圆系方程
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
圆系方程公式
圆系方程公式圆系方程公式是圆的数学表达式，它主要用于求解圆的相关参数。
圆系方程公式一般有以下几种形式：一、标准方程形式：X² + Y² + AX + BY + C = 0这里 A 、 B、C 是常系数，X 和 Y 是变量。
通过求解上述方程，可以求出圆心坐标（h，k）和半径 r 。
二、极坐标形式：r = a (1 - cos θ)在极坐标形式中，a 是半径，θ 是角度。
三、参数方程形式：x = a cos ty = b sin t在参数方程形式中，a 和 b 分别代表圆的长轴和短轴，t 是只变量，它可以从0 到2π 依次取值。
四、中心坐标形式：(x-h)² + (y-k)² = r²这里 h 和 k 分别代表圆心的横纵坐标，r 是半径。
圆系方程公式用来描述的是一种圆形图形，它的定义为：以某一点 P 作圆心，以某一条直线 L 作圆周，并且P 点到 L 直线的距离都相等。
圆系方程公式主要用于求解圆的相关参数，如圆心坐标、半径等，它能够更加准确地描述圆形图形，常用于工程设计中。
圆系方程公式可以用来求解圆形图形的面积和周长，其求解公式分别为：面积公式：S = πr²周长公式：C = 2πR其中，S 为圆形图形的面积，C 为圆形图形的周长，r 为圆的半径，π 为圆周率。
圆系方程公式不仅用于求解圆形图形的相关参数，还可以用于求解各种圆形图形之间的关系。
如可以求解两个圆形图形的位置关系、相交情况、切点等，可以对各种圆形图形进行适当的变换，以此达到工程设计的目的。
总之，圆系方程公式是一种可以准确描述圆形图形的数学表达式，可以帮助我们更好地求解圆形图形的相关参数，以及它们之间的关系，是一种非常重要的数学工具。
圆的方程的三种形式
圆的方程的三种形式
圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。
圆的标准方程形式为：（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比来看，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
圆的方程形式
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
圆
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数条对称轴。
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r是半径。
圆的标准方程是(x-a)²+(y - b)² = r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。
圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
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直线与圆交点圆系方程
直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆相交点AB的圆系方程,为什么是x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0
用集合论来证明就可以了,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0这个方程满足圆的一般方程,所以这个方程描述的是一个圆,而且所有同时满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0,AX+BY+C=0的点（即交点）一定满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,因为0+λ*0=0,所以,它们的交点在这个方程确定的圆上（属于这个方程描述的集合）.但是,对于不满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0和AX+BY+C=0的点,也可以满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,这些点就是这个圆上不是两个交点的其他点.我再举个例子,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）^2=0 ,这个方程描述的就是过直线和圆交点的椭圆（包括虚椭圆）.对于任意的若干个方程组,每个方程组含有若干个方程,它们的交集空间大都可以通过构造,含于满足条件特征空间之中.。
圆系方程公式
圆系方程公式
圆系方程是几何学中一类重要的概念，也是数学中最基本的概念之一。
它是由欧几里得发明的，在17世纪出现在西方数学史上。
圆系方程是一个定义了圆的数学表达式，它可以用来描述圆的形状。
它的形式是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中a和b是圆心的坐标，r 是圆的半径。
它可以用来表示一个圆的位置，大小和形状。
圆系方程在几何学中有很多应用，如计算面积、计算周长等。
圆系方程也可以用来描述几何图形，比如圆形，椭圆形，抛物线等，这些图形可以用圆系方程来描述。
此外，圆系方程还有许多工程应用，比如建筑设计、航空航天、城市规划等，它们都需要用圆系方程来表示几何图形，以便正确处理问题。
总之，圆系方程是一类重要的数学表达式，它在几何学和工程应用中都有着重要的作用，可以用来表示几何图形和计算面积、周长等。
圆系方程的几种应用
