北京市西城区2020~2021学年高三第一学期期末考试数学试卷及答案
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为( ) A ．(0,4)-B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(1,0)-2．（3分）在半径为6cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是( ) A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π3．（3分）将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是( )A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ''''的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为1:2 C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的周长比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为4:15．（3分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于( )A ．68︒B ．64︒C ．58︒D ．32︒6．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A ，(3,0)B 两点，则抛物线的对称轴为( ) A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为( ) A ．2.44(1) 6.72x += B ．2.44(12) 6.72x +=C ．22.44(1) 6.72x +=D ．22.44(1) 6.72x -=8．（3分）现有函数24()2()x x a y x x x a +<⎧=⎨-⎩如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，y n =，那么实数a 的取值范围是( ) A ．54a -B ．14a -C ．41a -D ．45a -二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是 ．10．（3分）若抛物线2(0)y ax a =≠经过(1,3)A ，则该抛物线的解析式为 ． 11．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则sin B = ．12．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“>”，“ =”或“<” )．13．（3分）如图，AB 为O 的直径，10AB =，CD 是弦，AB CD ⊥于点E ，若6CD =，则EB = ．14．（3分）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，若2OA=，60APB∠=︒，则PB=．15．（3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD DA CB==，DC AB BE==，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①ODA∆和OCE∆为等腰三角形，则1(180)2DOA ODA∠=︒-∠，1(1802COE∠=︒-∠)；②四边形ABCD为平行四边形（理由是)；③DOA COE∠=∠，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当35DCCB=时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(4,3)P，O经过点P．点A，点B在y轴上，PA PB=，延长PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）O的半径为；（2）tan α= ．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．（5分）计算：22sin60tan 45cos 30︒-︒+︒． 18．（5分）已知关于x 的方程2240x x k ++-=． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若1k =，求该方程的根． 19．（6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆的三个顶点是网格线的交点，点A 在BC 边的上方，AD BC ⊥于点D ，4BD =，2CD =，3AD =．以BC 为直径作O ，射线DA 交O 于点E ，连接BE ，CE ． （1）补全图形；（2）填空：BEC ∠= ︒，理由是 ； （3）判断点A 与O 的位置关系并说明理由；（4）BAC ∠ BEC ∠（填“>”，“ =”或“<” )．20．（5分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-． （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．21．（5分）如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点D 在O 外，BCD A ∠=∠，OD 交O 于点E ． （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若4CD =， 2.7AC =，9cos 20BCD ∠=，求DE 的长．22．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM = （用含x 的式子表示），x 的取值范围是 ； （2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．23．（7分）已知抛物线212y x x =-+．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过1(34,)A n y +，2(21,)B n y -两点． ①若5n <-，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．24．（7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3BC =ABC ∆绕点B 顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ； （2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．25．（7分）对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，(0B ，23)．（1）在(3,0)R ，(2,0)S ，3)T 三点中，点A 和点B 的等距点是 ； （2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ； ②若直线y a =上存在点A 和直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围； （3）记直线AB 为直线1l ，直线23:l y =，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点(0,0)m n ≠≠，当m n ≠时，求r 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：当0x =时，5y =-，因此(0,4)-不在抛物线245y x x =--， 当2x =时，4859y =--=-，因此(2,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =时，1458y =--=-，因此(1,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =-时，1450y =+-=，因此(1,0)-在抛物线245y x x =--上， 故选：D ．2．【解答】解：弧长为：6062()180cm ππ⨯=． 故选：B ．3．【解答】解：将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，得：2(3)y x =-； 再向上平移5个单位长度，得：2(3)5y x =-+， 故选：B ．4．【解答】解：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，:1:2OA OA ∴'=， :1:2A B AB ∴''=，∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．故选：D ． 5．【解答】解：AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 90ADC CDB ∴∠+∠=︒，90903258ADC CDB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， ABC ADC ∠=∠， 58ABC ∴∠=︒，故选：C ．6．【解答】解：抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A 、(3,0)B 两点，∴抛物线对称轴为直线1322x +==， 故选：B ．7．【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ， 则可列出关于x 的方程为22.44(1) 6.72x +=， 故选：C ． 8．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，∴函数22y x x =-的最小值为1-，把1y =-代入4y x =+得，14x -=+，解得5x =-，由图象可知，当54a -时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，函数y n =， 故选：A ．二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：如图所示，连接OB 、OC ； 此六边形是正六边形， 360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆是等边三角形， 2OB OC BC ∴===．故答案为：2．10．【解答】解：把(1,3)A 代入2(0)y ax a =≠中， 得231a =⨯， 解得3a =，所以该抛物线的解析式为23y x =． 故答案为：23y x =．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =， 则62sin 93AC B AB ===， 故答案为：23． 12．【解答】解：抛物线开口方向向上， 0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<．