勾股定理和平行四边形好题汇总
勾股定理的题目
1、直角三角形中，一直角边长为3，斜边长为5，则另一直角边的长为：A. 1B. 2C. 4D. 6（答案：C）2、设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，若a = 6，c = 10，则b等于：A. 16B. 8C. 4D. 2√11（答案：B）3、在直角三角形中，如果一条直角边长度是7，斜边长度是25，那么另一条直角边的长度是：A. 24B. 18C. 15D. √(252 - 72)（答案：D，即24）4、已知直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边的平方是：A. 144B. 169C. 104D. 64（答案：A）5、直角三角形中，若斜边长为25，且其中一直角边长为15，则另一直角边长为：A. 10B. 20C. 25√2D. 5√14（答案：B）6、一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，那么它的斜边长度是：A. 10B. 12C. 14D. 16（答案：A）7、直角三角形中，若其中一直角边长为3cm，斜边长为5cm，则另一直角边的平方为：A. 4cm²B. 16cm²C. 9cm²D. 25cm² - 9cm²（答案：B）8、设直角三角形的两直角边分别为x和y，斜边为z，若x=9，z=15，则y2等于：A. 144B. 225C. 108D. z2 - x2（答案：A）9、一个直角三角形的斜边长为17，其中一条直角边长为8，那么另一条直角边的长度为：A. 9B. 15C. √(172 - 82)D. 17 - 8（答案：C，即15）10、直角三角形的一条直角边为12，斜边为13，则它的另一条直角边长为：A. 5B. 6C. 7D. √(132 - 122)（答案：A）。
平行四边形与勾股定理结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练
专题26 平行四边形与勾股定理结合1. 如图，BD 垂直平分AC ，交AC 于E ，∠BCD ＝∠ADF ，FA ⊥AC ，垂足为A ，AF ＝DF ＝5，AD ＝6，则AC 的长为__．2. 如图，已知四边形ABCD 和四边形BCEF 均为平行四边形，∠D ＝60°，连接AF ，并延长交BE 于点P ，若AP ⊥BE ，AB ＝3，BC ＝2，AF ＝1，则BE 的长为（ ）A. 53. 如图，四边形ABCD 中，90,1,3A ABC AD BC ︒∠=∠===,E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相较于点F ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，延长DE 、BF ，分别交AB 于点H ，交BC 于点G ，若AD ∥BC ，AE ＝CF ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）若∠DAH ＝∠GBA ，GF ＝2，CF ＝4，求AD 的长．5. 已知：如图所示，在平行四边形ABCD 中DE 、BF 分别是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，交AB 、CD 于点E 、F（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若∠A ＝60°，AE ＝2EB ，AD ＝4，求平行四边形ABCD 的面积．6. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点O 是AC 的中点，//AD BC ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若4AD BD ==，且90ADB ∠=︒，求AC 的长．7. 如图，四边形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点G ，DF ⊥AC 于点F ，已知AF =CE ，AB =CD ．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．8. 如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至BC，连接CD和EF．点F，使CF=12（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长；（3）求四边形DEFC的面积．9. 如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连结DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．10. 如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD 的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）当BP +PM +ME′的长度最小时，请直接写出此时点P 的坐标为_____；（3）如图2，点N 为线段BC 上的动点且CM=CN ，连接MN ，是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP 的值；若不存在，请说明理由．11. 如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，P ， Q 两点同时出发，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ．（1）当2t =时，四边形PCDQ 的面积为 ．（2）若以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值；（3）当05t <<时，若DQ DP ≠，则当t 为何值时，DPQ ∆是等腰三角形？12. 已知：直线y＝34x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．专题26 平行四边形与勾股定理结合【1题答案】【答案】9.6【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA =DC ，BA =BC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC =∠DCA ，∠BAC =∠BCA ，证明AB ∥DF ，进而得到四边形AFDB 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD =AF =5，AB =DF =5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：∵BD 垂直平分AC ，∴DA ＝DC ，BA ＝BC ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∠BAC ＝∠BCA ，∴∠DAC ＋∠BAC ＝∠DCA ＋∠BCA ，即∠DAB ＝∠BCD ，∵∠BCD ＝∠ADF ，∴∠DAB ＝∠ADF ，∴AB ∥DF ，∵FA ⊥AC ，DB ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形AFDB 为平行四边形，∴BD ＝AF ＝5，AB ＝DF ＝5，设BE ＝x ，则DE ＝5－x ，在Rt △AEB 中，222AB BE AE -=，在Rt △AED 中，222AD DE AE -=，∴2222AB BE AD DE -=-，即()2222565x x -=--，解得：x ＝75，∴AE 245=，∴AC ＝2AE ＝9.6，故AC 的长为9.6，故答案为：9.6．