即半 径 最 小 ” 这 个 条 件 来 确 定 的 值 ， 从而得
到该 圆 的方程 。
Ｄ。 ＋ Ｅ ｚ ｙ＋ Ｆ ｚ ） 一０ （ ≠ 一 １ ） 。
特别 地 ， 当 一 一 １时 ， 若 两 圆相 交 ， ｌ 贝 Ｊ ｌ 此
（ 法 １ ） 设 此 圆方 程 为 ｚ ＋ ｙ ＋ ２ ｘ 一
Ｊ
有 的参数 较 少 ， 因 此 灵 活 利 用 圆 系 方 程 求 解 圆方 程 问 题 ， 则可 减少 运算 量 ， 从 而 使 问 题 迅
速获解 。下面 介绍 常见 的几 种 圆系方 程及
用
所 以当 一导时， 半径 ｒ 取得最小值 ， 即
此 时 圆的 面积最 小 。
～ …
一
程 ～ 为 ＼ 一 。 ／。 ＋ （ ＼ ／ 一５ 。
（ 法 ２ ） 设 所求 圆的方程 为 － ｚ 。 ＋ ＋ ２ ｘ一 ４ ＋ １＋ （ ２ ｘ ＋ ｙ ＋ ４）一 ｏ， 即 ｚ。 ＋ Ｙ。 ＋
２ （ １ ＋ ） ＋ （ 一 ４ ） ＋ （ １ ＋４ Ａ ） 一 ０。
２ ｘ十 １ ０ ｙ一 ０同 心 的 圆 Ｃ 的 方 程 。
解 ： 与圆 ｚ ＋ ｙ 一 ２ ｘ＋ ｌ Ｏ ｙ — ｏ 同 心 的
欲使所 求 圆的 面 积 最 小 ， 只 需 圆 的 半 径
圆 Ｃ 的方程 可 设 为 ｚ ｚ ＋ｙ ２ —２ ． ｚ十 ｌ Ｏ ＋ 一
ｏ， 把点 Ｍ （ ２ ， 一１ ） 代 入 此 方 程 可 得 一 ９ 。 所 以 所 求 圆 Ｃ 的 方 程 为 ｚ 。 ＋ 。 一２ ｘ＋
４ ＋ １＋ （ ２ ｘ＋ ＋ ４ ）一 ０，即 ｚ ＋ Ｙ 。＋ ２ （ １ ＋ ） ＋ 一 ４ ） ｙ＋ ｌ ＋４ Ａ一 ０ ， 由 此 方 程
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例2、求圆心为 ( 2 , 1 ) 且与已知圆 x 2 + y 2 － 3x = 0 的公共弦所在直线经过点 ( 5 , －2 ) 的 圆方程。 解：设所求圆为 x 2 + y 2 －4x －2y + F = 0 则公共弦方程： x + 2y －F = 0 过 ( 5 , －2 )
∴ F=1 故 所求圆方程为 x 2 + y 2 －4x －2y + 1 = 0
答案： 1、 x 2 + y 2 －8x －2y + 12 = 0 2、 x 2 + y 2 + 4x －6 = 0 3、 x 2 + y 2 －x －2y = 0
x_2___y_2 __D_1_x___E_1 y___F_1___(_x_2___y_2 __D_2_x__E__2 y___F_2_) _ 0
当 = －1 时，方程表示两圆的 _公__共__弦__方__程__
故求两圆的公共弦方程，只需消去 x 2、y 2 项
例1、求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2
大小一样，位置不同
(2) 同心圆系方程为 __(_x_－__a__)_2_+__(_y_－__b__)_2_=__k_2_(__k_为__参__数___)_ 图象特点：_位__置__相__同__，__大__小__不__同___
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
法一：转移法
x 1 y
1
y 1
1
x
故 所求圆为 x 2 + y 2 －6x －4y + 5 = 0
法二：对称法 ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 8
( x －3 ) 2 + ( y －2 ) 2 = 8
练习： 1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的 圆方程。 2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0 的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的圆方程。
2
1
1
52 16 16
5(
8 )2
16
2
2
55
当 8时, S 4
5
min
5
故 所求圆为 5x 2 + 5y 2 + 26x －12y + 37 = 0
例4、求圆 x 2 + y 2 + 2x + 4y －3 = 0 关于直线
x + y －1 = 0 对称的圆方程。
例3、过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x
－4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程 解：设所求圆方程为
x 2 + y 2 + 2x －4y + ( 2x + y + 4 ) = 0
r 1 (2 2)2 ( 4)2 4(4 1)
圆系
1、定义：具有某种 _共__ห้องสมุดไป่ตู้___ 性质的圆叫做圆系；
它的方程叫 __圆__系__方__程_____ 2、常见的圆系方程：
(1) 半径相等的圆系方程为
______________________________________ 图(象x特－点a )：2 _+_(_y__－__b__) _2 _=_r__2 _(_a_、__b__为__参数 )
－2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1
上的圆方程。
解：设所求圆方程为
x 2 + y 2 －4x + 2y + ( x 2 + y 2 －2y －4 ) = 0
由圆心( 2 , 1)代入2 x 4 y 1 1 1 1
3 ∴ x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0