故答案为>，<，<．13．【解答】解：连接OC ，如图所示： 弦CD AB ⊥于点E ，6CD =， 132CE ED CD ∴===，在Rt OEC ∆中，90OEC ∠=︒，3CE =，152OC AB ==， 22534OE ∴=-=， 15412BE OB OE AB OE ∴=-=-=-=， 故答案为：1．14．【解答】解：PA 、PB 是O 的两条切线，60APB ∠=︒，2OA OB ==， 1302BPO APB ∴∠=∠=︒，BO PB ⊥．24PO AO ∴==，22224223PB PO OB ∴=-=-=． 故答案是：23．15．【解答】解：①ODA ∆和OCE ∆为等腰三角形， 1(180)2DOA ODA ∴∠=︒-∠，1(180)2COE OCE ∠=︒-∠；②AD BC =，DC AB =，∴四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA ，AE ，DOA COE ∠=∠，O ∴，A ，E 三点在一条直线上；④35DC BC =，∴设3CD AB BE x ===，5OD AD BC x ===，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AOD EOC ∴∆∆∽，∴35855OC x x OD x +==， ∴图形N 是以点O 为位似中心，把图形M 放大为原来的85，故答案为：OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；85．16．【解答】解：（1）连接OP ． (4,3)P ，5OP ∴==， 故答案为：5．（2）设CD 交x 轴于J ，过点P 作PT AB ⊥交O 于T ，交AB 于E ，连接CT ，DT ，OT ． (4,3)P ，4PE ∴=，3OE =，在Rt OPE ∆中，4tan 3PE POE OE ∠==， OE PT ⊥，OP OT =， POE TOE ∴∠=∠，12PDT POT POE ∴∠=∠=∠，PA PB =．PE AB ⊥， APT DPT ∴∠=∠，∴TC DT =，TDC TCD ∴∠=∠， //PT x 轴， CJO CKP ∴∠=∠，CKP TCK CTK ∠=∠+∠，CTP CDP ∠=∠，PDT TDC CDP ∠=∠+∠， TDP CJO ∴∠=∠， CJO POE ∴∠=∠，4tan tan 3CJO POE ∴∠=∠=． 补充方法：证明CJO EOP ∠=∠时，可以这样证明：90CJO TOJ ∠+∠=︒，90TOJ EOT ∠+∠=︒， CJO EOT ∴∠=∠， EOT EOB ∠=∠，CJO EOP ∴∠=∠，可得结论．故答案为：43．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．【解答】解：原式23321(=-+ 3314+ 134=． 18．【解答】解：（1）△2241(4)204k k =-⨯⨯-=-． 方程有两个不相等的实数根，∴△0>．2040k ∴->，解得5k <；k ∴的取值范围为5k <．（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=， (1)(3)0x x -+=， 10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-．19．【解答】解：（1）补全图形见图1．（2）BC 是直径，90BEC ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角． （3）点A 在O 外． 理由如下：连接OA ．4BD =，2CD =，6BC BD CD ∴=+=，32BCr ==． AD BC ⊥， 90ODA ∴∠=︒，在Rt AOD ∆中，3AD =，1OD BD OB =-=，∴22221310OA OD AD =++103>，OA r ∴>，∴点A 在O 外．（4）观察图象可知：BAC BEC ∠<∠． 故答案为：<．20．【解答】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=． 解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）由图象可得0m <或3m >． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC ．AB 为O 的直径，AC 为弦，90ACB ∴∠=︒，90OCB ACO ∠+∠=︒． OA OC =， ACO A ∴∠=∠． BCD A ∠=∠， ACO BCD ∴∠=∠． 90OCB BCD ∴∠+∠=︒． 90OCD ∴∠=︒． CD OC ∴⊥． OC 为O 的半径， CD ∴是O 的切线；（2）解：BCD A ∠=∠，9cos 20BCD ∠=， 9cos cos 20A BCD ∴=∠=．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 2.7AC =，9cos 20A =． 2.769cos 20AC AB A∴===． 32ABOC OE ∴===． 在Rt OCD ∆中，90OCD ∠=︒，3OC =，4CD =，∴5OD =．532DE OD OE ∴=-=-=．22．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为4，CM x =，1BE =， 4DM DC CM x ∴=-=-，其中01x ．故答案是：4x -，01x ； （2）如图，延长MP 交AB 于G ，正方形ABCD 的边长为4，F 为BC 边的中点，四边形PMDN 是矩形，CM x =，1BE =， //PM BC ∴，122BF FC BC ===，BG MC x ==，4GM BC ==， EGP EBF ∴∆∆∽，1EG x =-，∴EG PG EB BF =，即112x PG-=． 22PG x ∴=-，4(22)22DN PM GM PG x x ∴==-=--=+，2(4)(22)268S DM DN x x x x ∴=⋅=-+=-++，其中01x ． （3）由（2）知，2268S x x =-++， 20a =-<，∴此抛物线开口向下，对称轴为322b x a =-=，即32x =，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大． x 的取值范围为01x ，∴当1x =时，矩形PMDN 的面积最大，此时点P 与点E 重合，此时最大面积为12．23．【解答】解：（1）212y x x =-+，∴对称轴为直线1112()2x =-=⨯-，令0x =，则0y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0)，（2）(34)(21)5A B x x n n n -=+--=+，1(34)1333(1)A x n n n -=+-=+=+，1(21)1222(1)B x n n n -=--=-=-．①当5n <-时，10A x -<，10B x -<，0A B x x -<．A ∴，B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <，抛物线212y x x =-+开口向下，∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 的增大而增大．12y y ∴<；②若点A 在对称轴直线1x =的左侧，点B 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪->⎨⎪-+<--⎩，∴不等式组无解，若点B 在对称轴直线1x =的左侧，点A 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得：3412111(21)341n n n n +>⎧⎪-<⎨⎪-->+-⎩，115n ∴-<<-，综上所述：115n -<<-．24．【解答】解：（1）90C ∠=︒，3BC =，30ABC ∠=︒， tan301AC BC ∴=⋅︒=， 22AB AC ∴==， BA BA ='，AC AC '=''， 30ABC A BC ∴∠'=∠''=︒，ABA ∴∆'是等边三角形，60α∴=︒，2AA AB '==．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD A D '=．理由：如图2，过点A 作A C ''的平行线，交CC '于点E ，记1β∠=． 将Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转α得到Rt △A BC ''， 90A C B ACB ''∴∠=∠=︒，A C AC ''=，BC BC '=．21β∴∠=∠=．3190ACB β∴∠=∠-∠=︒-，290A C D A C B β''''∠=∠+∠=︒+． //AE A C ''90AED A C D β''∴∠=∠=︒+．4180180(90)90AED ββ∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-． 34∴∠=∠． AE AC ∴=． AE A C ''∴=．在ADE ∆和△A DC ''中， ADE A DC AED A C D AE A C ∠=∠''⎧⎪∠=∠''⎨⎪=''⎩， ADE ∴∆≅△()A DC AAS ''，AD A D '∴=．②如图1中，当60α=︒时，BD 的值最大，最大值为3． 当120α=︒时，BD 的值最小，最小值1sin30212BD AB =⋅︒=⨯=， 13BD ∴．25．【解答】解：（1）点(6,0)A ，(0B ，23)，(3,0)R ，(2,0)S ，(1,3)T ， 3AR ∴=，21BR =，4AS =，4BS =，27AT =，2BT =， AS BS ∴=，∴点A 和点B 的等距点是(2,0)S ，故答案为：(2,0)S ；（2）①设等距点的坐标为(,0)x ， 2|6|x ∴=-， 4x ∴=或8，∴等距点的坐标为(4,0)或(8,0)，故答案为：(4,0)或(8,0)；②如图1，设直线y a =上的点Q 为点A 相直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ，点Q 为点A 和直线2y =-的等距点， QA QC ∴=，22QA QC ∴=点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为(,)Q x a222(6)[(2)]x a a ∴-+=--． 整理得2123240x x a -+-=，由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．∴△2(12)41(324)16(1)0a a =--⨯⨯-=+．解得1a -； （3）如图2，直线1l 和直线2l 的等距点在直线33:3l y = 直线1l 和y 轴的等距点在直线4:323l y x =-+或53:23l y =+ 由题意得3r 或3r ．。
北京市西城区2020-2021学年七年级上学期期末数学试题及参考答案
解：由题意得：
由第 行第 列，第 行第 列都是
或 ，
或
故选：
【点睛】
本题是新定义题型，考查的是一元一次方程的应用，弄懂新定义是解题的关键．
11．
【分析】
根据四舍五入法则计算即可.
