实验二_连续和离散时间LTI系统的响应及卷积
matlab分析系统响应
1
0
bm x(m) (t) bm 1 x (m 1) (t) b1x ' (t) b0 x(t)
零状态响应yzs(t)为 y=lsim(sys,x,t)
冲激响应h(t)为 h=impulse(sys, t)
sys :LTI系统模型 sys=tf(b,a)
b和a分别为微分方程两端 各项的系数向量
y(t)
t=ts:dt:te;
0
y=impulse(sys,t);
-0.05
plot(t,y);
-0.1
-0.15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Time
[例1] 描述系统的微分方程为 y '(t) 2 y '(t) 100y(t) 2x(t) 试求系统的冲激响应和如图所示周期矩形波x(t) 的零状态响应。
其脉冲响应h[k]零状态响应yzs[k]的求解： a=[a0,a1, a2, a3]; b=[b0,b1, b2, b3]; k=0:1:1000
h=impz(b,a,k) y=filter(b,a,x)
sys=tf([2],[1 3 2]);
-1
-1 .5
t=ts:dt:te;
-2 0
5
10
15
20
25
30
T im e
0 .0 2 5
x=sin(t)+sin(20*t); 0.02
0 .0 1 5
y=lsim(sys,x,t）
0 பைடு நூலகம்0 1
0 .0 0 5
y(
plot(t,y);
t)
0 -0 .0 0 5
信号与系统课件：第二章 LTI系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
实验1 利用matlab进行系统的时域分析
实验1 利用matlab进行系统的时域分析一．实验目的:1．了解离散时间序列卷积与的matlab实现;2．利用卷积与求解系统的零状态响应;二．实验原理:1．连续时间系统零状态响应的求解连续时间LTI系统以常系数微分方程描述,系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。
在MATLAB中,控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始状态微分方程数值解的函数lsim。
其调用方式为y= lsim( sys,x,t)式中t表示计算系统响应的抽样点向量,x就是系统输入信号向量,sys就是连续时间LTI系统模型,用来表示微分方程、差分方程、状态方程。
在求解微分方程时,微分方程的连续时间LTI系统模型sys要借助tf函数获得,其调用方式为sys= tf(b,a)式中b与a分别为微分方程右端与左端各项的系数向量。
例如对3阶微分方程+++=+++可用a=[ a3, a2, a1, a0];b=[b3 ,b2, b1,b0]; sys=tf( b,a)获得连续时间LTI模型。
注意微分方程中为零的系数一定要写入向量a与b中。
【例2-1】描述某力学系统中物体位移y(t)与外力f(t)的关系为++y(t)=x(t)物体质量m=l kg,弹簧的弹性系数ks= 100 N/m,物体与地面的摩擦系数fd=2 N·s/m,系统的初始储能为零,若外力x(t)就是振幅为10、周期为1的正弦信号,求物体的位移y(t)。
解:由已知条件,系统的输入信号为x(t)=10sin(2πt),系统的微分方程为++100y(t)=x(t)计算物体位移y(t)的MATLAB程序如下:%program2_1微分方程求解ts=0;te=5;dt=0、01;sys=tf([1],[1 2 100]);t=ts:dt:te;x=10*sin(2*pi*t);y=lsim(sys,x,t);plot(t,y);xlabel('Time(sec)')ylabel('y(t)')-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Time(sec)y (t )图2-1系统的零状态响应2、连续时间系统冲激响应与阶跃响应的求解在MATLAB 中,求解系统冲激响应可应用控制系统工具箱提供的函数impulse,求解阶跃响应可利用函数step 。
实验2离散时间LTI系统的时域分析
实验二 离散时间LTI 系统的时域分析一 实验目的（1） 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的零状态响应；（2） 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的单位取样响应；（3） 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的卷积和。
二 实验原理及实例分析1、离散时间系统的响应离散时间LTI 系统可用线性常系数差分方程来描述，即∑∑==-=-Mj jN i i j n x b i n y a 00)()( （1） 其中，i a （0=i ，1，…，N ）和j b （0=j ，1，…，M ）为实常数。
MATLAB 中函数filter 可对式（1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter 的语句格式为y = filter (b , a , x )其中，x 为输入的离散序列；y 为输出的离散序列；y 的长度与x 的长度一样；b 与a 分别为差分方程右端与左端的系数向量。