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【2题答案】【答案】D【解析】【分析】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，先证∠DHC =90º，再证四边形ADEF 是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =3，∠ADC =60º，∴CD =AB =3，∠DCH =∠ABC =∠ADC =60º，∵DH ⊥BC ，∴∠DHC =90º，∴∠ADC +∠CDH =90°，∴∠CDH =30°，在Rt △DCH 中，CH =12CD =32，DH ，∴222223(2)192BD BH DH =+=++=，∵四边形BCEF 是平行四边形，∴AD =BC =EF ，AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥DE ，AF =DE =1，∵AF ⊥BE ，∴DE ⊥BE ，∴22219118BE BD DE =-=-=，∴BE =故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．【3题答案】【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．【详解】解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴AF∥BC．∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE．∵E是边CD的中点，∴CE=DE．∴△BCE≌△FDE（AAS）．∴BE=EF．∴四边形BDFC是平行四边形．（2）若△BCD是等腰三角形，①若BD=BC=3 ．在Rt△ABD中，==．∴四边形BDFC的面积为S=；②若BC=DC=3，过点C 作CG ⊥AF 于G ，则四边形AGCB 是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG-AD=3-1=2，在Rt △CDG 中，由勾股定理得， CG ===，∴四边形BDFC 的面积为S=．③BD=CD 时，BC 边上的中线应该与BC 垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC 的面积是或．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．【4题答案】【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据AD ∥BC ，可得DAE BCF ∠=∠，根据，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，可得∠AED =∠CFB =90°，结合AE ＝CF 即可证明DAE BCF ≌△△，根据全等三角形的性质可得AD BC =，即可得证；（2）勾股定理可得CG =证明四边形DGBH 是平行四边形，可得DG HB =，继而可得AH CG =，勾股定理求得2EH =，在Rt ADE △中勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠AED =∠CFB =90°，DE BF∥∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠BCF ，在Rt △△DAE 和△BCF 中，90DEA BFC AE CFDAE BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AD =CB ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形；【小问2详解】DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ DH BG ∥，GBA DHA ∴∠=∠，∠DAH ＝∠GBA ，DAH DHA ∴∠=∠，AD DH =∴，在Rt GCF △中，2,4GF CF ==，CG ∴==， 四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，AB CD =，DG HB ∴∥，DH GB ∥ ，∴四边形DHBG 是平行四边形，DG HB ∴=，AH CG ∴==Rt AEH △中，4,AE CF AH ===，2EH ∴=，在Rt ADE △中，222AD DE AE =+，()22224AD AD =-+，解得5AD =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【5题答案】【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明EF 、BD 互相平分，只要证四边形DEBF 是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明；（2）根据等边三角形的判定定理得到ADE ∆是等边三角形，求得4DE AE ==，得到2BE GE ==，过D 点作DG AB ⊥于点G ，根据直角三角形的性质得到122AG AD ==，由勾股定理得到DG ===形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，ADC ABC ∴∠=∠．又DE ，BF 分别是ADC ∠，ABC ∠的平分线，ABF CDE ∴∠=∠．//AB CD ，CDE AED ∴∠=∠，ABF AED ∴∠=∠，//DE BF ∴，//DE BF ，//DF BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：60A ∠=︒ ，AB //CD ，120ADC ∴∠=︒，∵DE 是∠ADC 的角平分线，60ADE CDE ∠=∠=︒∴，ADE ∴ 为等边三角形，AE AD ∴=，4AD = ，4DE AE ∴==，过D 点作DG AB ⊥于点G ，2AE EB = ，2EB ∴=，在Rt DGE 中60DEG ∠=︒ ，30GDE ∴∠=︒，114222GE DE ∴==⨯=，224BG GE BE ∴=+=+=，在Rt ADG 中，4=AD ，60A ∠=︒，122AG AD ∴==，DG ∴==∴平行四边形ABCD 的面积6AB DG =⋅=⨯=．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，证得ADE ∆是等边三角形是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件易证△AOD ≌△COB ，由此可得OD =OB ，进而可证明四边形ABCD 是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得出AC =2OA ，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵O 是AC 的中点，∴OA OC =，∵//AD BC ，∴ADO CBO ∠=∠，在AOD △和COB △中，ADO CBO AOD COB OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOD △≌COB △，∴OD OB =，∵OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴122OB OD BD ===，2AC OA =，∵90ADB ∠=︒，∴OA ===∴2AC OA ==【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明四边形ABCD 是平行四边形，属于中考常考题型．