笔算法 的思想 和计 算步 骤 。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
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用平方法求算术平方根的近似值
四川 倪先德
我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法．
例1 求19的近似值．
析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ．
用“平方法”得：2
2816)4(19a a a ++=+=
因为a 是一个纯小数，2a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不
计．即a 81619+≈
此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4．
如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=．
同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ．
所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36．
如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高．
掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值．
解：设31=5+a ，则：a a 1025)5(312+≈+=
求得6.0≈a
所以31精确到小数点后面第一位的近似值是5+0.6=5.6．
再设31=5.6+b ，则：b b 2.1136.31)6.5(312+≈+=．
求得：03.0-≈b ． 所以31精确到小数点后面第二位的近似值是5.6+（－0.03）=5.57． ……
你会做了吗？那就请你试试求110的近似值．并用计算器验证一下是否正确．。