三角函数图象平移问题的解题策略
关于三角函数图像的平移变换
三角函数图像的平移、变换一、 引入以简单函数为例，解说“左加右减、上加下减” 。
讲清横移的实质是把全部x 替代为 x+a ；二、三角函数图像的平移之历年高考真题1、为了获得函数y sin(2 x) 的图像，只需把函数 y sin(2 x) 的图像（ A ）向左平移个长度单364位（ B ）向右平移 个长度单位4（ C ）向左平移个长度单位（ D ）向右平移个长度单位22【答案】 B2、将函数 ysin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到本来的102 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是（ A ） ysin(2 x ) （B ） ysin(2 x)sin( 1x10sin( 1x 5 （ C ） y) （ D ） y )2102 20分析：将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 所得函数图象的分析式为 y ＝ sin( x10－)再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是10y sin( 1x) . 【答案】 C 210以本题为例，解说横向变换的实质也是替代。
可发问：上述步骤反演，结果怎样？3、（ 2010 天津文）（ 8）右图是函数 y Asin （ x+ ）（ xR ）在区间 - 5上的图象，为了获得这个函数的图象，只，6 6要将 y sin x （ x R ）的图象上全部的点(A) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3来的 1倍，纵坐标不变2(B) 向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原3来的 2 倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变621【答案】 A【分析】本题主要考察三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为，振幅为1，因此函数的表达式能够是y=sin(2x+ ).代入（ - ， 0）可得的6一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+ )，因此只需将 y=sinx （ x∈ R）3 3 6 1倍，纵坐标不变。
三角函数中的平移与伸缩变换
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
三角函数的平移变换
函数)sin(A ϕω+=x y 的图像1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()s i n y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。
2、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：【典型例题】例1将函数)3sin(2π+=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变）， 所得图象对应的表达式为A ．)321sin(2π+=x y B ．)621sin(2π+=x yC ．)32sin(2π+=x yD ．)322sin(2π+=x y 例2、110610. 将函数)32cos(4π-=x y 的图像向右平移6π个单位，所得图像的解析式是（A ）)62cos(4π-=x y （B ）)322cos(4π-=x y （C ）x y 2cos 4= （D ）x y 2sin 4=例3、080606.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A ． 向左平移3π个单位长度B ． 向右平移3π个单位长度C ． 向左平移6π个单位长度D ． 向右平移6π个单位长度试题分析：因为sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需将函数sin 2y x =的图像向右平移6π各单位即可得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；故D 正确.【会考真题】1、101213.为得到函数)42sin(π+=x y 的图像，只须将函数x y 2sin =上所有点（ ）（A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4π个单位 （C ）向右平移8π个单位 （D ）向左平移8π个单位2、060615：要得到函数cos(2),3y x x R π=+∈的图像，只需把曲线cos 2y x =上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向左平行移动6π个单位长度 （D ）向右平行移动6π个单位长度例4 、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ） （B ）（C ） （D ） 解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C1、100113：把函数3sin y x =的图像上每个点的横坐标伸长到到原来的两倍（纵坐标保持不变），然后再将整个图像向左平移3π个单位，所得图像的函数解析式是（ ）（A ）3sin(2)6y x π=-（B ）13sin()26y x π=+ （C ）3sin(2)3y x π=- （D ）13sin()23y x π=+2、070614或090113：将函数sin()()3y x x R π=-∈的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向左平移3π个单位长度，则得到的图像的函数解析式是（ ）（A ）1sin2y x = （B ）1sin()23y x π=- （C ）sin(2)6y x π=- （D ）1sin()26y x π=-sin y x =10πsin(2)10y x π=-sin(2)5y x π=-1sin()210y x π=-1sin()220y x π=-sin y x =10π10π1sin()210y x π=-3、090614：把函数sin(2),4y x x R π=+∈的图像向右平移8π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到到原来的12倍（纵坐标不变），则所得图像对应的函数解析式为（ ） （A ）cos(4)8y x π=+（B ）sin(4)8y x π=+ （C ）cos 4y x = （D ）sin 4y x =例5、为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度．。