【实例1】 已知某LTI 系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y试用MATLAB 命令绘出当激励信号为)()2/1()(n u n x n=时，该系统的零状态响应。
解：MATLAB 源程序为>>a=[3 -4 0 2];>>b=[1 2]; >>n=0:30;>>x=(1/2).^n;>>y=filter(b,a,x);>>stem(n,y,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('系统响应y(n)')程序运行结果如图1所示。
2、离散时间系统的单位取样响应系统的单位取样响应定义为系统在)(n δ激励下系统的零状态响应，用)(n h 表示。
MATLAB 求解单位取样响应可利用函数filter ，并将激励设为前面所定义的impDT 函数。
电路、信号与系统(2)实验指导书
描述线性时不变离散系统的差分方程为
编写求解上述方程的通用程序。
[建模]
将方程变形可得（用MATLAB语言表示）
a(1)*y(n)= b(1)*u(n)+…+ b(nb)*u(n-nb+1)- a(2)*y(n-1)-…- a(na)*y(n-na+1)
令us== [u(n),…, u(n-nb+1)]; ys=[y(n-1),…, y(n-na+1)]
x(n)={2,1,-1,3,1,4,3,7}（其中加下划线的元素为第0个采样点）在MATLAB中表示为：
n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]; x=[2,1,-1,3,1,4,3,7]；
当不需要采样位置信息或这个信息是多余的时候，可以只用x向量来表示。
（一）离散信号的MATLAB表述
[问题]
实验一连续时间信号与系统分析
一、实验目的
1、了解连续时间信号的特点；
2、掌握连续时间信号的MATLAB描述；
3、掌握连续LTI系统单位冲激响应的求解方法；
4、掌握连续LTI系统的零状态响应的求解方法。
二、实验内容
严格说来，只有用符号推理的方法才能分析连续系统，用数值方法是不能表示连续信号的，因为它给出的是各个样点的数据。只有当样本点取得很密时才可看成连续信号。所谓很密，是相对于信号变化的快慢而言的。以下均假定相对于采样点密度而言，信号变化足够慢。
elseif lu<lh nh=0; nu=lh-lu;
else nu=0; nh=0;
end
dt=0.1;
lt=lmax;
u=[zeros(1, lt), uls, zeros(1, nu), zeros(1, lt)];
卷积算法实验报告程序
一、实验目的通过本次实验，加深对卷积算法的理解，掌握离散时间系统中的卷积运算方法，并学会使用MATLAB进行卷积运算的仿真。
二、实验原理卷积是一种线性时不变（LTI）系统的数学运算，用于描述系统输入信号与系统冲激响应的卷积结果。
在离散时间系统中，卷积运算可以表示为：\[ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] \]其中，\( y[n] \) 是系统的输出信号，\( x[k] \) 是系统的输入信号，\( h[n] \) 是系统的冲激响应，\( n \) 是时间变量。
MATLAB提供了`conv`函数来进行卷积运算，其语法为：\[ y = conv(x, h) \]其中，\( x \) 和 \( h \) 分别是输入信号和冲激响应的向量。
三、实验内容1. 创建输入信号和冲激响应使用MATLAB创建一个简单的输入信号 \( x[n] \) 和一个冲激响应 \( h[n] \)。
```matlab% 创建输入信号 x[n] = cos(2pi0.5n)n = 0:100;x = cos(2pi0.5n);% 创建冲激响应 h[n] = u[n] - u[n-10]h = [ones(1,10), zeros(1,90)];```2. 进行卷积运算使用`conv`函数进行卷积运算，并绘制输入信号、冲激响应和输出信号的图形。
```matlab% 进行卷积运算y = conv(x, h);% 绘制图形figure;subplot(3,1,1);stem(n, x);title('输入信号 x[n]');subplot(3,1,2);stem(n, h);title('冲激响应 h[n]');subplot(3,1,3);stem(n, y);title('输出信号 y[n]');```3. 分析卷积结果分析卷积结果，观察输出信号的特性，并与理论预期进行对比。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
基于lti离散系统的卷积和解法
基于lti离散系统的卷积和解法离散时间系统是信号处理领域的重要理论，可以有效地处理数字信号，并解决相关的问题，特别是离散时间系统的离散卷积技术在信号处理中具有重要意义。
本文重点介绍以LTI离散系统为基础的卷积及其解法算法。
1、什么是离散时间系统？离散时间系统是一种模型，用来描述在离散时间点上持续变化的信号，用来描述离散时间系统的特征和行为。
LTI离散系统是离散时间系统的一种，即线性时间不变的离散时间系统（LTI），它是一种线性系统，表示信号的滤波和转换，其模型可以由回路方程、频率响应函数或模拟响应函数表示，通常用来模拟时钟驱动的应用。