【详解】
∵精确到0.01，
∴对0.001上的数字实施四舍五入，
∴2.7682≈2.77，
故应该填2.7Байду номын сангаас.
【点睛】
【详解】
设中间的那个人分得 个橘子，
根据题意得 或 ，
故答案为： ，或 ．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意恰当设中间的那个人分得 个橘子是解题的关键．
17． ，
【分析】
（1）将 变形即可求解；
（2）先由（1）求出DB=4，AD=6，所以AC+CD=6，根据 ，便可求得CD的值．
【详解】
本题考查了近似数的确定，熟记四舍五入法则是解题的关键.
12．
【分析】
根据方程解的定义，回代转化成关于m的一元一次方程，求解即可.
【详解】
解：∵ 是关于 的方程 的解，
∴2×（-1）- =5,
解得 ，
故答案为：-7.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解和方程的解法，熟记定义，把问题转化为m的一元一次方程是解题的关键.
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+bB．2c2﹣c2＝2
C．3a+2b＝5abD．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y
4．如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（）
A．长方体B．三棱柱C．四棱锥D．三棱锥
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
北京市西城区2020—2021学年初二上期末考试数学试题含答案
北京市西城区2020—2021学年初二上期末考试数学试题含答案八年级数学 2021.1试卷满分：100分，考试时刻：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．运算22-的结果是（ ）．A.14B.14- C.4 D.4- 2．下列剪纸作品中，不是．．轴对称图形的是（ ）．3．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）． A.()xz yz z x y -+=-+ B. ()223232a b ab ab ab a b -+=- C. 232682(34)xy y y x y -=- D. 234(2)(x 2)3x x x x +-=+-+4．下列分式中，是最简分式的是（ ）．A ．2xy xB ．222x y -C ．22x y x y +-D ．22x x + 5．已知一次函数(2)3y m x =-+的图象通过第一、二、四象限，则m 的取值范畴是（ ）．A ．0m <B ．0m >C ．2m <D ．2m >6．分式11x--可变形为（ ）． A ．11x + B ．11x -+ C ．11x -- D ．11x - 7．若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则那个等腰三角形的周长是为（ ）．A. 8B. 10C. 8或10D.6或128．如图，B ，D ，E ，C 四点共线，且△ABD ≌△ACE ，若∠AEC =105°，则∠DAE 的度数等于（ ）．A. 30°B.40°C. 50°D.65°9．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，与AC 交于点D ，DE ⊥AB于点E ，若BC =5，△BCD 的面积为5，则ED 的长为（ ）．A. 12B. 1C.2D.510．如图，直线y =﹣x +m 与直线y =nx +5n （n ≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣x +m ＞nx +5n ＞0的整数解为（ ）．A.﹣5 ，﹣4，﹣3B. ﹣4，﹣3C.﹣4 ，﹣3，﹣2D. ﹣3，﹣2二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题2分）11．若分式11-x 在实数范畴内有意义，则x 的取值范畴是 ． 12．分解因式224x y -= ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点P （-2，3）关于y 轴的对称点的坐标是 ．14．如图，点B 在线段AD 上，∠ABC =∠D ， AB ED =．要使△ABC ≌△EDB ，则需要再添加的一个条件是（只需填一个条件即可）．15．如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ， AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点N ．连接MB ，若AB=8，△MBC 的周长是14 ，则BC 的长为 ．16．关于一次函数21y x =-+，当-2≤x ≤3时，函数值y 的取值范畴是 ．17．如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，能够在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC =CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长确实是AB 的长，其中用到的数学原理是：_ ．S (米)412048010a 018．甲、乙两人都从光明学校动身，去距离光明学校1500m 远的篮球馆打球，他们沿同一条道路匀速行走，乙比甲晚动身4min ．设甲行走的时刻为t (单位：min)，甲、乙两人相距 y (单位：m)，表示y 与t 的函数关系的图象如图所示，依照图中提供的信息，下列说法： ①甲行走的速度为30m/min②乙在距光明学校500m 处追上了甲③甲、乙两人的最远距离是480m ④甲从光明学校到篮球馆走了30min正确的是__ _（填写正确结论的序号）．练习题改编，识图能力，如何提取信息，数形结合思想三、解答题（本题共50分，第19，20题每小题6分；第21题～25题每小题5分； 第26题6分，第27题7分）19．分解因式：（1）2()3()a b a b -+- （2）221218ax ax a -+解： 解：20．运算：（1）42223248515a b a b c c ÷ （2）24()212x x x x x x -⋅+++ 解： 解：21．已知2a b-=，求222()2ab aaa ba ab b÷---+的值．解：22．解分式方程2242111x x xxx-+=+-解：23．已知：如图，A，O，B三点在同一条直线上，∠A=∠C，∠1=∠2，OD＝OB．求证：AD=CB．证明：24．列方程解应用题中国地大物博，过去由于交通不便，一些地区的经济进展受到了制约，自从“高铁网络”在全国连续延伸以后，许多地区的经济和旅行发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．李老师从北京到某地去旅行，从北京到该地普快列车行驶的路程约为1352km，高铁列车比普快列车行驶的路程少52km，高铁列车比普快列车行驶的时刻少8h．已知高铁列车的平均时速是普快列车平均时速的 2.5倍，求高铁列车的平均时速．解：25．