【7题答案】【答案】（1）见解析 （2）9【解析】【分析】（1）先证明Rt △ABE ≌Rt △CDF ，得到AB ∥CD ，即可判定平行四边形；（2）证明AB=GB ，根据勾股定理构造方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）∵AF=CE ，∴AF-EF=CE-EF ，∴AE=CF ，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ，∴∠BAE=∠DCF ，∴AB ∥CD，∵AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，∴∠AGB=∠GBC ，∵∠GBC =∠BCD ，∴∠AGB=∠BAG ，∴AB=GB ，设AB=GB=x ，则BE=x-2，∵BG ⊥AC ，∴2222AB BE AG GE -=-，∴()2222262x x --=- ，解得x=9，∴AB =9．【点睛】本题考查了平行四边的判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据已知条件合理选择定理是解题关键．【8题答案】【答案】（1）见解析；（2）EF=（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；（2）先求出CD ，再证明四边形DEFC 是平行四边形即可；（3）过点D 作DH ⊥BC 于H ，求出CF 、DH 即可解决问题．【详解】解：（1）在△ABC 中，∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵CF ＝12BC ，∴DE ＝CF ；（2）∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，∵BC＝4，BD＝2，∴CD∵DE∥CF，DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF＝CD＝（3）过点D作DH⊥BC于H，∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，DC，∴DH＝12∵DE＝CF＝2，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝＝【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【9题答案】【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD BC，且AD=BC∵F是AD的中点AD∴DF=12BC又∵CE=12∴DF=CE，且DF CE∴四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，CD=2，DH∴CH=12AD=3，则EH=1．在▱CEDF中，CE=DF=12∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．视频【10题答案】【答案】（1）（﹣2，，（4，；（2）（2；（3）EP的值为3或6或5．【解析】【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD 的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD A（﹣2，2，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，；（2）如图1中，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y，∴P（2）．故答案为（2）．（3）如图2中，当PM=PN时，∵AOCB 是平行四边形，∴∠MCN =∠A =60°．∵MC =CN ，∴△MNC 是等边三角形，∴∠CMN =∠CNM =60°．∵PM ⊥OC ，∴∠PMN =∠PNM =30°，∴∠PNF =30°+60°=90°，∵∠PFN =∠BCO =60°，∴∠NPF =30°，NF =1，∴PF =2NF =2，∵EF =2BD OC =5，∴PE =5﹣2=3．如图3中，当PM =MN 时，∵PM =MN =CM ，∴EP =OM =6如图4中，当点P 与F 重合时，NP =NM ，此时PE =EF =5．综上所述：满足条件的EP 的值为3或65．【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．【11题答案】【答案】（1）2144cm ；（2）2t =；（3）83t =或74t =【解析】【分析】（1）当2t =时，算出AQ 、PB 的值，进而求出DQ 、PC 的值，由平行四边形的判定得出四边形PCDQ 为平行四边形，进而求出平行四边形的面积；（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，由平行四边形的性质得出QD PC =，列出等式解答即可；（3）分PQ PD =，QD QP =两种情况讨论计算，求出时间即可得出答案．【详解】解：（1）∵边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，当2t =时，AQ ＝4cm ，PB ＝8cm ，∴DQ ＝16－2＝12cm ，PC ＝20－8＝12cm ，∴DQ ＝PC ，∴此时四边形PCDQ 为平行四边形，四边形PCDQ 的面积为：1212=⨯2144cm ，故答案为：2144cm ；（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，则QD PC =，162204t t -=-，解得2t =．∴ 四边形PCDQ 是平行四边形时，t 的值是2．（3）①如图，若PQ PD =，过点P 作PE AD ⊥于点E ，则162QD t =-，11(162)822QE QD t t ==-=-，2(8)8AE AQ QE t t t =+=+-=+，AE BP = ，84t t ∴+=，解得：83t =．②如图，若QD QP =，过Q 作QF BC ⊥于F ，则12QF =，422FP t t t =-=，在Rt QPF ∆中，222QF FP QP +=，()()22122162t t 2∴+=-，解得74t =．∴当83t =或74t =时，DPQ ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．【12题答案】【答案】（1）A （-8，0），B （0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E （-6，-6）；（4）21(1,)4-或27(1,)4或3(7,4-【解析】【分析】（1）在直线364y x =+中，分别令x =0，y =0，可得A ，B 坐标；（2）由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，利用222AD CD AC +=，即可求解；（3）证明()FMA ANE AAS ∆≅∆，则NE AM =，MF AN =，即可求解；（4）分MC 是边、MC 是对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于直线364y x =+，令0x =，得到6y =，(0,6)B ∴，令0y =，得到8x =-，,0()8A ∴-．(8,0)A - ．(0,6)B ；（2）由（1）可得：(8,0)A -．