高中数学三角函数图像平移变换最难题型技巧轻松解，颠覆你的认知
高中数学三角函数图像平移变换最难题型技巧轻松解，颠覆你的认知三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
三角函数让一些同学真的是很头痛的知识点，它不仅变化多端，而且技巧性很强。
有时候你稍微不注意，没有弄清楚题目的变化，题目可能就要全军覆没。
在考研备考复习过程中，三角函数这块知识点也是必不可少的。
考研涉及的关于三角函数的知识点考查形式很多，比如有关三角函数的等价无穷小代换、万能公式代换积分、涉及三角函数的微分方程……今天先给大家分享一些结论性的三角函数积分知识。
今天讲这个专题有三个元素量：第一个是初始函数，第二个是变换过程，第三个是目标函数。
这三个元素量组合成三种题型，它是知二求一，就是说任意两个是已知的，让你求第三个。
所说它分三个题型：①已知初始函数和变换过程，求目标函数;②已知变换过程和目标函数，求初始函数;③已知初始函数和目标函数，求变换过程。
我告诉大家，前两个题型非常简单，我今天不给大家讲，我前面有讲《2句话搞定三角函数图像平移变换问题》，只要看过我这篇文章或者视频课，把这个点领悟透彻，这两题非常容易就做出来了。
我给大家答案，大家可以自己去做一下，第一题答案是：A;第二题答案：B。
今天就主要来讲一讲如何搞定第三种题型：已知初始函数和目标函数，求变换过程。
它为什么难度比较大呢，就是因为它给的两个函数的名称不一样，你首先是要统一名称，而且是唯一的，你如果统一成cosx就有可能有正确的先期，如果统一成sinx可能就没有正确选项。
所以这类题只能出选择题，不能出填空题。
为什么?因为填空它的答案不唯一!!所以一般不会出填空题。
为方便大家能将这个知识点理解透彻，我用常规方法解一道题讲原理，最后给大家讲秒杀方法，那么这种题目就可以10秒出答案!常规方法解例1：首先我统一成cosx看能不能选出答案。
三角函数图象的平移和伸缩
3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。
高中数学函数图像平移题解题技巧
高中数学函数图像平移题解题技巧在高中数学的学习中，函数图像平移题是一个非常常见的题型。
这类题目要求我们根据给定的函数，通过平移的方式得到新的函数图像。
解决这类题目，我们需要掌握一些解题技巧。
一、平移的基本概念在解决函数图像平移题之前，我们首先要了解平移的基本概念。
平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行移动，而不改变函数的形状。
在平移过程中，函数图像上的每一个点都按照相同的距离和方向进行移动。
二、平移的方向1. 向右平移：当我们需要将函数图像向右平移时，可以通过在自变量上加上一个正数来实现。
例如，对于函数y = f(x)，如果我们需要将其向右平移3个单位，则可以考虑使用函数y = f(x - 3)。
2. 向左平移：当我们需要将函数图像向左平移时，可以通过在自变量上加上一个负数来实现。
例如，对于函数y = f(x)，如果我们需要将其向左平移2个单位，则可以考虑使用函数y = f(x + 2)。
三、平移的距离平移的距离是指函数图像在坐标轴上移动的单位数。
当平移的距离为正数时，表示向右平移；当平移的距离为负数时，表示向左平移。
四、平移的应用举例下面我们通过具体的题目来说明函数图像平移题的解题技巧。
例题一：已知函数y = x^2，将其向右平移2个单位，得到新函数y = (x - 2)^2。
求新函数的图像。
解析：根据平移的定义，我们可以得知新函数的自变量为x - 2。
为了绘制新函数的图像，我们可以列出一个函数值的对应表。
当x = 0时，原函数的y = 0，新函数的y = (-2)^2 = 4；当x = 1时，原函数的y = 1，新函数的y = (-1)^2 = 1；当x = 2时，原函数的y = 4，新函数的y = (0)^2 = 0；当x = 3时，原函数的y = 9，新函数的y = (1)^2 = 1；通过以上计算，我们可以得到新函数的函数值表。
将这些点连接起来，就可以得到新函数的图像。
例题二：已知函数y = sin(x)，将其向左平移π/2个单位，得到新函数y = sin(x+ π/2)。
高考数学三角函数图像平移变换！高考必考内容！3种题型讲解！
⾼考数学三⾓函数图像平移变换！⾼考必考内容！3种题型讲解！题型⼀：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变
换
1．三⾓函数图象变换的思路
先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三⾓函数图象的平移变换问题，其平移变
换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其⾃变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系
数提取后再确定平移的单位长度和⽅向．
题型⼆：由图象求y＝A sin(ωx＋φ)的解析
式
求函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的⽅法
(1)求A，b先确定函数的最⼤值M和最⼩值m，则A＝(M－m)/2，b＝(M＋m)/2
(2)求ω先确定函数的周期T，则可得ω＝T/2π
(3)求φ
代⼊法．把图象上的⼀个已知点代⼊(此时A，ω，b已知)或代⼊图象与直线y＝b的交点求解(此
时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
题型三：y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质
函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质是命题的热点，多将图象变换、解析式求法与性质综合⼀起
考查，属中低档题.