在平面直角坐标系xOy 中，将正比例函数2y x =-的图象沿y 轴向上平移4个单位长度后与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）画正比例函数2y x =-的图象，并直截了当写出直线BC 的解析式； （2）假如一条直线通过点C 且与正比例函数2y x =-的图象交于点P (m ，2)，求m 的值及直线CP 的解析式．解：（1）直线BC 的解析式： ；（2）26．阅读下列材料：利用完全平方公式，能够将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把如此的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+ ＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++- ＝(8)(3)x x ++ 依照以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始显现错误的地点，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．（1）解：（2）正确的解答过程是：（3）证明：解： 2340x x -- =22233340x x -+-- =2(3)49x -- =(37)(37)x x -+-- =(4)(10)x x +-27．已知：△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判定BF与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．图1 备用图（1）BF与CF的数量关系为：．证明：（2）解：北京市西城区2020— 2021学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2021.1试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1．（1）已知32a ba+=，则ba= ；（2）已知115a b-=，则3533a ab ba ab b----= ．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．观看下列各等式：(8.1)(9)(8.1)(9)---=-÷-，11()(1)()(1)22---=-÷-，4242-=÷，993322-=÷，┅┅依照上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）填空：－4＝÷4；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特点：－＝÷；（4）假如用y表示等式左边第一个实数，用x表示等式左边第二个实数（x≠0 且x≠1），①x与y之间的关系能够表示为：（用x的式子表示y）；②若x＞1，当x时，y有最值(填“大”或“小”)，那个最值为．3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB=OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．（1）依题意补全图1；（2）线段OA，AC，OD之间的数量关系为：_____________________________；证明：（3）解：附加题答案1、（1）13（2）522、（1）差商（2）16 3（3）25255544-=÷；36366655-=÷（4）①21xyx=-②2 小43、（1）（2）作BE⊥OD四边形AOEB是正方形△ABC≌△BED∴OA+AC=OD（3）∵△ABC≌△BED ∴BC=BD∵BH⊥CD∴A、C、H、B四点共圆∴∠BAH=∠BCH=45°。
2020-2021学年北京市西城区五年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市西城区五年级（上）期末数学试卷试题数：26，满分：901.（单选题，2分）3.5×0.7的积是（）位小数。
A.一B.两C.三D.四2.（单选题，2分）当a=3，b=0.6时，a2+4b=（）A.7.8B.8.4C.11.4D.12.363.（单选题，2分）下面平行四边形的面积是（）cm2。
A.9B.16.2C.18D.22.54.（单选题，2分）文文用“★”和“◆”设计制作了一个转盘。
她用制作好的转盘转了50次，结果如下表。
根据表中的数据推测，文文设计制作的转盘最有可能是（）★◆39次11次A.B.C.D.5.（单选题，2分）方程3x-0.6=9的解是（）A.x=2.8B.x=3.2C.x=3.6D.x=3.756.（单选题，2分）小明把一枚银杏树叶的轮廓描在方格纸上，如图（图中每个小方格的面积是1cm2）。
这枚树叶的面积最接近（）cm2。
A.19B.32C.45D.547.（单选题，2分）王老师要买一些签字笔作为班级运动会的奖品。
每支签字笔2.4元，王老师用30元最多可以买（）支这种签字笔。
A.12B.12.5C.13D.158.（单选题，2分）下面竖式的计算结果是（）A.5.6•B.5.6 3••C.5. 63•D.5. 69.（单选题，2分）用摆图像。
像这样继续摆下去。
摆第n幅图案共用（）个。
A.4nB.4n-1C.4÷3nD.1+3n10.（单选题，2分）小区有一块平行四边形的空地，下面是美化空地的四个设计方案，其中阴影部分种鲜花，空白部分铺草坪，四个设计方案中，种鲜花面积最小的是（）A.B.C.D.11.（填空题，4分）在横线上填上“＞”“＜”或“=”。
1.7×1.2 ___ 1.7 a×0.9 ___ a÷0.9（a＞0）12.（填空题，1分）一共有x个网球，每4个装一桶，已经装了y桶，还剩下一些网球。
还剩下 ___ 个网球。
2020~2021北京市西城区八年级初二上学期数学期末试卷及答案
.
12.点A(1,-3)关于x 轴对称的点的坐标为
.
13.计算:10a2b3÷(-5ab3)=
.
14.如图,△ABC≌△ADE,点 D 在边BC 上,∠EAC=36°,
则∠B=
°.
北京市西城区2020-2021学年度第一学期期末试卷 八年级数学 第 2页(共6页)
15.已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上.小腾从家去食堂吃早餐,接着去图书馆
匀速运动.设点P 运动的时间为x,线段EP 的长为y,图2是y 与x 的函数关系的 大致图象,则点P 的运动路径可能是
图1
A.C→B→A→E C.A→E→C→B
图2
B.C→D→E→A D.A→E→D→C
二、填空题 (本题共18分,第15,17题每小题3分,其余每小题2分)
11.若分式x1-4有意义,则x 的取值范围是
B.AC=DF,AB=DE
C.∠A=∠D,AB=DE
D.AC=DF,CB=FE
D.(ab2)2=a2b4
5.化简分式xyx+2x 的结果是
A.xy
B.yx+1
C.y+1
6.如果m2+m=5,那么代数式m(m-2)+(m+2)2 的值为
D.yx+x
A.14
B.9
C.-1
D.-6
7.已知一次函数y=kx-6,且y 随x 的增大而减小.下列四个点中,可能是该一次函数
;
(2)如图,已知点A(1,0),B(0,1),根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O
的 “直角距离”都等于1.