(0,6)B ，8OA ∴=，6OB =，90AOB ∠=︒ ，10AB ∴==，由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，4AD AB BD ∴=-=，设CD OC x ==，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，222AD CD AC ∴+=，2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3OC ∴=；（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：26y x =+，设点(,26)F m m +、(,26)E n n +，过点A 作y 轴的平行线交过点F 与x 轴的平行线于点M ，交过点E 与x 轴的平行线于点N ，AEF ∆ 为等腰直角三角形，故AE AF =，90NAE MAF ∠+∠=︒ ，90MAF MFA ∠+∠=︒，NAE MFA ∴∠=∠，90FMA ANE ∠=∠=︒ ，AE AF =，()FMA ANE AAS ∴∆≅∆，NE AM ∴=，MF AN =，即268m n --=+，268n m +=+，解得：2m =-，6n =-，故点F 的坐标为(2,2)-、点(6,6)E --；由于E 、F 的位置可能互换，故点E 的坐标为(2,2)-、点(6,6)F --；综上，点F 的坐标为(2,2)-或(6,6)E --；（4）点M 是AB 的中点，则点(4,3)M -，而点(8,0)A -，设点(0,)P n ，点3(,6)4Q m m +，①当MC 是边时，点M 向右平移1个单位向下平移3个单位得到点C ，同样点()P Q 右平移1个单位向下平移3个单位得到点()Q P ，故01m +=且3364n m -=+或01m -=且3364n m +=+，解得：1m =或1-，故点Q 的坐标为21(1,)4Q -或27(1,)4；②当MC 是对角线时，由中点公式得：43m --=且3364n m =++，解得：7m =-，故点Q 的坐标为3(7,)4-；综上，点Q 的坐标为：21(1,4-或27(1,)4或3(7,)4-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．。
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
勾股定理典型练习题(含答案)
勾股定理典型练习题(含答案)1.勾股定理典型练题勾股定理是几何中的一个重要定理。
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。
如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。
图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。
根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。
2.勾股定理典型练题XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。
若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 = 4.因此，答案为C。
3.勾股定理典型练题如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。
则图中阴影部分的面积是多少？首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。
同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。
因此，阴影部分的面积为8√2 - 2 × 2 - 2 ×1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。
4.勾股定理典型练题如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)² = 6.因此，答案为C。
5.勾股定理典型练题如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为π × (2√2 / 2)² = 2π。
(完整版)勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
2023-2024学年八年级数学下册 专题04 勾股定理常考压轴题汇总(原卷版)
专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．182．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm26．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．57．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．4109．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．611．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．14413．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．1019．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．3020．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．4121．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC ＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．1423．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为cm．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB 的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为寸．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A千米．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．。
期末复习 《勾股定理》常考题与易错题精选(35题)(原卷版)
期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．262．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：54．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．27．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD 的面积．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，616．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝1817．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，1724．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，5225．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？27．由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）。
二次根式勾股定理平行四边形