常见的命题⾓度有：
(1)图象变换与性质的综合；
(2)解析式的求法与性质的综合；。
三角函数图象平移问题的解题策略
三角函数图象平移问题的解题策略三角函数图象的平移是图象学习中的一个要点，做题时往往容易搞错,究其原因主要是没有对其仔细的理解,没有形成解决问题的套路，下面对解决这类问题，给大家提供一个“四看”的解题策略。
一、看平移要求.拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点,一般题目会有下面两种常见的叙述。
例1. (1）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移B。
向右平移C. 向左平移D. 向右平移（2)函数的图象经过下面哪个变化，可以得到函数的图象（）A. 向左平移B。
向右平移C. 向左平移D. 向右平移分析：上面两题是平移问题两种典型的叙述方法，粗看两题好像差不多，其实两题的要求是不同的。
第（1）题是要把函数移到，而第（2）题是要把函数移到，两题平移的要求不同。
第(1）题是我们教学中的基本形式，应该选D，而第（2)题是它的反向形式，故选C.二、看函数形式我们在解决这类问题时，一定要依赖的形式，如果题目给定的函数不是这样的形式，那么我们首先要化为的形式，再考虑平移.所以二看函数形式。
例2。
（1）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A。
向右平移个单位长度B。
向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D。
向左平移个单位长度（2）函数的图象可由的图象经下面变换得到（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C。
向左平移个单位长度D。
向左平移个单位长度分析:这两题主要是函数形式的变化,我们所研究的两个函数必须都是型如等形式。
当我们实际题目两个函数不都是这样的形式时,我们先利用函数公式进行转化。
第(1）题我们可以改变的形式为:因此将向右移动可得到，故选B.第（2）题中函数可化为：正确答案为D.三、看移动方向在学习中,移动的方向一般我们会记为“正向左,负向右”，其实,这样不理解的记忆是很危险的。
上述规则不是简单的看中的正负，而是和它的平移要求有关。
正确的理解应该是:平移变换中，将x变换为x＋，这时才是“正向左,负向右”.例3. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A。
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三角函数图象平移问题的解题策略
三角函数图象的平移是图象学习中的一个要点，做题时往往容易搞错，究其原因主要是没有对其仔细的理解，没有形成解决问题的套路，下面对解决这类问题，给大家提供一个“四看”的解题策略。
一、看平移要求。
拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点，一般题目会有下面两种常见的叙述。
例1. （1）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A. 向左平移
B. 向右平移
C. 向左平移
D. 向右平移
（2）函数的图象经过下面哪个变化，可以得到函数的图象（）
A. 向左平移
B. 向右平移
C. 向左平移
D. 向右平移
分析：上面两题是平移问题两种典型的叙述方法，粗看两题好像差不多，其实两
题的要求是不同的。
第（1）题是要把函数移到，而第
（2）题是要把函数移到，两题平移的要求不同。
第（1）题是我们教学中的基本形式，应该选D，而第（2）题是它的反向形式，故选C。
二、看函数形式
我们在解决这类问题时，一定要依赖的形式，如果题目给定的
函数不是这样的形式，那么我们首先要化为的形式，再考虑平移。
所以二看函数形式。
例2. （1）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
（2）函数的图象可由的图象经下面变换得到（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
分析：这两题主要是函数形式的变化，我们所研究的两个函数必须都是型如
等形式。
当我们实际题目两个函数不都是这样的形式时，我们先利用函数公式进行转化。
第（1）题我们可以改变的形式为：
因此将向右移动可得到，故选B。
第（2）题中函数可化为：正确答案为D。
三、看移动方向
在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解
的记忆是很危险的。
上述规则不是简单的看中的正负，而是和它的平移要求有关。
正确的理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋，这时才是“正向左，负向右”。
例3. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A. 向左平移
B. 向右平移
C. 向左平移
D. 向右平移
分析：两个函数的形式不同我们所期望的形式，所以先对它们进行变形。
转化为，转化为。
而由变到，我们可以看成原来的x替换为得到。
因此选D。
还可以通过函数的过渡。
先向右移得到
，再向右移得到，因此，变到
是向右移。
四、看移动单位
在函数中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以和
之间有一定的关系，是初相位，再经过的压缩，最后移动的单位是。
例4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A. 向左平移
B. 向右平移
C. 向左平移
D. 向右平移
分析：先把函数化为：。
初相位是，而最后移动的单位是。
选C。