若点P 与原点O 的 “直角距离”dOP =1,请在图中将所有满足条件的点 P 组成
2021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）()=-+2y 2x 31A.B. C. D.()2,3()2,1()3,1-()3,1【答案】D【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线解析式为 ，()=-+2y 2x 31∴ 其顶点坐标为(3，1)，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键．3. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）A B C O OAB ACB ∠A. 60°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】C【解析】 【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．OAB ∆【详解】解：∵为等边三角形，OAB ∆∴∠AOB=60°，∴=∠AOB =×60°=30°． ACB ∠1212故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确28100x x -+=()2x a b +=的是（ ）A. B. C. D. ()246x -=()286x -=()246x -=-()2854x -=【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵，28100x x -+=∴，2810x x -=-∴，即，28161016x x +=-+-2(4)6x -=故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为O ABCD O ABCD （ ）A. 4B. 8C.D. 【答案】D【解析】 【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE ，由垂径定理可知BC=2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，∴OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，45BOE ∠=︒∴OE=BE，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴ BE ===∴BC=2BE=ABCD 的边长是．故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可x 以列方程为（ ）A.B. ()2.51 3.2x +=()2.512 3.2x +=C.D. ()22.51 3.2x +=()22.513.2x -=【答案】C【解析】 【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列x 出方程即可．【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，x 由题意得：，()22.513.2x +=故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题()21a x b ±=的关键．7. 下列说法中，正确的是（ ）A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【答案】B【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A ，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B ，可判断C ，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D ．【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A 不正确；事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B 正确；某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C 不正确；图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D 不正确． 故选择B ．【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物0ac <0a b c -+>90m a +=线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序(),C t n 4t +2ax bx c n ++=号是（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④【答案】B【解析】 【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则(),C t n ()4,-C t n 可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；0ac <∵抛物线的顶点为，且经过点，2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），2y ax bx c =++∴，故②错误；0a b c -+=∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a ， 22b a-=∵，0a b c -+=∴c=b-a=-5a，∵顶点，()2,A m ∴，即：， 244ac b m a -=()()24544a a a m a ⋅---=∴m=-9a，即：，故③正确；90m a +=∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，(),C t n ∴此抛物线经过点，()4,-C t n ∴，()()244-+-+=a t b t c n ∴一定是方程的一个根，故④错误．4t -2ax bx c n ++=故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______．xOy ()4,7-【答案】（-4，7）【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ），进而得出答案．【详解】解：点关于原点的对称点坐标为（-4，7），()4,7-故答案是：（-4，7）．【点睛】此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．10. 关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．x 240x mx ++=m 【答案】-5【解析】【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是1，240x mx ++=∴12+m+4=0，解得：m=-5．故答案是：-5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．11. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm ，则此圆弧所在圆的半径为________mm ．800π【答案】900【解析】【分析】由弧长公式l=得到R 的方程，解方程即可． 180n R π【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm ）． 800π160180R π答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角180n R π的度数．12. 写出一个开口向下，且对称轴在轴左侧的抛物线的表达式：_______．y 【答案】y=-x 2-2x+1【解析】【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【详解】解：抛物线的解析式为y=-x 2-2x+1，故答案为：y=-x 2-2x+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点xOy A B C 作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．【答案】（2，1）【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线xOy ()21422y x =--+经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线2122y x =+得到抛物线的过程：_______． 2122y x =+()21422y x =--+【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【解析】【分析】由抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，此2122y x =+()21422y x =-+时正好与关于直线对称，即可得到答案． 2122y x =-+2y =【详解】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线2122y x =+()21422y x =-+后，正好与关于直线对称， 2122y x =-+2y =∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关()21422y x =--+2122y x =+于直线轴对称得到的， 2y =故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰ABC A ()090αα︒<<︒ADE B D 好落在边上，则_______．（用含的式子表示）BC ADE ∠=α【答案】 1802α-【解析】【分析】由旋转的性质可得∠DAB=，AD=AB ，∠B，进而即可求解．αADE ∠=【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，ABC A ()090αα︒<<︒ADE ∴∠DAB=，AD=AB ，∠B，αADE ∠=∵∠B=， 1802α-∴， ADE ∠=1802α-故答案是：． 1802α-【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16. 如图，在中，，是内的一个动点，满足Rt ABC △90ACB ∠=︒D ABC．若，则长的最小值为_______．222AC AD CD -=AB =4BC =BD【答案】2【解析】【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，由1D BD 1BD 此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵，即，222AC AD CD -=222=AC AD CD +∴∠ADC=90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，1D BD 1BD∵，，∠ACB=90°，AB =4BC =∴，AC =∴， 1132OC OD AC ===∴，5OB ==∴，112BD OB OD =-=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：．2220x x --=【答案】1211x x =+=【解析】【分析】把方程化成x 2=a 的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.【详解】2220x x --=221120x x -+--=2213x x -+=2(1)3x -=1x =∴原方程的解为1211x x ==【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．18. 问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出AB O C O ABC 中边上的高.AB 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①延长交于点，延长交于点；AC O D BC O E ②分别连接，并延长相交于点；AE BD F ③连接并延长交于点．FC AB H所以线段即为中边上的高．CH ABC AB （1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴________°．