数 学 前三章复习 试 题（试题范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）一、选择题(共12小题，每小题4分，共48分)下面每小题给出的四个选项中, 有且只有一个是正确的, 请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．1、 计算()24-－ 38 的结果是（ ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2或0 Ｄ．0．2、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠= ，则AEF ∠=（ ） A ．110° B ．115°C ．120°D ．130° 3、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm ， 则Rt △ABC 的面积是（ ）A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 24、下列各式不是最简二次根式的是（ ）A. 21a +B. 21x +C. 24bD. 0.1y5、 已知：如图,菱形ABCD 中,对角线AC 与BD相交于点O,OE ∥DC 交BC 于点E,AD=6cm,则OE 的长为（ ）.A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm6、给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，6；③n 2-1 ，2n ，n 2+1；④21+，21-，6 ．其中能组成直角三角形三条边长的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④7、 如图，正方形ABCD 中，以对角线AC 为一边作菱形AEFC ，则∠FAB 等于（ ）A ．22.5°B ．45°C ．30° D．135°第2题C AB1A 0-1-218、若0<x<1,则(x －1x )2+4 －(x+1x)2－4 等于（ ） A. 2x B. － 2xC. －2xD. 2x 9、如图，在平行四边形ABCD 中(AB ≠BC)，直 线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、N ， 交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ；③△EAM ≌△CFN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D.③④ 10、小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ).A.2mB.2.5cmC.2.25mD.3m11、如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为（ ） A ．2-10 B ．-2-10 C ．2 D ．-2 12、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ， 连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+；⑤S 正方形ABCD =4+．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）下列不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．13、（－4）2的算术平方根是______，25的平方根是______．14、函数y= x+2x －1中自变量x 的取值范围是 。
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1.完成下面题目图1 图2 图3 图4 图5 图6（2）如图2、3、4，已知，三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为三角形ABC外一点，且满足∠ADB=90°①如图2所示，求证：DA+DB=ξ2DC。
②如图3所示，猜想DA，DB，DC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论。
③如图4所示，过C作CH⊥BD于H，BD=6，AD=3，求CH。
（3）如图5，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=5ξ2，DC=7，试求∠BDC的度数。
（4）如图6，△ABC为等边三角形，若D为△ABC外一点，满足∠CDB=30°，求证DC2+DB2=DA2。
2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5ξ3，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由3.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB, CD于E、F,连接PB､PD.若AE = 2,PF= 8.则图中阴影部分的面积是什么？4.在矩形ABCD中,点E在BC上,AE = AD,DF⊥AE,垂足为F.①求证:DF = AB;②若∠FDC = 30°,且AB = 4,求AD.5.如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD､△BCE､△ACF,请回答下列问题,并说明理由.①四边形ADEF是什么四边形?②当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?③当△ABC满足什么条件时,以A､D､E､F为顶点的四边形不存在6.已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB，点A和B在第四象限（1）如图1，若A（1.-3），则OA=__________，点B的坐标为（______，______）（2）如图2，AD⊥y轴于点D，M为OB中点，求证：DO+DA=ξ2DM6.如图，∠AOB=40°，M和N分别在OA，OB上，且OM=2，ON=4，点P和点Q分别在OB和OA上，求MP+PQ+QN的最小值。
7.已知：x、y、z为三角形ABC三边，且满足x2z2-y2z2=x4-y4，请你判定这个三角形的形状。
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴的正半轴上，求：点C的坐标。
9.（来源：BHT_22_6）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：（1）如图（1），当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）如图（2），当点Q在DC的延长线上时，（1）中的结论成立吗？请你说明理由。
10.如图，在三角形ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是BC中点。
（1）如图a，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=0.5（AC-AB）（2）如图b，写出线段AB，AC，EF的数量关系，并且证明你的结论。
（3）如图c，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点，求证：∠PMN=∠PNM（4）如图d，在四边形ABCD中，AB=CD，EF分别是BC，AD的中点，连接EF并演唱，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证∠BME=∠CNE（5）如图e，在四边形ADBC中，AB与CD相交于O，AB=CD，E点和F点分别是BC 和AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于M和N。