2、离散卷积的定义由离散时间系统定义，卷积（convolution）是系统输出与系统输入之间的关系，卷积是在离散时间上定义的，简而言之，卷积是一种函数，它是一个以多个变量为参数的函数，它是用来描述输入函数和系统的输出之间的关系的。
3、卷积的解法对于LTI离散系统的卷积，其解法基本上分为两类：零阶解法和非零阶解法。
零阶解法基于稳定求和原理，它可以解决求解LTI离散系统卷积的最基本问题，该算法具有时间复杂度线性（O（n））、空间复杂度线性（O（n））。
而非零阶解法则可以解决较为复杂的离散系统卷积解法，其时间复杂度可以达到O（nlogn），空间复杂度可以达到O（n）。
4、结论离散时间系统技术在信号处理领域具有广泛的应用，LTI离散系统的离散卷积是其中的重要技术，其解法也因此受到广泛的重视，也有不同的解法出现。
LTI离散系统的卷积解法常用的是零阶解法和非零阶解法，它们都有优秀的时间、空间复杂度性质，可以帮助我们完成复杂的信号处理任务。
综上所述，LTI离散系统的卷积及其解法具有重要意义，有助于完成信号处理的复杂任务。
在未来，研究者可以探索在LTI离散系统中应用更加复杂的卷积及其解法，使之更加有效和高效。
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实验二 连续和离散时间LTI 系统的响应及卷积
一、实验目的
掌握利用Matlab 工具箱求解连续时间系统的冲激响应、阶跃响应，离散时间系统的单位样值响应，理解卷积概念。
二、实验内容
1、连续时间系统的冲击响应、阶跃响应
a. 利用impulse 函数画出教材P44例2-15: LTI 系统
()3()2()dy t y t x t dt
+=的冲击响应的波形。
a=[ 1 3];
>> b=[2]; >> impulse(b,a);
b. 利用step 函数画出教材P45例2-17: LTI 系统
1''()3'()2()'()2()2
y t y t y t x t x t ++=+的阶跃响应的波形。
a=[1 3 2];
>> b=[0.5 2];
>> step(b,a)
2、离散时间系统的单位样值响应
利用impz函数画出教材P48例2-21:
--+---=的单位样值响应的图形。
[]3[1]3[2][3][]
y n y n y n y n x n
a=[1 -3 3 -1];
>> b=[1];
>> impz(b,a)
3、连续时间信号卷积
画出函数f1(t)＝(1+t)[u(t)-u(t-1)]和f2(t)=u(t-1)-u(t-2)的图形，并利用附在后面的sconv.m函数画出卷积积分f1(t)* f2(t)图形。
t=-1:0.01:3;
f1=(1+t).*(0.5*sign(t)-0.5*sign(t-1));
f2=(0.5*sign(t-1)-0.5*sign(t-2));
subplot(2,2,1);
plot(t,f1);
subplot(2,2,2);
plot(t,f2);
sconv(f1,f2,t,t,0.01);
4、画出教材P60例2-28中h[n]、x[n]的图形（图2-14(a)(b)），并利用conv函数求出
卷积x[n]*h[n]并画出图形（图2-14(f)）。
n=0:10;
x1=[zeros(1,0),1,zeros(1,10)]+[zeros(1,1),1,zeros(1,9)]+[zeros(1,2),1,zeros(1,8)];
>> stem(n,x1);
n=0:10;
x1=[zeros(1,0),1,zeros(1,10)]+[zeros(1,1),2,zeros(1,9)]+[zeros(1,2),1,zeros(1,8)]; stem(n,x1);
h=[0 1 1 1 0 0 0];
x=[0 1 2 1 0 0 0];
y=conv(h,x);
n=-1:11;
stem(n,y)
附sconv.m函数的程序
function [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)
%计算连续信号卷积积分f(t)=f1(t)*f2(t)
% f: 卷积积分f(t)对应的非零样值向量
% k：f(t)的对应时间向量
% f1: f1(t)非零样值向量
% f2: f2(t)的非零样值向量
% k1: f1(t)的对应时间向量
% k2: f2(t)的对应时间向量
% p：取样时间间隔
f=conv(f1,f2); %计算序列f1与f2的卷积和f
f=f*p;
k0=k1(1)+k2(1); %计算序列f非零样值的起点位置
k3=length(f1)+length(f2)-2; %计算卷积和f的非零样值的宽度
k=k0:p:k3*p; %确定卷积和f非零样值的时间向量
subplot(2,2,1)
plot(k1,f1) %在子图1绘f1(t)时域波形图
title('f1(t)')
xlabel('t')
ylabel('f1(t)')
subplot(2,2,2)
plot(k2,f2) %在子图2绘f2(t)时波形图
title('f2(t)')
xlabel('t')
ylabel('f2(t)')
subplot(2,2,3)
plot(k,f); %画卷积f(t)的时域波形
h=get(gca,'position');
h(3)=2.5*h(3);
set(gca,'position',h) %将第三个子图的横坐标范围扩为原来的2.5倍title('f(t)=f1(t)*f2(t)')
xlabel('t')
ylabel('f(t)')。