（______）（填推理的依据）ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，________是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 【答案】（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【解析】【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH 为△ABC 中AB 边上的高；（2）证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据） ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，_BD__是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．19. 已知二次函数．243y x x =++（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写()10,A y ()2,B m y 12y y <出的取值范围．m 【答案】（1）抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；（2）见解析；（3）2x =-或4m <-0m >【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）根据函数图像求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为， ()224321y x x x =++=+-∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；2x =-（2）列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 …243y x x =++ (3)0 -1 0 3 … 函数图像如下所示：（3）由函数图像可知，当时，或．12y y <4m <-0m >【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．20. 如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋ABCD AE CD E AE A 转，与的延长线交于点，，连接．CB F BF DE =FE（1）求证：；AF AE =（2）若，，直接写出的面积．30DAE ∠=︒2DE =AEF 【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）根据SAS 证明即可得到结论；ADE ABF ≅ （2）根据直角三角形的性质求出AE=4，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD=AB=BC=CD，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒∴90ABF D ∠=∠=︒在和中，ADE ∆ABF ∆AD AB D ABF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ABF ≅ ∴AF AE =（2）由（1）得ADE ABF ≅ ∴，DAE BAF ∠=∠AF AE =∴90BAF BAE BAE DAE BAD ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴是等腰直角三角形，FAE ∆在Rt△ADE 中，，，30DAE ∠=︒2DE =∴AE=2DE=4∴AF=4∴ 1144822AEF S AE AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、三角形的面积以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21. 已知关于的一元二次方程． x ()25620x k x k -+++=（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．1-k 【答案】（1）见详解；（2）k ＜-4【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×()25620x k x k -+++=（6+2k ）=k 2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵， ()()[]2562320-+++=-+-=⎡⎤⎣⎦x k x k x k x ∴x 1=2，x 2=k+3．∵此方程恰有一个根小于，1-∴k+3＜-1，解得：k ＜-4，∴k 的取值范围为k ＜-4．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k 的一元一次不等式．22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；2-乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规5-m 则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个a 球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．b a b <a b =a b >（1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；2m =-（2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的m m 值．【答案】（1）见详解；（2）m=-1【解析】【分析】（1）先画出树状图，再利用概率公式计算，即可求解；（2）取一个符合条件的m 的值，即可．【详解】解：（1）画树状图如下：∵一共有6种可能的结果，，有2种可能，，有3种可能，a b <a b >∴小明获胜的概率=2÷6=，小刚获胜的概率=3÷6=； 1312（2）当m=-1时，画树状图如下：此时，小明和小刚获胜的概率相同．【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，掌握画树状图是解题的关键．23. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于AB AC O B C CO O 点，过点作的切线交的延长线于点，于点．D D O ABE EF AC ⊥F（1）求证：四边形是矩形；CDEF（2）若，求的长.．CD =2DE =AC【答案】（1）见详解；（2）5【解析】【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线长定理可得AB=AC ，BE=DE ，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，DE 是的两条切线，于点AC O EF AC ⊥F ∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，∴四边形是矩形；CDEF （2）∵四边形是矩形，CDEF∴EF=，CF=，CD =2DE =∵，，DE 是的两条切线，AB AC O ∴AB=AC，BE=DE ，设AB=AC=x ，则AE=x+2，AF=x-2，在中，， Rt AEF ()(()22222x x -+=+解得：x=5，∴AC=5．【点睛】本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m ）与行进的水平距离（单位：m ）之间关系的y x 图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为A 3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；B C （2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；（2）设抛物线的解析式为：，从而求出a 的值，再把()()23 3.30y a x a =-+≠x=0代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3）， B C 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）； （2）设抛物线的解析式为：，()()233.30y a x a =-+≠把点坐标（4.5，3.05），代入得B ()23 3.3y a x =-+()23.054.53 3.3a =-+，解得：， 19a =-∴ ()213 3.39y x =--+当x=0时，， ()2103 3.3 2.39y =--+=答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．25. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，AB O ABCD O D AC DE BC ⊥交的延长线于点．BC E（1）求证：是的切线；DE O （2）若，，求的长． 10AB =8BC =BD【答案】（1）见详解；（2） 【解析】【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；（2）连接AC ，交OD 于点F ，利用勾股定理可得AC ，，再证明四边形DFCE 是6=4OF =矩形，进而即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD ，∵是的中点， D AC ∴∠ABC=2∠ABD， ∵∠AOD=2∠ABD， ∴∠AOD=∠ABC， ∴OD∥BC， ∵， DE BC ⊥∴， DE OD ⊥∵OD 为半径∴是的切线； DE O （2）连接AC ，交OD 于点F ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°，，6==∵是的中点， D AC ∴OD⊥AC，AF=CF=3，∴，4O F ===∴DF=5-4=1，∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°， ∴四边形DFCE 是矩形， ∴DE=CF=3，CE=DF=1，∴CD ==， ∵∠ADB=90°，∴BD ===【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A ，． xOy ()28y a x h a =--702h <<（1）若，1a =①点A 到轴的距离为_______；x ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；x （2）已知点A 到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为x 21y x =-+，，其中，若点在此抛物线上，当时，()11,B x y ()22,C x y 12x x <(),y D D D x 12D x x x <<总满足，求的值和的取值范围．D y 21D y y y <<a h【答案】（1）①8；②2）， 12a =5722h <<【解析】【分析】（1）①当时，，可得抛物线的顶点坐标为1a =()()2288y a x h a x h =--=-- ，即可求解；(),8h -②令，可得此抛物线与轴的两个交点为，即()280x h --=x ()(),h h +-可求解；（2）根据点A 到轴的距离为4，可得．分两种情况：①当时，抛物线为x 12a =±12a =，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--21y x =-+()11,B x y ，其中，得方程，从而得到()22,C x y 12x x <()2224100x h x h --+-=，进而得到，然后把，()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦72h <()2142y x h =--，联立得 ，再由点21y x =-+1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=-=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<轴 在点的右侧，即可求解；②当时，抛物线为x h =()22,C x y 12a =-，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--+21y x =-+()11,B x y ，其中得方程 ，从而得到()22,C x y 12x x <()222460x h x h -++-=，进而求出，把 ，()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦52h >-()2142y x h =--+，联立得，由点21y x=-+1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=++⎪⎪⎨⎨=--+=--⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y << 在点的左侧，即可求解．