判断三角形OMN的形状。
（6）如图f，在三角形ABC中，AC>AB，D在AC上，AB=CD，E和F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断三角形AGD的形状。
11.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30°，CD⊥AB于点D，BC=1，点P是直线BC上的一个动点，连接AP，若点E是AP中点，求DE的最小值。
12.如图，∠MON=90°，边长为4的等边三角形ABC顶点A和B分别在边OM和ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离是多少？13.如图，线段OM⊥ON，一把角尺的直角顶点A在线段OM上，端点B在线段ON上，已知ON=AB=4，AC=2，当点B从点O运动到点N的过程中，点C也随着运动，当线段OC最长时，求∠BAO的度数。
14.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=ξ3，两顶点A和B分别在平面直角坐标系的x 轴和y轴的正半轴上华东，点C在第一象限，连接OC，当OC为最大值时，点C的坐标是______________。
15.点P是正三角形ABC内一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数。
16.三角形ABC为等腰直角三角形，CP=2，BP=1，∠CPB=135°，求AP长度。
17.如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，求四边形ABCD的度数。
18.如图，P是等边三角形ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠BPA的度数．19.如图，三角形ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点。
求证：EF//BC，BC=2EF20.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB，CD的中点，求证：EF=12 （AD+BC）21.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=3，BC=4，CD=7，E是AB中点，请求出E到CD的距离。
22.（2020.5.12）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数是多少？（P33，5）23.（2020.5.12）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB 于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长是多少？（P33，9）24.（2020.5.12）已知，如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为E，AF⊥BF，垂足为F，EF分别交AB，AC于点M和N：（P34，16）（1）求证：四边形AFBE是矩形；（2）MN= 1BC。
225.（2020.5.12）如图，已知在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，DE评分∠ADC交BC于点E，∠BDE=15°，则∠COE的度数是多少？（P34，2）26.（2020.5.12）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H（P35，6）（1）求证：△ABG≌△CDE；（2）求证：四边形EFGH是矩形；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积。
(ξ3)27.（2020.5.12）矩形ABCD和CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF中点H，连接GH，若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH是多少？（P36，4）28.（2020.5.13）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是多少？（P36，3）29.（2020.5.13）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（P38，9）（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长。
30.（2020.5.13）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（P37，10）（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.31.（2020.5.13）已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB 中点，求证：四边形BCDE为菱形。
（P38，13）32.（2020.5.13）如图，在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.（P38，15）（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由．33.（2020.5.13）已知，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC 的平分线AD交BC于点D，过点A作AF//BC，连接DE并演唱交AF于点F，连接FC。
求证：四边形ADCF是菱形。
（P38，14）34.（2020.5.13）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为是多少？（P38，16）35.（2020.5.13）【菱形面积的计算题】（P38，17和18）（1）已知一菱形的周长为40cm，两条对角线长度之比为3:4，求菱形的面积。
（2）如图，菱形ABCD周长为8ξ5，对角线AC和BD交于点O，AC:BD=1:2，则A0:BO 的值是1:2，这个菱形ABCD面积S是多少？36.（2020.5.13）如图，菱形ABCD面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长是多少？（P38，19）37.（2020.5.14）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点E为BC边上的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是什么？（P39，2）38.（2020.5.14）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕GH的长。
（P39，3）39.（2020.5.14）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5ξ3，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（P39，综合探究）（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由40.（2020.5.15）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的F处，过点F作FG//CD交BE于点G，连接CG。