x h =()11,B x y 【详解】解：（1）①当时，， 1a =()()2288y a x h a x h =--=--∴抛物线的顶点坐标为 ， (),8h -∴点A 到轴的距离为8；x ②令，即， ()280x h --=()28x h -=解得：，12x h x h =+=-∴此抛物线与轴的两个交点为，x ()(),hh +-∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为；x ((h h +--（2）∵点A 到轴的距离为4， x ∴，解得： ， 84a -=±12a =±①当时 ， 12a =∴抛物线为， ()2142y x h =--∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即， ()214221h x x =---+()2224100x h x h --+-=∴， ()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦解得：， 72h <把，，联立得： ()2142y x h =--21y x =-+， ()214221y x h y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩解得：1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=--=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴在点的右侧， x h =()22,C x y ∴， 2h h >-+∴， 52h >∵． 702h <<∴的取值范围为 ． h 5722h <<②当时 ， 12a =-∴抛物线为 ， ()2142y x h =--+∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即 ， ()212142x x h -+=--+()222460x h x h -++-=∴ ， ()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦解得： ， 52h >-把 ，，联立得： ()2142y x h =--+21y x =-+ ， ()214221y x h y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-+⎩解得：，1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=+⎪⎪⎨⎨=--=--⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴 在点的左侧， x h =()11,B x y ∴，2h h <+-∴， 32h <-∴， 5322h -<<-∵． 702h <<∴无解．综上，，的取值范围为． 12a =h 5722h <<【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．27. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，ABC 90ACB ∠=︒CA CB =D E CA CB ，连接，，．点在线段上，连接交于点．CDCE =DE AE BD F BD CF AE H（1）①比较与的大小，并证明； CAE ∠CBD ∠②若，求证：；CF AE ⊥2AE CF =（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2．若是的中CDE △C ()090αα︒<<︒F BD点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 2AE CF =【答案】（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF 仍然成立，理由见解析 【解析】【分析】（1）①只需要证明△CAE≌△CBD 即可得到∠CAE=∠CBD；②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF ，CF=BF ，则BD=2CF ，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ，只需要证明△ACE≌△BCG 得到AE=BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG=2CF ，即可证明AE=2CF ． 【详解】解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下： 在△CAE 和△ CBD 中，， =CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△CAE≌△CBD（SAS ）， ∴∠CAE=∠CBD； ②∵CF⊥AE， ∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°， ∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD， ∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF， ∴CF=DF，CF=BF ， ∴BD=2CF， 又∵△CAE≌△CBD， ∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF 仍然成立，理由如下：如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ， 由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°， ∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG， 又∵CE=CD=CG，AC=BC ， ∴△ACE≌△BCG（SAS ），∴AE=BG，∵F 是BD 的中点，CD=CG ， ∴CF 是△BDG 的中位线， ∴BG=2CF， ∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如xOy O A O P O 下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍AP O B AP kAB =P A O k 特征点．（1）如图，点的坐标为．A ()1,0①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；P 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭P A O ②在，，这三个点中，点_________是点关于的110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭A O 12倍特征点；③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于l A y D 60DAO ∠=︒E l E A的倍特征点，求点的坐标；O 12E （2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上k ()101y x x =-+<<M O 都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值． N M N O k k【答案】（1）①；②；③（）；（2）k 的最小值为k 有最大值为343C 34． 【解析】【分析】（1）①先求出AP ，AB 的长，然后根据题目的定义求解即可；②先求出，，即可得到是点A 关112OC =1OA =1AC ==1C于⊙O 的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求12112AC AE =22AE OA =>=出是点A 关于⊙O 的倍特征点，得到3AC ==3C 12，可求出点F 的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，312AC AF =2C 12212AC =则，则点不是点A 关于⊙O 的倍特征点； 214AC AB =2C 12③设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF⊥x 轴于F ，先求出E 是AB 的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，即可得到点E 的坐标为EF =34OF ==（）； 34（2）如图所示，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP⊥CD 交CD 1y x =-+于P ，交圆O 于B ，过点O 作直线EF⊥CD 交圆O 于E ，F 即可得到，MN NP ≥AM BP ≤，由，可得，可以推出当的值越大，k 的值越MN kAN =1111MN k AM k k ==-+--MN AN大，则当AM=BP ，MN=NP 时，k 的值最小，即当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．【详解】解：（1）①∵A 点坐标为（1，0），P 点坐标为（，0）， 12-∴，B 点坐标为（-1，0）， 32AP =。
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题(含解析).doc
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
北京市西城区2020—2021学年度高三第一学期期末语文试卷及答案
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高三语文2021.1 本试卷共10页，共150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的材料，完成1－5题。
材料一建国七十年来，我国粮食产量稳步提升，其中科技的贡献有目共睹。
科技选种育种对粮食增产作用巨大。
比如作物全息定域选种，是在作物具有强遗传势的部位选种的方法。
实验证明，玉米的强遗传势区在果穗中下部，选用这一部位的籽粒做种，比用顶部的籽粒做种增产35.4％；高粱果穗上部的籽粒充实饱满，生活力强，在结实丰产方面有较强的遗传性，选用上部籽粒做种比用中部籽粒做种增产 6.4％～10.8％。
任何作物随着本身遗传性状的改良，生产性能会不断提高。
我国水稻种植从20世纪50年代中后期开始，由高秆品种改为新培育出的矮秆品种，该品种耐肥抗倒，单位面积产量比高秆品种增加30％以上。
1986年袁隆平提出杂交水稻的育种战略，历经九年艰苦攻关，中国独创的两系法杂交水稻取得成功，又使单产比常规品种增产15％～20％。
专家预测目前正在培育的超高产品种，将比现有品种在单产上提高近一倍。
科学技术可以改善耕地条件，进而扩大某些粮食作物种植区域，还可以提高粮食生产过程中有限资源的利用率。
例如在实施塑料薄膜覆盖后，土壤一般可增温2～5℃，覆盖期内地表积温增加200～300℃，从而使作物适宜耕作区的纬度向北推移2～4°，海拔提高1000～2000m。
由于该技术可应用的作物范围广，一般增产幅度可达30％～50％。
同时，地膜覆盖能使耕层土壤含水量提高2.77％～4.55％，每亩土壤蒸发量减少100～150m3。
单位农产品的平均耗水量减少一半，就相当于灌溉面积扩大了一倍。
农机装备技术的进步也至关重要。
21世纪以来我国农机装备技术发展极为快速。
机械设备如深松机、无人驾驶联合耕播作业机等逐渐被推广使用的同时，很多新技术也在其中得到应用。
【数学】北京市西城区2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)
北京市西城区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}，那么A∪B＝（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（1，+∞）2．方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B．{（1，1），（﹣1，1）}C．{（1，﹣1），（﹣1，﹣1）}D．∅3．函数的定义域是（）A．[1，2）B．[1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[1，2）∪（2，+∞）4．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）A．0.38B．0.61C．0.122D．0.755．若a＞b，c＞d＞0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bdC．D．以上答案都不对6．已知向量，，那么＝（）A．5B．C．8D．7．若2a＝3，则log43＝（）A．B．a C．2a D．4a8．设，为平面向量，则“存在实数λ，使得”是“向量，共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设f（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，则不等式f（x+1）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）10．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若AB＝2，则|+|的取值范围是（）A．[1，3]B．[，3]C．[3，]D．[，]二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∀x＞0，2x＞0”的否定是．12．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲、乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是．13．若不等式x2+ax+b＞0的解集为，则a＝，b＝．14．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量＝．（用，表示）15．设函数f（x）的定义域为D，若存在实数T（T＞0），使得对于任意x∈D，都有f（x）＜f（x+T），则称f（x）为“T﹣单调增函数”．对于“T﹣单调增函数”，有以下四个结论：①“T﹣单调增函数”f（x）一定在D上单调递增；②“T﹣单调增函数”f（x）一定是“nT﹣单调增函数”（其中x∈N*，且n≥2）：③函数f（x）＝[x]是“T﹣单调增函数”（其中[x]表示不大于x的最大整数）；④函数不是“T﹣单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．（Ⅰ）求丙答题正确的概率；（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．17．（15分）设f（x）＝x2﹣ax+3，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图像与直线y＝3x交点的坐标；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，0）上不具有单调性，求a的取值范围．18．（14分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲6699乙79x y（Ⅰ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；（Ⅱ）设x＝6，y＝10，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求a≥b的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）19．（15分）已知函数．（Ⅰ）若f（a）＝1，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（x）≥m对于x∈[3，+∞）恒成立，求实数m的范围．20．（13分）某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（n∈N*，单位：年）之间的函数关系式为e＝2n2+10n，该船每年捕捞的总收入为50万元．（Ⅰ）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？（Ⅱ）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？21．（15分）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集．（Ⅰ）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；（Ⅱ）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（Ⅲ）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．【参考答案】一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．C【解析】∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∪B＝{x|x＞﹣2}．故选：C．2．A【解析】由x+y＝0，得x＝﹣y，代入x2+y2＝2，得2y2＝2，解得y＝±1，故y＝1时，x＝﹣1，y＝﹣1时，x＝1，故方程组的解集是{（1，﹣1），（﹣1，1）}，故选：A．3．B【解析】要使原函数有意义，则，解得x≥1．∴函数的定义域是[1，+∞）．故选：B．4．B【解析】∵质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，∴该企业生产的产品为一等品的概率约为（0.08+0.042）×5＝0.61．故选：B．5．D【解析】对于A，令a＝﹣2，b＝﹣3，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但ac＜bd，故A 错误，对于B，令a＝3，b＝2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但ac＞bd，故B错误，对于C，令a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但，故C错误．故选：D．6．B【解析】向量，，那么＝|（5，﹣5）|＝＝5．故选：B．7．A【解析】由题意得，log23＝a，所以log43＝log23＝a，故选：A．8．A【解析】设，为平面向量，则当时，向量，共线，当向量，（，）共线，则不存在实数使，故“存在实数λ，使得”是“向量，共线”的充分不必要条件；故选：A．9．D【解析】∵f（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增且f（﹣1）＝0，则f（x）的图象如图：则f（x）＜0的解为0＜x＜1或x＜﹣1，由0＜x+1＜1或x+1＜﹣1，得﹣1＜x＜0或x＜﹣2，即f（x+1）＜0的解集（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0），故选：D．10．D【解析】由题意知，△ABC为等腰直角三角形，其中AC＝BC＝，设＝λ，λ∈[0，1]，则+＝+（﹣）＝+（﹣λ）＝+（1﹣λ），所以|+|2＝[+（1﹣λ）]2＝+（1﹣λ）22+2（1﹣λ）•＝2+4（1﹣λ）2+2（1﹣λ）••2•cos45°＝4λ2﹣12λ+10＝4（λ﹣）2+1，在λ∈[0，1]上单调递减，故当λ＝0时，|+|2取得最大值，为10，当λ＝1时，|+|2取得最小值，为2，所以|+|的取值范围为[，]．故选：D．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．∃x∈R，2x≤0【解析】命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈R，2x≤0．故答案为：∃x∈R，2x≤0．12．a＞b【解析】由表格数据可得，，b＝，故a＞b．故答案为：a＞b．13．﹣；1【解析】因为不等式x2+ax+b＞0的解集为，所以和2是方程x2+ax+b＝0的实数解，由根与系数的关系，知，解得a＝﹣，b＝1．故答案为：﹣；1．14．【解析】在正六边形ABCDEF中，，且，则＝﹣2＝＝，故答案为：．15．②③④【解析】①例如f（x）＝，定义域为R，存在T＝2，对于任意x∈R，都有f（x）＜f（x+2），但f（x）在R上不单调递增，①错误；②因为f（x）是T﹣单调增函数，所以存在T＞0，使得对于任意x∈D，都有f（x）＜f（x+T），因为n≥2，T＞0，所以f（x+T）＜f（x+nT），故f（x）＜f（x+nT），即存在实数nT＞0，使得对于任意x∈D，都有f（x）＜f（x+nT），故f（x）是nT﹣单调增函数，②正确；③f（x）＝[x]，定义域为R，当T＝1时，对任意的x∈R，都有[x]＜[x+1]，即f（x）＜f（x+1）成立，所以f（x）＝[x]是T﹣单调增函数，③正确；④当x＝﹣时，f（﹣）＝﹣+1＝，若T＝1＞0，则f（x+T）＝f（﹣+1）＝f（）＝lg＜0，显然不满足f（x）＜f（x+T），故函数不是“T﹣单调增函数”，④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，设丙答对题的概率为x，乙答对题的概率为P（B）＝1﹣＝，∵每人回答问题正确与否相互独立，∴事件A，B，C是相互独立事件，根据相互独立事件概率乘法公式得P（BC）＝P（B）P（C）＝，解得x＝，∴丙答题正确的概率为；（Ⅱ）甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为：P（）＝P（）P（B）P（）＝（1﹣）×（1﹣）＝．17．解：（I）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x+3，联立方程，解得或，故焦点坐标为（1，3）和（3，9）．（II）函数f（x）有两个不相等的正数零点，设方程x2﹣ax+3＝0有两个不等的正实根x1，x2，即，解得，故a的取值范围为（2，+∞）．（III）函数f（x）＝x2﹣ax+3在上单调递增，在上单调递减，∵函数f（x）在（﹣∞，0）上不具有单调性，∴0，解得a＜0，故a的取值范围为（﹣∞，0）．18．解：（Ⅰ）由题意得＞，整理得x+y＞14，根据题意得0≤y≤10，∴4＜x≤10，∴乙的平均得分高于甲的平均得分时，x的最小值为5；（Ⅱ）设x＝6，y＝10，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，设事件M表示“a≥b”，记甲的4局比赛为m，n，c，d，各局得分为6，6，9，9，乙的4局比赛为A，B，C，D，各局得分为7，9，6，10，从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有的可能的结果有16种，分别为：（m，A），（m，B），（m，C），（m，D），（n，A），（n，B），（n，C），（n，D），（c，A），（c，B），（c，C），（c，D），（d，A），（d，B），（d，C），（d，D），事件M包含的基本事件有8种，分别为：（m，C），（n，C），（c，A），（c，B），（c，C），（d，A），（d，B），（d，C），∴a≥b的概率P（M）＝＝；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，x的所有可能取值为6，7，8．19．解：（Ⅰ）若f（a）＝1，得log2＝1，即＝2，得a﹣1＝2a+2，得a＝﹣3；（Ⅱ）由＞0，得x＞1或x＜﹣1，定义域关于原点对称，则f（﹣x）+f（x）＝log2+log2＝log2（•）＝log21＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．（Ⅲ）＝＝1﹣，设t＝，则y＝log2t为增函数，t＝1﹣在[3，+∞）为增函数，∴f（x）在x∈[3，+∞）为增函数，要使f（x）≥m对于x∈[3，+∞）恒成立，则使f（x）min≥m，∵f（x）min＝f（3）＝log2＝log2＝﹣1，∴m≤﹣1，则求实数m的范围是（﹣∞，﹣1]．20．解：（I）由题意可得，渔船捕捞的利润y＝50n﹣e﹣98＝﹣2n2+40n﹣98＞0，解得10＜n＜10+，∵n∈N*，且，∴该渔船捕捞3年开始盈利．（II）由题意可得，平均盈利额m＝≤，当且仅当，即n＝7时，等号成立，故在第7年平均盈利额达到最大，总收益为7×12+30＝114万元．21．解：（Ⅰ）∵A＝{2，3，5}，∴B＝{6，10，15}，（Ⅱ）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，因为a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，所以B中元素个数大于等于7个，又A＝{21，22，23，24，25}，B＝{23，24，25，26，27，28，29}，此时B中元素个数大于等于7个，所以生成集B中元素个数的最小值为7．（Ⅲ）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，则必有ab＝2，cd＝16，其4个正实数的乘积abcd＝32；也有ac＝3，bd＝10，其4个正实数的乘积ahcd＝30，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．。